EFEKT BRZEGOWY W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE O PODàUĩNEJ GRADACJI WàASNOĝCI

EFEKT BRZEGOWY W WARSTWOWEJ PRZEGRODZIE O PODàUĩNEJ GRADACJI WàASNOĝCI

Olga Szlachetka, Monika Wągrowska

¹

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Rozpatrzono stacjonarne, jednowymiarowe zagadnienie przewodnictwa cie- páa w wielowarstwowej przegrodzie o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci. Zbadano wpáyw efektu warstwy brzegowej na rozkáad pól temperatury w wielowarstwowym laminacie. Przegroda zbudowana jest z dwóch jednorodnych, izotropowych przewodników ciepáa.

Sáowa kluczowe: przewodnictwo ciepáa, materiaá z funkcyjną gradacją wáasnoĞci efek- tywnych

WSTĉP

Jednym z najwaĪniejszych zadaĔ w badaniach nad wielowarstwowymi strukturami jest okreĞlenie w nich rozkáadu naprĊĪeĔ, odksztaáceĔ czy temperatury. W pracy uwaga skupiona jest tylko na zagadnieniach termicznych.

W przypadku niejednorodnych struktur warstwowych bezpoĞrednie zastosowanie równania przewodnictwa ciepáa Fouriera do wyznaczania rozkáadu temperatury stwa- rza komplikacje obliczeniowe, bowiem równanie to posiada nieciągáe, silnie oscylujące wspóáczynniki, a koniecznoĞü speánienia warunków ciągáoĞci strumienia ciepáa na styku warstw prowadzi do duĪej liczby równaĔ. Celowe jest wiĊc stosowanie modeli przybliĪo- nych. Jednym z nich jest metoda modelowania asymptotycznego. Pozwala ona w prosty sposób wyznaczyü przybliĪony rozkáad pola temperatury w rozpatrywanym laminacie.

Niestety wyznaczone pole temperatury nie speánia zadanych warunków brzegowych na brzegach przecinających uwarstwienie. Otrzymane w ramach modelu asymptotycznego rozwiązanie uzupeánia siĊ o dodatkowy skáadnik [WoĨniak 2010, Szlachetka i Wągrow- ska 2010], by otrzymane nowe przybliĪone rozwiązanie na pole temperatury speániáo warunki brzegowe. Za pomocą tego nowego rozwiązania wyznaczyü moĪna rozkáad tem- peratury w obszarze przybrzegowym i okreĞliü zasiĊg wpáywu warstwy brzegowej.

Adres do korespondencji – Correspondig author: Olga Szlachetka, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: olga_szlachetka@sggw.pl

Rozpatrywana wielowarstwowa przegroda, bĊdąca przewodnikiem ciepáa, w kon¿ - guracji odniesienia zajmuje obszar: ^{Ω ≡}

( ) (

^{0,L × 0,H}

)

^{×R, x=}

(

^{x x x, 2, 3}

)

^{, x∈}

⁽

^0,L

⁾

^,

( )

2 0, , 3 .

x ∈ H x ∈R

Przegroda zbudowana jest z m dwuskáadnikowych warstw o staáej gruboĞci , 1 1.

L

λ=m m<< Skáadniki w warstwach przylegają do siebie idealnie. Wspóáczynniki przewodzenia ciepáa izotropowych komponentów wchodzących w skáad przegrody ozna- czono przez k’ i k’’. Schemat struktury przegrody zostaá zaprezentowany na rysunku 1.

Rys. 1. Schemat struktury o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci: Ȝ – gruboĞü warstwy, L, H – wymiary laminatu, Γ Γ – brzegi laminatu⁰₀, ₀^H

Fig. 1. Scheme of FGM with longitudinal gradation: Ȝ – thickness, L, H – dimensions of the laminate, Γ Γ – boundaries of the laminate⁰0, 0^H

Na rysunku kolorem czarnym zaznaczono materiaá, który w pracy nazywany bĊdzie wtrąceniem. Funkcja ^ϕ

( )

^{⋅ ∈C1}

( )

^{Ω ,} opisująca rozkáad frakcji materiaáu wtrącenia, ze wzglĊdu na budowĊ przegrody zaleĪy tylko od wspóárzĊdnej x². Przyjmuje ona wartoĞci z przedziaáu (0, 1) dla kaĪdego ^x2∈

[

^0,H

]

. Udziaá drugiego materiaáu (na rys. 1 oznaczo- nego kolorem biaáym), nazywanego osnową, wynosi ^{1− ⋅ϕ}

( )

^{. Funkcja ϕ}

( )

^⋅ wolno zmie- nia swoje wartoĞci w kierunku osi Ox². Taki kompozyt nazywa siĊ strukturą o funkcyjnej podáuĪnej gradacji wáasnoĞci. Przegroda bĊdzie poddana jednokierunkowemu, stacjonar- nemu przewodnictwu ciepáa w kierunku osi Ox.

METODYKA

Ze wzglĊdu na budowĊ przegrody nie moĪna w niej wyznaczyü analitycznie rozkáadu temperatury bezpoĞrednio ze znanego równania przewodnictwa ciepáa Fouriera. Rozwią- zanie przybliĪone uzyskano, stosując metodĊ modelowania asymptotycznego [Thermo-

mechanics... 2008], i zgodnie z jej procedurą poszukiwane pole temperatury aproksymuje siĊ wyraĪeniem bĊdącym sumą temperatury uĞrednionej i iloczynu À uktuacyjnej funkcji ksztaátu i amplitudy À uktuacji:

( ) ( )

^{h x xλ}

( )

^{, 2}

^{( )}

θλ x =ϑ x + ψ x (1) gdzie: ^ϑ

( ) ( )

^{⋅ ,ψ ⋅ ∈C1}

( )

^Ω – poszukiwane funkcje, nazywane odpowiednio temperaturą

uĞrednioną i amplitudą À uktuacji temperatury,

h_Ȝ

( )

^⋅ – dana z góry À uktuacyjna funkcja ksztaátu, która speánia warunek

( )

^0,

( )

^{, 0}

h_λ ⋅ =h L_λ ⋅ = i jest liniową funkcją argumentu (x, x²), przy czym jej wartoĞci w kierunku osi zmieniają siĊ bardzo wolno; dodatkowo zaáoĪono, Īe funkcja ta przyjmuje naprzemiennie wartoĞci _i

2 2

λ ₋λ i na granicy mate- riaáów.

PamiĊtając, Īe rozkáad materiaáu wtrącenia wewnątrz pojedynczej warstwy zmie- nia siĊ bardzo wolno w kierunku osi Ox², moĪna przybliĪyü prostopadáą do páaszczy- zny granicznej miĊdzy materiaáami przez oĞ Ox. DziĊki temu warunek ciągáoĞci wek- tora strumienia ciepáa w kierunku prostopadáym do uwarstwienia na interfejsach moĪe byü przedstawiony w postaci q1^R =q1^M. Daje to moĪliwoĞü wyraĪenia w ramach modelu asymptotycznego nieznanego pola ȥ

( )

^{⋅ przez ∂ ⋅ϑ}

( )

^:

( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )}

( ) ( ( ) ) ^{( )}

2 2

2 2

1 ' ''

'' 1 '

x x k k

x k x k

ϕ ϕ

ψ ϑ

ϕ ϕ

− −

= − ∂

x + − x (2)

gdzie: .

x

∂ ≡ ∂

∂

Dla stacjonarnego jednowymiarowego zagadnienia przewodnictwa ciepáa równanie na temperaturĊ uĞrednioną w modelu asymptotycznym przyjmuje postaü:

( )

^{2 2}

^{( )}

⁰

k x ϑ

< > ∂ x = (3)

gdzie < k > jest efektywnym wspóáczynnikiem przewodzenia ciepáa, który wynosi:

( )

^{2 '}

( )

^{2 '' 1}

( ( )

²

)

k x k ϕ x k ϕ x

< > ≡ + − (4)

Równania (3) wraz z dekompozycją pola temperatury (1) reprezentują model asymp- totyczny, opisujący stacjonarne jednokierunkowe przewodnictwo ciepáa w kierunku prostopadáym do osi Ox² w rozpatrywanej przegrodzie o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci efektywnych.

Po rozwiązaniu równania (3) na ^ϑ

( )

^⋅ rozwiązanie na poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego laminatu, zgodnie z formuáą aproksymacyjną, moĪna zapisaü:

( )¹

( ) ( ) ( )

^{h x x M x}

(

^{, 2}

) ( )

²

^{( )}

λ λ λ

θ x ≈θ x =ϑ x + ∂ϑ x

(5) gdzie:

( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )}

( ) ( ( ) )

2 2

2

2 2

1 ' ''

'' 1 '

x x k k

M x x k x k

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− −

= − + − (6)

Z postaci otrzymanego rozwiązania (5) wynika, Īe warunek brzegowy na brzegu:

( ) { } ( ) { }

⁰

0 0,L 0 R 0,L H R 0 0^H

Γ = × × ∪ × × = Γ ∪ Γ , nie jest speániony (rys. 1). Taka sama sytuacja wystąpiáa podczas analizy stacjonarnego jednokierunkowego przewodnictwa ciepáa w kierunku prostopadáym do uwarstwienia w przegrodzie o poprzecznej gradacji wáasnoĞci [Szlachetka i Wągrowska 2010].

W bieĪącej pracy problem ten zostanie rozwiązany analogicznie jak w pracy Szlachet- ka i Wągrowska [2010]. Rozwiązanie na temperaturĊ w obszarze przylegáym do brzegów ī₀ laminatu dla danego punktu x [WoĨniak 2010] przyjĊto w postaci:

( )²

( )

^{; ( )1}

( )

^{h x x}

(

^{, 2}

) (

^{x, ,x3}

)

λ λ λ

θ x ξ =θ x + υ ξ (7)

gdzie: ȟ – wspóárzĊdna prostopadáa do brzegów _{Γ Γ}⁰_{0, 0}^H i skierowana do wnĊtrza kom- pozytu,

( )¹

( )

θλ ⋅ – pole temperatury uzyskane w ramach modelowania asymptotycznego, przedstawione zaleĪnoĞcią (5),

funkcja h_Ȝ

( )

^⋅ – znana À uktuacyjna funkcja ksztaátu,

( )

ϑ ⋅ – poszukiwana funkcja, wolnozmienna ze wzglĊdu na zmienną x.

FunkcjĊ ^ϑ

( )

^⋅ w kaĪdym z obszarów przylegáych do odpowiednych brzegów Γ Γ⁰₀, ₀^H wyznacza siĊ z równania otrzymanego w ramach modelu tolerancyjnego:

( ) ( )

^{hλ 2k x ∂ξ2υ}

(

^{x, ,ξ x3}

)

^{− ∂}

^{( ) ( )}

^{hλ 2k x υ}

(

^{x, ,ξ x3}

)

⁼⁰ (8) W rówaniu (8) przyjĊto oznaczenie ξ ξ

∂ ≡ ∂

∂ .

Funkcja ^ϑ

( )

^⋅ , która wystĊpuje w równaniu (8), na brzegach Γ Γ⁰₀, ₀^H speánia odpowied- nio warunki brzegowe:

( )

⁰0

( ) ( )

⁰0

( )

0

( ) ( )

0

3 2 3 2

, , ; , , H H

x x M x x x M x

υ ξ _Γ = − ∂ϑ x _Γ υ ξ _Γ = − ∂ϑ x _Γ (9)

Wykorzystując rozwiązanie równania (8) z warunkami brzegowymi (9), moĪna stwierdziü, Īe poszukiwane pole temperatury dla rozpatrywanego laminatu z uwzglĊd- nieniem efektu warstwy brzegowej przyjmuje w obszarze przylegáym do brzegu _Γ⁰₀ po- staü (10a), wtedy ȟ = x², a w obszarze przylegáym do brzegu Γ₀^H przyjmuje postaü (10b), wtedy ȟ = H – x²:

(10a)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ( ) ^{( )} ) ( ^{( )} )

( ( ) )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ( ) ^{( )} ) ( ^{( )} )

( ( ) ) ^{( )}

00

0

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

,

,

, exp

,

,

,

, exp

H , h x x M x

h x x k

h x x M x x

h x x k

h x x M x

h x x k

h x x M x H x

h x x k

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ

θ ϑ ϑ

ϑ

θ ϑ ϑ

ϑ

Γ

Γ

= + ∂ +

§ ·

¨ ∂ ¸

¨ ¸

+ − ∂ − ⋅

¨ ¸

¨ ¸

© ¹

= + ∂ +

§ ·

¨ ∂ ¸

¨ ¸

+ − ∂ − ⋅ −

¨ ¸

¨ ¸

© ¹

x x x

x

x x x

(10b)x

Z postaci rozwiązania (10) wynika, Īe efekt warstwy brzegowej zanika wraz z odda- laniem siĊ od brzegów Γ Γ⁰₀, ₀^H do wnĊtrza kompozytu.

ANALIZA

Rozpatrywany jest laminat o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci o gruboĞci L = 54 cm, wy- sokoĞci H = 200 cm i nieskoĔczonej dáugoĞci w kierunku osi x³. Skáada siĊ on z 27 dwu- skáadnikowych warstw o staáej gruboĞci Ȝ = 2 cm. Wspóáczynniki przewodzenia ciepáa komponentów wynoszą kƍ = 0,045 W·m^–1·K^–1 we wtrąceniu oraz kƍƍ = 1,7 W·m^–1·K^–1 w matrycy. Zgodnie z procedurą modelowania asymptotycznego przyjĊto nastĊpujące warunki brzegowe na jednowymiarową temperaturĊ uĞrednioną: ^ϑ

(

^{0,x x2, 3}

)

^{= − °10 C,}

(

^{54,x x2, 3}

)

^{20 C, x2}

⁽

^{0, 200 ,}

⁾

^{x3 R,}

ϑ = ° ∈ ∈ ^ϑ

(

^{x, 0,x3}

) (

^{=ϑ x, 200,x3}

)

^{= − +10} ₉^5x,

(

^{0, 54}

)

x∈ , x³∈R. Rozkáad funkcji ^ϕ

( )

^⋅ zadano w postaci funkcji liniowej ij(x²) = 225 2.

250

−x

=

Na rysunku 2 przestawiono wykresy temperatury w piątej warstwie przegrody wy- znaczone ze wzoru (5) na róĪnych wysokoĞciach x². ZmiennoĞü rozkáadów temperatury związana jest z faktem, Īe wraz ze zmianą wspóárzĊdnej x² zmienia siĊ zawartoĞü ma- teriaáu wtrącenia (styropianu), który jest lepszym izolatorem ciepáa niĪ materiaá matry- cy (beton). Ponadto krzywa 1 i krzywa 8, które zostaáy wykreĞlone odpowiednio dla x² = 0 cm i x² = 200 cm, czyli na brzegach dolnym i górnym przegrody, obrazują sy- gnalizowany w rozdziale „Metodyka” problem niespeánienia zaáoĪonych warunków brzegowych.

Rys. 2. Rozkáady pola temperatury w piątej warstwie bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzego- wej dla róĪnych wspóárzĊdnych x²: 1 – x² = 0 cm, 2 – x² = 25 cm, 3 – x² = 50 cm, 4 – x² =

= 100 cm, 5 – x² = 125 cm, 6 – x² = 150 cm, 7 – x² = 175 cm, 8 – x² = 200 cm

Fig. 2. Distribution of temperature ¿ eld without consideration of boundary layer effect in the 5^th layer for different coordinates x²: 1 – x² = 0 cm, 2 – x² = 25 cm, 3 – x² = 50 cm, 4 – x² =

= 100 cm, 5 – x² = 125 cm, 6 – x² = 150 cm, 7 – x² = 175 cm, 8 – x² = 200 cm

Natomiast rozwiązanie (10), uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej, speánia wa- runki brzegowe na brzegach przecinających uwarstwienie. MoĪna to zaobserwowaü na rysunkach 3 i 4 wykonanych dla dziesiątej warstwy przegrody, na których krzywe 1 przedstawiają wykresy temperatury odpowiednio na brzegu _Γ⁰_{0 i Γ0}^H. Wykres krzywych 1 jest gáadki, bez oscylacji.

Rys. 3. Rozkáady pola temperatury w dziesiątej warstwie z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej dla róĪnych odlegáoĞci ȟ od brzegu Γ : 1 – ȟ = 0 cm, 2 – ȟ = 0,05 cm, 3 – ȟ = ⁰₀

= 0,1 cm, 4 – ȟ = 0,2 cm, 5 – ȟ = 0,26 cm, i bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej:

6 – x² = 0,26 cm; A – powiĊkszony fragment wykresu

Fig. 3. Distribution of temperature ¿ eld in 10^th layer with consideration of boundary layer effect for different distances ȟ from the edge Γ : 1 – ȟ = 0 cm, 2 – ȟ = 0,05 cm, 3 – ȟ = 0,1 ⁰₀ cm, 4 – ȟ = 0,2 cm, 5 – ȟ = 0,26 cm, and without consideration of boundary layer effect:

6 – x² = 0,26 cm; A – magni¿ ed part of the graph

Rys. 4. Rozkáady pola temperatury w dziesiątej warstwie z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej dla róĪnych odlegáoĞci ȟ od brzegu Γ : 1 – ȟ = 0 cm, 2 – ȟ = 0,5 cm, 3 – ȟ = ₀^H

= 1 cm, 4 – ȟ = 2 cm, 5 – ȟ = 2,8 cm, i bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej:

6 – x² = 197,2 cm; A – powiĊkszony fragment wykresu

Fig. 4. Distribution of temperature ¿ eld in 10^th layer with consideration of boundary layer ef- fect for different distances ȟ from the edge Γ : 1 – ȟ = 0 cm, 2 – ȟ = 0,5 cm, 3 – ȟ = ₀^H

= 1 cm, 4 – ȟ = 2 cm, 5 – ȟ = 2,8 cm, and without consideration of boundary layer effect 6 – x² = 197,2 cm; A – magni¿ ed part of the graph

Na omawianych rysunkach znajdują siĊ wykresy temperatury dla róĪnych odlegáoĞci ȟ od poszczególnych brzegów Γ Γ⁰₀, ₀^H, oznaczone kolejno symbolami 2–5. Krzywe ozna- czone symbolem 6 przedstawiają wykresy temperatury w Ğrodku kompozytu, wedáug wzoru (5).

PrzyjĊto, Īe wpáyw brzegu dochodzi do gáĊbokoĞci ȟ, dla której róĪnica miĊdzy roz- wiązaniem (5) i (10) jest w przybliĪeniu równa 0,001qC, tj. 0,003%. MoĪna stwierdziü, Īe w pobliĪu brzegu Γ⁰₀ zasiĊg wpáywu warstwy brzegowej dochodzi do gáĊbokoĞci ȟ₀ § 0,26 cm, a w pobliĪu brzegu 0

ΓH – do gáĊbokoĞci ȟ_H § 0,28 cm.

Wynika stąd, Īe w pobliĪu brzegu 0

ΓH, gdy ȟ < 1,4 Ȝ, rozkáad temperatury moĪna przy- jąü zgodnie ze wzorem (10b), a w pobliĪu brzegu Γ⁰₀, gdy ȟ < 0,13 Ȝ, rozkáad temperatury moĪna przyjąü zgodnie ze wzorem (10a). Po przekroczeniu granicznych wartoĞci ȟ₀ i ȟ_H rozkáad temperatury we wnĊtrzu przegrody moĪe byü wyznaczony ze wzoru (5).

PODSUMOWANIE

W wyniku zastosowania procedury modelowania tzw. efektu warstwy brzegowej otrzymane rozwiązanie na temperaturĊ speánia zadane warunki brzegowe.

Wpáyw efektu warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem siĊ od brzegów Γ Γ⁰0, 0^H. Wpáyw ten utrzymuje siĊ do gáĊbokoĞci równej 1,4 gruboĞci pojedynczej warstwy rozwa- Īanego laminatu w pobliĪu brzegu _Γ0^H, a w pobliĪu brzegu Γ⁰0 do gáĊbokoĞci równej 0,13 gruboĞci pojedynczej warstwy. Oznacza to, Īe w odlegáoĞciach od brzegów Γ Γ⁰0, 0^H, wiĊk- szych niĪ okreĞlone graniczne wartoĞci odpowiednio ȟ₀ i ȟ_H, pole temperatury moĪe byü aproksymowane przez rozwiązanie otrzymane w ramach modelowania asymptotycznego.

Z postaci rozwiązania (10) wynika, Īe efekt warstwy brzegowej zaleĪy od rodzaju materiaáów wchodzących w skáad przegrody (dla materiaáów o zbliĪonych wartoĞciach wspóáczynników przewodzenia ciepáa wpáyw ten bĊdzie mniejszy, niĪ dla materiaáów charakteryzujących siĊ znaczną róĪnicą miĊdzy wartoĞciami staáych materiaáowych), od budowy wewnĊtrznej (rozkáadu frakcji materiaáu wtrącenia), od wymiarów zewnĊtrz- nych przegrody, od kierunku przewodnictwa ciepáa (wzdáuĪ uwarstwienia w rozwaĪanym kompozycie nie wystąpiáby efekt brzegowy).

PIĝMIENNICTWO

Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Microsrtructured Media. Pro- fessor Margaret WoĨniak pro Memoria, 2010. Ed. Cz. WoĨniak et al. Wydawnictwo Po- litechniki ĝląskiej, Gliwice.

Szlachetka O., Wągrowska M., 2010. Efekt warstwy brzegowej w warstwowej przegrodzie o po- przecznej gradacji wáasnoĞci. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9, 4, 15–23.

Thermomechanics of Heterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach, 2008.

Ed. Cz. WoĨniak, B. Michalak, J. JĊdrysiak. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

WoĨniak Cz., 2010. Asymptotic modelling and boundary-layer effect for functionally graded mi- crolayred composites. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9, 2, 3–9.

BOUNDARY LAYER EFFECT IN LONGITUDINAL FGM WALL

Summary. The stationary, one-dimensional heat conduction problem for multilayer longi- tudinal FGM was investigated. The inÀ uence of the boundary layer effect on the distribu- tion of temperature ¿ elds in longitudinal FGM was considered. The wall was built of two homogeneous, isotropic heat conductors.

Key words: longitudinal FGM, heat conduction, asymptotic modelling, boundary layer effect

Wyniki pracy wspóá¿ nansowane ze Ğrodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoáecznego.

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 20.09.2011