MODELOWANIE TOLERANCYJNE PRZEWODZENIA CIEPàA W MATERIAàACH PERIODYCZNIE

(1)

MODELOWANIE TOLERANCYJNE PRZEWODZENIA CIEPàA W MATERIAàACH PERIODYCZNIE

NIEJEDNORODNYCH

Tomasz Jurczak

¹

Harsco Infrastructure Sp. z o.o., àubna

Streszczenie. Praca dotyczy modelowania przepáywu ciepáa w wybranych materiaáach pe- riodycznie niejednorodnych. Zastosowano technikĊ uĞredniania tolerancyjnego do skon- struowania modelu uĞrednionego przewodnictwa cieplnego dla materiaáów periodycznie warstwowych. Otrzymano ukáad równaĔ, który bĊdzie prostszy do rozwiązania niĪ klasyczny ukáad równaĔ Fouriera. Ponadto przedstawiono rozwiązania analityczne wybranych zagadnieĔ początkowo-brzegowych oraz zwery¿ kowano je doĞwiadczalnie.

Sáowa kluczowe: przewodnictwo cieplne, przewodniki niejednorodne, homogenizacja

WSTĉP

Zjawisko przewodzenia ciepáa w materiaáach budowlanych opisaü moĪna klasycz- nym równaniem Fouriera. Dla materiaáów niejednorodnych jest to równanie róĪniczko- we drugiego rzĊdu o zmiennych wspóáczynnikach. Natomiast w przypadku materiaáów periodycznych równanie Fouriera zawiera wspóáczynniki nieciągáe, przyjmujące róĪne wartoĞci na maáych przedziaáach okreĞlonoĞci zmiennych przestrzennych. Funkcje mate- riaáowe są w takim przypadku nieciągáymi funkcjami „lokalnie” periodycznymi, o bardzo maáym okresie. Taki stan rzeczy powaĪnie utrudnia, czĊsto wrĊcz uniemoĪliwia, stosowa- nie metod analitycznych i komputerowych do rozwiązania zagadnieĔ początkowo-brzegowych przewodnictwa cieplnego.

PoniewaĪ poszukiwanie rozwiązaĔ zagadnieĔ przewodnictwa cieplnego dla materia- áów lokalnie periodycznie niejednorodnych jest skomplikowane, wiĊc uzasadnione jest konstruowanie modeli prostszych, opisujących analizowane zjawisko z pewnym akcep- towalnym przybliĪeniem. W niniejszej pracy zastosowano technikĊ uĞredniania tolerancyjnego zaproponowaną przez Cz. WoĨniaka i wspóápracowników [WoĨniak i Wierzbicki 2000, Jurczak i Nagórko 2007] do zbudowania modelu dla wybranych materiaáów perio-

Adres do korespondencji – Corresponding author: Tomasz Jurczak, Harsco Infrastructure Sp. z o.o., àubna 55, 05-532 Baniocha, e-mail: tomasz-jurczak@wp.pl

(2)

Acta Sci. Pol.

dycznych i lokalnie periodycznych. W modelu skonstruowanym na podstawie tej techniki wystąpią nowe uĞrednione wspóáczynniki przewodzenia ciepáa oraz ciepáa wáaĞciwego, a ukáad równaĔ bĊdzie prostszy do rozwiązania niĪ klasyczny ukáad równaĔ Fouriera dla takich materiaáów. Niniejszy artykuá zostaá opracowany na podstawie rozprawy doktor- skiej Jurczaka [2011].

PRZEWODNICTWO CIEPLNE W MATERIAàACH PERIODYCZNIE NIEJEDNORODNYCH

W pracy bĊdziemy siĊ zajmowaü przewodnikami niejednorodnymi, dla których kon¿ - guracjĊ odniesienia przyjmiemy w postaci: ȍ = (0, L₁) × (0, L₂) × (0, L₃).

ZaáóĪmy, Īe kon¿ guracjĊ odniesienia moĪna podzieliü na czĊĞci ȍs, s = 1, 2, ..., n₀. Ponadto niech istnieją wektory niezerowe i liniowo niezaleĪne dⁿ z przestrzeni R³:

1 2 3

[ , , ],

n dn dn dn

d gdzie n = 1 lub n = 1, 2 lub n = 1, 2, 3, takie Īe kaĪda czĊĞü ȍs

jest obrazem przeksztaácenia translacyjnego pewnego obszaru ǻ w przestrzeni R³ o wektor l_ndⁿ, gdzie l_n są liczbami caákowitymi. JeĪeli dla dowolnych x ȍ, takich Īe x + l_ndⁿ ȍ, funkcje opisujące wáasnoĞci termiczne ciaáa (ciepáo wáaĞciwe c = c(x) i wspóáczynniki przewodnictwa cieplnego k = k(x)) speániają warunek f(x) = f(x + l_ndⁿ), to takie ciaáo nazwiemy periodycznie niejednorodnym: w jednym kierunku – gdy n = 1, w dwu kierunkach – gdy n = 1, 2, w trzech kierunkach – gdy n = 1, 2, 3.

Wektory dⁿ de¿ niują w R³ zbiory

^

³^: ^, ^{1 1}2 2^,

`

n n n

R K K ^§ ^·

' { x x d ¨© ¸¹ , zwane komórkami periodycznoĞci. W przypadku gdy n = 1, zbiór ten jest odcinkiem, gdy n = 1, 2 – równolegáobokiem, natomiast gdy n = 1, 2, 3 – równolegáoĞcianem.

W dalszym ciągu zaáóĪmy, Īe periodycznoĞü przewodnika jest páaska, co oznacza, Īe niejednorodnoĞü przewodnika jest taka sama w kaĪdym przekroju (0, L₁) × (0, L₂) × {x₃}, x₃ L₃. ZaáóĪmy ponadto, Īe komórka periodycznoĞci ǻ jest prostokątem wydzie- lonym prostymi o równaniach: x₁ = nȜ₁, x₂ = mȜ₂, n = 0, 1, 2, ..., n₁, m = 0, 1, 2, ..., n₂. W ten sposób obszar Ȇ = (0, L₁) × (0, L₂) podzielimy na n₁ · n₂ prostokątów o wymiarach boków Ȝ₁, Ȝ₂ (rys. 1).

x3

x1

x2

L1

O¹ O² L2

'

O¹ O²

Rys. 1. OĞrodek periodyczny Fig. 1. A periodic medium

(3)

Niech ponadto komórka periodycznoĞci ǻ = (0, Ȝ1) × (0, Ȝ2)daje siĊ podzieliü na prostokąty o bokach równolegáych do osi wspóárzĊdnych, których dáugoĞci wynoszą od- powiednio Ȝ1i, Ȝ2j, i = 1, 2, 3, ..., no, j = 1, 2, 3, ..., mo, tak Īe 1 1 2 2

1 , .1

o o

n m

i j

O

¦

O O

¦

O

Prostokąt o wymiarach Ȝ1i, Ȝ2j oznaczymy przez ǻij.

ZaáóĪmy, Īe kaĪdy prostokąt jest utworzony z materiaáu jednorodnego i izotropowe- go, tzn. dla kaĪdego ciepáo wáaĞciwe i skáadowe tensora przewodnoĞci cieplnej są staáe.

TemperaturĊ oznaczymy przez ș, tak Īe ș = ș(x, t), gdzie x ȍ, t ¢t₀, t1²

JeĪeli przewodnik jest anizotropowy i niejednorodny, wtedy strumieĔ ciepáa q = q(x1, x2, x3, t), (x1, x2, x3) ȍ, t ¢t₀, t1² zgodnie z modelem konstytutywnym Fouriera, wyraĪa siĊ wzorem:

1, , , 2 3 1, , ,2 3 1, , , 2 3

i ij j

q x x x t k x x x T x x x t (1)

gdzie ș,_i jest pochodną cząstkową ,i , , 1, 2, 3

i

x i j T ^wT

w , oraz k_ij są skáadowymi tensora przewodnoĞci cieplnej.

W dalszym ciągu przyjmiemy tensor przewodnictwa cieplnego w postaci:

1 2

3

0 0

ij

k

k k

k

ª º

« »

¬ ¼

Równanie bilansu ma postaü:

, 0

cTqi i f (2)

gdzie T jest pochodną po czasie . t T ^wT

w

Podstawiając równanie (1) do (2) otrzymamy znane równanie Fouriera przepáywu ciepáa w przewodniku niejednorodnym:

^ij ^{, ,}ⁱ

^j ⁰

cT k T f (3)

Rys. 2. Komórka periodycznoĞci ¨ Fig. 2. A periodic cell ¨

(4)

Acta Sci. Pol.

Równanie (3) jest równaniem róĪniczkowym o zmiennych wspóáczynnikach. Wspóá- czynniki te są na ogóá nieciągáe (na stykach róĪnych skáadników) oraz silnie oscylujące na maáych przedziaáach okreĞlonoĞci zmiennych przestrzennych.

MODELOWANIE TOLERANCYJNE

Jak juĪ wspomniano, poszukiwanie rozwiązaĔ zagadnieĔ przewodnictwa cieplnego dla materiaáów periodycznie niejednorodnych jest skomplikowane. Uzasadnione jest wiĊc konstruowanie modeli prostszych opisujących analizowane zjawisko z pewnym ak- ceptowalnym przybliĪeniem. Do konstrukcji modelu przybliĪonego zastosujemy techni- kĊ uĞredniania tolerancyjnego [Matysiak 1989, Matysiak i Nagórko 1989, Nagórko 1989, WoĨniak i Wierzbicki 2000, Nagórko i Piwowarski 2003, WoĨniak i in. (red.) 2010].

UwzglĊdnienie w modelu matematycznym przybliĪonego opisu zjawiska ¿ zycznego moĪliwe jest przy wykorzystaniu dokáadnoĞci İ, wyznaczającej pewną tolerancjĊ. W pra- cy przez tolerancjĊ rozumieü bĊdziemy relacjĊ dwuargumentową ȡ, okreĞloną w iloczy- nie Z × Z pewnego zbioru Z, ȡ Z × Z, która jest zwrotna i symetryczna.

Podstawowym pojĊciem w technice uĞredniania tolerancyjnego jest pojĊcie funkcji wolnozmiennej na komórce periodycznoĞci, tj. funkcji, którą wraz z jej pochodnymi moĪna uznaü za staáą w obrĊbie komórki. W rezultacie uĞrednione równania mogą zawie- raü staáe efektywne – wspóáczynniki wyraĪone przez parametry mikrostruktury.

Zgodnie z techniką uĞredniania tolerancyjnego zaáóĪmy, Īe temperatura Tx x x t1, , , 2 3 moĪe byü rozáoĪona na sumĊ skáadników:

x x x t1, , , 2 3 x x x t1, , , 2 3 h x x^A 1, 2 Ax x x t1, , , 2 3

T - \ (4)

gdzie A = 1, 2, ..., M, oraz funkcje - \ są nieznanymi funkcjami wolnozmiennymi. , _A WystĊpujące w drugim skáadniku funkcje h^A są znanymi ¨-periodycznymi funkcjami oscylującymi, zwanymi funkcjami ksztaátu. FunkcjĊ - interpretujemy jako temperaturĊ uĞrednioną, a funkcje ȥ_A pozwalają opisaü wpáyw niejednorodnoĞci przewodnika na tem- peraturĊ, nazywamy je À uktuacjami.

W celu zastosowania metody tolerancyjnego uĞredniania zapisujemy równanie (3) w postaci:

,i ^,i ¹ ⁰

P P P

T W T T

w w w

ª º

«w » w w

¬ ¼ (5)

gdzie:

²

1 , ,

2 ^ij ⁱ ^j

P W Tc kT T fT (6)

a Ĳ jest pewnym parametrem.

àatwo sprawdziü, Īe równanie (5) jest identyczne z równaniem (3), o ile funkcjonaá P ma postaü równania (6).

(5)

Zgodnie z techniką uĞredniania tolerancyjnego równania na poszukiwane funkcje - i ȥ_A, wystĊpujące w równaniu (4), mają postaü:

1 0

( , ) ,

1 0

( , ) ,

i i

Ai i A A

P P P

- W - -

\ W \ \

w ! w ! w !

ª º

« w » w w

¬ ¼

ªw !º w ! w !

« »

w w w

¬ ¼

(7)

gdzie wykorzystano operator uĞredniania w postaci:

1, , 2 1 1 2, 1, 2 1 2

F x x F z z f x x dz dz { '

'

³

Wykorzystana tutaj technika uĞredniania tolerancyjnego znalazáa zastosowanie przy rozwiązywaniu wielu zagadnieĔ mechanicznych i termicznych. Obszerny wykaz prac poĞwiĊconych tej tematyce moĪna znaleĨü w pracy WoĨniaka i in. (red.) [2010].

MODEL UĝREDNIONY MATERIAàÓW WARSTWOWO NIEJEDNORODNYCH

Przyjmijmy, Īe przewodnik jest periodyczny w jednym kierunku. Niech to bĊdzie kierunek osi x₁. Elementem reprezentatywnym jest wiĊc odcinek ' {^0,O^R po- dzielony na czĊĞci o dáugoĞciach Oi, 1, i 2, ..., , no tak Īe

1 no

i i

O

¦

O ^. Niech

1

1 1

, ,

i i

i k k

k O k O

§ ·

' ¨ ¸'

©

¦ ¦

¹ ^wtedy^{: ' u}ⁱ ⁱ ^{0, 0,}^L²^u ^L³ jest i-tą warstwą w przewodniku, i = 1, 2, ..., n_o.

W przypadku przewodników warstwowych skáadowe k_m, m = 1, 2, 3, są funkcjami Ȝ-periodycznymi, okreĞlonymi dla x₁ R w nastĊpujący sposób:

1 1 , 1

m m

k x k x O x R oraz

1 1 1

2 1 1 1 2

1 0,

1

dla 0,

dla ,

o

m m m

mn n

k x

k x

k x

O

O O O

°

®°

°°

¯

WielkoĞci k_mⁱ dla i = 1, 2, ..., n0, m = 1, 2, 3 są staáe.

Dla przewodników warstwowych ciepáo wáaĞciwe jest takĪe funkcją Ȝ-periodyczną zmiennej x1, c = c(x1), okreĞloną analogicznie do funkcji km(x1).

(6)

Acta Sci. Pol.

Z równania (7), w przypadku gdy warstwy przewodnika są izotropowe, km = k, m =

= 1, 2, 3, otrzymujemy:

1 1

2 2 2

22 33 1 1 1

, , ,

, , , , ,

c k mm k h f

c h k h k h k h f h

- - \

\ \ \ \ -

(8)

Pomijając w równaniu (8)₂ czáony O(Ȝ²), otrzymujemy:

1 12 1 1 1

, , , k h

\ k h - (9)

De¿ niując efektywny wspóáczynnik przewodnictwa cieplnego jako:

1 12

1 2

1 1

, ,

eff k h

k k

k h (10)

dochodzimy do równania na temperaturĊ uĞrednioną - w postaci

11 2 22 3 33 0

c-keff- k - k - (11)

Podstawiając do równania (4) À uktuacjĊ (9), otrzymujemy temperaturĊ ș:

1 11

1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3

1 1

, , , , , , , , , , ,

,

x x x t x x x t h x k h x x x t

k h

T - - (12)

Na zakoĔczenie zauwaĪmy, Īe wszystkie relacje, w których wystĊpują - i ȥ, mają sens ¿ zyczny tylko wtedy, gdy - i ȥ są funkcjami wolnozmiennymi. Warunek ten moĪe byü sprawdzony tylko a posteriori, tzn. gdy funkcje te są wyznaczane z równaĔ (8).

PRZYKàADY ROZWIĄZAē ZAGADNIEē SZCZEGÓàOWYCH

RozwaĪmy przewodnik dwuwarstwowy, którego kon¿ guracją jest obszar 0, 0, L1

3 f u . ZaáóĪmy, Īe warstwy są jednorodne i izotropowe oraz równolegáe do osi x2. Równanie (11) na temperaturĊ uĞrednioną - w przypadku zagadnieĔ stacjo- narnych przyjmuje postaü:

11 22

, , 0

keff- k - (13)

gdzie k^eff okreĞlone jest związkiem (10), w którym k₁ {k.

(7)

WprowadĨmy oznaczenie ² ^k_eff

N k , wtedy równanie (13) przyjmie postaü:

11 2 22

, , 0

- N - (14)

Przyjmijmy nastĊpujące warunki brzegowe:

1, 0 1, 2 0, 0, 2 2 , lim1 1, 2 0

x x L x f x x x x

- - - _of-

Ostatecznie rozwiązanie równania (14) ma postaü:

1 2

2 2 2

1 2 2 2

2 1 2 2

, sin2 e sin

n x L L

n o

n x n x

x x f x dx

L L L

S N S S

-

¦

^f

³

⁽¹⁵⁾

Zbadajmy rozkáad temperatury w takiej páycie. WystĊpująca w równaniu (4) staáa ț² jest w tym przypadku równa ² _effk 1,762

N k . Przyjmijmy, Īe na brzegu przewodnika dla x₁ = 0 zadana jest temperatura f(x₂) = –0,0125 · x₂ · (x₂ – 80).

Wykres temperatury uĞrednionej z równania (15), z przyjĊtymi warunkami brzego- wymi, przedstawiono na rysunku 3a. Na rysunku 3b przedstawiono wykres temperatury uĞrednionej - dla ^x² ^L₂²^.

W rozpatrywanym przypadku wpáyw zadanej na brzegu x₁ = 0 temperatury f (x₂) za- nika wzdáuĪ osi x₁, tak Īe juĪ dla x₁ > 0,75 L₂ temperatura - jest w przybliĪeniu równa temperaturze otoczenia.

Temperatura ș jest równa:

1 2 1 2 1 12 1

1

, , , ,

, x x x x h x K h

T - K h - (16)

0 20 40 60

80

x2 010

20 30

40 50

x1 0 5 10 15 20

-

0 20 40 60 x2 0

5

20 40 60 80 x1

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20- a b

Rys. 3. Rozkáad temperatury uĞrednionej -: a – dla (x₁, x₂) , b – dla x2 = 0,5L₂ Fig. 3. Distribution of the average temperature -: a – for (x₁, x₂) , b – for x₂ = 0,5L₂

(8)

Acta Sci. Pol.

gdzie temperatura -(x1, x₂) jest okreĞlona wzorem (15), a h(x₁) – wzorem:

> @

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

2 1 dla 0,

( ) 2 2

1 dla ,

x x

h x a

x x

O O

O O O

O O O O

®°°

°

¯

Wykres temperatury ș(x1, x2), okreĞlonej wzorem (16), przedstawiono na rysunku 4, gdzie widaü wyraĨnie wpáyw struktury warstwowej na przewodzenie ciepáa. Wpáyw ten zanika wzdáuĪ osi Ox1.

0 20 40

60

80

x2 0

20

40

60

x1 0

5 10 15 20

T

0 20 40

60

80

x

0 5 10 5

Rys. 4. Wykres temperatury ș Fig. 4. Graph of the temperature ș

WykaĪemy teraz, Īe w rozpatrywanym przypadku wystĊpuje efekt skali. W tym celu dla ustalonej proporcji wielkoĞci warstw ¹

2

2 3 O

O przyjmijmy ¹, 1, 2, 5, 10

O 2 . Wykres

temperatury ș dla kc 0,042 W (m K) , 0,209 W (m K) ¹ kcc ¹, przedstawiono na rysunku 5a dla caáego przekroju kompozytu, natomiast na rysunku 5b dla x1>20, 60@.

O

20 40 60 80 x1

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20T

30 40 50 60 x1

2 4 6 8 10T

a) b)

O=10, O=5, O=2, O=1, O=0,5

a b

Rys. 5. Wykres temperatury ș dla x₁ = 0,5 L₁ dla róĪnych wartoĞci Ȝ Fig. 5. Graph of the temperature ș for x₁ = 0,5 L₁ and various values of Ȝ

(9)

Na wykresach 5a i 5b widaü, Īe im mniejszy jest wymiar komórki periodycznoĞci w stosunku do caáego przewodnika (wiĊcej komórek), tym wykres ma mniejszą krzywi- znĊ z równoczesnym przejĞciem w kierunku wykresu liniowego.

W dalszym ciągu rozwaĪymy materiaá dwuwarstwowy o gruboĞci L1 przedstawiony na rysunku 6.

Rys. 6. Przewodnik periodycznie dwuwarstwowy w kierunku x₁ Fig. 6. A two constituent layered conductor, periodic in the x₁ direction

Zakáadając, Īe uĞredniona temperatura - zaleĪy tylko od x1, oraz przyjmując nastĊpu- jące warunki początkowe i brzegowe:

1, 0 0 1 , 1 ¹, ¹ ; ¹, ¹, 0, >0, ,

2 2 2 2

L L L L

x x x t t t

otrzymujemy rozwiązanie w postaci:

1 1

1

, , _n

n

x x

- W

¦

^f- W ⁽¹⁷⁾

gdzie keff

c t W

oraz

2 2 12

2 1

1 0 1

1

4 1 2 1

, e cos

2 1

n n

L

n x n x

n L

- S W

- W S

S

ª º

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

Rozwiązanie (17) zilustrujemy gra¿ cznie, przyjmując, Īe przewodnik zostaá ogrza- ny w przekroju x2 = 0 do temperatury początkowej -0 20 Cq oraz L1 = 0,60 m.

Wspóáczynnik przewodnictwa cieplnego pierwszej warstwy o gruboĞci Ȝ1 = 0,02 m wynosi k1c 0,042 W (m K) ¹ (styropian), drugiej warstwy o gruboĞci Ȝ₂ = 0,03 m –

1 0,209 W (m K) 1

kcc (beton komórkowy).

(10)

Acta Sci. Pol.

Wykres temperatury uĞrednionej z równania (17), dla n = 30: 1 ³⁰ 1

1

, _n , ,

n

x x

- W

¦

- W

przedstawiono na rysunku 7.

W rozpatrywanym przypadku wpáyw temperatury początkowej zanika w czasie, szczególnie szybko nastĊpuje to przy brzegach kompozytu. Po czasie t = 60 wpáyw tem- peratury początkowej prawie zanika i temperatura kompozytu zbliĪa siĊ do temperatury otoczenia.

WERYFIKACJA DOĝWIADCZALNA

Wery¿ kacjĊ doĞwiadczalną modelu przeprowadzono w Pracowni Procesów Fizycz- nych w Budownictwie w Centrum Wodnym SGGW w Warszawie. Zbadano zarówno parametry cieplne materiaáów wchodzących w skáad kompozytu, jak i przeprowadzono eksperyment, w którym przeanalizowano rozkáad temperatury.

Wery¿ kacjĊ wspóáczynnika przewodnictwa cieplnego k przeprowadzono w aparacie páytkowym FOX 600 ¿ rmy LASER COMP.

Na podstawie pomierzonych wartoĞci urządzenie okreĞliáo wartoĞü wspóáczynnika przewodnictwa cieplnego k 0,4010W·(m·K)^–1.

Rozkáad temperatury zbadano na stanowisku skáadającym siĊ ze zintegrowanej szafy klimatycznej, mającej dwie komory: komorĊ lewą (1) temperatury dodatniej i komorĊ prawą (2) temperatury ujemnej, wyposaĪone w sterowniki (3) pozwalające utrzymaü za- dane warunki termiczne, system pomiarowy TDR z czujnikami do rejestracji temperatury (4) oraz komputer do rejestracji pomiarów.

W Ğcianie pomiĊdzy komorami (5) znajdują siĊ trzy otwory pozwalające na umiesze- nie próbek w jednej komorze i poddaniu ich dziaáaniu temperatury zaprogramowanej w drugiej komorze. Standardowo otwory te wyposaĪone są w zamkniĊcia z páyt izolacyj- Rys. 7. Wykres temperatury -

Fig. 7. Graph of the temperature -

-0.2 0 0.2 x1

20 40

60 t

0 5 10

15 20

-

0 5 1

(11)

nych. Pozwala to na korzystanie na przykáad tylko z jednego otworu bądĨ teĪ na prowa- dzenie badaĔ niezaleĪnie w obu komorach.

Wykonany w laboratorium kompozyt skáadaá siĊ z 6 warstw styropianu i 6 warstw betonu komórkowego, uáoĪonych naprzemiennie. KaĪda z warstw miaáa po 2 cm grubo- Ğci. Zbudowany kompozyt widoczny jest na zdjĊciu (rys. 9). Na tym zdjĊciu widoczne są równieĪ czujniki pomiaru temperatury (termopary – 1), które zostaáy rozmieszczone równomiernie w przekroju przewodnika.

Wokóá boków próbki wykonano izolacjĊ termiczną ze styropianu o gruboĞci 20 cm w celu zapewnienia jednokierunkowego przepáywu ciepáa. Kompozyt wraz z izolacją termiczną umieszczono w jednej z komór. PróbkĊ zamocowano w ten sposób, Īe jed- na z nieizolowanych powierzchni czoáowych przylegaáa do otworu w Ğciance pomiĊdzy komorami. W ten sposób zapewniono na tej powierzchni staáą temperaturĊ 0^oC, rów- ną temperaturze w komorze. PrzestrzeĔ w otworze niezajĊtą przez próbkĊ wypeániono

1 2

3 4 5

Rys. 8. Stanowisko badawcze z umocowanym kompozytem Fig. 8. The investigation site with the mounted composite

1

Rys. 9. Kompozyt przygotowany do badaĔ Fig. 9. The composite prepared to investigations

(12)

Acta Sci. Pol.

dodatkowym uszczelnieniem z pianki poliuretanowej o Ğredniej gruboĞci okoáo 2 cm.

Izolacja ta miaáa zapobiec przepáywowi ciepáa po powierzchni próbki, na styku jej páasz- czyzn bocznych z powierzchnią izolacji. Na 24 godziny w obu komorach ustawiono temperaturĊ 0^oC. Po tym okresie dokonano odczytu temperatury z czujników umiesz- czonych miĊdzy poszczególnymi warstwami. Stwierdzono, Īe próbka jest naleĪycie wy- cháodzona i w caáej swojej objĊtoĞci osiągnĊáa temperaturĊ otoczenia ș0 = 0°C. NastĊp- nie zmieniono ustawienia termostatu w jednej z komór i zaprogramowano temperaturĊ + 20°C. Zmieniono temperaturĊ w komorze bez próbki, tak Īe kontakt z polem temperatury ș0 = 20°C nastĊpowaá tylko i wyáącznie przez jedną nieizolowaną powierzchniĊ kompozytu. Od momentu zmiany temperatury w jednej komorze w odstĊpach 5 minut dokony- wano odczytu temperatury w kompozycie. Do dalszych rozwaĪaĔ wykorzystano wyniki odczytane po 24 godzinach od rozpoczĊcia eksperymentu. Wykonano dwie serie pomia- rów. Wyniki eksperymentu zestawiono na rysunku 10.

Wyniki doĞwiadczeĔ porównano z rozwiązaniem teoretycznym (równanie 15). Wy- kres rozkáadu temperatury dla kompozytu o takich samych cechach geometrycznych i ¿ - zycznych jak w badaniach eksperymentalnych przedstawiono na rysunku 3.

Rysunek 11 przedstawia porównanie pomiarów doĞwiadczalnych z rozwiązaniem teoretycznym.

Rys. 10. Wyniki badaĔ Fig. 10. Investigation results

Rys. 11. Porównanie rezultatów badaĔ z wynikami modelu

Fig. 11. Comparison of the investigation results with the model results

(13)

Krzywa teoretyczna przebiega w sposób zbliĪony do wyników doĞwiadczenia. Naj- wiĊksze odchylenie zanotowano dla x = 2 cm, jest ono równe 2,6°C. Jak widaü, to od- chylenie powstaáo na pierwszej warstwie kompozytu. NaleĪy przypuszczaü, Īe jest to wynikiem nieszczelnoĞci izolacji termicznej páaszczyzn bocznych badanego kompozytu.

NaleĪy stwierdziü, Īe w dalszej czĊĞci badanego kompozytu róĪnica miĊdzy rozwiąza- niem uzyskanym z równaĔ modelowych a wynikami eksperymentu jest akceptowalna.

PODSUMOWANIE

W pracy zastosowano technikĊ uĞredniania tolerancyjnego do modelowania przewodnictwa cieplnego w przewodnikach periodycznie niejednorodnych. Model skonstruowany na podstawie tej techniki zaliczany jest do grupy modeli nieasymptotycznych, tzn. takich, w których rozwiązanie zaleĪy od wymiaru elementu reprezentatywnego, wystĊpuje wiĊc w takim modelu efekt skali. Opracowano i zwery¿ kowano analitycznie i doĞwiadczalnie model tolerancyjny przewodzenia ciepáa dla przewodników jedno-i dwukierunkowo periodycznych.

W opracowanych relacjach modelowych wystĊpują funkcje ksztaátu h^A, które muszą byü znane, gdyĪ bez ich znajomoĞci relacje modelowe nie są równaniami na poszukiwaną temperaturĊ i À uktuacje.

Ukáad równaĔ w modelu jest ukáadem równaĔ róĪniczkowych o staáych (uĞrednio- nych) wspóáczynnikach. Zawiera, zamiast jednego równania na temperaturĊ, ukáad rów- naĔ na temperaturĊ uĞrednioną - i À uktuacje ȥ^A.

Przeprowadzono wery¿ kacjĊ doĞwiadczalną opracowanego modelu. Wyznaczono rozkáad temperatury w kompozycie dla okreĞlonych warunków początkowo-brzegowych.

Wyniki doĞwiadczenia porównano z rozwiązaniem równaĔ modelowych. Na tej podstawie stwierdzono, Īe opracowany model w zadowalający sposób opisuje przepáyw ciepáa w przewodnikach periodycznych. W pracy zwery¿ kowano równieĪ staáe materiaáowe.

Badania te potwierdziáy opis teoretyczny.

Stwierdzono, Īe istnieją przypadki, dla których ukáad równaĔ na temperaturĊ uĞred- nioną i À uktuacje moĪna zredukowaü do jednego równania na temperaturĊ - , w którym wystĊpują staáe efektywne. W przypadku ciaá jednorodnych staáe te przyjmują postaü wspóáczynników znanych z równania Fouriera.

Na podstawie rozwiązanych przykáadów stwierdzono, Īe temperatura uĞredniona i À uktuacje są funkcjami wolnozmiennymi wzglĊdem wymiaru charakterystycznego ko- mórki periodycznoĞci i mogą byü traktowane w obrĊbie komórki jako staáe. KaĪdorazo- we sprawdzenie tego faktu jest warunkiem stosowania modelu.

Opracowany model stanowi dobrą podstawĊ do uogólnienia przypadku przepáywu ciepáa, w którym uwzglĊdniono zaleĪnoĞü staáych termicznych nie tylko od miejsca, ale i od temperatury oraz wilgotnoĞci.

PIĝMIENNICTWO

Jurczak T., 2007. Experimental veri¿ cation of heat condution in the non asymptotic model with application of the tolerance averaging technique. Seventh Ukrainian-Polish Symposium Current Problems of the Mechanics of Nonhomogenous Stuctures, Lviv, 39–40.

(14)

Acta Sci. Pol.

Jurczak T., 2011. Modelowanie tolerancyjne przewodzenia ciepáa w materiaáach periodycznie niejednorodnych. Rozprawa doktorska. Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska SGGW, Warszawa.

Jurczak T., Nagórko W., 2005. Wery¿ kacja doĞwiadczalna staáych efektywnych przewodzenia cie- páa w modelu nieasymptotycznym kompozytów warstwowych. Modelowanie w Mecha- nice 29, 181–187.

Jurczak T., Nagórko W., 2007. Multilayered Composites under the InÀ uence of Temperature – the Experimental Veri¿ cation of a Theoretical Model. W: Environmental Effects on Buildings and People. Ed. A. Flaga, T. Lipecki. Lublin University of Technology, Lublin 149–152.

Matysiak S.J., 1989. Thermal streses in a periodic two-layered composites weakened by an interfa- ce crack. Acta. Mech. 78, 95–105.

Matysiak S., Nagórko W., 1989. Microlocal parameters in a modelling of microperiodic multilayered elastic plates. Ingenieur – Archiv 59, 434–444.

Nagórko W., 1989. Páyty sprĊĪyste mikroperiodycznie niejednorodne. Journal of Theoretical and Applied Mechanics 27, 293–301.

Nagórko W., Piwowarski M., 2003. Przewodnictwo cieplne w oĞrodkach periodycznie warstwowych. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 2 (1), 31–41.

WoĨniak Cz., Wierzbicki E., 2000. Averaging techniques in thermomechnics of composite solids.

Tolerance averaging versus homogenization. Wydawnictwo Politechniki CzĊstochowskiej, CzĊstochowa.

WoĨniak Cz. et al. (red), 2010. Mathematical modeling and analysis in continuum mechanics of microstructured media. Wydawnictwo Politechniki ĝląskiej, Gliwice.

TOLERANCE MODELLING OF HEAT CONDUCTION IN PERIODICALLY NON-HOMOGENEOUS MATERIALS

Abstract. The paper concerns heat À ow modeling in chosen periodically non-homoge- neous materials. There will be applied the tolerance averaging technique to construct an averaged model of heat conduction for periodically multilayered materials. The set of equations in the constructed model will be simpler than the classical set of Fourier’s equations.

Apart of that, analytical solutions of chosen initial-boundary problems will be shown and experimentally veri¿ ed.

Key words: heat conduction, non-homogeneous conductors, homogenization

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 5.06.2014