Zastosowanie twierdzenia Gerszgorina do oszacowania wartości własnych wielowymiarowych układów dynamicznych o parametrach przedziałowych

ZESZYTY N A U K O W E PO LITE C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: B U D O W N IC TW O z. 95

2002 N r kol. 1559

Tomasz LISZKA*

Politechnika Śląska

ZASTOSOWANIE TW IER DZENIA GERSZG O RINA DO

OSZACOWANIA W ARTO ŚCI W ŁASNYCH W IELO W YM IARO W YCH UKŁADÓW DYN AM ICZNYC H O PARAM ETRACH

PRZEDZIAŁOW YCH

Streszczenie. Tw ierdzenie G erszgorina pozw ala nam na w yznaczenie zbioru na płaszczyźnie zespolonej, w którym zaw arte są w szystkie w artości w łasne uogólnionego zagadnienia w łasnego Ax=XBx. U ogólniając to tw ierdzenie na liczby przedziałow e, m ożna wykorzystać je do oszacow ania obszaru, w którym zaw arte są w szystkie w artości w łasne przedziałowego zadania w łasnego [A]x=A.[B]x. W teorii konstrukcji obszary te m ożem y wykorzystać do oszacow ania częstości drgań w łasnych i analizy stabilności wielowymiarowych układów dynam icznych o param etrach niepew nych.

GERSHGORIN THEOREM APPLICATION TO EIGENVALUES

ESTIMATION OF MULTIDIMENSIONAL DYNAMIC SYSTEMS WITH INTERVAL PARAMETERS

Summary. G ershgorin theorem m akes it possible to determ ine a set o f disks containing all eigenvalues o f generalized eigenvalue problem Ax=LBx Extension o f th is theorem over interval num bers gives possibility to estim ate the region containing all eigenvalues o f interval generalized eigenvalue problem [A]x=A.[B]x. In theory o f structures the G ershgorin regions can be used fo r eigenfrequency estim ation and stability analysis o f m ultidim ensional dynam ic systems w ith interval param eters.

1. Twierdzenie Gerszgorina dla macierzy przedziałowych

W pracy rozpatryw ane będzie tw ierdzenie G erszgorina, które zostanie w ykorzystane do oszacowania w artości w łasnych uogólnionego zagadnienia w łasnego o postaci A x=/.B x dla macierzy o niepew nych param etrach A e [A ] i B e [B ], Z potrzebą oszacow ania tych w ielkości spotykamy się często w zagadnieniach inżynierskich, w szczególności w analizie stabilności

* Opiekun naukow y: D rh a b . inż. Jerzy Skrzypczyk, prof. Politechniki. Śląskiej

dynam icznej system ów technicznych, w których param etry są znane tylko z pew ną tolerancją.

W iele kryteriów stabilności opiera się na analizie położenia w artości własnych na płaszczyźnie zespolonej, i na tej ocenie ro zstrzy g ają czy układ dynam iczny je s t stabilny czy też niestabilny. Przedstaw ione w dalszej części pracy tw ierdzenia pozw alają na zlokalizow anie w artości w łasnych układów w ielow ym iarow ych układów dynamicznych o param etrach przedziałow ych na płaszczyźnie zespolonej, a w zw iązku z tym na ocenę stabilności tych u k ła d ó w .

1.1. T w ierdzenie G erszgorina dla uogólnionego zagadnienia w łasnego Ax=LBx

W pracy zo stan ą podane now e form y tw ierdzenia G erszgorina, które pozw olą na lokalizację w artości w łasnych na płaszczyźnie zespolonej w ielow ym iarow ych układów.

W dalszej części pracy stosow ana będzie notacja: R - zbiór liczb rzeczyw istych, R" - zbiór w ektorów rzeczyw istych, R nxn - zbiór m acierzy rzeczyw istych o w ym iarach nxn. Zbiór przedziałów rzeczyw istych IR oraz IR" - zbiór w ektorów przedziałow ych, IRnxn - zbiór m acierzy przedziałow ych. W pracy będzie używ ana norm a w ektora przedziałow ego ^{[x j]g} IR”

zdefiniow ana następująco ¡IX ] | = ¿ | [ x , ]|, gdzie |[x ,]| = m a x (x :|, \xj\).

i=i

D la każdej pary przedziałow ych m acierzy A e [A ] i B e [B ], gdzie [A], [B jelR ™ w artości w łasne przedziałow ego uogólnionego zadania w łasnego [A]x=X[B]x zaw ierają się w obszarach G erszgorina zdefiniow anych następująco:

gdzie:

IG G ([A ],[B ]) = Q lG G ,( [ A ] ,[ B ] ) ,

Z I M M - P J

I,

7GG,([A],[B]) = U

aU^[all]

bu^u) b.

b | = max

b!

ij= l,2 ,...,n .

(1)

(2)

Aby udow odnić to tw ierdzenie, rów nanie charakterystyczne Ax=XBx zapiszem y w postaci:

n n

a „ x , + Z a ux j = ^ ( b iix i + Z b >ix i)>

(

)

Zastosowanie tw ierdzenia G erszgorina do. 341

a następnie przekształcając je m ożem y obliczyć w artości własne:

(a,,Xi + Z 3 .jx j)

^ = 77 x y . (4 )

(b uXi + 2 - b ux j )

Jeżeli ponadto przyjm iem y, że i-ta w spółrzędna w ektora x przyjm uje w artość m aksym alną, tj.

|x l = m ax|xk| = 1, m ożem y zapisać:

I I k 1 1

h .

n

a ,,+ Z a .)x i a ,,(b ,,+ Ż b #x i ) - b H( a B+ ¿ a ^ )

a ii j=l.j*i j=Uj**

ba b “ b „ + ¿ b , Jx i b „ ( b ,,+ ¿ b jjXj)

Z ( a ub ii b ija jj) c :

11

Z | a ub . j - b .ia ij|x j

1

n

Z | a iib U_ b Ha u|

bu2 + bii ¿ b yx j b fi2 + b a ¿ b ljXj j-U *

bii2 + b u ¿ b ijXj M.j*i

Mając na uw adze, że elem enty m acierzy są liczbam i przedziałow ym i a¡j e [ a .J , b y e [ b s ], działania na tych liczbach wykonam y zgodnie z arytm etyką przedziałow ą, uw zględniając, że

[0 jeżeli 0 e [ x ~ , x ł ] infimum m odułu liczby interw ałow ej definiujem y (x ) =

^min jx ~ |,|x + |) jeżeli 0 « [ x ' , x ' ]

ostatecznie w ielkość

b oszacujem y:

sup ¿ | a iib ij- b ija ij|

bi* bj)

l | a i,][b,J] - [ b , 1][ a u]|||

in f

M Mb 2 -t-b Y b xu u / , ij j

j = l . j * i

b:

(

)

gdzie:

b! = max

M i * j

W wyrażeniu (6) m ianow nik został oszacow any następująco:

n

b«2 + bu X bijXj > bu2- bii ¿bjjXj > b«2 - ¿ b ubijXj

b «2 - Z h b i j l h

> max

> max

b a 2 - Z M i j

o ,b H2 - Z M 4 z h b u |- b « 2 j=l.j*i j=l.j*i

(7)

0,<[bu]2> - Z ¡[b iiltb ijl

».i**

= b[ c.n.d.

W ten sposób oszacow any został zb ió r w artości w łasnych rów nania [A]x=A.[B]x o m acierzach przedziałow ych. T w ierdzenie to m ożna w ykorzystać do analizy stabilności w ielow ym iarow ych układów dynam icznych, których ruch opisuje rów nanie różniczkowe L agrange’a II rodzaju [M ]y + [D]y + [K ]y = 0 . Przekształcając je do układu równań różniczkow ych pierw szego rzędu:

[K ] 0 11*1 _ { 0 M l i *

0 [M ]J{xJ 1 -[K ] [D ]j1xJ ’

które m ożem y zapisać [B]ż=[A]z, dla którego badanie stabilności i oszacow anie częstości drgań w łasnych sprow adza się do analizy uogólnionego zagadnienia własnego ([A R [B ])w = 0 .

1.2. T w ierdzenie G erszgorina dla przedziałowych m acierzy sym etrycznych (IG SG )

M acierze przedziałow e m ożem y zapisać w postaci:

[A ] = m id([A ]) + [AA], [B] = m id ([B ])+ [A B ],

(9)

gdzie:

7 w r f ([ A ] ) = 0 . 5 ( A + A +), [AA] = [AA- = -0 .5 ( A + - A ') , AA + = 0 .5 (A + - A ') ] (10) 7w/£/([B]) = 0.5(B - + B +), [AB] = [A B ' = -0 .5 ( B + - B ' ) , A Bł = 0.5(B* - B ' ) ] .

Jeżeli ponadto m acierze m id([A ]) i m id([B]) są sym etryczne, m ożem y dokonać równoczesnej diagonalizacji tych m acierzy m nożąc obustronnie m acierze [A], [B] przez macierze diagonalizujące V 'V , gdzie V 1 V = 1. P o w ykonaniu tych działań otrzymujemy.

[E] = E + [A E ], [F] = F + [ A F ] , (11)

Zastosowanie tw ierdzenia G erszgorina do. 343

gdzie:

E = V ~ W ( [ A ] ) V , {AE = V “'A A V : AA e [A A]}= [AE] = V '[AA ]V F = V “W c/([B ])V , {AF = V “'ABV : AB e [A B]}= [AF] = V~'[AB]V

( 12 )

M ożem y teraz pow iedzieć, że dla każdej pary przedziałow ych m acierzy E e [ E ] i F e [F ], gdzie [E], [F ]E lR nxn w artości w łasne przedziałow ego uogólnionego zadania własnego zapisanego teraz w postaci [E]x=X[F]x zaw ierają się w obszarach G erszgorina, zdefiniowanych następująco:

IG S G ([E ],[F ]) = U lG S G 1([E ],[F j), (13)

gdzie:

IG S G ,([E ],[F ]) = X:

f„

^ i M A f - j - f J A e ^

• j=l __

A f;=

A f'

, ij=l,2,...,n.

(14)

Równanie charakterystyczne Ex=X,Fx m ożem y zapisać:

eiiXj + £ A e ijx j = k ( f iix i + 2 A f ijXj).

j=i j=i

Przekształcając to rów nanie, obliczym y w artości własne:

(®iix i + Z A e Ux j )

( f n X i + Z AfijXj)

(15)

(16)

Jeżeli podobnie przyjm iem y, że i-ta w spółrzędna w ektora przyjm uje w artość m aksym alną, tj.

|Xj| = m ax |x k| = 1, m ożem y zapisać:

eu + f A e r

* u ij j

eii 7= 1

« , , ( / „ + Z Af j x j) ~ f « ( f , ^{+ Z A e .J} Xj )

'f u

/ = !

U f , + ¿ 4 U * ,)

7 = 1

f i

j=i

f ii ( f ii - X A f .jx j ) j=i

X | ( ® i i i i - f ii A e j j ) |x j | ¿ | ( e uA f y - ^ A e ^

f | + f i i Z Afijx j

j=l

f , f + f iiX A f IJx J j=i

(17)

Jeżeli w dalszych przekształceniach uw zględnim y niepew ności param etrów , to elementy

m acierzy Aeije[Aeij], Afye[Afij] są liczbami przedziałow ym i i ostatecznie w artość

m ożem y oszacow ać:

W 1 H I (' iiMU _fiiA eij)l S ||( S 1,[Af,J] - f ii[Aeij])||

AfyelAfjj] fii + f i i Z Afux jin f

A f;'

gdzie:

A f / = m a x 0 , f u 2 - ^ ¡fji [Afjj J

(18)

Tę postać tw ierdzenia G erszgorina m ożem y w ykorzystać do w yznaczenia spektrum częstości drgań w łasnych w ielow ym iarow ych układów dynam icznych opisanych równaniem różniczkow ym drugiego rzędu [M ]y + [K ]y = 0 . R ów noczesna diagonalizacja tych macierzy um ożliw ia sprow adzenie tego problem u do analizy zdania w łasnego o postaci (E+[AE])x=X(F+[AF])x.

Zastosowanie tw ierdzenia G erszgorina do. 345

2. Przykłady zastosow ania twierdzenia Gerszgorina do oszacowania wartości własnych

Rozw ażam y układ prętowy przedstaw iony na rysunku 1. D la tej konstrukcji o parametrach niepew nych, w ykorzystując tw ierdzenie G erszgorina oszacujem y zbiór w artości własnych uogólnionego przedziałow ego zagadnienia w łasnego [K]x=A,[M]x.

W obliczeniach przyjęto następujące dane liczbow e: E i= [1.948-10u , 2 .1 5 2 1 0 11] [Pa], E2= 2 .0 5 1 0 u [Pa], J,= 28300 10'8 [m4], J 2=[36469.5 10'8, 40308.5-10'8] [m4], A i=109-10‘4 [m2]

A2=244.5 10'4 [m2], L=6 [m], H=3 [m], pi= 85.6 [kg/m], p 2=191.9 [kg/m].

W ykorzystując m etodę elem entów skończonych i dokonując dyskretyzacji ja k na rysunku 1., zbudow ano przedziałow e m acierze sztyw ności [K] i bezw ładności [M ], M acierze te są symetryczne, dlatego do oszacow ania zbioru w artości w łasnych w ykorzystano tw ierdzenie przedstawione w punkcie 1.2. W yznaczając zbiór IG SG ([K ], [M ]) w g w zoru (13) m ożem y oszacować zb ió r w artości w łasnych X=to2, a przez to w szystkie częstości drgań w łasnych tej konstrukcji o param etrach niepew nych.

1 Ei.Jj 1 IE1.J1I 35

§

H

1 Ei,Ji | 1 E‘.Ji 1

X

i

1 E U . 1 1 Ë1.J11

X

1 EîJi 1

IÜ Ü .I

X

1 E J i l 1 Ei.Ji 1

X

1 Ei.Ji 1 I E .J .I

X

1 Ej ,Jt|

1Ei ,J i1

X

|E i J d ŒlÜ

X

|Ez ,Jd

IŁTZ1

X

i n ' i

fi

IE2 ,J.|

/7 7* 7 7 z t s

X

7 7 — *

0 ^7T

Rys.l. Schemat statyczny konstrukcji Fig. 1. Static structure

O szacow any zbiór w artości w łasnych przedstaw ia rysunek 2.

Rys.2. Oszacowanie zbioru wartości własnych Eig([K], [M]) Fig.2. Set o f eigenvalues Eig([K], [M]) estimation

Rys.3. Oszacowanie zbioru wartości własnych Eig([K|, [M]) Fig.3. Set o f eigenvalues Eig([K], [M]) estimation

Zastosowanie tw ierdzenia G erszgorina do. 347

Te same obliczenia w ykonano dla innych niepew ności param etrów konstrukcji. D la danych liczbowych E ,= [2 .0 9 1 0 n , 2.09-1011] [Pa], E 2= [2.09-10n , 2.09-1011] [Pa], J,= 28300-10‘8 [m4], J2=[36469.5-10'8, 40308.5-KT8] [m4], A i= 1 0 9 1 0 4 [m2] A 2=244.5-10'4 [m2], L=6 [m], H=3 [m], pi=85.6 [kg/m], p2=191.9 [kg/m], oszacow anie zbioru w artości w łasnych przedstaw ia rysunek 3.

Rysunek 4 przedstaw ia oszacow ania zbioru w artości w łasnych konstrukcji o czterech niepewnych param etrach. Przyjęte do obliczeń wartości param etrów : E i= [2 .0 9 1 0 n , 2.09-1011] [Pa], E 2= [ 2 .0 9 - 1 0 11, 2.09-1011] [Pa], J,= [2 6 8 8 5 -1 0 8, 29715-10'8] [m4], J2=[36469.5-10'8, 40308.5-10 '8] [m4], A i= 1 0 9 1 0 '4 [m2],A 2=244.5 10'4 [m2], L =6 [m],

H=3 [m], pi= 85.6 [kg/m], p2=191.9 [kg/m].

Rys.4. Oszacowanie zbioru wartości własnych Eig([K], [M]) Fig.4. Set o f eigenvalues Eig([K ], [M]) estimation

3. Wnioski

B ezpośrednie zastosow anie liczb przedziałow ych do m odelow ania niepew ności prow adzi czasem do zgrubnego oszacow ania rozw iązania, poniew aż m etoda ta nie uw zględnia zależności param etrów układu m echanicznego.

Porów nując poszczególne oszacow ania w artości w łasnych, nasuw a się wniosek, że zastosow anie tw ierdzenia G erszgorina do oszacow ania zbioru w artości w łasnych jest słuszne i daje dobre w yniki dla m ałych niepew ności param etrów opisujących konstrukcje.

N iew ątpliw ą zaletą tej metody ( w porów naniu np. do m etod kraw ędziow ych) poszukiwania w artości w łasnych m acierzy przedziałow ych je s t m ała złożoność obliczeniow a.

L ITER A TU R A

1. A rgoun M . : O n sufficient conditions fo r the stability o f interval m atrices, Int. J. Control, 44, 1986, 1245-1250.

2. Chen J.: Sufficient Conditions on Stability o f Interval M atrices: C onnections and New R esults, IEEE Trans, on Aut. Control, 37, 1992, 541-544.

3. Elgindi E i-G ebeily M A ., M oustafa A.F.: Im proved M argin o f Stability o f Interval M atrices, JSM E International J., 41, 1998, 90-93.

4. H einen J.A.: Sufficient conditions for stability o f interval m atrices, Int. J. Control, 39, 1984, 1323-1328.

5. Juang Y-T., Shao C. S.: Stability A nalysis o f D ynam ic Interval Systems, Int. J. Control, 49, 1989, 1401-1408.

6. Xu D.: Sim ple criteria for stability o f interval m atrices, Int. J. Control, 41, 1985, 289-295 7. Y edavalli R.K.; Stability analysis o f interval m atrices: another sufficient condition, Int. J.

Control, 43, 1986, 767-772.

8. Skrzypczyk J., Liszka T.: W arunki w ystarczające stabilności system ów przedziałow ych w oparciu o uogólnione tw ierdzenie G erszgorina, X LI Sym pozjon M odelow anie w m echanice, W isła 2002, 169-170.

R ecenzent: Prof. d rh a b . inż. C zesław Szymczak

A bstract

In this paper G ershgorin theorem extension over interval num bers is presented. New results give a possibility to estim ate regions containing all eigenvalues o f interval generalized eigenvalues problem [A]x=X[B]x. Technical applications are illustrated by an exam ple from the fram e structure and lead to estim ations o f eigenfrequencies o f m ultidim ensional dynamic system s w ith interval param eters. Presented results give the best approxim ations for systems with param eters o f not large tolerances. The great advantage o f that m ethod is its low com plexity o f com puter calculations.