Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część druga
Dynamika
punktu materialnego
w trzech wymiarach
Dynamika punktu materialnego w R
3Slajd podsumowania
2.1 Elementy rachunku wektorowego 2.2 Siły separowalne
2.3 Rzut ukośny
2.4 Ruch jednostajny po okręgu 2.5 Wnioski
2.6 Ruch cząstki naładowanej w polu elektromagnetycznym
Koniec pokazu
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
2.1 Elementy rachunku wektorowego
Wektor trzy liczby (1, 2, 3)
y x
z
2 1
3
1. Dodawanie wektorów jest przemienne.
. A B
B
A
2. Dodawanie wektorów jest łączne.
B C A B C .
A
3. Mnożenie wektorów
Iloczyn skalarny
liczba).
( ,
cos
B A
B
A
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest przemienny.
A
A B
B =
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
A B
B A
C
ˆ . sin
A B A B e
C
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny.
. A B
B
A
B
A
A B
C
. C C
k
j
e jednostkow wektory
1 , 0 , 0
0 , 1 , 0
0 , 0 , 1
k j i
. .
. 0 ,
0 ,
1
,
2 2 2
2
Ay Az A
Ax A
A
B A B
A B
A
B k B
j B
i
A k A
j A
i B
A
k j
j i
i i
k V j
V i
V V
z z y
y x
x
z y
x
z y
x
z y
x
..
.
2 2
2 2 12
z y
x z
y
x jA kA i B jB kB
A i B
A C
Az Ay
Ax A
A A
A
długość wektora
j
i
k
. 0
, ,
i i
k i
j
k j
i
.
y x
y x
z x
z x
z y
z y
z y
x
z y
x
x y y
x z
x x
z y
z z
y
y z x
z z
y
x y z
x y
x
B B
A k A
B B
A j A
B B
A i A
B B
B
A A
A
k j
i
B A B
A k B
A B
A j B
A B
A i
B A i B
A j B
A i
B A k B
A j B
A k C
Przykłady:
Rozważmy dwa wektory:
2 , 5 , 4 1 , 0 , 0 .
B
A
i
Iloczyn wektorowy
, 25 16
, 5 4
, 5 4
0
0 0
1
4 5
2
C C
k j
C
k j
i
k j
i B
A C
Iloczyn skalarny
. 16 1
25 4
4 25
cos 16 sin
1 , 16
25 4
cos 2
, 2
2
2
B A
1. 16 25
4
25 sin 16
A B C
2.2 Siły separowalne
Ogólna postać II zasady dynamiki Newtona
, , , , , , , , , , , , . ,
, ,
, ,
, ,
,
t v
v v
z y
x F
z m
t v
v v
z y
x F
y m
t v
v v
z y
x F
x m
z y
x z
z y
x y
z y
x x
2.2.1 Druga zasada dynamiki w przypadku sił separowalnych
Definicja siły separowalnej:
, , .
, ,
,
, ,
,
t v
z F
F
t v
y F
F
t v
x F
F
z z
z
y y
y
x x
x
Stąd
, , , , .
, ,
, ,
,
, ,
, ,
,
t z z
F t
v z
F z
m
t y y
F t
v y
F y
m
t x x
F t
v x
F x
m
z z
z
y y
y
x x
x
Przykład:
Swobodny oscylator harmoniczny w R
3. , , z k
z m
y k
y m
x k
x m
z y x
Rozwiązanie układu równań dla swobodnego oscylatora harmonicznego w R3:
; .
cos
;
; cos
;
; cos
12 12 12
t k C
z
m t k
B y
m t k
A x
z z z
y y
y
x x x
Jeżeli wartości są liczbami współmiernymi tzn. spełniają warunek:x y z
, ,
naturalne, liczby
gdzie
x y zz z y
y x
x
n n
n
n n
n
, ,
,
to trajektoria punktu materialnego o masie m jest linią zamkniętą.
Przykład:
Figury Lissajou
Figury Lissajou są opisywane za pomocą wzorów:
. ,
0 ,
0
, cos
, cos
y y x
x
y x
n z n
C
t B
y t
A x
Przykład:
Izotropowy oscylator harmoniczny w R
3
.
cos ,
, cos
,
, cos
, ,
t C
z kz
z m
t B
y ky
y m
t A
x kx
x m
r k r
m
Ruch izotropowego oscylatora harmonicznego w R3 jest ruchem płaskim.
2.3 Rzut ukośny
.2 2 ,
2 sin 2 ,
, ,
2 0
2
0 2 0
0 0
2 0 0
0 0
0 0
x x y y
x
y x y
x x
y y
v gx v
x y v
t gt v
y
t v x
g v
g v x v
g t v
v v
gt v
v
max
vy
vx
v0x
v0y
v0
.
2
22
v xtg gx
y
2.4 Ruch jednostajny po okręgu
. cos
, sin
, sin
, cos
y x
dt v r d
dt dy
dt v r d
dt dx
r y
r x
yr x
const.
dt : d ożenie
Zał
2 . 2 2
2 2
2 2 2
2 2
cos sin
, sin
cos
y x
dt a d dt
r d dt
y d
dt a r d
dt r d
dt
x
d
2.5 Wnioski
. sin
, cos
, 0
2 2 2
2
dt r d
a
dt r d
a dt d
y x
Wniosek 1
.
2
r r r
m v a
m
F
r
.
,
2 2
2 2
2
dt r d
v v
v
dt r d
a a
a
y x
y x
r
Siła dośrodkowa:
.
,
,
2 22 2 2
2
dt d
dt y y x d
dt x d
Wniosek 2
Siła dośrodkowa jest siłą centralną.
Wniosek 3
Ruch pod wpływem siły dośrodkowej jest
ruchem periodycznym o prędkości kątowej .
2.6 Ruch cząstki naładowanej
w polu elektromagnetycznym
. B v
q E
q
F
Siła Lorentza:
Równanie ruchu cząstki
y
z
0
E
k B B
B
.
, ,
,
2 2
2 2
2 2
2 2
k B
v dt q
z m d
j B
v dt q
y m d
i B
v dt q
x m d
B v
q E
dt q r m d
z x x z
x y y y .
y z
z y z
y x
z y
x
B v
B v
k B
v B
v j
B v
B v
i B
B B
v v
v
k j
i B
v
0
, 0
, ,
2 2 2
2 2
2 2
z m d
B v
B v
dt q z m d
Bq v
B v
B v
dt q y m d
Bq v
B v
B v
dt q x m d
x y
y x
x z
x x
z
y y
z z
y
. ,
2 2
2 2
Bq dt v
y m d
Bq dt v
x m d
x y
0 .
0 v t
z
z z
. ,
2 2
2 2
dt Bq dx dt
y m d
dt Bq dy dt
x m d
. ,
2 2
2 2
dt dx m
Bq dt
y d
dt dy m
Bq dt
x d
.
2
0
2
2
dt
d
.
, 0 , ,
,
2 3
3 3 3
2 2 3
3
2 2 3
3
dx
dt dx m
Bq dt
x d
dt dx m
Bq m
Bq dt
x d
dt x d
m Bq dt
y d
dt y d
m Bq dt
x d
.
,
2 3
3
dt dy
dt dy m
Bq dt
y d
. 0
2 2
2
m Bq dt
d
x
y
sin . cos ,
, cos
, sin
, 0
, 0 0
0 0
0 0 0
0 0
t x dt v
x
t y dt v
y
v t
v
v t
v v
x y
0
2 0
2 022.
x v
x y
y
x0, y0
r y
. x
0r v
.
cos , sin ,
0 0
0 0
0 0
t v z
z
t y v
y
t x x v
x
y z
To jest ostatni slajd rozdziału „Ruch punktu materialnego w przestrzeni trójwymiarowej”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału w tym rozdziale,
•zakończyć pokaz
Spis treści
Koniec pokazu
