Graniceapgu gonna

(1)

WYKTAD 3

CIA _, GI

Graniceapgu ^, graniue gonna

idolne

, twierokenie o onbieznosa

^.

licsba e

, funky ^.e exp

(2)

Gpgiemowyra2acnwXna2ywamyodwzovowaniexi1N-X.2amiastxCnj21piszemyxn.LamiastxilN-XpiszemyCxnjnenalbopoprosluCxnj.Wdalszyma.ggumowimyoapgachowynazochw1R.csyliocipgachhisbxecsywistyaifXz.xzi.i.iXki.i.lgMiwimyzeciggjestograniaonyjesliabio.njegowyraso.wtjestogranicsony.Moznetezpowieo1zieiciggogranicsony2doTulub2gory.0Kreseeniateodnoszqnfow2bioruwyvossv.Mowimyzea.ggjcstmalejgcyjes.liVnxm1fxn.nosngcyjes.liVnxnnZxn.Uzywamyokneslerisciislemalq.gaywbsa.slerosngcyjn.linierowuoscisqostre.Ciggirosngceimalejgceokrreslamywspoluiejakomonotomicsne.DEFlN1cjA.Graniaga.gguCxn1masywamyhisbggspetniajgagwarunekiVesoFNe1NiVmsNlxn-9lcEPis2emynlinnaXn-g.mowigcmniejformalnie.dhekazdegoE7owoda.nKnJg-E.gteLlezgpna@s2ystlawynazya.gguCxn1wszystKiepo2asKonosonqlicsbgCigg.kt.org

magnanicg nasywamy sbieznym

^.

Uzywamytakze ^oanaosen

^'

him _xn= to him xm

⁼ ^-

^a

h → a h→s

THEIR FNEIN

^:

Fn > N xn ^> ^M HMEIR FNEIN

^:

Fn > N in ^< M

STWIERDZENIE apg sbiezny madoktowlnie jedng granicq

DOWO 'D Cigg jest sbiezny ^, ^torn ^me graniq

^.

Oonnacsmy cigg ( ^xn ⁾ agnanicg g

^.

2oIo' Zmy ^, ^ze g ^' ^tez jest graining ^Cxn)

^.

Ustalmy ^E ^> ⁰ ⁱ wezimy ^Ni ^N

^'

^takie

ze owe m > N lxn

^-

gl ^c ^% ⁱ ^dhe ⁿ ^> ^N ^' ^lxn

^-

ojl ^< ^E- ₂

^.

^Biarpc ^terez

m > Max { ^N _, ^N

^'

} many

1g

^-

g ^' 1=1 _g- xntxn

^-

g

' I E 1g

^-

xnltlxn

^-

ojlc §+Ea=e ^osyu

^.

^1g

^-

^g ^'t ^< ^e

^.

(3)

Pamigtamy.zeEjestowwolne.ws2osegolewscidowoluiemoiee.Rizniueyigl22jestwigcmniejsdodkazdejliubyowdatniej.Musiwigcbycg-oj-0.g-g.Wisks2osipnacybgdzieterazpoleyoEemesprawobaniuabieZhosa.iposzukiwaniugraniccipgow.PRz7KtADi2badajmy2bieZnosicigguxn-n2tT-mF.Jestjasne.ze2awnexnzo.Zrobmymastgpujgcynachunekixn-na.rneietfIiIn-nz2anafka-ntFhs1lXn-O-ntaKcsydheohwolnegoE2nojd2iemyNtakiezeolhensNphiPotetycsnegraniae1-mce.70osywiscie.Dwiustolonegoculiuymyn1-sce2xnce2cn2-nc-setcm2.t-ez-tscm2-st@cm2IFIcmtznjes.liczLtonmoze6yidowolnehosyliN-1ajes.h

.

E < L to N > FE _{

.

Wiaowmo , ze takie N istnieje

^.

^Wniosek ^him _h→x ^xn=0

Pnykiad _frosty ^, dowoddtugi

^. ^,

Pmyouesig ^killed ^twieroken ^' uiatwiajgcycn zycie

^.

W dalssymapgu www.odnimypewngilosdpmydotnycutwierokai

^:

STWIERDZENIE 1

.

Cigg zbiezny jest ogronicsony

^.

Dow 'oD : Ustalmy ^E ^> ^o ⁱ wesimy ^N

^:

^dhe ^{n >} ^N Ixn

^-

_g ^I ^< ^E

^.

_Wteoly _prawie wsuystkie ( pose , byi ^moze ^xs ^, ^xz ^,

^...

^, xµ ) wyrazy apgu ⁽ ^xn ⁾ ^sg ^w ^odcinku

Jg

^-

^E ^, gte ^[

^.

^02h ocsmy ^m

⁼

^min { ^xz

^,

^xz ^,

^...

^, ^×µ ^, g- ^E } M=max{×z ^, ^xz ^,

^...

×µ

,

gte } _wteoly ^zbior wynaiow ciggu ^sawiere ^nig ^w ^odcinku ^En ^, ^M ^]

^.

Dm

Twierdzeuie odwnotne niejest ^prawdziwe ^: ^xn

^-

^ED ^" jest ogranicsony ^, ^ale niejest sbiezhy

^.

TWIERDZENIE 2 Kazay a.gg momotomicsny ⁱ agranicsony ^jest ^zbiezhy

^.

DOWO 'D :

Dowodzimy ^the ciggow rosngcych

^.

^Nick X={ ^is

^,

xz ,

^...

} _g=supX

^.

^W _szcsegol

^-

(4)

hosci oznecze to ,Ze the ^IN Xnfg

^.

Uolowodnimy ^, ^ze g ^jest granicg ⁽ ^xn ⁾

^.

^Dowod ^a ^a iouozmyize _g ^mie jest groining

^.

^Pvawdziwe ^just ^wipe ^zolanie ²³

~( ^V. ê ^> ÔF ^New ^: ^th ^> ^N Î g- ^xnl ^< e)

111 Fe > o

^:

t ^New ^Fm ^> ^N 1g

^-

×÷

isthieje nieskonosenie

/ ^wide

wynaw.wcipgukNCaietozo1aniepoludzkuiIstniejeEsotakieizepozeodcinkiemJg-EigteLjestmiesKohaeniewielewyrazo.wapgu.22oieozeniegsxusatemtaknaprawdgnieskoncseniewielewyrazo.wapgujestwpmedzialeJ-a.g-ET.PamigtamyponaoUoizeciggiestnoshpcy.Jes.liwigcxmsg-ctotakzewszystkieXnsg-Edlemim.O2hacsietoizewodcinkuT-x.g-dspwszystkiewyrazycigguCxnj.tznXcT-ig.eJAlewtedysupxsg-sspnecsnosc.gjestwigcgranicgCxujPR2YKtADiCiggxn-C1tntYjestnosngcyiogranicsony.IstotnieLnF-YjIEnnIinntsfhIEnTIcaHfnnnttEtIfnImntilstnIiEnJIcnHls-cYYydTE.uttn5Ls-naYIYII-e1tf-f-1IhIZ1-7xuii3xnHt1njh-1tn.tntCyjntet.i.tCYdnht.i.tn1n-st1.itmI21m4@jfyKnh-1-t.i

+ ( ^h

^-

^ktn Html ⁾ ( .m\ ⁿ

^.

^1<+2 )

^. ^.

^!

12 =mkk-s nl¥n ⁺

^ii.

⁺

^.

^, ^f

{ 1+1+27 ⁺

^.^.

.tt#+...+nff1+1ttz+a1t...gktst...tnfzf3

(5)

Dnugiepnsydatne toierdzeniedolyayceciggowto

^:

²⁴

TWIERDZENIE ( ^otrech ciggach )

Nick ( xn ) ,( _{yn )} _, ⁽ ^zn ) bgdqciggami ^takimiize ^FMEIN Xnfymszn

^.

fes.li ftp.xnilmiz.zn-g.totakzenbjmyyn-g

DOW '0D : Ustalmy Ê ^> ⁰ Î ahajotdmy N×iN2E ÎN ^takie ^, ^Zeolla ^× ^> N×

IXN

^.

GICE ^, ^ale ^{n >} Nz ^/ ^Zn

^-

glcc

^.

^Inacsq

^.

sapiszemy

XNE ]g

^-

^E ^, gtE[

⁼

^> g- ^E ⁽ ^Xu

Zhe ]g

^-

^E. gte[

⁼

^> ^zn ⁽ ft ^E Wesimyteraz ^m ^> ^Max { Nx , Nz g- ^es xnfynezncgte

⁼

^> lyrglce ⇒ _ftp.yn-g

On PRZYKTAD ^:

×n=TT weimy ^an ^=p ^-1 ^anti

⁼

^"M ^m=( ^ttan ^)m

m=( ttanj

'

--

ttmant ( 1) ^an ^'t

^.^.^.

^Zttnan ⁺ ⁽ ^d) ^as

M

^-

1 z ^h ( ^h

^.

ⁱ ) ²

2- ^an

÷ ^> ^, ^an ^' ofanffn liman=0

to limas

STWIERDZENIE ( Operate ^me ciggach sbiezhych ⁾

( in ) , ( yn ⁾ ^sbiezne ^, liming limynih

c ⁱ ) taper nbjmocxxntpyn )=&g+ph

Cid ftp.cxnyn ^)=gh

Ciii ) fes.li yntoih.to ^to

ftp.#y=n9DOW0D ^:

K ) Kxntpyn

^-

&g

^-

phlf

Kllxrgltlplynhl ^Ustalmye ^> ^oiweimy

n takieize lxwgk 42k , ⁱ lyn.gl ^< {,p ^, ^wteoly

(6)

Kxntpyn

^-

&g

^-

phlf Kllxrgltlplyn ^HE

^.

HE ,

+ 1M¥ ^,

⁼

^E ²⁵

kit lxnyn

^-

ghl

⁼

lxnyn

^-

_gyn ⁺ _gyn

^-

ghl ^< ^lxn

^-

gkynl ⁺ _lgllyn

^-

^hl ^f *

aggcyn ⁾ jest sbiezny ^, ^wigc ograninony

^.

Many lynkm

Nx ^: ^th ^> N× ^lxn

^-

glc 4mz Yg ^Ny

^:

^ttn ^> ^Ny ^lyn.nl ^c ^,

owe n > Max { Nx , Ny }

* f ^M ⁺ _8¥

⁼

^E #

ciii )

×y÷

^.

In

⁼

hxyjnyI.hxn-ghtgh-yy.nl#)gLhyn _hyn _hyn ⁾

Cigg ( yn jest ⁾ ^sbiezny ^do ^linty ^rdznejod ^zere

^.

^Wobec tego istnieje ^N

to Kie

, ze ale m > N lynl ^> ^hz

^.

^Ponowlto unvlamy Ê ^{> o} Î ^bi ênemy

Nx ^: ^one ⁿ ^> N× ^lxn

^-

91 ⁽ ^, ^Ny

^:

^the Egh ^{n >} ^Ny ^In

^-

^ynlc ^hghge

wtedy own > Max { ^N ,N× , Ny }

, ^h

.

Etf ⁺

gthgte h% -

⁼

^e Tyz ^¥

⁼

^E

^.

_be

Ciggi Guidry ^' _ego oktonych ^more ^bpdue ^sa ^chwilg odyrywajqwaznq

w matematyce ^nolg ^saniwno ^od strong pvaktyosng

^.

jakiteoretyosng ^:

DEFINICJA

Niech ( ^xn ) bgdsie apgiem licsbowym

^.

Mowing ^, ^Ze ⁽ ⁱⁿ ⁾ ^spetnie ^warunek

Cauchy ^' _ego jes.li

V. ^e ^> o FN ^> ⁰ tfmn ^> ^N Ixn

^-

xml ^< ^E

TWIERDZENIE W IR cigg speinie ^wowunek Candy ^' ago wteoly itylko

wteolyitylko ^wteoly gay ^jest abiezny

(7)

(8)

27 Baron Augustin

^-

^Louis Cauchy

1789-1857 Frange

LIMES SUPERIOR _, LINES INFERIOR

( _Janusz Zajdel )

DEFINKJA ^Nied ( xn ) bqolzie apgiem mecsywistym

^.

O2nac2my

¥n={ ^xi

^:

ⁱⁿ ^> ⁿ }

⁼

{ ^xn

^,

×n+s ,

^...

}

Mn= sup # _n

, mn=infXn Mne1Ru{ ^to } _, Mme Rufo }

limsupxn

⁼

^Inf { ^Mn ^: ^new } ^liminfxn

⁼

^sup { mn

^:

^men }

limsupiliminf isthiejqdhekazdegocipgu

^,

mwggbyi mieskonowme

(9)

PRZYKTAD ^: _Xn= fifth ^×z=O

141=4 ^ms= ^-1

28×2=3/2

Mz=% mz=

^-

¹

Xz=

^-

% Mz= 54 _mg

^. ^-

¹

µII¥snaI¥ ^×+= ^×6= ^:

^. ^-

^% ^% ^147=918 ^Mo=%

^:^.

^:

Xy Xs ^Xs ×1 Xg Xq Xz

• • • •

0

•

-1×7 1×8

• • •

• >

limsnp ( tnshtf )=1 liminf ( hittin ₎₌

^-

1 ( * )

PRZYKTAD Xm=ffenTn _,

^-

^EC ^rn ⁾ ^liminfxnt ^-1 ^limsup×n=1

1 2 3 4 ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ 9 10 11 12 13 14 ¹⁵¹⁶ ¹⁷ ¹⁸

^...

^m

1 1 1 2 2 2 2 2 33 3 3 3 33 4 4 ⁹

^.^.

K

0 1 2 ⁰ ¹ 2 3 4 ⁰ 1 2 3 4 5 ⁶ ⁰ 1 2

...

e

m=k2tl ^KEN

, lE{ 0,1 ,

^...

,2k } the

×n= a

^-

k=k2-k-k2+l_

⁼

E( F)

⁼

^K ^ttk

b- K

÷ K

×1o Xyz ×14

-

1 Xg ^Xz ^×m Xg Xns Xz ^×15 z

I

1

I

11 I tHl ^I ^I

11 ^l ^l

^'

^I

Xy Xs ^×2 ^Xp ^Xp

K=1 , to ,1 ,2 xz=

^-

tz ×z=o xs=f

k=2 to ,1

^.

^×q= ^-25 ^xs= .4 ^'T ^×g=O ^× ^# ^+1g ^×p=2z

1<=3 1=0

,

..

,6 ×g=

^-

3g ^× ,o=

-

at ^× , ,=

^-

gt ×h=o ×n= ^1h ^× ,s= }

^.^. ^.

(10)

DEMNKJA Punktem skupienie ciggu ⁽ ^xm ⁾ nasywamy ^licsbg ^her takg

^.

^Ze ^the ^£9 dowolnego ^E ^> ⁰ ^W ^odcinku ^Th

^-

^E ^, ^h+e[ jest mieskomcsenie wide wynasow

ciggu

^.

^HE ^{> 0} ^{V. New} ^Fm ^> ^N ^1h

^-

^xnl ^< ^E ^to jestpunktem skupienie apgow

( ^He ^> ^O ^F ^* ^MEN ^lxn

^-

^h|< _E) mieognanicsonycn ² gory

-

x

^.^. ^. ^. ^.

2 OLOIU

Graniae _, jeih

^.

^istnieje ^, ^jest ( _jcolynym ₎ _punktem _stupienie _ciggu

^.

^G.gg ⁿ ^- ^C- Dhttn

me dwepunkty skupienie

^.

^Iee punktow skupienie ^me apg ^a pmyktoww ⁽ ^{H ?}

Niel K

^:

IN → IN bgolzie odwzovowaniem scisle

vosngcym

^.

^Lamiast ^Kcn ⁾ ^piszemy

km

^.

Podapgiem ^Podcigg ^sawiera ^apgu ^miekto ⁽ ^'re ^xn ⁾ ^wyrasy ^masywamy ^apgu ^ciqg

^,

mieskonisenie ⁽ ^yn ⁾ ^doing wide ^waovem _, w takin ^ym=×kn pomgdkn

W jakim wystspowouy ^W wyjsciowym wpgu

^.

STWIERDZENIE ^: Punkt skupienie ciggu jest granicg pewneyo podciggu

^.

DOWOD : Nick ^R re bgdzie punktem skupienie afgu ⁽ ^xn ⁾

^.

² definicj

^.

punktu skupienia wymike ^, ^Ze ^w ^odcinku ^Jr ^-1 ^, ^Ntt ^[ jest mieskoricsenie wide wyrasdw ciggu

^.

Wytieramy dowolny wyna2 ^spo ^'s ^nod sawartycn ^w tym ^odcinku ^: ^Xks ^bgokie ^on pierwnym wyrazem podupgu

^.

^Nastgpnie zmniejswmy ^odcinek

^:

^]r

^-

tz ^, rtf ^[

^.

_Wtym

odcinkujesttez meskonnenie wide wyrasow apgu

^.

Wyhenamy jedeu ² ^mich ^: ^xk ^, ^dbojpc ^, zeby ^Ka ^> kz

^.

Nastgpmie ponownie ^2mm

^.

g. nanny ^odcinek

^:

^Jn

^-

st ^, rtfe ⁱ _wybieramy _xkg ^, ^K , > K

,

^.

W ten sposob Konswuujemy podcipg ( _Xkn ) apgu ⁽ ^xm ⁾

^.

^Wiadomo

^,

^ze Xkmetrnt ^,~tnt[

satem I Xkn

^-

rlcfn , W pokasuje ^, ^Ze nlgjm

_.

xkn

⁼

^r

^.

• STWIERDZENIE Graniae gonna ^a. ggu ^jest ^kresem gonnym ^zbionu puuktow sknpienie ^tego ciggu

^.

^Graniae ^dolne jest ^kresem dolnym ^abionu punktoir skupieuie apgu

^.

SZKIC DOWODU Kompletny ^dowid jest mietrudny ^ale _Zmudny

^.

Lrobimy ^satem ^tylko

tylko ^szkic

^.

Rozpatrsymy pmypadek ciggu takiego ^, ^Ze ^limsup ^×m= ^C ^I ^CEIR ^, ^tzn

jest ^to ^hisbe ^skoncsone

^.

Pokazemy ^, ^Ze ^c jest punktem skupienie ⁽ ^Xn ⁾ ⁱ ^ze ^nie

me wigkszyih ^punktow ^skupienion

^.

=Xn

C= limsupxn

⁼

lnnf ^sup ^{ ^Xn

^,

^×n+ ^,

^... ^.

^} ^Skono ^c= ⁱⁿ ^.f{ ^Mn

^:

^he ^IN ^} ^to ^snaosy

^,

^ze

=

th Mn > C i ( ^Mn ) jest malejpcy

^.

^Jest ^to â ^.gg malejgcyi ogranicsony â ôwtu ^,

~ .

a wigc zbiezny

^.

² ^dowodn stosownego twierokenee wynikd ^, ^Ze

(11)

c- him Mn

^.

² oletiniy

^.

granicy zmgiolziemy ône tazaego ê ^> ôthkie ³⁰

Ne , te ale ⁿ ^> Ne Mme ^[ ^C , Ctc [

.

Zacsnijmy ^od ^E

^-

^Li wyanacsmy Nz , +2N Mnstze ^[ ^c+e[ MNs+z= ^4.

^.

^sup { ×Ns+si×Ns+z.

^...

} ^, ^th

istmeje ×Nstk ^to

^.

^kite ×Ns+ke]Mµs+ ,

-1 , Mµs+ ^, ]

^.

^Ostateanie

XNSTKEJC ^-1 ^, ^Ct ¹ ^[

^.

Zocsynamy ^definiowac

^'

apy ⁽ ^yn ⁾ ⁰ wowtoscioch

w Ni

vosnpcy ktowlgc _Ys= ^Nztk

Dalai ^bi enemy e=f ipowtansamy procedures dbajqc by ^Na ^> Nztk

^.

Otnymuiemy ×Ns+k , e) ^c- I. C+I[ ⁱ ye Natka

^.

Poowbnie dhe e=¥ 1g ^, ^,

^.^.^. ^.

² ^konstrutji ^wiowe ^, ^ze ⁽ ^Xyn ⁾ iestabiezny ^do

e , wise ^C jest punktem skupienie ⁽ ^Xn ⁾ Pozostoje pokasac

^'

^, ^ze ^nie ^me wigkszego ^punktu ^skupienie

^.

Zatozmy ^, zejest ^:c ^' ^> ^C wteoly isthieje

hieskoncseuie _istniqe wide ^N wynawiw _takieize jednouesnie one ciggu n > ^(Xn N ⁾ Mn wigkszydr ^e E , ⁰⁰¹ day

^.

^I

' ¥[ ^, _ayei

Xin ^a ]

^-

^x _, 4¥ ^[ ^satem pnawie wszystkie wyraay ciggu sqmniejsie

ad c+¥ ^→ _spmecsnosd

^.

Otto Stolz

1842 ( ^{Hall in} ^Tirol ⁾

1905 ( ^Wieolen ^')

TWIERDZENIE STOLZA

Cxu ) _, ( yn ⁾ ^sq apgami mecsywistymi ^,

( yn ⁾ jest ^as peoneyo migsuenosnpcy ^oraz

ftp.yn-b.Jes.li istnige gnanice

Xnt ,

^-

Xn

him

^-

to istniejenbjm

_.

¥ iotiegnanice ^sg ^n' ^wne

^.

n→x Yntt

^-

yn

DOWJD ^: Zanin pngiokiem ^ow wtasuwego ^owwooln ^, ^2omwaZ my ^Ze ^job

.

the

iefl _,

^...

,N} ^, hu÷e€a,b] ^di ^> ^o

^'

^, ^to ^take Ezuvinetaib ^]

(12)

istotnie at Tffb ^⇒ ^adie ^mic ^boi

⁼

^> _Eadie E. ^uic Fbt

^.

⇒ azoic Zuicbzvi ⇒ a ,< Ezujincb

^.

³¹

×mi= # a ^a ER

I Rozwazmyteraz pmypadek gay _ymn

^-

_yn

Due ustolonego ^E ^{> o} ⁱ wystowniejgw oluzego ⁿ ( ⁿ >,N) _many

Xnti

^-

Xu

a- 42 ^f In ^fate

sachodsi wigc ^the J

Xntn

^-

Xn Xn

Eni yn.TL#i...iXN+=istosujemypoagteowqobserwoq.g _YNH

^-

_yn

i dostojemy

a %efnnis.ge#ce+E+znlxynnIiIg-ek4

My jeolnakmusimy ^szawwac

^'

/×y÷ ^e|

^-

^:

.at#yi.a)onyEntxE-aElFnaKlyIF.allajIt+lEt+iailEl ⇐

< %+%< ^e

< % _< ^t ₁ to _to

-

BiekemyntakduZeZebytedodatkic4zIRozwozamypmypadekXntI_texynti-ynSkorrotaktodhewystowcsojgwoluzycumTynnfI@71.2atemxnti-xu7Yntsiyn70O2meuotoiZeHmjjestrrosngcyodpewnegomiejsue2ouozmy.ze

me to miejsce ^the ^nz ^N

Xhts

^-

×n > ynti

^-

^Yn

xp

-

xni >

yn

^-

^yus ^-

t.IE#ygyigfIoIIII:I:ti.e. ^.

(13)

wteolywersjgImozn@2ostosowadobYml-Y-Y0boCxn1spetm3.e2Xnti-Xm2atozeuie.1Ideehnti-xn_nIg_o2owneuiamyCXu1mel-Xn1istosujemyI.p.Ynti-ynUWAGliaFwierokeniejestwjeolnqstnong.tzn2istnienielimFnmicmiewymikedhelimxhHIYnti-ynnp.x

n=G^ ) ^" +1

xn

yn=m ^Jn

-20 y×nYIy×nn-=tN±hI=

^-

n niemann

^-

^zfns ^"

Lyn ^any

(2) Zatozenie Yn ^-7 ^- jest ^wazne

Xn=t

^-

nt _yn

^.

^2- I

← Nosngcy ^ale ogranicsony

¥ ^→ ^at ^L FIE .tn#stnt_=s

^-

_2¥ _, ^-2 _.int ^L

(3) Monotonicsnosc

^.

₍

yn ⁾ jestwazne

Xn=Mn ⁺ ^{Cn )} ^" ^n→a

yninnenn

¥n=nT±Enynt-* ^htm ^a

^- ^-

^A ^A ^nyt

^-

⁺

^-

^fnjht ^C- ⁺ ^' ^' ^{C- nj} ^(a) ⁿ ^"

⁼

^{^} ⁿ ^Fis _-

^-

² ^Gr ⁾ ^" ^# ^fn ^L ⁾

Hum ⁺ ^Zfnjn

WNIOSEK 2 TW

^.

STOLZA

^:

ftp.#=nlfm.(xn+ ^,

^-

ⁱⁿ ⁾

jes.ligraniaepoprowejistnieje.WN1OSEKZTwsT0L2AiUA.GtOSCiFuNKcjilog.Po2wazamynhjmanrxn.2amiasttegomoznebowwinlfm.hogFn-limhYnIStosujemypopmedniwniosekiJeiliisthiejelim@gxn.ilogxDtoistnieielimWfIisqmiwne.Alelogxuti-logxn-logxnxtf.WnioskiyemyiZelimFXn-hmYnFnje.sligraniaepopraug.s

Graniceapgu gonna

WYKTAD 3

CIA , GI

Graniceapgu , graniue gonna

idolne

, twierokenie o onbieznosa

licsba e

, funky .e exp

magnanicg nasywamy sbieznym

Uzywamytakze oanaosen

him xn= to him xm

a

h → a h→s

THEIR FNEIN

Fn > N xn > M HMEIR FNEIN

Fn > N in < M

STWIERDZENIE apg sbiezny madoktowlnie jedng granicq

DOWO 'D Cigg jest sbiezny , torn me graniq

Oonnacsmy cigg ( xn ) agnanicg g

2oIo' Zmy , ze g ' tez jest graining Cxn)

Ustalmy E > 0 i wezimy Ni N

takie

ze owe m > N lxn

gl c % i dhe n > N ' lxn

ojl < E- 2

Biarpc terez

m > Max { N , N

} many

1g

g ' 1=1 g- xntxn

g

' I E 1g

xnltlxn

ojlc §+Ea=e osyu

1g

g 't < e

E < L to N > FE {

Wiaowmo , ze takie N istnieje

Wniosek him h→x xn=0

Pnykiad frosty , dowoddtugi

Pmyouesig killed twieroken ' uiatwiajgcycn zycie

W dalssymapgu www.odnimypewngilosdpmydotnycutwierokai

STWIERDZENIE 1

Cigg zbiezny jest ogronicsony

Dow 'oD : Ustalmy E > o i wesimy N

dhe n > N Ixn

g I < E

Wteoly prawie wsuystkie ( pose , byi moze xs , xz ,

, xµ ) wyrazy apgu ( xn ) sg w odcinku

Jg

E , gte [

02h ocsmy m

min { xz

xz ,

, ×µ , g- E } M=max{×z , xz ,

×µ

gte } wteoly zbior wynaiow ciggu sawiere nig w odcinku En , M ]

Dm

Twierdzeuie odwnotne niejest prawdziwe : xn

ED " jest ogranicsony , ale niejest sbiezhy

TWIERDZENIE 2 Kazay a.gg momotomicsny i agranicsony jest zbiezhy

DOWO 'D :

Dowodzimy the ciggow rosngcych

Nick X={ is

xz ,

} g=supX

W szcsegol

hosci oznecze to ,Ze the IN Xnfg

Uolowodnimy , ze g jest granicg ( xn )

Dowod a a iouozmyize g mie jest groining

Pvawdziwe just wipe zolanie 23

~( V. e > OF New : th > N I g- xnl < e)

111

Fe > o

t New Fm > N 1g

×÷

isthieje nieskonosenie

/ wide

+ ( h

ktn Html ) ( .m\ n

CIA _, GI

Graniceapgu ^, graniue gonna

, funky ^.e exp

Uzywamytakze ^oanaosen

him _xn= to him xm

^a

Fn > N xn ^> ^M HMEIR FNEIN

Fn > N in ^< M

DOWO 'D Cigg jest sbiezny ^, ^torn ^me graniq

Oonnacsmy cigg ( ^xn ⁾ agnanicg g

2oIo' Zmy ^, ^ze g ^' ^tez jest graining ^Cxn)

Ustalmy ^E ^> ⁰ ⁱ wezimy ^Ni ^N

^takie

gl ^c ^% ⁱ ^dhe ⁿ ^> ^N ^' ^lxn

ojl ^< ^E- ₂

^Biarpc ^terez

m > Max { ^N _, ^N

g ^' 1=1 _g- xntxn

ojlc §+Ea=e ^osyu

^1g

^g ^'t ^< ^e

E < L to N > FE _{

^Wniosek ^him _h→x ^xn=0

Pnykiad _frosty ^, dowoddtugi

Pmyouesig ^killed ^twieroken ^' uiatwiajgcycn zycie

Dow 'oD : Ustalmy ^E ^> ^o ⁱ wesimy ^N

^dhe ^{n >} ^N Ixn

_g ^I ^< ^E

_Wteoly _prawie wsuystkie ( pose , byi ^moze ^xs ^, ^xz ^,

^, xµ ) wyrazy apgu ⁽ ^xn ⁾ ^sg ^w ^odcinku

^E ^, gte ^[

^02h ocsmy ^m

^min { ^xz

^xz ^,

^, ^×µ ^, g- ^E } M=max{×z ^, ^xz ^,

gte } _wteoly ^zbior wynaiow ciggu ^sawiere ^nig ^w ^odcinku ^En ^, ^M ^]

Twierdzeuie odwnotne niejest ^prawdziwe ^: ^xn

^ED ^" jest ogranicsony ^, ^ale niejest sbiezhy

TWIERDZENIE 2 Kazay a.gg momotomicsny ⁱ agranicsony ^jest ^zbiezhy

Dowodzimy ^the ciggow rosngcych

^Nick X={ ^is

} _g=supX

^W _szcsegol

hosci oznecze to ,Ze the ^IN Xnfg

Uolowodnimy ^, ^ze g ^jest granicg ⁽ ^xn ⁾

^Dowod ^a ^a iouozmyize _g ^mie jest groining

^Pvawdziwe ^just ^wipe ^zolanie ²³

~( ^V. ê ^> ÔF ^New ^: ^th ^> ^N Î g- ^xnl ^< e)

t ^New ^Fm ^> ^N 1g

/ ^wide

+ ( ^h

^ktn Html ⁾ ( .m\ ⁿ

^1<+2 )

^!

12 =mkk-s nl¥n ⁺

⁺

^, ^f

{ 1+1+27 ⁺

²⁴

TWIERDZENIE ( ^otrech ciggach )

Nick ( xn ) ,( _{yn )} _, ⁽ ^zn ) bgdqciggami ^takimiize ^FMEIN Xnfymszn

DOW '0D : Ustalmy Ê ^> ⁰ Î ahajotdmy N×iN2E ÎN ^takie ^, ^Zeolla ^× ^> N×

GICE ^, ^ale ^{n >} Nz ^/ ^Zn

^Inacsq

^E ^, gtE[

^> g- ^E ⁽ ^Xu

^E. gte[

^> ^zn ⁽ ft ^E Wesimyteraz ^m ^> ^Max { Nx , Nz g- ^es xnfynezncgte

^> lyrglce ⇒ _ftp.yn-g

On PRZYKTAD ^:

×n=TT weimy ^an ^=p ^-1 ^anti

^"M ^m=( ^ttan ^)m

ttmant ( 1) ^an ^'t

^Zttnan ⁺ ⁽ ^d) ^as

1 z ^h ( ^h

ⁱ ) ²

2- ^an

÷ ^> ^, ^an ^' ofanffn liman=0

STWIERDZENIE ( Operate ^me ciggach sbiezhych ⁾

( in ) , ( yn ⁾ ^sbiezne ^, liming limynih