Zastosowania metody perturbacji do oszacowania wartości własnych układów dynamicznych o parametrach niepewnych

ZESZYTY N A UK O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: BUDOWNICTWO z. 101

2003 Nr kol. 1595

Tomasz LISZKA * Politechnika Śląska

ZASTOSOWANIA M ETODY PERTURBACJI DO OSZACOW ANIA WARTOŚCI W ŁASNYCH UKŁADÓW DYNAM ICZNYCH

0 PARAMETRACH NIEPEW NYCH

Streszczenie. M etoda perturbacji pozwala na szybkie oszacowanie wartości własnych w układach poddanych zaburzeniom. Uogólniając tę metodę na liczby przedziałowe, można wykorzystać j ą do oszacowania wszystkich wartości własnych przedziałowego zadania własnego [A]x=Z[B]x, a także zadania własnego drugiego stopnia V [A ]x + X[B]x + [C]x = 0.

W teorii konstrukcji tę metodę możemy wykorzystać do oszacowania częstości drgań własnych wielowym iarowych układów dynamicznych o parametrach niepewnych oraz częstości drgań swobodnych w układach z tłumieniem.

APPLICATION OF METHOD OF PERTURBATION TO EIGENVALUES ESTIMATION OF DYNAM IC SYSTEMS WITH UNCERTAIN

PARAMETERS

Summary. M ethod o f perturbation makes possible quick estimation o f eigenvalues o f systems under disturbances. Extension o f this method over interval numbers gives possibility to estimate all eigenvalues o f interval generalized eigenvalue problem [A]x=L[B]x and second degree eigenvalue problem V [A ]x +A.[B]x + [C]x = 0 . In theory o f structures this method can be used for eigenfrequency estimation o f multidimensional dynamic systems with interval parameters and frequency o f free vibration in systems w ith damping.

1. Wykorzystanie metody perturbacji do oszacowania wartości własnych macierzy przedziałowych

Jedną z rozpowszechnionych metod przybliżonego w yznaczania wartości własnych w teorii drgań są m etody perturbacyjne. M ogą one być stosowane do przekształceń liniowych zarówno w przestrzeni rzeczywistej, ja k i zespolonej. Jeżeli znamy wartości własne i wektory własne pewnego przekształcenia samosprzężonego A, możemy poszukiwać przybliżonych wartości własnych przekształcenia A + 8A, gdzie 8A je st dowolnym przekształceniem

‘Opiekun naukowy: Prof. dr hab. inż. Jerzy Skrzypczyk.

232 T. Liszka

samosprzężonym. W ówczas poszukiwane wektory i wartości własne są funkcjami perturbacji 8A. M ożna wykazać, że przy 6A ->0, wartości własne i wektory własne przekształcenia A+8A dążą do wartości własnych przekształcenia A.

W układach dynamicznych o parametrach niepewnych zadanie sprowadza się do obliczenia wartości w łasnych i wektorów własnych układu niezaburzonego, a następnie znalezienia „poprawek” do obliczonych wielkości spowodowanych niepewnościami parametrów opisujących rozpatrywany układ. Niepewności parametrów opisujących układ będą modelowane przy użyciu liczb przedziałowych. W pracy przedstawione zostaną sposoby wyznaczenia tych poprawek dla uogólnionych zagadnień własnych przy wykorzystaniu m etody perturbacji [1].

1.1. Zastosowanie metody perturbacji do oszacowania spektrum wartości własnych uogólnionego przedziałowego zagadnienia własnego [A]x = L[B]x

Metodę perturbacji m ożna zastosować do przybliżonego wyznaczenia wartości własnych przedziałowego uogólnionego zagadnienia własnego [A]x=X[B]x. Wykorzystując własności liczb przedziałowych, macierze [A], [B] zapiszemy w postaci:

[A] =

(A

(ś

gdzie: A = mid([A]), [AA] = [-rad([A ], rad([A ])], (1)

B = mid([B]), [AB] = [-rad([B ], rad([B ])].

Oraz w dalszych obliczeniach wprowadzimy macierze perturbacji [A A J = i ^ l , [A] = A + s[AAE] ,

£ (2)

[A B J = i ^ ! , [B] = B + e[ABE].

8

Uogólnione równanie własne zgodnie z teorią perturbacji zapiszemy:

(A + 8[AAE ]) [x k ](e) = [X, ](8)(B + 8[ABE ]) [x k ](E) . (3)

Wówczas wartości własne są funkcjami argumentu e, tzn. A-i(e), 2 ,i(e ),..., ^ n(e), podobnie wektory własne xi(e), x2(s)...x„(e). M ożna wykazać, że iLk(e) i xk(e) są funkcjami ciągłymi i różniczkowalnymi argumentu 8, przy czym Xk(0)= Lk, xk(0)= xk. Jeżeli odrzucimy składniki stopnia wyższego niż pierwszy ze względu na 8, funkcje te możemy zapisać:

X.k(e) = Xk +s[AX,k] + .

x k(e) = x k + s[A x k] + .. ⁽⁴⁾

Zastosowania m eto d y p e r tu r b a c ji.. 233

Jeżeli do równania (3) podstawimy wielkości z równania (4), to otrzymamy

(A + e[AAe ]) ( x k + s[Axk ] + ...) = (A,k + e[A?ik ]...)(B + e[ABe ]) (x k + s[Axk ] + ...) (5)

Dokonując przekształceń tego równania, otrzym amy następujące związki:

Axk + A8[Axk] + E [A A Jxk + s 2[AAE][Axk] =

= X.kB x k + sX,kB[Axk] + £ kE [A B Jxk + s 2Xk[ABe][Axk] + E[AXk]B xk + (6) + s 2[AA.k ]B[Axk ] + e2 [AXk ][ABt ]x k + E3[AXk ][AB£ ][Axk ]

Po pominięciu w yrazów stopnia w yższego niż pierwszy ze w zględu na e w yrażenie (6) upraszcza się i po pom nożeniu lewostronnie przez wektor x k mamy

* k ^ x k + E xk A[Axk] + Exk[AAE]x k =

= Ź,kx kB x k +eA kx kB[Axk] + eXkx k[ABE]x k + £xk[Ak,k]B xk

Po przyrównaniu do siebie wyrażeń o tym samym stopniu ze względu na e po obu stronach powyższego równania dochodzimy do związków

e°: x kA x k = Xkx kB x k

e1: xjA [A xk] + x k[AAs ]x k = X,t x kB[Axk] + X,kx k[ABE]x k + x k[AX.t ]B xk

Przekształcając równania (8), możemy oszacować perturbacje wartości własnych, a dzięki temu oszacować wartości własne X([A],[B]) przedziałowego uogólnionego zagadnienia własnego [A]x=^[B]x

r* l T _ *k [AA£]x k ~^-kAk L k J " ---i 7 R i ~ ~

AkDAk ^

K

1.2. Zastosowanie m etody perturbacji do oszacowania spektrum wartości własnych uogólnionego przedziałowego zagadnienia własnego II stopnia

X2 [A]x + 3-[B]x + [C]x = 0

Podobnie jak w przypadku klasycznego zadania i uogólnionego problem u własnego również do oszacowania wartości własnych zagadnienia własnego drugiego stopnia

?;[A]x + /.[B]x + [C]x = 0 możemy wykorzystać metodę perturbacji. Postępując analogicznie jak w punkcie 1.1, przedziałowe macierze i wektory własne zapiszemy:

2 3 4 T. Liszka

[A] = (a + [AA]) [B] = (b + [AB]) [C] = (Ć + [AC]) gdzie: A = mid([A]), [AA] = [-ra d ([A ],rad ([A ])],

B = mid([B]), [AB] = [-rad([B ], rad([B ])], Ć = mid([C]), [AC] = [-rad([C ], rad([C ])].

W prowadzając macierze perturbacji:

[A A J = ^ , [A] = A + s [ A A J , s

[a b j= ^ 5 1 , [b] = b+e[a b j, (ii)

8

[ A C J = M [C] = Ć + e[ACe], E

uogólnione równanie własne drugiego stopnia zapiszemy w postaci:

(A.k + s[A8Xk]...)2(A + e[AAE]) ( x k + s[A x k] + ...) +

+ (X,k + e[A8A.k]...)(B + £[ABE] ) ( x k +E[Axk] + ...)+ (12) + (Ć + s [ A C J ) ( x k + e[Axk] + ...) = 0

Po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie:

(X\ A + ei\ [AAe ] + [AA.k ]A + [Ax'0 ]+ s 2 2Xk[AA.k ][AAE ] + XkB + + X.k£[ABE ] + s[AXk ]B + £2 [ AA.k ] [ABE ] + Ć + e[AĆe ])x k +

+ (eA.2 A + E2A.2k [AAe ] + s 2 2 \ [AAk ]A + e3 2 \[AAk ][AAE ] + sA.kB + s 2 Ak [ABe ]+ (13) + s 2[AAk ]B + s 3[AAk ][ABe ] + eĆ + £2[ACe ])[Axk ] = 0

Postępując analogicznie ja k w poprzednich przypadkach, pomijamy wyrażenia, w których e występuje w wyższej potędze niż pierwsza i porównujemy po obu stronach równania wyrażenia o tej samej potędze ze względu na e. Po tych uproszczeniach mnożymy lewostronnie przez wektor x k i powyższe równanie zapiszemy teraz w postaci:

A.2kx kA x k + A.kxJ[A B E]x k + [AAk]x kB x k + x k[ A C J x k =

= -2A,k[AAk] x k A x k -[A A k]x kB x k

Przekształcając równanie (14), możemy oszacować perturbacje wartości własnych:

rA. ■. - ( f c x I [ A A J x k + Akx k[ABE]x k + x k[ A C J x k) 2A.kx kB xk + x k[ABJxk

Zastosowania m eto d y p e rtu rb a c ji. 2 3 5

To ostatecznie pozw ala nam na oszacowanie wartości w łasnych k([A],[B],[C]) przedziałowego zagadnienia własnego:

*k([A ],[B ],[C ]) = K +e[AXk] = [ K , K ] - 0 « )

2. Przykłady zastosowania metod perturbacyjnych do szacowania wartości własnych układów o parametrach niepewnych

Rozważamy układ prętow y przedstawiony n a rysunku 1.

rExi

repn r Ei.Ji i OB 0 ^{r i5~i} N

1 Eł.Ja] l~EuJi 1 X

B ^{n r ~ i} 0

non 1 Ei.Ji 1 X B ^rren N

fEłJ: 1 1 EiJi 1 X 0 i i<> i 0

rE».L i 1 Ei.Ji 1 X 1 ^{n n} 0

1 Ez.L 1 fEi ,-H X 0 ^m

1 Eł.Jłl fEi JM X 1 ^m 0

fETLl 1 Ei .Jil X 0 ^{C3 ZI} H

[Ez Jzl |E

.Jil X 0 ^{c o} H

IEł /77brr /'*/ X

Z ^{f l 77 777 77} H

Rys.l. Schemat statyczny konstrukcji Fig. 1. Scheme of static structure

Dla tej konstrukcji o parametrach niepewnych, wykorzystując metodę perturbacji, oszacujemy wartości własne uogólnionego przedziałowego zagadnienia własnego [K]x=k[M]x.

W obliczeniach przyjęto następujące dane liczbowe: Ei=2.05-10n [Pa], £2=2.05-10 11 [Pa], J,= 28300-10'8 [m4], J2 38389-10'8 [m4], A K 105.73-K )-4, 112.27 10-4] [m2]

A2=244.5-10-4 [m2], L=6 [m], H=3 [m], p,=[82.998, 88.132] [kg/m], p2=191.9 [kg/m].

Wykorzystując metodę elementów skończonych i dokonując dyskretyzacji ja k na rysunku 1, zbudowano przedziałowe macierze sztywności [K] i bezwładności [M],

Stosując wzory przedstawione w punkcie 1.1., oszacowano przedziały zawierające poszczególne wartości własne. W yznaczone zbiory przedstawiono na rys. 2. Dla pokazania

236 T. Liszka

poprawności oszacowań naniesiono zbiory wartości własnych wyznaczone metodą przeszukiwania przedziałów. Przedstawione oszacowania zawierają wszystkie wygenerowane w ten sposób wartości własne.

Rys. 2. Oszacowanie częstości drgań własnych X=a>2 Fig. 2. Eigenfreąuency estimation X=a2

Przedstawiona w punkcie 1.2. metoda perturbacji dla przedziałowego zadania własnego drugiego stopnia X2 [M ]x + 3,[D]x + [K]x = 0 pozwala na uwzględnienie w konstrukcji wpływu tłumienia. W analizie drgań przyjęto macierz tłum ienia o postaci D=jiM+kK.

W spółczynniki tłum ienia k, p obliczono na podstawie bezwymiarowego współczynnika tłumienia y, którego w artość dla konstrukcji stalowych przyjęto y=0.0175. Ze względu na to, że proces tłum ienia drgań dla konstrukcji budowlanych jest trudny do dokładnego określenia, przyjęto współczynniki tłum ienia z 5% niepewnościami. W obliczeniach przyjęto przedziałowe wartości współczynników tłum ienia [p]=[0.164825, 0.182175] [s 1], [k]=[0.00030666, 0.00033894] [s]. Otrzymane oszacowania częstości drgań swobodnych konstrukcji o niepewnych parametrach z uwzględnieniem tłum ienia wraz z wartościami własnymi wyznaczonymi m etodą przeszukiwania interwałów przedstawiono na rys. 3.

Zastosowania m etody perturbacji 2 3 7

Rys. 3. Oszacowanie częstości drgań sw obodnych w układzie z tłum ieniem Fig. 3. Frequency o f free vibration estim ation in system w ith dam ping

3. Wnioski

Porównując poszczególne oszacowania wartości własnych, nasuwa się wniosek, że zastosowanie metody perturbacji do oszacowania wartości własnych je st słuszne i daje dobre wyniki dla małych niepewności parametrów opisujących konstrukcje. Podejście to pozwala na oszacowanie ju ż nie tylko zbioru, w którym zawarto wszystkie wartości własne, lecz na oszacowanie takiego zbioru dla każdej przedziałowej wartości własnej. N iew ątpliw ą zaletą tej metody poszukiwania wartości własnych m acierzy przedziałowych je st m ała złożoność obliczeniowa.

LITERATURA

1. Gelfand I.M.: W ykłady z algebry liniowej. PWN, W arszawa 1971.

2. Moore R.E.: Interval analysis. Engelwood Cliffs, New Jork 1985.

3. Chmielewski T., Zem baty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady, W arszawa 1998.

23 8 T. Liszka

4. Gomuliński A., W itkowski M.: M echanika budowli-kurs dla zawansowanych. Oficyna W ydawnicza Politechniki W arszawskiej, 1993.

5. Białas S.: Odporna stabilność wielomianów i macierzy. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków 2002.

6. Crawford C.R.: A stable generalized eigenvalue problem. Siam J. N um ber Anal., Vol. 13, No. 6, D ecember 1976, p. 854-860.

7. N eum aier A.: Interval methods for systems o f equations. Cambridge University Press, Cambridge 1990.

8. Skrzypczyk J., Liszka T.: A new method for computing the uper and lower bounds on eigenvalues o f second order dynamic systems with interval parameters. AI-MECH M ethods o f artificial intelligence in mechanics and mechanical engineering, Gliwice, November 2001, p. 243-248.

9. Skrzypczyk J., Liszka T.: The generalized interval eigenvalue problem. XL Sympozjon

„M odelowanie w mechanice”, Wisła 2001, p. 235-238.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. Stefan Jendo

Abstract

In this paper extension o f m ethod o f perturbation over interval numbers is presented. New results give a possibility to estimate all eigenvalues o f interval generalized eigenvalues problem [A]x=L[B]x and second degree eigenvalue problem X2[A jx + L[B]x + [C]x = 0.

Technical applications are illustrated by an example from the theory o f structures and lead to estimations o f eigenffequencies o f dynamic systems with interval parameters. Presented results give best approximations for systems with parameters o f not large tolerances. The great advantage o f that m ethod is its low com plexity o f computer calculations.