Wprowadzenie do fizyki

Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Część 6b

Wstęp do

Szczególnej Teorii

Względności

6.3 Doświadczenie Bucherera.

6.4 Transformacja H. Lorenza.

6.5 Składanie prędkości.

6.6 Równoczesność zjawisk fizycznych.

6.7 Struktura czasoprzestrzeni.

6.8 Istota Szczególnej Teorii Względności.

6.9 Doświadczenie W. Bertozziego.

6.10 Własności cząstek relatywistycznych.

6.11 Własności fotonu, elektronu, protonu.

Wstęp do Szczególnej Teorii Względności cz. b

Slajd podsumowania

pokazu

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

6.3 Doświadczenie Bucherera

Wniosek:

e/m zależy od prędkości elektronów.

B 

Filtr

prędkości v₁

e/m₁ e/m₂

cząstki, zna

wewnętr energia

m

cząstki,

masa stałe

stałe,

def 0

def





















2 2 2

2

2 2 0

2 0 2

1 1

1

c mc v

c

c m v

m

c m v

e m

e

(m i c nie zależą od inercyjnego układu odniesienia).

.

1

2 2 0

c v c E

m





Energia całkowita cząstki o masie m_0:

Nowe jednostki energii wewnętrznej i masy cząstek:

1eV=1.6 10^-12 erg,

1MeV=10⁶ eV=1.6 10^-6 erg, 1GeV= 10⁹ eV=1.6 10^-3 erg, 1TeV=10¹²eV=1.6 erg.

 

1

51 .

0 1836

1836

10 51

10 99

81

10 11

. 9

4 8

28 2 2

0

E E

c m E

W W















































GeV, E

MeV, 939.2

MeV E

MeV, 0.51

eV erg

cm/s 10

3 g

proton W

elektron proton

W

10 elektron

Masy cząstek elementarnych Nowe jednostki

Cząstka/jądro

atomowe Masa, m₀

Elektron 0.51 MeV/c²

Proton 938 MeV/c²

Tlen O¹⁶ ~16x1 GeV/c²

=16 GeV/c² Złoto Au¹⁹⁷ ~200 GeV/c²

a. Czas życia cząstek elementarnych jest różny

w różnych układach odniesienia.

b. Nietrwała cząstka - mezon mi, żyje w laboratorium 2  s=2 10^-6s.

d>10km

Powierzchnia Ziemi

Cząstki  są produkowane na przykład w centrum Słońca i w zderzeniach cząstek elementarnych w górnych warstwach atmosfery Ziemi.

Opis nierelatywistyczny:

l - droga przebyta przez mezon 

l = 2 · 10^-6 s ·3 ·10⁵ km/s=0.6 km,

ld. Nie możemy obserwować mezonów

na powierzchni Ziemi.

Wnioski z doświadczenia

a. Mezony  dla obserwatora na powierzchni Ziemi muszą żyć znacznie dłużej.

 t’ = czas życia mezonów  w ich własnym układzie odniesienia,

 t = czas życia mezonów  dla obserwatora na powierzchni Ziemi,

. t

t   



. 1

,



 







 t t

Nazywamy to zjawisko „dylatacja” czasu -

„rozciągnięcie czasu”.

Mamy więc:

. 1

1

2



 



 



c V



1 .

2 t

t  V  



b.  jest funkcją v prędkości mezonów 

Idealną zgodność otrzymamy gdy przyjmiemy:

c. Zegary poruszające się z różnymi

prędkościami odmierzają różny czas.

6.4 Transformacja H. Lorentza

  ^{ ,  } _ ^{   }

_ ^{ .}

 c

V t x

x t

f

t  

t

x

t’

 x’

V

, ' ,

'

t t

t t

















. ' , 't x g   x

Dla mezonu  spoczywającego w układzie (t’, x’), x’= 0.

Stąd

 

 ^{x x Vt V t}  ^{x Vt .}

x

 



 



 

 







. Vt x

x   

Dla małych prędkości mezonu , V/c<<1

Jest to transformacja Galileusza.

 

.

,

2

,

t t

t V x

x

c

x t V

t

 

 

 

 

 



 

 







Transformacja H. Lorentza

6.5 Składanie prędkości

t’

t

x x’

V v’

Rozważamy dwa układy odniesienia:

Ile wynosi prędkość cząstki o masie m w układzie (x, t)?

 

. 1

1

, ,

2

2

V

t V x

x

c x t V

t





 

 

 

 



 

 









Transformacja Poincaré-Lorentza

    ^.

, 1

,

2 2

V v

t t

V t

v x

c v t V

c t v t V

t

t v x

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 



  

 





 











Równanie ruchu punktu materialnego w układzie (x’,t’):

 

, 1

lim

,

, 1

2 0

2

c v V

V v

t v x

V v

t x

c v t V

t

t





 

 

 

 

 





 

 



 

 















. 1 V v

V

v v 



 



T. Alväger et al.,

Physics Letters, 12, (1964) 260,

„Test of the second postulate of special relativity in the GeV region (CERN)”.

Postulat STW:

Prędkość światła nie zależy od prędkości źródła.

Relatywistyczny wzór na dodawanie prędkości:

.

1

c vV

V v v



 



, ,

1

, 1

, ,

,

, 99975 ,

0 ,

2 2

0

0













 





 



 



 

 

 







V c c

kV kV V

c c

V V kV c

c

c cV

V kV c

c c

kV c

c c

v c

v

c V









Wynik eksperymentu przeprowadzonego w CERN:

k = 10^-5 (STW, k = 0).

K. Brecher,

„Is the speed of light independent of the velocity of the source?”

Phys. Rev. Lett., 39, (1977), 1051.

) 0 ,

( ,

10 2

,  





  c kv k

k

c STW

Podwójny układ gwiazd (A+B)

Gdy k  0, obserwator na Ziemi widzi jednocześnie dwa obrazy

A B

c+kv 1

2

v c

Środek masy

6.6. Równoczesność zjawisk fizycznych

     

^.

2

ct x c t

x     

  ^{ x}

^{ c}

    ^{ t}

^{  x }

^{ c}   ^{ t }

^.

Przede wszystkim zauważymy, że

Dokładniej:

Wniosek 1

 ^{ x} 

^{ c}

  ^{ t}

Wyrażenie, interwał czasowy

ma taką samą wartość we wszystkich układach odniesienia.

Wniosek 2

     

     

. ,

2

2 2 2

2 2 2

2

c

x t x

x t

c x

 



 



 









Dwa zjawiska równoczesne w układzie (x’,t’) nie są równoczesne w układzie (x,t).

 

 

  ^{, ,}

,

2 1

2 1

2 2

1 1



 

 



 



 







x x

x x

Vt x

x

Vt x

x

W układzie (x’,t’) poruszającym się z prędkością V, pręt ma długość l’.

Jaką długość ten pręt ma w układzie spoczywającym (x,t)?

. 1

, 1

2 2 2

2 2

1

c l V

l

c l V

x x

 



 





Prędkość c jest maksymalną wartością prędkości.

6.7 Struktura czasoprzestrzeni

(C. H. Hinton, 1887, H. Minkowski 1908)

Definicje:

1. Zdarzenie - zjawisko fizyczne odbywające się w krótkim odstępie czasu i zajmujące

nieskończenie małą część przestrzeni - punkt świata.

2. Linia świata - linia łącząca punkty świata, na przykład cząstki elementarne.

3. Czasoprzestrzeń - zbiór wszystkich punktów świata.

Ruch mezonu  w czasoprzestrzeni (Hinton, 1887)

Ruch mezonu  po okręgu w przestrzeni

x y

µ

Ruch jednostajny prostoliniowy w czasoprzestrzeni (1+1)

x

t v małe

v duże

v .

t  x

STW

v  c

t

x

przyszłość

y

v < c

v = c v = -c

linia świata światła linie świata cząstek

leżą wewnątrz

i na brzegu stożka

stożek światła przeszłość

Wszystkie informacje przekazywane są z prędkościami mniejszymi lub równymi prędkości światła.

Stąd wszystkie linie świata leżą wewnątrz stożków światła.

x

ct x=ct

x=-ct

Czasoprzestrzeń składa się ze:

• światła,

• punktów świata,

• linii świata,

• świadomości.

6.8 Istota Szczególnej Teorii Względności

I. Transformacja Lorentza

   













 



 

 



 

 

 

 















 

 

 



 

 

 

2 2

, , ,

,

c z t V

t

t V z

z

y y

x x

c t Vz t

Vt z

z

y y

x x









Opisuje w sposób symetryczny (tylko ze zmianą kierunku wektora ) związek między

obserwatorem znajdującym się w inercyjnym układzie (x, y, z, t) i obserwatorem znajdującym się w inercyjnym układzie (x’, y’, z’, t’).

II. Wszystkie prawa fizyki wyglądają tak samo w obu układach inercyjnych.

III. „Primowany” układ współrzędnych jest

„naturalnym” układem odniesienia dla

obserwatora, który poruszając się z prędkością V (względem układu nieprimowanego) uważa się za obserwatora nieruchomego.

V

IV. Dla każdego wybranego układu

współrzędnych (x,y,z,t) istnieje odpowiadający mu „primowany” układ współrzędnych

(x’,y’,z’,t’) będący w ruchu względem (x,y,z,t).

Układ „primowany” wykazuje skrócenie Lorentza oraz dylatację czasu Larmora.

Przykłady zastosowania własności I-IV

1. Rozważmy w układzie (x,y,z,t) zbiornik z

gazami o bokach z =  ^L/₂. Ten sam zbiornik w układzie (x’,y’,z’,t’) poruszającym się z

Korzystając ze wzorów (1) otrzymujemy:

 

2 , 2 ,

Vt L z

Vt L z

z













 





.

2 1

2

c V Vt L

z   

Wniosek

Zbiornik porusza się w układzie (x,y,z,t) z prędkością V wzdłuż osi z i jest „węższy”

(skrócenie Fitzgeralda^*).

2. Rozważmy cząstkę (mion, ) przelatującą przez punkt (x₁, y₁, z₁) w chwilach t₁ i t₂.

V



(t₁, t₂ = t+T)

*Fizyk irlandzki George Francis Fitzgerald publikuje w 1889 r. w Science artykuł, w którym stwierdza: każde ciało poruszające się z prędkością V ulega skróceniu w

To samo zdarzenie w układzie

(x₁’, y₁’, z₁’) (w którym  spoczywa) ma miejsce w chwilach t’= t₁, t₂+T’.

Przy tym:

   

. ,

; ,

; ,

2 2 1

2 1 1

2 1

2 1

1 1

 

 

  

 

 

  









 

 

c t Vz

c t Vz

t

Vt z

Vt z

z

y y

x x









. ,

, ,

,

2 1

1 1

1

t t

t

z z

y y

x x

 

 

 

 

oraz na podstawie wzoru (1)

 

1 ₂

1 2 2

2 1 1

2 2 1

c V T T

t t

c t Vz

c V z t

T



 

 





 



 

 

 



 

 











(Funkcja , tzw czynnik Larmora został 1 ₂ 1

V c

 



Wniosek 2.1

Miejsce zdarzenia (na przykład rozpadający się mezon ) porusza się z prędkością V, a jego czas życia T’= t₂-t₁ wydłuża się zgodnie ze wzorem:

Wniosek 2.2

Każdy z obu obserwatorów (spoczywających w

układzie (x,y,z,t) i (x’,y’,z’,t’) odpowiednio przypisuje skrócenie Fitzgeralda i dylatację Larmora zdarzeniom odbywającym się w układzie poruszającym się

względem niego.

W swoim własnym układzie nie jest w stanie

stwierdzić skrócenia Fitzgeralda i dylatacji Larmora, gdyż również sam podlega tym zjawiskom

(„ściśnięcia” siatkówki oka, oraz zwolnienia procesów w mózgu).

Nowa definicja metra

(B.W.Pentley, New definition of the metre, Nature 303, (1983) 373-376):

1 metr = odległość, jaką przebywa światło lasera helowo-neonowego ( = 6330 Å)

w ciągu ¹/_299792458 s.

1 rok świetlny = odległość, jaką światło przebywa w ciągu 365 dni.

An Angstrom-long Meter Stick

http://www.aps.anl.gov/apsimage/mossbauer2nd.html

6.9 Doświadczenie W. Bertozziego

strumień

Pomiar czasu przelotu

L=8.4 m elektronów

Tarcza metalowa Niezależny

pomiar

prędkości elektronów

 ¹  ^.

1

2 0 2

0 2

2 2

0

  



 m c m c 

c v c T

m

.

1

2 2 0

c v c E

m





Energia całkowita elektronu

Energia kinetyczna elektronu Definicja

 

 

  ^.

1

, 1

, 1

4 2

0 2

2 2 0

4 0

2 2

2 2 4 2 0

2 0

c m

v

c m

T

c m

c v

c v c c m

m T





 









kin kin

2 0

c m

T



 

.

, 1 1

2 0

2 4 2

0 2

2

c m

T

T

c m

c v



 



 



 



kin

kin

gdy

a.

Cząstki relatywistyczne

2 0 c m

T _kin 

 ²



^,

2 0

2 2

c m

T

c m

T T

c v



 

kin

kin 2

kin

b.

Cząstki nierelatywistyczne

2 . 2

2 0 4

2 0

2 0 2

2

c m

T c

m

c m T

c

v 



2 . 1 2

1

2 0 2 2

0

m v

c c v

m

T

  

. 1

0 2

2

0

m v

c v v v m

m

p  



  







Pęd cząstki relatywistycznej:

6.10 Własności cząstek relatywistycznych

Energia kinetyczna Energia całkowita

nierelatywistyczne relatywistyczne

Cząstki

2 2

2 0

1 v c c m

 2

2 2 0

c mv m 

 ¹

2

0c  

m 2

2 0v m



. 1

1

2 2

0 2

2 2 2

0

2 2 2 2

2 0 2

2

c m

c v v m

c v c p m

c

E 

 

 



 



 

 



 





  ^.

,

4 2

0 2

4 2

0 2

2 2

c m

pc E

c m

c p

E









Stąd:

.

;

;

;

;

0

2 2

0

c v

v c p

c p

v c p

E

c p E

c p

E

m















foton foton foton

foton

foton foton

foton foton

masie o

cząstka

Foton

6.11 Własności fotonu, elektronu, protonu

0.5

 c MeV elektron

E/c 0

c foton

Pęd Masa

Prędkość Cząstka

e v m ₀

To jest ostatni slajd drugiej części rozdziału pt. „Wstęp do Szczególnej Teorii Względności”.

Możesz:

•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,

•wrócić do materiału zawartego w tym rozdziale,

•zakończyć pokaz . Spis treści

Koniec pokazu