Wprowadzenie do fizyki

Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część 1a

Dynamika punktu

materialnego w jednym

wymiarze

Dynamika punktu

materialnego w R

cz. a Slajd podsumowania

1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R1 1.2 Pochodna funkcji f(t)

1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t) 1.4 Antypochodna = całka nieoznaczona 1.5 Pochodna funkcji złożonej

1.6 Zasada zachowania energii

Koniec pokazu

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

Czas

Chronos

Tempus

Od 13 października 1967 roku, jego wzorzec, sekunda jest zdefiniowana następująco:

Jedna sekunda to trwanie 9 192 631 770 okresów fali

elektromagnetycznej emitowanej lub absorbowanej przez atom cezu o

liczbie masowej 133.

1 attosekunda

Ultrakrótkie impulsy laserowe – kilka attosekund 1 femtosekunda (procesy biologiczne, chemia)

Czas oddziaływania światła z siatkówką oka człowieka ~200 fs.

1 pikosekunda

Najszybsze tranzystory pracują w zakresie pikosekund.

1 nanosekunda

Mikroprocesor wewnątrz współczesnego

komputera w ciągu kilku nanosekund wykonuje

1 sekunda

Czas trwania jednego uderzenia serca człowieka, oraz 1 sekunda = czas trwania 9 192 631 770

okresów promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez atom cezu.

1 minuta

Światło przebiega odległość Słońce – Ziemia w ciągu 8. minut.

1 godzina

Światło z Plutona (ostatniej planety w naszym układzie słonecznym) dociera do Ziemi w ciągu 5 godzin 20 minut.

1 dzień

1 obrót Ziemi trwa: 23 h 56’ 41”.

Ziemia zwalnia ze względu na grawitacyjne oddziaływanie Księżyca.

1 rok

Ziemia wykonuje 1 okres obiegu wokół Słońca i obraca się wokół osi 365,25 razy.

~10¹⁰ lat

Wiek naszego Wszechświata

1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R

    ^{t f t d bt ht}

^pt

^,

s     

gdzie t jest czasem mierzonym przez zegarki. Jest to czas eksperymentu fizycznego (chronos).

Jak zmieni się funkcja f(t) po upływie Rozważmy funkcję

   

 ^{t t}   ^{h t t} 

^p  ^{t t} 

^.

b d

t t

f t

t s

































   

     

   





2

3 3 2 2

3

2 2 2

t t

t t

t t

t p

t

t t

t t t

h t

t t

t b d

d

t

t s t

t s t

s















 









 











 

 





 





A zatem:

   

 

 ^{3 t}

^{2 3 t t}   ^t

 ^.

p

t t

h b

t

t s t

t v

s





















 





 

Definiujemy nowe pojęcie – prędkość średnia v_śr:

Gdy  t0

    _.

t

t s t

t v

s







 

. 3

2 th t

p b

v   

W granicy  t0, v_śrv, gdzie v oznacza prędkość.

. 3

2 th t

p b

v

  

   

   

 



  

2

3 2

3 2

2 2 2

2 2

t

t t

t t t

p t

t t

h b

b

t

p t ht

b t

t t

p h

t t

b

t

t v t

t v a_śr























 

 



 













 

 





 



 ²  ^.

3

2 h p t t

a    

Definiujemy nowe pojęcie – przyśpieszenie średnie a_śr:

. 6

2 h pt a  

W granicy

gdzie a z definicji jest przyśpieszeniem:

, ,

0







a. Ruch ze stałym przyśpieszeniem

. , 2

, 2

gt b

v

ht b

v

h g

a













, 6

2 h pt g

a   

Rozważmy ruchy odbywające się ze

stałym przyśpieszeniem a = stałe  g,

a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd

 ^{t 0}  ^{b v}

^,

v   











t gt v

d s

gt v

v

2 , ,

2 0

0

Wybieramy chwilę początkową ruchu t = 0,

Stąd:

 ^{t 0}  ^s

^{d .}

s   

2 . ,

2 0

0 0

t gt v

s s

gt v

v g











 stałe,

(1) W chwili t = 0

Zastosowanie wzoru (1)

1. Spadek w polu grawitacyjnym:

Ziemi g_Z=9.81 m s^-2, Marsa g_M=3.7 m s^-2.

2. Ruch w stałym polu elektrycznym o natężeniu E:

g_El=qE/m,

q = ładunek ciała,

http://pds.jpl.nasa.gov/planets/

Albo bałtycka plaża?

http://pds.jpl.nasa.gov/planets/ tralnej części Marsa widoczna jest „rana” o itej długości około 5000 km i głębokości 7 km.

1.2 Pochodna funkcji f(t)

       

, ,

t

t f t

t f t

s t

t f

t f s







 



 







   

dt  

t df dt

t

ds   pochodna

W granicy ^{t  0}

   

   

. .

dt t s t d

v

dt t t ds

v

  

 Ogólnie

  _t ^{d v}   ^t _.

a 

 

s(t) = trajektoria ruchu ciała o masie m.

Definicja prędkości:

Definicja przyśpieszenia:

1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)

.

, g

a

gt v

v







Wykazaliśmy już, że:

Wszystko w porządku!

   

   

. lim

lim

lim

0

0 0

0

0

t g t g

t

gt v

t t

g v

t

t v t

t v dt

a dv

t t

t

 

 

 









 

 





 















Teraz, znając definicję pochodnej sprawdzimy wzór (3).

Niech teraz f(t) ma następującą postać:

     

sin . sin

cos cos

lim sin

sin lim sin

, sin

0 0

t

t t

t t

t

t

t t

t dt

t df

t t

f

t t









 

 





 











 

. sin cos

, sin cos

cos lim sin

sin

0

t t d

t t

t t

t t

dt t d

t



 





 





więc

a

  ^g   ^{t ,}

dt t

df 

  ^{t }  ^g   ^{t dt}

F

g (t)  pochodna funkcji f(t) względem zmiennej niezależnej t

 całka

nieoznaczona

1.4 Antypochodna = całka

nieoznaczona

Stała, niezależna od t 0

f(t) = b

n t

t

-sin t cos t

cos t sin t

Pochodna Funkcja

Tabela 1

Pożyteczne wzory

(do sprawdzenia)

Tabela 2

Całki

sin t

a = stała

Całka f (t) Funkcja g(t)

 

g dt a

t df

at adt

t f











) bo (

 

 ^t

t d

t t

t f















 

cos sin

cos sin

bo

1.5 Pochodna funkcji złożonej

     ^{ } 

 

, sin

sin

2

2

t t

g

t g t

t f







Niech f(t) ma postać:

 

 

  ^{ }

    ^{ }

  ^{ }   ^{ }  

 

^

^

 

lim cos

sin 2

sin cos

2 cos lim sin

sin 2

lim sin

sin lim sin

2 2

2 2

2 0

2 2 2

0

2 2 0

t t t

t t

t

t t

t t

t t t

t

t t

t t t

t

t t

t dt

t df

t t t

 



 







 

 









 

 





 















       

      ^cos   ^{2 .}

, sin

sin

2 2

t dt t

t g df

dt t df

t t

g t

f











Ważny wzór (do zapamiętania!)

      _.

dt t dg dg

df dt

t g

df 

Tabela 3

Sprawdzamy nasze umiejętności

a cos at sin at

-2t sin(t

) cos(t

)

2t cos(t

) sin (t

)

pochodna funkcja

1.6 Zasada zachowania energii

Fizycy szukają ważnych zasad, których

przestrzeganie ułatwia zrozumienie otaczającego świata.

Dla przypomnienia:

   

  ^   



. ,

dx x

g x

f

x dx g

x

df

Druga zasada dynamiki (R

)

  ^{x ma}   ^{x ,}

F 

   

 

2

1 ²

dx x dv

dx v dv

dt dx dx

dv dt

x x dv

a











   

2 x dv x

dv 

Korzystamy ze wzoru (4).

      ^,

2

1

x dx v

m d x

F 

m = stałe,

   

2 .

2

x dx mv

dx dx d

x

F 



 



 

Praca elementarna na drodze dx

   

2

2

x dx mv

dx dx d

x

F





Suma prac elementarnych

a b

F(x)

Obliczamy sumę (całkę) prac elementarnych.

Niech F(x) = c = stała.

  ^{ }

. b-a c

a b

c x

c

cdx ^b_a

b

a

i bokach o

ta ą prostok

 pole









F(x)

x

a b-a b

c c

c

A teraz niech F(x) = x.





 



 



 



b

a b

a 2 2 2

2 2

2

F(x)

a b x

a

b F(b)=b

F(a)=a

Wniosek

 



 



 

F ^b_a

b

a

krzywą”

„pod

 pole



a b

F(x)

F(x)

x



 



A więc

    _,

2



 ^

^ _ ^{ } _ ^

a b

a

x dx mv

dx dx d

x F

     

2 . 2

2

2

b mv a

dx mv x

F

b

a



 

Jest to prawo zachowania energii w R

.

Siły potencjalne

Przypuśćmy, że istnieje taka funkcja V(x), że spełniony jest wzór:

   

dx . x x dV

F  

Mamy więc:

     

   

     

, a T

b T

a V

b V

a T

b T

dx dx x

b dV

a

kin kin

kin kin

















czyli

  ^{b V}   ^{b T}   ^{a V}   ^{a .}

T

 



Praca siły potencjalnej na odcinku drogi (a, b) równa się zmianie

energii kinetycznej na tym odcinku^. F(x)

a b ^x

  ^{x T}   ^{x E ,}

V 



gdzie E = suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.

1.7 Zasada zachowania pędu

 

stała.

dynamiki Zasada

III













2 2 1

1

21 12

2 2 1

1

0 ,

v m v

m

F F

v m v

dt m d





 







 



A więc:

Suma pędów jest wielkością stałą (niezależną od czasu), gdy działają tylko siły wewnętrzne.

To jest ostatni slajd pierwszej części rozdziału „Ruch punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.

Możesz:

•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,

•wrócić do materiału tego rozdziału,

•zakończyć pokaz.

Spis treści

Koniec pokazu