ZAGADNIENIE EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ W PRZEGRODZIE O PODàUĩNEJ GRADACJI WàASNOĝCI

ZAGADNIENIE EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ W PRZEGRODZIE O PODàUĩNEJ GRADACJI WàASNOĝCI

Monika Wągrowska, Joanna Witkowska-Dobrev

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Rozpatrzono zagadnienie efektu warstwy brzegowej w wielowarstwowej przegrodzie budowlanej charakteryzującej siĊ podáuĪną gradacją wáasnoĞci dla zagadnienia stacjonarnego. Przegroda zbudowana jest z dwóch izotropowych, jednorodnych, sprĊĪy- stych materiaáów. Rozwiązanie ograniczono do jednowymiarowego zagadnienia.

Sáowa kluczowe: materiaá z funkcyjną gradacją wáasnoĞci efektywnych, podáuĪna gradacja wáasnoĞci, modelowanie asymptotyczne, efekt warstwy brzegowej ¹

WSTĉP

Jednym z najwaĪniejszych problemów teorii sprĊĪystoĞci w rozwaĪaniach nad niejed- norodnymi, wielowarstwowymi laminatami jest okreĞlenie rozkáadu pola przemieszczeĔ, naprĊĪeĔ i odksztaáceĔ.

W przypadku struktur warstwowych bezpoĞrednie zastosowanie równaĔ równowagi do wyznaczania rozkáadu naprĊĪeĔ oraz odksztaáceĔ jest niemoĪliwe, poniewaĪ równania te posiadają nieciągáe, silnie oscylujące wspóáczynniki. Konieczne jest wiĊc zastoso- wanie metod przybliĪonych. Jedną z nich jest metoda modelowania asymptotycznego [WoĨniak et al. 2010]. Metoda ta pozwala wyznaczyü w przybliĪeniu poszukiwane pola przemieszczenia, odksztaácenia i naprĊĪenia. Niestety omawiana metoda posiada pewną wadĊ. Jest nią to, Īe wyznaczone pole przemieszczenia nie speánia zadanych warunków brzegowych na brzegach przecinających uwarstwienie. Dlatego dokonujemy mody¿ kacji rozwiązania otrzymanego w ramach modelowania asymptotycznego poprzez dodanie do tego rozwiązania dodatkowego skáadnika otrzymanego w ramach tego modelu [WoĨniak 2010]. Skáadnik ten speánia równanie tzw. efektu warstwy brzegowej, otrzymane na dro- dze modelowania tolerancyjnego, a warunki brzegowe naáoĪone na niego są takie, Īe pole przemieszczeĔ speánia zadane na początku warunki brzegowe. W pracy ograniczono roz- waĪania do páaskiego stanu odksztaácenia, a potem do jednowymiarowego zagadnienia.

Adres do korespondencji – Corresponding author: Joanna Witkowska-Dobrev, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: joanna_witkowska@sggw.pl

Rozpatrywana wielowarstwowa przegroda budowlana (rys. 1) w kon¿ guracji odnie- sienia zajmuje obszar:

( ) (

^{0,L 0,H}

)

^R,

Ω ≡ × × ^x=

(

^{x x x1, ,2 3}

)

^{∈Ω, x1∈}

⁽

^0,L

⁾

^,

(

^{x x2, 3}

)

^∈

⁽

^0,H

⁾

^×R,

(

^{1 2}

) ^{( ) ( )}

x= x x, ∈ 0,L × O,H

Rys. 1. Schemat kompozytu o podáuĪnej gradacji wáasnoĞci Fig. 1. Scheme of FGM with longitudinally gradation

KaĪda warstwa kompozytu ma staáą gruboĞü:

L η⁼ p

gdzie: p – liczba warstw, ¹ 1 p<< ,

i skáada siĊ z dwóch izotropowych liniowo-sprĊĪystych, idealnie przylegających materia- áów. Jeden z materiaáów nazywamy umownie osnową, a drugi wzmocnieniem. Rozpatry- wany kompozyt charakteryzuje siĊ podáuĪną gradacją wáasnoĞci, co oznacza, Īe nasyce- nie w ramach wszystkich warstw zmienia siĊ bardzo wolno w kierunku osi Ox². Funkcja

( )

^,

( )

²

^{( )}

^{0, 1 , 2}

^[

^0,

^]

R R x x H

ν ⋅ ν ∈ ∈ , ^νR∈C1

( [

^0,H

] )

jest funkcją opisującą Ğrednią frakcjĊ wzmocnienia w warstwie, natomiast ^νM

( )

^⋅ , które opisuje Ğrednią frakcjĊ osno- wy w warstwie, wynosi ^ȞM

( )

^{x2 = −1 ȞR}

( )

^{x2 , x2∈}

^[

^0,H

^]

. WáasnoĞci materiaáowe skáad- ników komponentów opisane są staáymi sprĊĪystoĞci Lamego i wynoszą odpowiednio:

ȝ_M, Ȝ_M i ȝ_R, Ȝ_R, w matrycy i wzmocnieniu. CzĊĞü kompozytu zajĊta przez materiaá osnowy oznaczona jest przez ȍ_M , a wzmocnienia przez ȍ_R .

METODYKA

Zgodnie z procedurą modelowania asymptotycznego [WoĨniak et al. 2008, WoĨniak 2010, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010], dla rozpatrywanego kompozytu znajdują- cego siĊ w páaskim stanie odksztaácenia dla zagadnienia stacjonarnego poszukiwane pole przemieszczenia przybliĪamy przez funkcjĊ ^w

( )

^{⋅ ,w =}

(

^{w w 1, 2}

)

^:

( ) ( ) (

^{1 2}

) ^{( )}

1 x 1 x 1 x

w =u +h x ,x ȣ

(1)

( ) ( ) (

^{1 2}

) ^{( )}

2 x 2 x 2 x

w =u +h x ,x ȣ

gdzie: funkcje ^u1

( )

^{⋅ , u2}

( ) ( )

^{⋅ , ȣ1 ⋅ , ȣ2}

( )

^{⋅ ∈C1}

( )

^Ω są nieznanymi polami, noszącymi nazwĊ uĞrednionego pola przemieszczeĔ i amplitudy À uktuacji przemieszczenia, ^h

( )

^{⋅ ∈C0}

( )

^Ω

jest À uktuacyjną funkcją ksztaátu, która dla rozpatrywanego kompozytu jest funkcją ka- waákami liniową, periodyczną w kierunku osi i wolno zmienia swoje wartoĞci wzdáuĪ osi Ox² [WoĨniak et al. 2008, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010] i przyjmuje warto- Ğci z przedziaáu ^§₋η η_{2 2}^{, ·}

¨ ¸

© ¹. W wyniku zastosowania procedury modelowania asympto- tycznego [WoĨniak et al. 2008, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010] nieznane pola

( ) ( )

1 , 2

υ ⋅ υ ⋅ moĪna przedstawiü jako funkcje zaleĪne od ^{∂1 2u}

( )

^{⋅ ∂, 2 1u}

( )

^⋅:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1'1 2'2

+ +

–

– 2 2

2 2

R M

M R

R R M M

R+ R M+ M R – M

ȣ Ȟ Ȟ

Ȝ ȝ Ȟ Ȝ ȝ Ȟ

ȝ Ȝ ȝ Ȝ u Ȝ Ȝ u

§ ·

¨ ¸×

¨ + ¸

© ¹

ª º

׬ + ¼

=

(2)

( ) ^{( ( ) ( ) )}

2 1'2 2 '1

R M

R M R M

R M

M R

ȣ Ȟ Ȟ ȝ ȝ u ȝ ȝ u

Ȟ ȝ Ȟ ȝ

§ ·

¨ ¸ ª º

=¨© + ¸¹¬ − + − ¼

natomiast równania na nieznane pola ^υ1

( )

^{⋅ ,υ2}

( )

^⋅ przyjmują postaü [Wągrowska i Wit- kowska-Dobrev 2010]:

(

2ȝ Ȝ u+

)

^{0 1'11}+

( (

ȝ⁰+Ȝ u

)

^2'1

)

'2+

⁽

ȝ u^{0 1'2}

⁾

^'2 =0

(3)

( )

(

^{ȝ0+Ȝ u 1'1}

)

^{'2+ȝ u0 2'11+}

( ⁽

^{2ȝ Ȝ u+}

⁾

^2'2

)

^'2=0

WystĊpujące w nich ciągáe wspóáczynniki noszą nazwĊ moduáów efektywnych [Wą- growska i Witkowska-Dobrev 2010] i wynoszą odpowiednio:

( ) ( )( )

( ) ( )

0

2 2

2 2 2

R R M M

M R

R R M M

ȝ Ȝ ȝ Ȝ

ȝ Ȝ ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȝ Ȟ

+ +

+ =

+ + +

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

R M

M M R R R M

M R

R R M M

ȝ Ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȝ Ȟ Ȝ

Ȝ ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȝ Ȟ

+ + +

= + + +



( ) ( )

2ȝ Ȝ+ = 2ȝ_R+Ȝ Ȟ_R ^R+ 2ȝ_M +Ȝ_M Ȟ^M

(4)

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

R M

R M

M R

R R M M

Ȟ Ȟ Ȝ Ȝ ȝ Ȝ ȝ Ȝ

ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȝ Ȟ

+ = + − −

+ + +

( ) ( )( )

( ) ( )

0

2 2

2 2 2

R R M M

M R

R R M M

ȝ Ȝ ȝ Ȝ

ȝ Ȝ ȝ Ȝ Ȟ ȝ Ȝ Ȟ

+ +

+ =

+ + +

0 R M

M R

R M

ȝ ȝ ȝ

ȝ Ȟ ȝ Ȟ

= +

ROZWIĄZANIA SZCZEGÓLNE

Jako szczególny przypadek w rozpatrywanym modelu rozpatrzmy zagadnienie jedno- wymiarowe o niezerowej skáadowej wektora przemieszczenia ^u2

( )

^⋅, zaleĪnej od zmien- nej ^{x x, 2∈}

(

^0,H

)

. Równania równowagi (3) redukują siĊ wtedy do jednego równania w postaci [Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010]:

( )

(

²ȝ Ȝ u+ ^2'2

)

'2=⁰ (5) a poszukiwane pola przemieszczenia w₁ i w₂ są przybliĪone przez [WoĨniak et al. 2008]:

1 2 2

w ≈hM u∂ (6)

2 2

w ≈u (7)

gdzie:

(

⁺²

) (

⁺²

) ^{( )}

R M

R M

M R

R R M M

Ȝ Ȝ

M Ȟ Ȟ

Ȝ ȝ Ȟ Ȝ ȝ Ȟ

§ ·

ª − º

¨ ¸ ¬ ¼

¨ + ¸

© ¹

= − (8)

Z postaci rozwiązania (6) i (8) na pole w₁ widaü, Īe nie jesteĞmy w stanie speániü warunków brzegowych na brzegach przecinających uwarstwienie.

W dalszej czĊĞci pracy przedstawione zostanie rozwiązanie dla kompozytu o podáuĪ- nej gradacji wáasnoĞci, w przypadku gdy L = 200 cm, H = 200 cm i Ș cm, dla warunków brzegowych u2



x¹, 0,x³



u_o, ^{u x H x2}

(

^{1, , 3}

)

^{=0, x1∈}

[ ]

^{0,L , x3∈R}. Dodatkowo za- káadamy, Īe frakcja ^νR

( )

^⋅ jest funkcją liniową daną wzorem ^ȞR

( )

^{x2 = −}_©^{¨§ 0,8}_H ^x2+0,9·¸_¹^.

1. Rozwiązanie dla Ȝ_R + Ȝ_M

Niech ² 2 ^MM

α≡ μ λμ λ⁺+ , przyjmując jednoczeĞnie, Īe α∈( )^0,1, co nie ogranicza rozwaĪaĔ.

Dla dowolnej wartoĞci Į przemieszczenie ^w1

( )

^⋅ jest równe zeru, natomiast pole prze- mieszczenia w₂ § u₂ dla róĪnych wartoĞci Į zostaáo przedstawione na rysunku 2.

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.1 0.05 0.2

Rys. 2. Rozkáad pola przemieszczeĔ w₂ otrzymany w wyniku procedury modelowania asymp- totycznego

Fig. 2. Distribution of displacement ¿ eld w₂ obtained by the asymptotic modeliing procedure

2. Rozwiązanie dla Ȝ_R  Ȝ_M

ZaáóĪmy, Īe Ȝ_M = 0,128, ȝ_M = 0,055, Ȝ_R = 0,5035, ȝ_R = 0,2594. Rozwiązanie na ^w2

( )

^⋅

otrzymane w wyniku procedury modelowania asymptotycznego moĪe byü przedstawione w postaci w₂ § u₂, gdzie u₂ wynosi:

( ) ( )

( )

2 2

2

2

0,02215 160, 46 ln 112,1 37 366 272,56 ln 112,1 96 829 104,72

u x x

x

= − ⋅ −ª¬ − +

ª− + º−

¬ ¼

(9)

Rozkáad przemieszczenia ^w2

( )

^⋅ w ramach pojedynczej warstwy zostaá przedstawiony na rysunku 3.

–

0 0,5 1 1,5 2

0 50 100 150 200

x² w2

Rys. 3. Rozkáad pola przemieszczenia w₂ otrzymanego w ramach modelowania asymptotyczne- go dla pojedynczej warstwy kompozytu

Fig. 3. Distribution of displacement ¿ eld w₂ obtained under the asymptotic modeliing for a sin- gle layer of composite

Natomiast skáadowa pola przemieszczenia ^w1

( )

^⋅ otrzymana w ramach modelowania asymptotycznego jest przybliĪona przez hM˜₂u₂, gdzie M jest przedstawione w postaci zaleĪnoĞci (8), a:

( )

2

2 2 2 2 2 5

9,5914 1057,6 530, 45 2,8792 10 u x

x x

∂ = +

+ − ⋅ (10)

Na rysunku 4 przedstawiono rozkáad skáadowej pola przemieszczenia ^w1

( )

^{⋅ w obrĊ-}

bie jednej warstwy dla wartoĞci x², wynoszącej odpowiednio: 10, 100, 190. Natomiast na rysunkach 5 i 6 przedstawiono rozkáad pola przemieszczenia ^w1

( )

^⋅ w obrĊbie caáej jednej warstwy.

Rys. 4. Rozkáad pola przemieszczenia ^w1( )⋅ w pojedynczej warstwie kompozytu dla x² = 10, 100, 190

Fig. 4. Distribution of the displacement ¿ eld ^w1( )⋅ in a single layer for x² = 10, 100, 190 NaleĪy pamiĊtaü, Īe rozkáad przemieszczenia w przekroju rozpatrywanej przegrody dla x³ = 0 jest taki sam w kaĪdej z rozpatrywanych warstw.

Rys. 5. Rozkáad pola przemieszczenia w1( )⋅ dla pojedynczej warstwy kompozytu Fig. 5. Distribution of the displacement ¿ eld ^w1( )^⋅ for a single layer of composite

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

-0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

Rys. 6. Rozkáad przemieszczenia w1( )⋅ dla pojedynczej warstwy kompozytu Fig. 6. Distribution of the displacement ¿ eld w1( )⋅ for a single layer of the composite

EFEKT WARSTWY BRZEGOWEJ

Z postaci otrzymanych rozwiązaĔ wynika, Īe w przypadku gdy Ȝ_R = Ȝ_M, rozwiązanie na ^w1

( )

^⋅ otrzymane w ramach modelowania asymptotycznego speánia warunek brzegowy na brzegach ī:

(

^0,

) { }

⁰

(

^0,

) { }

^{0 H}

ī= L × × ∪R L × H × =R ī ∪ī (11) Natomiast w przypadku gdy Ȝ_R  Ȝ_M , rozwiązanie na ^w1

( )

^⋅ otrzymane w ramach mo- delowania asymptotycznego nie speánia warunków brzegowych na brzegach ī opisanych zaleĪnoĞcią (11).

Aby rozwiązanie na ^w1

( )

^⋅ speániaáo warunki brzegowe na ī, poszukujemy go w po- staci ^{w1( )2}

( )

^⋅ [WoĨniak 2010]:

( )²

1 1 1 2 2 1

w =w +h q =h M∂ u +h q (12) gdzie: ^u2

( )

^⋅ – rozwiązanie otrzymane w ramach procesu modelowania asymptotycznego,

^h

( )

^⋅ – dana (z metody asymptotycznej) À uktuacyjna funkcja ksztaátu.

Nieznane pole ^q1

( )

^⋅ wyznaczamy z równania tzw. efektu warstwy brzegowej, otrzy- manego w ramach procesu modelowania tolerancyjnego [WoĨniak 2010].

WprowadĨmy wspóárzĊdną ȟ, która jest prostopadáa do brzegów ī₀ i ī_H oraz jest skie- rowana do wnĊtrza kompozytu (rys. 7).

Rys. 7. Przekrój kompozytu dla x³ = 0 z nowymi wspóárzĊdnymi ȟ Fig. 7. A cross section of composite for x³ = 0 with the new coordinate ȟ

Równanie efektu warstwy brzegowej na nieznane pole ^q1

( )

^⋅ [WoĨniak 2010] przyj- muje postaü:

(

^{2ȝ Ȝ h q ,+}

)

^{2 1ȟȟ−}

( )

^{h,1 2ȝ q1=0} (13) gdzie ^q1

( )

^⋅ speánia warunki brzegowe odpowiednio dla warstwy przylegającej do ī₀ i ī_H:

1 _ī0 2 2 _ī0 i 1 _īH 2 2 _īH

q = − ∂M u q = − ∂M u (14)

Oznaczmy:

( )

^{2 2}

0 2 2

A ≡ μ λ+ h =η12 μ λ+

(15)

( )

²

0 ,1

R M

M R

R M

B μ h μ ν μ ν

ν ν

≡ = +

wtedy równanie (13) moĪna przedstawiü jako:

0 1, 0 1 0

A q_ξξ +B q = (16) WystĊpujące w równaniu (13) wielkoĞci A₀ i B₀ zaleĪą od x², a wiĊc od zmiennej ȟ (w pobliĪu ^{Γ0:x2 =ξ ξ,}

(

^=x2

)

^{, ΓH:x2= −ξ ξ,}

(

^{=H x− 2}

)

^,). Równanie (13) jest wiĊc równaniem róĪniczkowym liniowym o funkcyjnych wspóáczynnikach. NaleĪy pamiĊtaü, Īe wspóáczynniki te są wielkoĞciami, które bardzo wolno zmieniają swoje wartoĞci wzglĊ- dem zmiennej x². Dotychczasowe wyniki badaĔ dotyczące efektu warstwy brzegowej wy- kazaáy, Īe jego zasiĊg jest bardzo maáy w porównaniu z wymiarem charakterystycznym ciaáa. W związku z tym moĪemy wartoĞci wspóáczynników A₀ i B₀ w dostatecznie maáym otoczeniu ī₀ i ī_H przybliĪyü przez wartoĞci staáe. Przyjmujemy je odpowiednio przez wartoĞci dla x² = 0 w otoczeniu ī₀ i x² = H w otoczeniu ī_H i oznaczamy odpowiednio:

( ) ( )

0

0 0 0 , 0^H 0

A =A A =A H

(17)

( ) ( )

0

0 0 0 , 0^H 0

B =B B =B H

ZastĊpując zmienne wielkoĞci A₀ i B₀ w równaniu (16) odpowiednio przez A₀⁰ i B₀⁰ w warstwie przylegającej do brzegu ī₀ oraz A₀^H i B₀^H w warstwie przylegającej do brze- gu ī_H, otrzymujemy równania róĪniczkowe na q₁(ȟ) o staáych wspóáczynnikach. Po roz- wiązaniu tego równania otrzymujemy, Īe pole przemieszczenia ^{w1( )2}

( )

^⋅ moĪe byü aprok- symowane w obszarze warstwy brzegowej w postaci:

w obszarze przylegającym do ī₀ (ȟ = x²)

( )

^{( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

2 1 2 2 2

1 1 2 2

0

1 1 0 2

2 2 0

0

x , x

3 , 0 0 , 0 exp 2

w w h x x M x u

h x M u x B x

Ș A

≈ = ∂ −

§ ·

¨ ¸

− ∂ ¨©− ¸¹

(18a)

w obszarze przylegającym do ī_H (ȟ = H – x²)

( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ( )

2 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 0 2

2 2

0

x ,

3

, 0 , exp 2

H H

w w h x x M x u x

h x M H u x H B H – x

Ș A

≈ = ∂ −

§ ·

¨ ¸

− ∂ ¨©− ¸¹

(18b) –

–

Z postaci otrzymanych rozwiązaĔ wynika, Īe wraz z oddalaniem siĊ od brzegu ī₀ i ī_H skáadnik otrzymany w wyniku rozwiązania efektu warstwy brzegowej zanika. Rysunki 8 i 9 przedstawiają rozwiązania na ^{w1( )2}

( )

^⋅ w obrĊbie jednej warstwy. NaleĪy pamiĊtaü, Īe przy zaáoĪonych warunkach brzegowych rozkáad przemieszczeĔ w obrĊbie wszystkich warstw jest taki sam.

Rys. 8. Rozkáad pola przemieszczenia w1( )⋅ z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej w po- jedynczej warstwie

Fig. 8. Distribution of the displacement ¿ eld w1( )⋅ taking into account the effect of boundary layers in a single layer

0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 7 12 17 40 90140190 2 1,5 10,5 0 -0,001

-0,0008 -0,0006 -0,0004 -0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001

Rys. 9. Fragment rozkáadu w1( )⋅ z uwzglĊdnieniem efektu warstwy brzegowej w pojedynczej warstwie

Fig. 9. Fragment of distribution of ^w1( )^⋅ including the effect boundary of layer

WNIOSKI

1. Rozwiązanie na pole przemieszczenia ^w1

( )

^{⋅ dla Ȝ}R = Ȝ_M otrzymane w ramach modelowania asymptotycznego speánia warunek brzegowy na brzegach przecinających uwarstwienie.

2. Rozwiązanie na ^w1

( )

^{⋅ dla Ȝ}R  Ȝ_M otrzymane w ramach modelowania asymptotycz- nego nie speánia warunków brzegowych na brzegach przecinających warstwy.

3. W wyniku zastosowania równaĔ tzw. efektu warstwy brzegowej dla Ȝ_R  Ȝ_M otrzy- mane rozwiązania na pole przemieszczenia ^w1

( )

^⋅ speániają warunki brzegowe na brze- gach przecinających uwarstwienie. Efekt warstwy brzegowej zanika wraz z oddalaniem siĊ od brzegu.

4. Na zasiĊg efektu warstwy brzegowej wpáywa rodzaj materiaáów, z jakich zbudowa- na jest przegroda – im bardziej róĪnią siĊ one wáasnoĞciami materiaáowymi, tym zasiĊg ten jest wiĊkszy.

PIĝMIENNICTWO

Wągrowska M., Witkowska-Dobrev J., 2010. Wpáyw struktury gradientowej na wáasnoĞci sprĊĪy- ste kompozytów warstwowych. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9 (4), 5–13.

WoĨniak Cz. 2010. Asymptotic Modelling and Boundary – Layer Effect for Functionally Graded Microlayered Composites. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9 (2), 3–9.

WoĨniak Cz., Michalak B., JĊdrysiak J., 2008. Thermomechanics of Het erogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

WoĨniak Cz. et al., 2010. Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Mi- crosrtructured Media. Professor Margaret WoĨniak pro Memoria. Wydawnictwo Poli- techniki ĝląskiej, Gliwice.

EFFECT OF BOUNDARY LAYER IN A WALL WITH LONGITUDINAL GRADATION OF EFFECTIVE PROPERTIES

Abstract. The boundary layer effect for multilayered wall with longitudinal gradation of effective properties was investigated. The consideration was reduce to the one dimensional stationary problem. This wall was made of two isotropic, homogeneous and linear elastic components.

Key words: functional gradation of the material properties, asymptotic modelling, boun- dary layer effect

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 20.09.2011