Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚL Ą S K IE J
Seria: A U T O M A T Y K A z . 1 0 9
_______ i a
Nr kol. 1175
E ugeniusz Toczylow ski
I n s ty tu t A u to m a ty k i P olitechniki W arszaw skiej
A L G O R Y T M Y H A R M O N O G R A M O W A N I A P R O D U K C J I P O R C J A M I O N I S K I E J Z Ł O Ż O N O Ś C I O B L I C Z E N I O W E J 1
A L G O R I T H M S W I T H L O W C O M P L E X I T Y F O R T H E U N C A P A C I T A T E D L O T - S I Z E S C H E D U L I N G P R O B L E M S
A L G O R I T H M E N D E R H A R M O N O G R A M M B I L D U N G F Ü R D E E P R O D U K T I O N IM P A R T I E N M I T N I E D R I G E N R E C H E N K O M P L I Z I E R H E I T
S treszczenie:
W p ra c y p rzed staw io n o now e podejście do ro zw iązy w an ia w ieloetapow ych problem ów harm ono- g ram o w an ia p ro d u k cji p o rcjam i w y k o rzy stu jące właściwości funkcji kawaäami liniow ych wklęsłych.
O pracow ano a lg o ry tm o złożoności 0 ( 7 ' log T ) d la pro b lem u h arm o n o g ram o w a n ia bez zaległości z w y stę p u jący m i k o sz tam i w znaw iania p ro d u k cji lu b rezerw acji zasobów o raz a lg o ry tm o złożoności 0 ( T 2) d la p ro b lem u z zaległościam i.
S u m m ary : T h e p a p e r p re se n ts a novel a p p ro a c h for solving th e m u ltista g e u n c a p a c ita te d lot-size sc h ed u lin g p ro b le m s, w hich e x p lo its th e p ro p e rtie s of th e piecew ise concave lin e a r fu n ctio n s. An 0 ( T \ o g T ) a lg o rith m is developed for p ro b lem s w ith s ta rtu p an d reserv atio n costs as well as an 0 ( T 2) a lg o rith m for th e u n c a p a c ita tc d pro b lem w ith backlogging allow ed.
Zu sa m m e n fa ss u n g : Im B e itra g w ird eine n eu e E in ste llu n g zu m L ösung d e r P ro b le m e au s m eh- rere E ta p p e n b e ste h e n d e H arm o n o g ra m m b ild u n g fü r die P ro d u k tio n im P a rtie n m it d e r A u sn u t
zung d e r E ig e n sch aften d e r streck en lin earen F u n k tio n en . E in A lg o rith m u s m it K om plizierheit 0 ( t log T ) für die H a rm o n o g ra n rb ild u n g o h n e R ü c k stä n d e u n d m it K o ste n d e r W ied erau fn ah m e d er P ro d u k tio n o d er K o ste n des V o rb eh altes des Ressourcen sow ie ein A lg o rith m u s m it K om pu- zierh cit 0 ( T 2) m it R ü c k stä n d e w erden d e m o n strie rt.
1 . Sform ułowanie problemu
W k lasy czn y m sform ułow aniu W ag n era i W h itin a [7] w p o d sta w o w y m p ro b lem ie harm o n o g ram o w a n ia p ro d u k cji p o rc ja m i w ho ry zo n cie czasu złożonym z T e tap ó w je s t rozw ażan a p ro d u k c ja porcji p o je d y n czego w y ro b u , d la k tó reg o je s t zn a n e z a p o trzeb o w an ie w każdym z e ta p ó w . W znow ienie produkcji w d a n y m e ta p ie w ią ż e się z p o w sta w an iem niezerow ego ko sztu w znaw iania, niezależnego o d wielkości p ro
dukcji w d a n y m e ta p ie . W p ro b lem ie ty m należy w yznaczyć e ta p y p ro d u k c y jn e o raz wielkości porcji p ro d u k cy jn y ch w e ta p a c h , ta k aby zrealizow ać zap o trzeb o w an ie w k ażd y m e ta p ie oraz zm inim alizow ać su m a ry c z n e koszty w zn aw ia n ia p ro d u k c ji, ko szty sam ej p ro d u k cji o raz koszty m ag azy n o w a n ia . M a te m a ty czn ie p ro b le m p o d sta w o w y zap isu jem y n astęp u jąco :
P r o b l e m P
T
m in z = $!(*<«< + x t + ht i ? ) ( i i )
(1.2) (1.3) (1.4) (1-5)
’ P ra c a częściowo finansow ana przez K o m ite t B ad ań N aukow ych
2 8 8 E. Toczvlowski
przy czym zm ien n e d ecyzyjne z a d a n ia to : x , — wielkość pro d u k cji w o kresie i , v. - z m ie n n a b in a rn a rów na je d e n , gdy w e ta p ie i w znow iono p ro d u k cję w y ro b u , 7,+ — sta n zap asu w y robu n a koniec e ta p u i. P a ra m e tra m i z a d an ia są : s t - koszt w znaw iania p ro d u k cji, Ct - je d n o stk o w y koszt p ro d u k cji w e ta p ie t, oraz h j koszt m ag azynow ania je d n o stk i w yrobu w e ta p ie , d, - z a p o trzeb o w an ie n a w y ró b w e ta p ie t, iV/, - d o sta te czn ie d u ż a sta ła , nie o g ra n ic z a ją c a wielkości porcji w e ta p ie i. W lite ra tu r z e pow yższy problem je s t nazyw any d y n a m i c z n y m za dan ie m harmon og ramo w an ia produkcji po rc ja m i bez ograniczeń zasobowych (ang. u n c a p a c ita te d lot-size scheduling p ro b lem ). P ro b le m te n m o ż n a p rz ek sz ta łc ić do po
staci rów now ażnej, w k tó re j e lim in u je się zm ien n e b in a rn e (u ,), n a to m ia s t fu n k cja celu s ta je się nieciągła i w klęsła w zględem x . Z właściwości p ro b lem u m inim alizacji funkcji w klęsłej n a w ielościanie w ypukłym w ynika, że rozw iązań o p ty m aln y ch m o ż n a p oszukiw ać w zbiorze p u n k tó w w ierzchołkow ych w ielościanu, którym o d p o w ia d a ją ro z w ią z a n ia bazow e. Ze s tr u k tu r y ograniczeń (1-2) w ynika, iż d la ro z w ią z a n ia b azo wego w każd y m ró w n an iu (1.2) d o k iad n ie je d n a z m ie n n a It - 1 lu b x t m oże p rz y b ie ra ć w artości niezerow e, czyli rozw iązan ie sp e łn ia w aru n ek / i_ ix , = 0, i = 1, M ów iąc in a c z e j, n iezerow a p ro d u k c ja x , w okresie t je s t m ożliw a ty lk o p o w yzerow aniu sta n u zapasów /,_ ! n a koniec e ta p u po p rzed n ieg o . Pow yższa w łaściwość s ta ła się p o d sta w ą o p raco w an ia przez W a g n e ra -W h itin a alg o ry tm u o złożoności 0 ( T 2) o p a r
tego n a m eto d zie p ro g ram o w a n ia d y nam icznego [7].
W p rz y p a d k u gdy są d o puszczalne zaległości w w ysyłce w y ro b u , a fu n k cje k ary za nieterm inow ość są liniowe, ro zw aża się n a s tę p u ją c e z a d a n ie harm o n o g ram o w a n ia :
P r o b l e m P B
T
m in Z = £ > < ” < + °tx i + K K + K K ) (1-6)
1= 1
przy ograniczeniach
i t i - c , + * . - k + /,- = d, (1.7)
0 < Xt < M ,v , (1.8)
n - K > 0 (1-9)
5- 1! H II O C* <h {0.1} (1-10)
przy czym /,“ je s t z m ie n n ą o z n a c z a ją c ą n ieu jem n y s ta n zaległości w w ysyłce w y robu n a koniec e ta p u i.
n a to m ia st I t — I * — /,“ je s t su m a ry c z n y m sta n e m zap asu w y robu n a koniec e ta p u t m o g ący m p rzy b iera ć w artości zarów no d o d a tn ie , ja k i u jem n e (to o sta tn ie o zn acz a zaległość). P a r a m e tr h j o zn acz a koszt zaległości w ysyłki je d n o stk i w y robu w e ta p ie t. D la pow yższego p ro b le m u a lg o ry tm o n a jn iż sz e j złożoności obliczeniowej 0 { T 3) został p o d an y przez Z angw illa [8].
P ro b le m p odstaw ow y P w sform ułow aniu k lasy czn y m je s t często w y k o rzy sty w an y p rzy rozw iązyw aniu bardziej złożonych, a z arazem b a rd z ie j realisty czn y ch problem ów h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k c ji lub o d n aw iania zapasów w ielu w yrobów po relaksacji ograniczeń m agazynow ych lu b p ro d u k cy jn y ch [4j. Model ten n ie ste ty n ie uw zględnia w pływ u sta n u końcow ego sy ste m u z p o p rzed n ieg o e ta p u n a w a ru n k i produkcji w n astęp n y m e ta p ie , m oże więc być dość dok ład n y tylko w p rz y p a d k u w y k o rzy sty w an ia zasobów pro d ukcyjnych w je d n y m e ta p ie przez wiele wyrobów, gdy długości etap ó w są d o sta te c z n ie długie, czyli gdy k ontynuow anie p ro d u k cji d anego w yrobu w dw óch okresach są sia d u ją c y c h nie je s t zjaw iskiem częstym .
W p rz y p a d k u gdy okresy czasu są k ró tk ie , gdy p ro d u k c ja je d n e g o w y robu m o że trw a ć naw et przez kilka etap ó w bez p rzerw an ia, w pływ st an u z okresu p o p rzed zająceg o n a koszt realizacji p ro d u k c ji w okresie bieżącym je s t zasadniczy. D la tak ieg o p rz y p a d k u b ard ziej ad e k w a tn e m o d ele w in n y uw zględniać, obok kosztów w zn aw ian ia, koszty rezerw acji zasobów w p rz y p a d k u , gdy je s t k o rz y stn e w zn aw ia n ie p ro d u k cji w jed n y m z okresów p o p rz e d z a ją c y c h i u trz y m a n ie w sta n ie a k ty w n y m zasobów (czyli rezerw acja zasobów ) aż do okresu b ieżącego [3] o raz ew en tu aln ie koszty zw aln ian ia zasobu [2). Z nany w lite ra tu r z e p rz e d m io tu problem h arm o n o g ram o w a n ia z k osztam i w zn aw ia n ia i rezerw acji [3] m o ż n a zap isać n a stę p u ją c o : P r o b l e m P R
T
m in Z - X > . « h + k tyt + c,x, + h f I ? )
1=1
przy ograniczeniach
K - i + xi - K = ( 1. 12)
H arm o n o g ra m o w an ie p ro d u k cji p o rcjam i ...___________________________________________ 2 6 9
0 < x , < M , y , ( i . |3 )
y i - y i - i < «t (.1.1-1)
/,* > 0 (1.15)
Ią = It = 0; v t, y t £ {0,1} (1.161
gdzie y, je s t z m ie n n ą b in a rn ą ró w n ą je d e n , g d y w e ta p ie i zarezerw ow ano zasoby n a p ro d u k cję w yrobu, n a to m ia st k, je s t k o sztem rezerw acji zasobu gotow ego do pro d u k cji w e ta p ie t (ew. kosztem zw iązania zasobu ta k , że n ie m o żn a go w ty m czasie w ykorzystyw ać do pro d u k cji innego w y ro b u ). P o zo sta łe zm ienne oraz p a ra m e try z a d a n ia zo stały zdefiniow ane w p ro b lem ie P . D la pow yższego z a d a n ia K a rm a rk a r i in.
[3] po d ali a lg o ry tm o n ajn iższej z!ożonos'ci obliczeniow ej 0 ( T 3).
D la w ygody dalszych rozw ażań pokażem y te ra z , że b ez s tra ty ogólności m o żn a rozw ażać jed y n ie szczególne p rz y p a d k i problem ów P , P R , P B , w k tó ry c h koszty m ag azy n o w a n ia są zerowe, czyli h* - 0 V/.
W ł a s n o ś ć 1 , R ozwi ąza ni a o pt ym al ne problemu P B są identyczne z rozw ią za ni am i op ty m a ln ym i pro- blemu pr zet ransf orm ow ane go P B , z na stę p u ją c ym i współczynnikami: ś t = _ s , . £ , = c, — E .< i h * , h * =
0,A,- = h i + h f .
Dowód. W celu elim inacji zm iennych /,+ zauw ażm y, że l j - I j = E i<t<c»(it — d ,). S tą d
EL
ih* l j =£ L i E i< . x , - dt ) + E L i ^ I i = E L i E ,> r * i + ¿ L i 'n i K ~ ¿ L i h i E»<i d, . D okonaliśm y za- tern rów now ażnej tra n sfo rm a c ji problem u P B do problem u P B z n a s tę p u ją c y m i w spółczynnikam i: s, - s, , c , = c, + E L , ń ,, h j = 0, h i = h i + h j . O djęcie od wszystkich w spółczynników kosztu c , , t = 1... '/
sta łe j
EL
ih t n ic z m ien ia rozw iązań z a d a n ia P B , m o żn a za te m p rzy jąć c, = c, — E»<t h j .OW p rz y p a d k u b ra k u zaległości d la problem ów P, P R o trzy m u je m y dowód analogicznej tran sfo rm ac ji po przyjęciu I i = 0 Vi. W dalszej części p ra c y zak ład am y z a te m , że we w szystkich rozważnych dalej problem ach h i = 0 Vi.
Pow yższe i zbliżone p o sta c i zadań h arm o n o g ram o w a n ia p o ja w ia ją się często jak o p o d p ro b lem y ob
liczeniowe w ielu sy stem ó w p lan o w an ia p ro d u k cji, n p . M R P , M RP11. N aw et w tedy, gdy w algorytm ach p lan o w an ia p ro d u k cji n ie uw zględnia się ograniczeń zasobow ych, a rozw aża się o ddzielnie h a rm o n o g ra
m ow anie p ro d u k cji p o jed y n czy ch w yrobów , lic z b a rozw ażanych w yrobów sięga zazw yczaj wielu tysięcy i pow yższe alg o ry tm y d o k ład n e są uw ażane za z b y t praco ch ło n n e. W p ra k ty c e są najczęściej stosow ane ró żn o ro d n e alg o ry tm y h e u ry sty c z n e [1]. E fektyw ność stosow ania w p ra k ty c e bardziej złożonych m etod h arm o n o g ram o w a n ia p ro d u k cji wielu w yrobów p rzy w ystępow aniu w spólnych ograniczeń zasobow ych:
np. m e to d w y k o rzy stu jący c h relak sac je L ag ran g e‘a ograniczeń zasobow ych, w ym aga z a te m poszukiw ania bard ziej efektyw nych a lg o ry tm ó w d o kładnych dla problem ów P, P R i P B .
O sta tn io W agelm ans, Hoesel i Koleń [6] uzyskali efektyw ny alg o ry tm d la pro b lem u P, k tórego złożoność je s t ró w n a 0 ( T \ o g T ) . A lg o ry tm te n , p o d o b n ie ja k alg o ry tm W a g n e ra -W h itin a ,je st alg o ry tm e m typu p ro g ram o w a n ia d y n am iczn eg o w y k o rzy stu jący m re k u rsję z w ro tn ą . A lg o ry tm te n jest dość złożony i b ezpośrednio zw iąza n y z efek ty w n ą m e to d ą ro zw iązyw ania pro b lem u dualn eg o do z ad an ia równoważnego sform ułow anego w p o sta c i p ro b lem u lokalizacji o b iek tu [fc>]. M e to d a w y k o rzy stu je szczególne właściwości s tr u k tu ra ln e p ro b lem u i n ie z o s ta ła uogólniona n a w ersje P R . P B problem u harm o n o g ram o w a n ia p or
cjam i.
W tej p ra c y p rzed staw ia m y in n e po d ejście do rozw iązyw ania w ieloetapow ych problem ów h arm o n o g ra
m ow ania p ro d u k cji p o rc ja m i, w którym k ry te riu m jakości tra je k to rii o p ty m aln y ch je s t p a m ię ta n e i uaktti aln ian e efektyw nie, w y k o rz y stu ją c do tego właściwości funkcji kaw ałam i liniow ych wklęsłych. W wyniku w y k o rzy stan ia ty ch właściwości opracow ano stosunkow o p ro ste a lg o ry tm y harm o n o g ram o w a n ia produkcji po rcjam i o n ajn iższej zn an ej d o ty ch czas złożoności obliczeniow ej. W rozdziałach 2 i 4 p o d an o algorytmy o złożoności O ^ l o g T ) d la pro b lem u P oraz d la problem u h arm o n o g ram o w an ia P R z w ystępującym i kosztam i rezerw acji. W ro zd ziale 3 przed staw io n o a lg o ry tm o złożoności O I T J ) dla pro b lem u P B z za ległościam i. P rz e d sta w io n ą w p ra c y m e to d ę m o ż n a w ykorzystyw ać do ro zw iązyw ania innych problem ów h a rm o n o g ram o w a n ia , przy k ład o w o d la problem u P w p rz y p a d k u w y stęp o w an ia ograniczeń n a pojem ności m ag azy n ó w m o żn a uzyskać alg o ry tm o złożoności 0 ( 7 ’*) [5j.
2 9 0 E. Toczylowski
2 , A lgorytm rozwiązywania problemu podstaw ow ego
M e to d a rozw iązyw ania problem u P w ynika z jeg o rep re zen tacji w p o sta ci w ieloetapow ego problem u decyzyjnego złożonego z T e ta p ó w , przy czym obliczenia s ą realizow ane począw szy od e ta p u pierw szego.
W e ta p ie i rozw aża się, w zależnos'ci od kosztów , b ą d ź m ożliw ość p ro d u k cji oraz m ag azy n o w a n ia w tym etap ie, b ąd ź te ż je d y n ie m ag azy n o w a n ie w ty m e ta p ie w yrobów w yprodukow anych w o kresach p o p rz e d zający c h . W ty m p ierw szy m p rzy p ad k u niezerow a p ro d u k c ja x , w okresie t je s t m ożliw a tylko po wy
zerow aniu sta n u zapasów n a koniec e ta p u p oprzedniego. (P rz y p o m n ijm y , że koszty m ag azynow ania przyjm ujem y za zerow e.)
W prow adźm y zm ien n ą d ecy zy jn ą x o z n a c z a ją c ą w e ta p ie i łą c z n ą (zak u m u lo w an ą) liczbę d otychczas w yprodukow anych w yrobów , począw szy od e ta p u pierw szego. O znaczm y przez Q ' ( x ) fu n k cję o k re śla ją c ą opty m aln y koszt p ro d u k cji (i m agazynow ania) w okresach 1... £ p rz y założeniu realizacji zakum ulow anej produkcji x.
K luczow ym e lem en tem a lg o ry tm u je s t rek u re n c y jn e w y zn aczan ie w ykresu funkcji Q ' { x ) n a podstaw-ie znanego w ykresu funkcji Q ,_1(x ). W y k res funkcji Q !( x ) je s t określony d la x > D t , gdzie D, = E «<i d, oznacza zak u m u lo w an ą wielkość zap o trzeb o w an ia n a koniec e ta p u t. W p ierw szy m e ta p ie Q ’ (x ) je st funkcją stałej o p łaty , gdyż <?‘ (0) - 0 oraz dla x > 0 w artość Q ‘ (x ) = sj + C]X. W dalszych e ta p a c h , jak pokażem y, £?'(x) s ta je się fu n k cją kaw ałkam i liniow ą w klęsłą.
W celu rek u re n cy jn eg o w yznaczenia w y k resu funkcji Q ' ( x ) d la x > D, n a p o d sta w ie znanego w ykresu funkcji Q ' ~ \ ( x ) d la x > A (_j w y k o rzy stam y sform ułow aną wyżej obserw ację, iż n iezerow a p ro d u k cja x, w okresie i je s t m ożliw a ty lk o po w yzerow aniu s ta n u zapasów /¡_ : n a koniec e ta p u po p rzed n ieg o , czyli gdy w kroku p o p rzed n im zachodzi x = A - i . Jeżeli w e ta p ie i je s t realizo w an a niezerow a p ro d u k c ja o wielkości x, = x - A - i , to w ypadkow y koszt zakum ulow any je s t rów ny P !( x ) = ) -f s( + c ,(x - A - i ) . Z drugiej strony, jeżeli w e ta p ie t p ro d u k c ja x . je s t zerow a, to Q ’(x) = Q ,~>( x ). S tą d . d la d anego x > A . zachodzi
Q ' ( x ) = m i n { Q ''1( x ) , / >,(x)}
T ra je k to ria o p ty m a ln a d o p ro w a d z a ją c a zerow y sta n p o czątk o w y x = Dq = 0 do s ta n u x = A w e ta n ie t je s t sc h ara k te ry zo w a n a w kroku i przez n a s tę p u ją c e wielkości:
Q, = Q‘( A).
p, = n u m er e ta p u poprzednika, czyli tak ieg o e ta p u p o p rz e d z a ją c e g o e ta p i, w Którym o sta tn io s ta n zap asu I Pl był rów ny zero, w n a s tę p n y m e ta p ie s = p t + ] z o sta ła zrealizow ana nieze
rowa p o rcja p ro d u k c y jn a z , = A - D r„ n a to m ia st w e ta p a c h k = s + 1, i p ro d u k c ja je st zerow a, czyli x* = 0.
Zauw ażm y, że dla u stalonego £ p o p rzed n ik p, w ynika ze znajom ości ak ty w n eg o o d cin k a funkcji Q ' { x ) w punkcie D t , tz n . jeżeli zachodzi Q ' ( D , ) = P ‘ (D ,), to o sta tn im e ta p e m p ro d u k c y jn y m je st e ta p s, czyli Pt = j> - 1
.
R ozw iązyw anie pro b lem u P polega n a w yznaczeniu tra je k to rii o p ty m aln ej d o p ro w a d z a ją c e j w T kro kach zerowy s ta n p o czątk o w y d o sta n u x = A r w e ta p ie T . N a p o c z ą tk u e ta p u i zn a n a je s t tra je k to ria częściową dla pierw szych t - 1 etap ó w w postaci zb io ru tró je k ( D , , Q , , p , ) , 0 < s < i. P o n a d to w po
przednim kroku je s t w yznaczony w ykres funkcji d la x > D t- i . W k ro k u £ je s t o b lic z a n a tró jk a I A - Q : . pt 1 oraz w ykres funkcji Q ‘( x ) d la x > A - A o to ogólny a lg o ry tm rek u re n c y jn y w yznaczania tra je k to rii o p ty m a ln e j oraz w ykresu funkcji Q T (x ).
A l g o r y t m A p b e g in
: = 1: Q'(X) := .i, + c,x:
Q; : = Q ‘{D\): p t : = 0: r e p e a t
i := ( -f i: P ' j x i := t ? " ‘ ( A - , ) + s. + c ,(x - A - i );
z w ykresu Q ‘ ' ( z ) usu ń odcinki P ‘ n ieak ty w n e d la x > A : d la x > A w yznacz w ykres funkcji Q ' ( x ) := m in { Q ‘_1(x ); E T i ) }
Q, := Q ‘( D t ); p. := s — 1; gdzie P ‘ je s t ak ty w n y m o d cinkiem funkcji £?'(x) w p u n k cie A d la s < r:
u n til i — T e n d .
H arm o n o g ram o w an ie produkcji porcjam i
W celu k o n stru k cji funkcji Q ' ( x ) w kroku i alg o ry tm u je s t dodaw any do w ykresu kaw ałkam i liniowej funkcji Q ' ~ l (co n ajw yżej je d e n , o ile istn ieje) aktyw ny odcinek liniowej funkcji kosztów P ' zw iązany z e w e n tu a ln ą p ro d u k c ją w e ta p ie i. N iech L k o zn acza linię p ro s tą re p re z e n tu ją c ą n a w ykresie funkcję P k =
1t + c*x, gdzie qk = Ç '-1 (£>,_) ) + s , — c ,D t- \ . Jeżeli dw ie linie L k, L i n ie są rów nolegle (czyli gdy ck yt ej,), to p rz e c in a ją się w p u n k cie o w spółrzędnej rzędnej Ou w yznaczonej z w arunku qk + ck6kt = qi + ciOki, tz n ., Ou = D w a są sia d u ją c e ze so b ą kawałki liniowe łą c z ą się ze so b ą w pu n k cie w ierzchołkowym w yznaczonym w w yniku przecięcia się tych prostych.
P rz y jm iem y konw encję, iż jeżeli odcinek p ro stej L k p o p rz e d z a b e zp o śre d n io odcinek p ro stej Li ,to rzędna p u n k tu w ierzchołkow ego zw iązanego z przecięciem tych p ro sty ch ( k = 0ki je s t w ią z a n a z lewym od cin k iem , czyli z p ro stą L k . Z każdym liniow ym o d cinkiem L k funkcji Q ‘( x ) je s t p o n a d to zw iązany nu m er e ta p u s , s < t, w k tó ry m je s t realizow ana niezerow a p ro d u k c ja o wielkości x - D ,_ i z w iąza n a z tym kaw ałkiem funkcji. W arto ść odciętej p u n k tu w ierzchołkowego o rzędnej rów nej wynosi Q , = q, + c ,ć ,.
A k ty w n e odcin k i L , funkcji i? '(x ) d la x > D, m o żn a zatem p a m ię ta ć w p o sta ci ciągu p a r ({ ,,< ?,) w p o rz ą d k u rosnących w artości f ,
U suw anie z w ykresu funkcji Q ‘~i ( x ) nieaktyw nych odcinków L , dla x > D, sp ro w ad za się do usunięcia tych p a r ( £ „ Q ,) ,d l a k tó ry ch £, < D,.
A n a l i z a z ło ż o n o ś c i o b lic z e n io w e j. Ł ą czn a złożoność a lg o ry tm u A P wynosi 0 ( 7 ’ log T ) . W ynika to z fa k tu , że d o d a n ie w k ro k u t pojedynczego od cin k a L, m ożna zrealizow ać w czasie 0 ( lo g T + r ) , gdzie r je st liczbą odcinków L k zasłanianych przez L t , a za te m usuw anych z w ykresu funkcji ć?'(x ). Poniew aż łączna liczba w szystkich odcinków L k usuw anych w alg o ry tm ie w T e ta p a c h nie m oże przekroczyć całkow itej liczby etap ó w T , więc łą c z n a złożoność a lg o ry tm u wynosi 0 ( T log 7’). Jeżeli dod atk o w o w spółczynniki pro b lem u pierw o tn eg o Vt sp e łn ia ją w arunek c, < c(_i + h f , to czas d z ia ła n ia alg o ry tm u m o żn a zredukow ać do 0 ( 7 ’).
P r z y k ł a d i l u s t r a c y j n y . Rozw ażm y pięcioetapow y pro b lem P z n a stę p u ją c y m i dan y m i: T = 5, (s*) = ( 3 ,3 ,3 ,3 ,3 ) , (c ,) = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) , (A f) = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) , (d ,) = ( 1 , 2 , 3 ,1,1 ) . P o tran sfo rm ac ji um ożliw iającej w yzerow anie kosztów m ag azy n o w a n ia otrzy m u je m y (ć,) = ( 1 , 0 , —1 , —2 , —3). Dalej obliczam y (£>,) = ( 1 , 3 ,6,7 ,8 ) . R y s .l ilu stru je w ykresy funkcji Q ‘ uzyskiw ane w tra k c ie d z ia ła n ia a lg o ry tm u . W kolejnych krokach a lg o ry tm u w ykonujem y n a stę p u ją c e obliczenia:
1: 0 ‘ (* ) = 3 + x . D i = 1 .Q ] = 4 ,p ] = 0;
2: P2( x ) = 0 i + 3 + 0(x — 1) = 7, ę ł (x ) = m i n ( 0 1( ^ ) .7 } 1 D2 = 3, Q2 = 6 ,p , = 0;
3: P3( x ) = Ç ; + 3 - (x - 3) = 12 - x , Ç3(x ) = m in { 0 J(x ), 12 — x ) . D3 = 6, Q3 = O.ps = 2;
4: P * (x ) = Ç , + 3 - 2 ( x - 6 ) = 21 - 2 x . Q \ x ) = m in { 03(x ),2 1 - 2 x ) , D t = 7.Q ., = 5 , p4 = 2 ; 5: P s( x ) = + 3 - 3 ix - 71 = 29 - 3x. t? s i i ) = m in (Ç 4( x ),2 9 - 3 x } , D f = 8. 0< = 4. ds = 2.
P o zakończeniu K ro k u 5 m a m y te ż ok reślo n ą tra je k to rię o p ty m a ln ą . H arm o n o g ra m o p ty m a ln y o dtw a
rzam y, id ą c zw ro tn ie od e ta p u 5 do 1. Poniew aż w e ta p ie i = 5 zachodzi pt = 2, więc w e ta p ie p, + 1 = 3 je st realizo w an a p ro d u k c ja x 3 = D , ~ D p, = 5. Dalej p o d sta w iam y i = p, i k o n ty n u u jem y obliczenia, tzn.
t = 2, p, = 0 , czyli w e ta p ie 1 je s t realizow ana p ro d u k c ja x2 — D2 — Da — 3. Poniew aż p t = 0, n a tym kończym y d z ia ła n ie a lg o ry tm u .
3 . A lgorytm rozw iązyw ania problemu z zaległościam i
M e to d a ro z w ią z y w a n ia p ro b lem u z zaległościam i P B je st uogólnieniem m e to d y przedstaw ionej w rozdziale p o p rz e d n im d la problem u P.
232.
E. Toczylowski
4
A nalogicznie ja k p o p rzed n io , w e ta p ie t rozw aża się, w zależności od kosztów , b ą d ź m ożliw ość produkcji oraz m ag azy n o w a n ia w ty m e ta p ie , b ą d ź te ż je d y n ie m ag azy n o w a n ie w t.ym e ta p ie w yrobów w yp ro d u k o wanych w okresach p o p rz e d z a ją c y c h . W p ierw szy m p rz y p a d k u n iezerow a p ro d u k c ja x, w okresie i jest je d n a k m ożliw a nie ty lk o p o w yzerow aniu s ta n u zapasów /,_ ] n a koniec e ta p u po p rzed n ieg o , ale również w tedy, g d y w je d n y m z okresów p o p rz e d z a ją c y c h r. r < i. sta n zapasów 1, = 0, w dalszych okresach s s r + l , . . . , ! — 1 je s t zaległość, n a to m ia st w e ta p ie t wielkość p ro d u k cji wynosi x , = x - D, [8J.
T ak ja k i p o p rzed n io z m ie n n a decy zy jn a x o zn acza w e ta p ie i łą c z n ą (zak u m u lo w an ą) liczbę dotychczas w yprodukow anych w yrobów , p o cząw szy od e ta p u pierw szego. O zn ac zam y przez Q ' ( x ) fu n k cję o k re śla ją c ą o p ty m aln y koszt pro d u k cji (i m ag azy n o w an ia) w okresach l , . . . , i p rzy założeniu realizacji pro d u k cji x.
Jeżeli d la danego r . 0 < r < i, w e ta p ie t je s t realizo w an a n iezerow a p ro d u k c ja o wielkości x, = x — D ,.
to w ypadkow y koszt P r,( x ) zakum ulow any w e ta p ie i d la zakum ulow anej p ro d u k cji x > D, je s t równy sum ie zakum ulow anego kosztu do e ta p u r w łącznie, kosztów , zaległości w e ta p a c h r + 1...1 — 1 oraz kosztu pro d u k cji porcji x - D r w e ta p ie i, czyli
I- 1
P ' H x ) = Q r( D r ) + E h - D r , + S, + c { x - Dr) , = r + l
gdzie D rt = Di — D , = d,+ j +■■• + (!,. Z drugiej strony, jeżeli w e ta p ie i p ro d u k c ja x , je s t zerow a, to Q ' ( x ) = S ta d . d la danego z > D t, zachodzi
Q ' ( x ) = n iin { Q ," I (x ). m in P r,( x )}
0<r<t
Z au w ażając, że funkcje P rt są funkcjam i liniow ym i o ty m sa m y m nach y len iu c,. o trzy m u je m y Q ' ( x ) = m in { Q l_1(jc), m in 5 ” -i- c ,x )
0<r<ł
gdzie S r! = Q ’ [ D r) + E i i l + i '*7 r S | - c , D r. W y starcz y za te m w yznaczyć 5 ‘ = m in0<-<, 5 rl i w tedy Q'( i ) = m ir i{ ę1~1(x ), P ' ( x ) }
H arm onogram ow anie pro d u k cji p orcjam i .. 2 9 3
gdzie P l ( x ) = S ’ + c , x je s t n a jn iżej poło żo n ą fu n k cją w y b ra n ą z funkcji P r' ( x ) , r < t. Ł atw o spraw dzić, że jeżeli są znane w artości 5r,1 _ 1 d la r < i — 1, to w artości S rl m ożna w yznaczyć rek u re n cy jn ie z n astęp u jącej zależności
S " — 5T' 1 1 + + (s, — S |_]) — (ct — c , „ i ) D r (3.1) T ra je k to ria o p ty m a ln a d o p ro w a d z a ją c a zerow y sta n p o czątk o w y i = Do = 0 do sta n u x = D, w etap ie t jest sc h a ra k te ry z o w a n a w k ro k u i przez trz y wielkości:
Q, = Q'(D<),
pi = n u m e r e ta p u poprzednika, czyli tak ieg o e ta p u p o p rzed zająceg o e ta p i, w k tó ry m o sta tn io sta n za p a su Ip, byl rów ny zero,
r ( = n u m er e ta p u regeneracyjnego, czyli tak ieg o e ta p u s ,p , < s < <,w k tó ry m zo stała zre a li
zow ana niezerow a p o rc ja p ro d u k c y jn a x , — D t — D Pl.
P a ra m e try p i , r t o k re śla ją , że p o zerow ym sta n ie m ag azy n u Jrt w e ta p ie pt w n a stę p n y c h e ta p a c h p, +
1, . . . , r, — 1 p o w sta ją ew en tu aln e zaległości, w e ta p ie s = r, zo staje zrealizow ana niezerow a p o rcja pro
dukcyjna x , = D t — D p„ n a to m ia s t w e ta p a c h k = s + 1 , . . . , i p ro d u k c ja je s t zerow a i s ta n zapasów jest nieujemny.
R ozw iązyw anie p ro b lem u P polega n a w yznaczeniu tra je k to rii o p ty m aln ej d o p ro w ad zającej w T kro
kach zerow y sta n p o czątk o w y do s ta n u x = D j w e ta p ie T . N a p o c z ą tk u .e ta p u t z n a n a je s t tra je k to ria częściowa d la pieiw szych i — 1 etap ó w w p o sta ci zb io ru czw órek ( D , , Q „ p . , r , ) , 0 < s < ł. P o n a d to w p o p rzed n im k ro k u je s t w yznaczony w ykres funkcji Q ‘_1(x ) d la x > £ > , _ W k roku t je s t obliczana czwórka ( D t , Qi,Pi, r,) o raz je st w yznaczany w ykres funkcji Q ’( x ) d la x > D,. A oto ogólny algorytm rekurencyjny w y z n a c z a n ia tra je k to rii o p ty m aln ej o raz w ykresu funkcji Q T(x ).
A l g o r y t m A P B b e g in
t ■■= 1; 501 : = Si; Q l ( x ) := ¿i + c , x \ Q\ ■= (?'(£ > .); P> 0;
r e p e a t i := t + 1;
f o r r : = 0 t o t — 2 d o S '* := S r,t~' + + (Si — S i-i) — (c» — <k-i)Dr\
5* := m in o o < f S n ; P ‘( x ) := S ‘ + c,x\
z w ykresu Q '-1(x ) u su ń odcinki P ‘ n ieak ty w n e d la x > £),;
d la x > D t w yznacz w ykres funkcji Q ’( x ) : = m in.{Q‘_1(x ); P "(x )}
Q , := Q '[ D , )\ p t = r; r f := s, gdzie r . s w y n ik ają z w aru n k u Q t = P T‘ (D ,)\
u n t i l i — T e n d .
A n a liz a z ło ż o n o ś c i o b lic z e n io w e j. Ł ą c z n a złożoność alg o ry tm u A P B wynosi 0 ( T 2). W y n ik a to z faktu, iż w k ro k u t alg o ry tm u obliczenie S ' k o sz tu je co n ajw y żej O ( t ) o p eracji ary tm e ty c z n y c h , a zatem w T krokach łą c z n a złożoność p ro c e d u ry o b liczan ia ( S 1) nie p rz e k ra c z a 0 ( T 2) o p eracji. P o zo sta łe elem enty algorytm u są realizow ane id en ty czn ie ja k w alg o ry tm ie A P , a z a te m ich łą c z n a złożoność n ie przek racza 0 ( T lo g T ). W re z u lta c ie złożoność całego alg o ry tm u wynosi 0 (!T 2). Jeżeli dod atk o w o w spółczynniki p ro
blemu P B (pierw otnego) Vi s p e łn ia ją w arunek q < Ct-i + ń* + ńj", to czas d z ia ła n ia a lg o ry tm u m ożna zredukować do 0 ( T l o g T ) .
P r z y k ł a d 2 . R ozw ażm y p ięcio etap o w y pro b lem P z n a s tę p u ją c y m i dan y m i: T = 5, ( s r) = (3 ,3 , 3 .3 .3 ), (c() = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) . (ń + ) = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) , ( K ) = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ) , (df) = ( 1 ,2 ,3 ,1 .1 ) . Po tra n sfo r
macji um ożliw iającej w yzerow anie kosztów m ag azy n o w a n ia o trzy m u je m y (ćj) = ( 1 , 0 , - 1 , - 2 , - 3 ) oraz ( h t ) = ( 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ) . D alej ( A ) = ( 1 , 3 ,6,7 ,8 ) . R v s.2 ilu s tru je w ykresy funkcji Q' uzyskiw ane w trakcie działania a lg o ry tm u . W kolejnych krokach alg o ry tm u w ykonujem y n a stę p u ją c e obliczenia:
1: Q ' ( x ) = 3 + x , D, = 1 , 5 ° ’ = 3,C?i = 4 ,p , = 0, r , = 1;
2 9 4 E. Toczylowski
R y s . 2 . W y k res funkcji kaw ałkam i liniowej k o nstruow anej przez A lg o ry tm Ą P B F ig . 2. T h e d ia g ra m of th e piece-w ise lin e a r fu n ctio n c o n stru c te d by A lg o rith m A P B
2: S02 = 5. 512 = 7. P2( x ) = 5 + 0 x = 5, Q2( x ) = m in {< ?'(*), 5 ) , D2 = 3, Q2 = ó .p r = 0, r2 = 2;
3: 5 03 = 1 2 ,5 “ = 1 0 ,5 “ = n , P * { x ) = 1 0 - i , <?3(:r) = m in { Q 2( x ), 10 - x } , D3 = 6 ,<?3 = 4 ,p 3 *=
l , r 3 = 3;
4: S04 = 24, 5 M = 2 1 , 5 “ = 2 0 , 5 “ = 1 9 ,P 4(x) = 1 9 - 2 x , Q4{x) = min{Q?(x), 19 - 2x). £>„ *.
7.(?4 = 3, p.4 - 1,T4 = 3:
5: 5 05 = 3 S .5 15 = 3 4 .5 “ = 3 1 ,5 “ = 2 7 ,5 45 = 27, P 5(x ) = 27 - 3 x. <?5(x ) = m in { Q '1( x ),2 7 - 3 x } , £)s = S, Qs = 2, ps = 1, r5 = 3.
Po zakończeniu K ro k u 5 tra je k to rią o p ty m a ln ą o d tw a rz a m y ,id ą c z w ro tn ie od e ta p u 5 do 1. P oniew aż w e ta p ie I = 5 zachodzi p, = l . r , = 3, więc w e ta p ie r , = 3 je s t realizo w an a p ro d u k c ja 1 3 = D i — D i = 7 za sp o k a ja ją c a p o trz e b y etapów 2 ,. . . , 5 . D alej p o d sta w ia m y i = p t i k o n ty n u u jem y o b liczen ia, tz n . i = l .p , = O .r, = 0 ,czyli w e ta p ie 1 je s t realizow ana p ro d u k c ja x . = D , — D0 = 1- R o z w ią z a n ie o p ty m a ln e jest zatem rów ne (x ,) = (1 ,0 . 7 ,0 ,0 ).
4. Algorytm rozwiązywania problemu z kosztam i rezerwacji
P ro b le m P R będ ący uogólnieniem problem u podstaw ow ego P u w zg lęd n iający m k o sz ty rezerw acji zasobów m o żn a p rzek sz ta łc ić do postaci rów now ażnej, w k tó rej elim in u je się zm ien n e b in a rn e , n a to m iast fu n k cja celu s ta je się nieciągła i w klęsła w zględom zm iennych ( z ,). R o zw iązań o p ty m a ln y c h tego problem u, m o żn a za te m poszukiw ać w zbiorze p u n k tó w w ierzchołkow ych w ielościanu, k tó ry m o d p o w ia
d a ją ro zw iązan ia bazow e, l a k więc. id en ty czn ie ja k d la pro b lem u P , is tn ie je ro zw iązan ie o p ty m a ln e , sp e łn ia ją c e w aru n ek 7 ,_ jx , = 0 ,i = 1 , T . W o d ró żn ien iu je d n a k od P ro b le m u P ; je ż e li zachodzi 7, = 0 dla pew nego i , to p ro b lem u nie m o żn a b e zp o śre d n io zdekom ponow ać n a d w a n iezależn e podpro- bicm y d la okresów 1,— ,7 oraz 7 + 1 . ... , T ze w zględu n a to, że rów nież je s t is to tn a w artość zm iennej y , o k reślające j, czy zasoby są w sta n ie gotow ości, czy też nie.
H arm onogram ow anic pro d u k cji porcjam i 2 9 5
M e to d a ro zw iązy w an ia pro b lem u P R je s t uogólnieniem m e to d y pro g ram o w an ia dynam icznego p re zentow anej d la problem u P . W e ta p ie t rozw aża się, w zależności od kosztów , b ą d ź możliwość produkcji oraz m agazynow ania w ty m e ta p ie , b ą d ź te ż je d y n ie m agazynow anie w ty m e ta p ie wyrobów, w yproduko
wanych w okresach p o p rz e d z a ją c y c h . W pierw szym p rz y p a d k u niezerow a p ro d u k cja x . w okresie i je st m ożliw a tylko p o w yzerow aniu sta n u zapasów /,_ ! n a koniec e ta p u po p rzed n ieg o , lecz dodatkow o koszt (u ru ch o m ien ia) pro d u k cji w e ta p ie i zależy od teg o , czy p,_i = 0 czy te ż y,_i = 1. Jeżeli za te m rozw ażam y niezerow ą p ro d u k cję z , w e ta p ie i, n ależy w y b rać n a jle p sz y z w ariantów w zn aw ia n ia 1 rezerw acji produkcji w e tap ach 1___ _ i — 1 d o p ro w ad zający do n a jta ń sz e g o kosztu u ru c h a m ia n ia pro d u k cji w e ta p ie i.
je ż e li je s t zad an y h a rm o n o g ra m pro d u k cji x = ( z (), to o p ty m a ln y koszt zw iązan y z w znaw ianiem i rezerw acją m o żn a w yznaczyć ro zw iązu jąc n a stę p u ją c y
P r o b l e m F
T
m m Z ( x ) = 2 2(s, v, + k, y, ) (4.1)
p rzy ograniczeniach
lit > &[x,) (4.2)
y: - y<-\ < «i (4.3)
f i , t/t € (0 ,1 } (4.4)
gdzie ¿ ( z ) = 1 gdy z > 0 oraz S( x) = 0 d la z < 0. Ł atw o w ykazać n a s tę p u ją c ą
W ł a s n o ś ć 2, .Yiecń z , > 0 dla pewnego i ora: z , = 0 dla pozostałych s j-- i O p ty m a ln y koszt Z ( x ) wznawiania produkcjifdla etapu i)je s t rów ny, S ^ + k , , g d z i e
Si = rnm {.s( + ki + h £ ,_ ,} pł.5;
p r z y cz ym lt = ar g m in l<l<t{si + t / + .- • • + Ł,_i} j e s t najlep szym okr esem wz nawiania dla produkcji w okresie i.
W spółczynnik S t je s t n a jn iż sz y m w arian tem k o sz tu w znaw iania p ro d u k cji w okresie t, jeżeli z a te m za
chodzi s, > S i , to zaw sze, niezależnie o d w artości z , b ard ziej o p ła c a się w znow ić p ro d u k cję w okresie lt i ponieść koszty rezerw acji w okresach lt + — l,a n iż e li w znaw iać n a nowo p ro d u k cję w okresie i. M ożem y z a te m d okonać reg u lary z acji p ro b lem u .! p rz y ją ć , że s t = S t. R e g u la ry zac ję t ę m o żn a zreali
zować w czasie 0 { T ) za p o m o c ą a lg o ry tm u w y zn ac zan ia n a jta ń sz y c h ścieżek od w ierzchołka zerowego do p o zo stały ch w ierzchołków w acyklicznym grafie z a w ie ra ją c y m w ierzchołki (0, or az 2T — 1
luków n a stę p u ją c e j p o sta ci: luków (0, i ) z kosztem Si o raz luków ( i , i + 1) z kosztem kt d la t = 1, T.
Z w yznaczonego d e n d ry tu n a jta ń sz y c h ścieżek w y n ik ają rów nież okresy n ajlepszego w znaw iania /, dla wszystkich okresów p ro d u k cji l.
W a lg o ry tm ie p ro g ram o w a n ia w ieloetapow ego, ta k ja k i w P ro b le m ie /} zm ien n a d ecy zy jn a x oznacza w e ta p ie ł ią c z n ą (zak u m u lo w an ą) liczbę d o ty ch czas w yprodukow anych w yrobów , począw szy od e ta p u pierw szego. O zn ac zam y przez Q'0{x) funkcję o k re śla ją c ą o p ty m a ln y koszt pro d u k cji (i m agazynow ania) w okresach 1 p rz y założeniu realizacji zakum ulow anej pro d u k cji x oraz d o d atk o w y m w arunku braku stan u gotowości zasobów y, — 0. O znaczm y przez Q \ ( x ) fu n k cję o k re śla ją c ą o p ty m a ln y koszt produkcji (i m agazynow ania) w okresach 1...1 p rzy założeniu realizacji zakum ulow anej p ro d u k cji x oraz d o d a tk o wym w aru n k u gotowości zasobów yt = 1. Funkcje Q ó(x) i Q \ ( x ) są kaw ałkam i liniowe w klęsie. D la wygody obliczeń rek u re n cy jn y ch będziem y w yznaczać funkcję p rz e su n ię ta = Q [ ( x ) ~ F i^gdzie K t — } h < i K je st zak u m u lo w an y m k o sztem rezerw acji do e ta p u i.
W celu rek u re n cy jn eg p w yznaczenia w ykresów funkcji Q ć (x ) i Q \ ( x ) d ia x > D t n a p o d sta w ie znanych w ykresów fu n k cji Q'a~ ' ( x ) oraz ę | -1(z ) d ia x > w y k o rzy stam y sform ułow aną n a p o c z ą tk u rozdziału obserw ację, iż niezerotva p ro d u k c ja x t w okresie i je s t m ożliw a ty lk o po w yzerow aniu s ta n u zapasów n a koniec e ta p u po p rzed n ieg o , czyli gdy w k roku p o p rzed n im zachodzi r = £),_¡.
T ra je k to ria o p ty m a ln a d o p ro w a d z a ją c a zerow y s ta n p o czątk o w y i — Do = 0 do s ta n u i — D, w eta p ie i je s t sc h a ra k te ry z o w a n a w kroku i przez n a s tę p u ją c e wielkość:
£ . Toczyiow ski
Q w = Q'0{ D t )
p 0, = n u m er takiego e ta p u s p o p rzed zająceg o e ta p i, w k tó ry m o s ta tm o s ta n za p a s u 1, byi rówrr.’ zero w tra je k to rii d o p ro w ad zającej do Q'0( D t ).
Q it = Q l j  Y
pi, - n u m er e ta p u s p o p rzed zająceg o e ta p i, w k tó ry m o sta tn io s ta n za p a su 1, byi rów ny zero w tra je k to rii d o p ro w ad zającej do Q ‘ (Z?i),
yt = sta n gotowości zasobów n a koniec e ta p u t (y, = 1, gdy n a koniec e ta p u i zasoby są przygotow ane d o k o n ty n u acji p ro d u k cji, o raz
y, = 0
w przeciw nym p rz y p a d k u ).Jeżeli w e ta p ie i p ro d u k c ja x, je s t zerow a, to koszty zakum ulow ane Q'0[x) = Q ó ~ '(x ) OTüZ 2 i ( x ) = g - 1 ( z ) . Jeżeli w e ta p ie i je s t realizow ana niezerow a p ro d u k c ja o wielkości x , ~ x — D i , to w ypadkow y koszt zakum ulow any zależy od w a ria n tu ko sztu w z n o w ie n ia i rezerw acji w ty m e ta p ie . G d y n a koniec e ta p u i — 1 w y stę p u je b rak . sta n u gotow ości zasobów , to w ypadkow y k o sz t P£ zak u m u lo w an y w e ta p ie i dla zakum ulow anej p ro d u k cji x > D t je s t rów ny
Pi(x) = Q ' o \ D t - . ) + s, + k , + c ( x - D . - i )
G dy n a koniec e ta p u i — 1 w y stę p u je gotow ość zasobów y t- i = 1, to w ypadkow y koszt P[ zakum ulow any w e ta p ie t d la zakum ulow anej p ro d u k cji x > D t je s t rów ny
P \ { x ) — Q\ '(£ > ,-¡1 + k t + C t ( x — /?(_ ]) = QJ 1 ( A - i ) + h t + Ct(x — £>,_) )
Zauw ażm y, że / ’¿ ( i ) i P j { z ) ró żn ią się je d y n ie o s ta lą . O z n a c z a ją c Sq = Q !0~‘( D , -1) + s, + k, oraz S \ = QJ_1{ A -1) -f A", w yznaczam y
P ' ( x ) = m in { S j,S { } + c , ( x - D t- i)
S tą d , d la danego x > D t , zachodzi rek u re n c y jn a zależność Ç y x ) = m i n { i ? r1(x ).-P , (x )}
O bliczenie Q \ ( x ) ze w zględu n a konieczność przeskalow ania je s t nieco inne g ; ( x ) = m i n { ę ; -1(I ) , J3, (x ) - A ' 1}
Zauw ażm y, że jeżeli S‘0 < S J, to w a rto p rz y ją ć y<_j = 1, n a to m ia st w przeciw n y m p rz y p a d k u y,_] = 0.
R ozw iązyw anie p ro b lem u P R polega n a w yznaczeniu tra je k to rii o p ty m a ln e j d o p ro w ad zającej w T krokach zerow y sta n p o czątk o w y do sta n u x = D r w e ta p ie T . N a p o c z ą tk u e ta p u t z n a n a je s t tr a je k to ria częściowa dla pierw szych i — 1 etap ó w w p o sta ci zbioru szóstek {D l , Q0,.poi-Q_l t -P\>-y>-i)^ 0 < s < i.
P o n a d to w p o p rz e d n im kroku są w yznaczone w ykresy funkcji Q ó"‘( x ) ,Q j _ l (x ) d la x > A - i - W kroku i je s t o b liczan a szóstka (£>,, Qot,Pot, Q it, Pu. y t - i ) oraz w ykresy funkcji Q ó(x). i ^ t * ) x > A - A oto ogólny alg o ry tm rek u re n c y jn v w y zn ac zan ia tra je k to rii o p ty m aln ej.
A l g o r y t m A P R b e g in
i := 1; Q l ( x ) := s , + kj + c jx ; Q j(x ) := s j + Cix;
Qoi '■= Q'(A)l Poi '■= 0; Qu Qj(A); pn 0;
r e p e a t i = t -f 1;
S ‘o(x) : = Q o ~ '{ D t -i ) + * + k \ 5 { ( I) := Q [ - \ D , . , ) + A't ; i f < SJ t h e n j/,_, = 0 e ls e y , - , = 0:
P ‘( x ) = m in { S i,S J } + Ci(x - D t - i ) \
z w ykresów QÓ_1( x ) , Q '_1(x ) usuń odcinki P ’ n ieak ty w n e d la x > D t : d la x > D, w vznacz Q\,{x) = m inlQ Ô *1) ! ) , P '( x )} ;
Ç ; t x ) = m i n { g ; -1( x ) , P ' ( x ) - A',}; '
Qui ■= Q ó ( A ) i por s - 1, gdzie P ’ je s t ak ty w n y m o d cinkiem funkcji Q ó(x) w p u n k c ie D Q Jt := Q '( A ) ; P u := i - 1. gdzie P ‘ je s t ak ty w n y m o d cinkiem funkcji Q i( x ) w p u n k cie D,\- u n t i l t — T
c n d .
H arm o n o g ram o w an ie pro d u k cji p orcjam i 2 9 7
Ł ą c z n a zlozonosc alg o ry tm u A P R wynosi 0 ( T log T \ jak o że w po ró w n an iu do algorytm u A p o złożoności 0 ( T log T ) są realizow ane analogiczne o p eracje, p rzy czym n ak ład obliczeń je s t w przybliżeniu dw a razv w iekszv.
P r z y k ł a d i l u s t r a c y j n y . R ozw ażm y siedm ioetapow y pro b lem P R z n a stę p u ją c y m i danym i: 7’ = 7.
(a,) = ( 1 ,1 ,1 ,1 ,1 .1 ,1 ) , ( k ) = (2 ,2 .2 ,2 ,2 ,2 ,2 ), (c.) = (2 ,2 ,2 ,2 ,2 .2 ,2 ), (ft,+ ) = (0 .5 ,0 .5 ,1 .1 .1 ,1 ,1 ).
(dt ) = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 1 , 1 ) . P o tra n sfo rm a c ji um ożliw iającej w yzerow anie kosztów m agazynow ania otrzyrnu jem y (ćt ) = ( 2 , 1 . 5 , 1 , 0 , - 1 , - 2 , - 3 ) . Dalej obliczam y
(A)
= " ( 1 ,2 .3 ,4 ,7 ,8 ,9 ) i (A ',) = ( 2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 .1 2 .1 4 ).R vs.3 ilu s tru je w ykresy funkcji Q ‘a( x ) uzyskiw ane w tra k c ie d ziałan ia aig o ry tm u .
R y s . 3 . W y k re s funkcji kaw ałkam i liniowej Q ó(x) konstruow anej przez A lg o ry tm A P R F i g . 3 . T h e d ia g ra m of th e piece-w ise lin e a r fu n ctio n Q[>(x) c o n stru c te d by A lg o rith m A P R
W kolejnych krokach a lg o ry tm u w ykonujem y n a s tę p u ją c e obliczenia:
1: Q l ( x ) = 3 + 2 z , g j ( x ) = 1 + 2 x , A = l,Q o i = 5 , ^ , , = 3 .p o , = p „ = 0;
2: 52 = 5 + 3 = 8 , 5 ? = 3 + 4 = 7 , y, = 1 ,P ' [ x ) = 5 .5 + 1 .5 x , ( ? J (i ) = m in { < ? J (x ),5 .5 + 1 .5 x ), g J (jr) = m i n { 2 j ( x ) , 1-5 + l-5 x } , Qo: = = 9 .5 ,poj = 0 , p u = 1;
3: 52 = 7 + 3 = 10. 5 j = 4.5 + 0 = 1 0 .5 .y2 = 0. P3( x ) = 8 + x, Q 2(x) = m in (Q 2 (x ),8 + x ) , f ^ l- r) = m in { Q j( x ),2 + 1 .5 x ), Q03 = 9.<2ia = + = 0 .p i3 = 2;
2 9 8 E. Toczyłowski
4: S J = 9 + 3 = 12, SJ = 5 + 8 = 13,t/3 = 0 , P 4( x ) — 12 + 0 x, Q j( x ) = m m { Q ^ (i), 12 + 0 x ) . g j ( i ) = m in { g 7(x ),4 + 0 x ) , QM - l l . g 14 = 4,pm = O.pn = 3;
5: So = 11 + 3 = 14, S f = 4 + 10 = 14,1/4 = 1 , F 5(x) = 1 8 - x , Q j( x ) = m in { Q J(x ), 1 8 - x } , Q ^ ( x ) - m i n i m i * ) , 8 - x } , ę 05 = l l , g 15 = l,P o s = 4 ,p ls = 4;
6: S I = 11+3 = 14, S f = 1 + 12 = 13,ys = l , / * ( x ) = 2 7 - 2 x , <?<j(x) = m in{Q |(x),27-2x}_, Q f(x) = m in{Q j(x), 15 - 2x}, Qon = 10, Q lc = - l,p o e = 4 ,p 10 = 4:
7: SJ = 1 0 + 3 = 13, S,7 = 1 + 12 = 1 3 ,ys = l . S 7(x ) = 3 7 - 3 x , Q l ( x ) = m m { Q g ( x ),3 7 - 3 x } , Q j(x ) = m i n { ( 2 j ( x ) ,3 7 - 3x}, Q0 7 = 9 ,l ? 17 = - 4 , p o r = ó . p n = 6:
P o zakończeniu K ro k u 7 h a rm o n o g ra m o p ty m a ln y o d tw a rz a m y , id ą c zw ro tn ie od końca e ta p u 7 do 1. Poniew aż w e ta p ie 1 = 7 zachodzi Q0 7 < <?i7," 'ię c w y b ieram y ak ty w n y od cin ek P ° n a w ykresie Q u- W e ta p ie 6 je s t z a te m realizo w an a p ro d u k c ja X6 = Dr — D$ = 2, p rzy czym ys = 1, więc przechodzim y do aktyw nego w Z)5 od cin k a p ro stej P 5 n a w ykresie Q j. W e ta p ie 5 je s t z a te m realizo w an a p ro d u k cja x 5 = Ds - D4 = 3. P oniew aż = 1 o raz w D Ą n a w ykresie Qi je s t a k ty w n y odcinek P ' , więc w e ta p ie 4 je s t realizow ana p ro d u k c ja X4 = Dą — D3 = 1. przy czym y3 = 0. D alej w ybieram y w D3 aktyw ny odcinek P1 n a w ykresie Q0. S tą d w e ta p ie 1 je s t realizo w an a p ro d u k c ja Xi = Da — Do = 3. R ozw iązanie o p ty m a ln e je s t rów ne (x () = ( 3 , 0 ,0 ,1 ,3 ,2 ,0 ) , (y ,) = ( 1 ,0 ,0 ,1 ,1 ,0 ,0 ) .
Literatura
[1] De B o d t, M ., G elders, L. and Van W assenhove, L .N ., 'L o t-S izin g U n d e r D y n am ic D em an d C ondi
tions: A R eview 1, Eng ine ering an d Producti on E c o n o m ic s , 8 (1984). 165-187.
[2] Sobel, M . J ., 'S m o o tin g s ta rtu p an d shutdow n costs in se q u en tial p ro d u c tio n '. Operations Research.
17 (1969), 133-144.
[3] K a rm a rk a r, U. S., K ek re S. 'T h e d y n a m ic lot-sizing p ro b lem w ith s ta r tu p a n d reservation co sts1, Operations Research, 35 (1987), 389-398.
[4] Toczylowski, E ., Niektóre m e lo d y struktura lne optym aliza cji do ste rowania w dyskretnyc h systema ch wytwarzania, W N T , W arszaw a, 1989.
[5] Toczyłow ski, E ., 'A n 0 ( T 2) alg o rith m for th e u n c a p a c ita te d lot-size sch ed u lin g pro b lem w ith lim ited in v en to rie s1, p ra c a nieopublikow ana.
¡6) W agelm ans. A ., S. van H oesel, A. Kolen "Econom ic lot-sizing: an 0 ( n log n )-a lg o rith m th a t ru n s in linear tim e in th e W a g n er-W h itin case1. Operations Research, (to a p p e a r).
[7j W agner, M .M ., T .M . W h ittin , D y n am ic V ersion of th e E co n o m ic L ot-sizing M odeLA /anapem en/
Science, 5 (1958), 89-96.
18] Zangw ill, W .I., 'A Backlogging M odel a n d a M ulti-E chelon M odel of a D y n a m ic E co n o m ic Lot Size P ro d u c tio n S v stem — a N etw ork A p p ro ach 1, M a n a g e m e n t Sc ie nce , 15 (1969), 506-527.
R e c e n z e n t : P r o f . d r h . inz. J e r z y K l a m k a W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i do 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.
Abstract.:
T h e efficient a lg o rith m s for solving a fam ily of th e u n c a p a c ita te d lot-size sc heduling p roblem s are considered. T h e p a p e r p re se n ts a novel ap p ro ach for solving th e s e p ro b lem s, w hich is based on a d y n am ic reccursi ve calcu latio n s th a t e x p lo its th e p ro p e rtie s of th e piecew ise concave lin e a r fu n ctio n s. An 0 ( 7 ' log T ) alg o rith m is developed for th e lot-size sc heduling p ro b lem s w ith se tu p or s ta r tu p a n d reserv atio n costs as well as an 0(T S) alg o rith m for th e u n c a p a c ita te d pro b lem w ith backlogging allow ed.
