Wprowadzenie do fizyki

Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

Część piąta

Siły centralne

Siły centralne

Slajd podsumowania

5.1 Historia grawitacji

5.2 Definicja siły centralnej

5.3 Ruch płaski pod wpływem siły centralnej

5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych 5.5 Wnioski

5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)

Koniec pokazu

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

www.planetary.org/html/society/advisors/ ot.html

The Earth-Moon System

Credit:NEAR Spacecraft Team, JHUAPL, NASA

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap980129.html

Welcome to Planet Earth Credit: Apollo 17 Crew, NASA http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap010204.html

5.1 Historia grawitacji

Johannes Kepler (1571-1630) 1619 - Harmonia Światów

Kwadraty okresów obiegów planet są

proporcjonalne do sześcianów promieni orbit.

3 .

2 r

T 

Robert Hooke (1635-1703)

Siły, dzięki którym istnieje Układ Słoneczny, a

Isaak Newton (1642-1726)

1687 - Mathematical Principles of Natural Philosophy

1. Zasady dynamiki

2

.

2

dt r m d

a m

F 

 





2. Grawitacja: Ruch w polu grawitacyjnym - elipsa (okrąg), parabola, hiperbola.

Ruch jednostajny po okręgu:

,

,

2

d d

r d

F F

r e v F m







 

 r

mv

Prawo Keplera (obserwacja!)

, 2 ,

3 2

2

3 2

2

v r r

v r T r



 



 



  

1 ,

2

v  r

1 ,

2 2

r r

F

 v  1 . r 2

F 

5.2 Definicja siły centralnej

5.3 Ruch płaski pod wpływem siły centralnej F 

.

a. Moment pędu

  ^F   ^{r r .ˆ}

r r r

F

F 

  

.

 0 t

d L d 

. F t r

d p r d

t p d

r d t

d L

d   



 















b. Dla sił centralnych:

Mamy bowiem:

 

czasie.

w się

zmienia

c

nie

c c

L

r F

r r

F dt r

L d





 



; ˆ  0











  ^{m v .}

r p

r

L     









 

stałe.







































   



 







 



2 2

2

ˆ , ˆ ,

ˆ ˆ

ˆ , ˆ

r m L

L

e mr

L

e r

r r

r r

v r

r r

r v

c c

L c

L

Wiemy jednak, że

. 0

2 



 ^{m r r} _  ^{ m r}  ^{ }

t d

L d

2  ^ . mr

L

 stałe 

Dla sił centralnych:

5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych.

   

 

 

ˆ ² ˆ

r r

F

r r

r r

r m

a m F





























 

   

 ²  ^,

0

2

,











 

 



r r

m

r r

m r

F









Otrzymujemy dwa równania:

opisujące ruch punktu materialnego w polu sił centralnych.

  ^.

2

2 F r

mr r

m _{ }   ^ 

1 .

2

1

 

 





 m F

u u d

Równanie pierwsze

Wprowadzamy nową zmienną r=1/u i równanie otrzymujemy w postaci:

(*)

5.5 Wnioski

 

.

;

;

;

;

62 . 4

5 634

. 0

4

2 3 3

2 1





r K r

K

r K r

K r

r K

F

a. Równanie () jest podstawowym równaniem ruchu opisującym ruch punktu materialnego o masie m w polu sił centralnych F(r)F(1/u).

b. Równanie () jest słuszne dla dowolnej funkcji F(r)=F(1/u).

Na przykład:

. ,

, 1 ,

62 . 4 5

634 .

0 4

2 3

3 2

1



 



 





u K

u K

u K

u K

u u K

F

W zmiennej u

Makroskopowy Wszechświat można opisać uwzględniając tylko dwa rodzaje sił:

  ₂ ^{Ku 2 .}

r r K

F _c  

Oba rodzaje sił mają tę samą zależność od r, (u):

DLACZEGO?

stała,















2

2 2

2 2

2

1

c c

L Km

u Ku L

u m d

u d



2 2

W d u

u

d    stała,



Dla sił typu F=Ku² otrzymujemy równanie () w postaci:

czyli

  ^.

cos 1

, cos

 



A r W

A W

u

 





m

Rozwiązania równania znamy:

  



 





hiperbola.

parabola,

(okrąg), elipsa



r

W zależności od wartości stałych W oraz A:

5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)

. 2

2

, 2

2

, .

2 2

m r L

dt ds

dt rv r dr dt

ds

dt ds r

S



























polowa Prędkość

stałe.

dt  ds

Prędkość polowa:







2 2

2 2

2

2

3 2 2

2

2 2 2

4 4

4 4 , 4 , 2 ,

am r

T

r v T r

v T r

v T r













Wniosek

1. Prędkość polowa jest stała.

2. T

/r

= stałe.

5.7 Nowe układy planetarne

1. Rozwiązanie równania Newtona w polu potencjału sił centralnych V(r)

   

, cos

, ,

1 ,

2

2 2

2 2

2





A W

u

r r K

r V r V r

F K

u u K

L u m

d u d

c

c





 

 











 

   















 



 ^

, 1

, 1

, 0 1 cos , cos 1

1

1











 



hiperola, parabola,

(okrąg), elipsa

r

p W

A r W

p = parametr krzywej stożkowej,

 = mimośród.

a. Definicja krzywej stożkowej

ognisko

d₁

d₂ P

r 

Krzywa stożkowa:

cos . 1

cos 1

, cos

cos ,

1 1

1 2

















 

 

 





 



p r d

r r

d

r d

r d

r

b. Prędkość radialna na krzywej stożkowej

 

 

 ^{1 sin cos}  ^.

cos 1

sin

2 2





















 

 



 





 

p r p

v

Prawo zachowania momentu pędu

 

 





sin

cos , 1

2 2

2 2

2 2

2

 

















mp B mp

B v p

mp B

mr θ B

B θ

mr L

r 



 

 











 stała ,

2. Zagadnienie dwóch ciał a. środek masy

z

y y’

z’

x’

x

r1

r2

'

r1 ^'

r2

r0

. ,

, 3

, 2 , 1

0 0

dt r V d

V v

v

r r

r a

a a

a

a

  







 



 



 





.

1

 





 a a

a a

a N

a

a

av m v V m

m

p   

Istnieje taki układ odniesienia, w którym

p   0 .

Układ środka masy

,

0

,

dt R R d

m r m r

m V p

a a

a a a

a

 

 



 















 ^{prędkość środka masy,}

określa położenie środka masy układu R

Wybieramy początek układu w ^R



 ^m

^{r }

^{ 0 , m}

^{v }

^{ 0 .}

b. Zagadnienie dwóch ciał.

Rozważmy dwa ciała oddziałujące na siebie za pomocą potencjału

 ^r

^r

 ^{, r r}

^r

^.

V        

Całkowita energia układu dwóch ciał:

 ²  ^.

2

2 1

2 2 2

2 1 1

r r

V

r m

r E m



















Umieszczamy początek układu w środku masy dwóch ciał. Oznacza to, że

    

  ^{, ,}

,

, ,

0

1 2

1 2

1 2

1 1

1

1 2

1 1

2 1

2 2 1

1

r m m

m r

r m r

m r

m

m r

r r

m

r r

r r

m r

m

























































1

,

2

m m

r r m

 

 



   

  ^{, ,}

,

2 2

1 1

2 2

2 1

2

2 2

1 2

r m

m m

r

r m

r m

r m

m r

r r

m





























,

2 1

1 2

m m

r r m

  



.

2 1

1 2

u

m m

v  m 

 

Stąd

 

       

 

   

2 2 2

2 2

2 2

1

2 1

2 2 1

1 2

2 2 1

2 2 1

2 1 2 2

2 1

2 2 1 2

2

2 1

1 2

2

2 1

2 1

r V m r

m

m m

m m

m m

r m m

r m V

m

m m m

m

m m r

r m V

m

r m m

m m

r m E m

 



 











 



 









 

 



 



 







 



 





 











Wzór (2) opisuje energię całkowitą jednego ciała o masie  poruszającego się w zewnętrznym potencjale V(r).

m₁ środek masy

m₂

v1 v²

. ,

2 1

1 2

2 1

2 1

m u m

v m

m u m

v m









 



 

. , 0

, ,

2 1

1

2 1

u v

v m

m m



















Nowy układ planetarny

1 AU  1.5 · 10⁸ km



50 lat świetlnych ~50 · 1013 km ~5 ·1014 km

Obserwator na Ziemi

v v

Masy Słońca

i niektórych planet

Ziemia 5,97 · 10²⁴ kg Jowisz 1,9 · 10²⁷ kg Słońce 1,9 · 10³⁰ kg

Star Name M sin i

(M_jup ) Period (d)

Semimajor Axis (AU)

Eccen- tricity

K

(m/s) [Fe/H]

1 HD68988 1.90 6.276 0.071 0.14 187.0 0.24 2 HD142 1.00 337.1 0.980 0.38 29.6 0.04 3 HD4203 1.64 406.0 1.09 0.53 51.0 0.22 4 HD114783 0.99 501.0 1.20 0.10 27.0 0.33 5 HD23079 2.54 627.3 1.48 0.06 56.7 *****

6 HD4208 0.81 829.0 1.69 0.04 18.3 -0.24

Eight New Extrasolar Planets Masses and Orbital Characteristics

http://exoplanets.org/doppler.html

lanets.org/graphics/kepslaw.gif

Author: Goeff Marcy (UC Berkeley) http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content /hd46375rvw.jpg

HD 46375 Radial Velocity

HD 46375 Orbit Marcy (UC Berkeley) origins.stsci.edu/news/2000/01/content/ 5orbitw.jpg

Nowy układ planetarny

Wprawdzie proton i elektron poruszają się wokół wspólnego środka masy, ale praktyczne biorąc prędkość protonu jest równa zeru. To gwarantuje

istnienie stabilnej struktury związków chemicznych.

10^-10m

p

. 2000

p m

m



5.8 Zasada antropiczna

Rozpatrzmy własności fizyczne innego (od naszego Wszechświata) wszechświata, o n wymiarach

przestrzennych w którym siła grawitacji i siła

elektrostatyczna są opisywane za pomocą wzoru:





 _ n

r n K

F _{n (1)}

 Energia potencjalna w innym wszechświecie ma postać:

  ^ _n2 ^{ Kr2n,}

r r K V

Równanie Newtona w innym wszechświecie:

1 . 1

2 2

2 2



 



 



 F u

u L

u m d

u d



Podstawiamy wzór (1) do wzoru (2) i otrzymujemy:

 ²  ^,

1

2 2

2

2

   n  Ku

u L

u m d

u d



 ² 

^.

2 2

2

   n  Ku

L u m

d

u d



We Wszechświecie trójwymiarowym – naszym Wszechświecie (n = 3) równanie (2) ma

następujące rodzaje orbit:

parabola hiperbola

orbity, które nie gwarantują powstania i podtrzymania życia.

W innym wszechświecie (n3) równanie () nie ma rozwiązania w postaci elipsy. Trajektorie punktów materialnych przyciąganych przez

centrum siły (grawitacja, elektrodynamika) albo mijają centrum i oddalają się do nieskończoności albo spadają na centrum siły.

2 1 4 3

5

   

Wszechświat musi być taki, aby dopuszczać powstanie w nim obserwatorów.

B. Carter: Confrontation of cosmological theories with observations, M. Longair ed. Reidel 1973.

Zasada antropiczna

Jedynym prawdziwie rzeczywistym wszechświatem jest ten, który jest postrzegany, toteż ten rzeczywisty

wszechświat musi dostosować swoje

właściwości do warunków niezbędnych do istnienia obserwatorów.

P.C. Davies, The anthropic principle,

Progres in Particle and Nuclear Physics, 10 (1983) 1, Postępy Fizyki 37 (1986) 214.

Zasada antropiczna

ak Newton zmienił obraz świata twrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap000723.html

isza yright: Galileo Project, ject, JPL, NASA gsfc.nasa.gov/apod/ap001118.html

Płaszczyzna ekliptyki

Płaszczyznę ekliptyki definiujemy jako płaszczyznę zawierającą orbitę Ziemi wokół Słońca. W tej płaszczyźnie zawarte są orbity większości planet (oprócz Neptuna). Na zdjęciu (od prawej) widzimy Księżyc oświetlony słabym

promieniowaniem Ziemi oraz planety: Saturn, Mars, Merkury.

Credit: The Clementine Project

http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001014.html

siężyca nad Ziemią TS-35 Crew, NASA r.gsfc.nasa.gov/apod/ap001028.html

Saturn i jego księżyce http://pds.jpl.nasa.gov/planets/

To jest ostatni slajd rozdziału „Siły centralne”.

Możesz:

•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,

•wrócić do materiału tego rozdziału,

•zakończyć pokaz.

Spis treści

Koniec