=mkk-s nl¥n

Gpgiemowyra2acnwXna2ywamyodwzovowaniexi1N-X.2amiastxCnj21piszemyxn.LamiastxilN-XpiszemyCxnjnenalbopoprosluCxnj.Wdalszyma.ggumowimyoapgachowynazochw1R.csyliocipgachhisbxecsywistyaifXz.xzi.i.iXki.i.lgMiwimyzeciggjestograniaonyjesliabio.njegowyraso.wtjestogranicsony.Moznetezpowieo1zieiciggogranicsony2doTulub2gory.0Kreseeniateodnoszqnfow2bioruwyvossv.Mowimyzea.ggjcstmalejgcyjes.liVnxm1fxn.nosngcyjes.liVnxnnZxn.Uzywamyokneslerisciislemalq.gaywbsa.slerosngcyjn.linierowuoscisqostre.Ciggirosngceimalejgceokrreslamywspoluiejakomonotomicsne.DEFlN1cjA.Graniaga.gguCxn1masywamyhisbggspetniajgagwarunekiVesoFNe1NiVmsNlxn-9lcEPis2emynlinnaXn-g.mowigcmniejformalnie.dhekazdegoE7owoda.nKnJg-E.gteLlezgpna@s2ystlawynazya.gguCxn1wszystKiepo2asKonosonqlicsbgCigg.kt.org

magnanicg nasywamy sbieznym^. Uzywamytakze ^{oanaosen '}

him _xn= to him xm ^{= - a}

h → a h→s

THEIR FNEIN ^: Fn > N xn ^{> M} HMEIR FNEIN ^: Fn > N in ^< M

STWIERDZENIE apg sbiezny madoktowlnie jedng granicq

DOWO'D Cigg jest sbiezny^{, torn me} graniq ^. Oonnacsmy cigg (^xn) agnanicg g^.

2oIo' Zmy^{, ze} g^{' tez} jest graining ^{Cxn) .} Ustalmy ^{E > 0 i} wezimy ^{Ni N ' takie}

ze owe m > N lxn ^- gl ^{c% i dhe n> N' lxn -} ojl ^<E-₂ ^{. Biarpc terez}

m > Max { ^N_, ^N'} many

1g ^- g^' 1=1 _g- xntxn ^-g

'I E 1g^- xnltlxn ^- ojlc §+Ea=e ^{osyu. 1g- g't < e .}

Pamigtamy.zeEjestowwolne.ws2osegolewscidowoluiemoiee.Rizniueyigl22jestwigcmniejsdodkazdejliubyowdatniej.Musiwigcbycg-oj-0.g-g.Wisks2osipnacybgdzieterazpoleyoEemesprawobaniuabieZhosa.iposzukiwaniugraniccipgow.PRz7KtADi2badajmy2bieZnosicigguxn-n2tT-mF.Jestjasne.ze2awnexnzo.Zrobmymastgpujgcynachunekixn-na.rneietfIiIn-nz2anafka-ntFhs1lXn-O-ntaKcsydheohwolnegoE2nojd2iemyNtakiezeolhensNphiPotetycsnegraniae1-mce.70osywiscie.Dwiustolonegoculiuymyn1-sce2xnce2cn2-nc-setcm2.t-ez-tscm2-st@cm2IFIcmtznjes.liczLtonmoze6yidowolnehosyliN-1ajes.h

.

E < L to N > FE_{ . Wiaowmo , ze takie N istnieje ^{. Wniosek him}_h→x ^xn=0

Pnykiad _frosty ^, dowoddtugi ^{. ,} Pmyouesig ^{killed twieroken '} uiatwiajgcycn zycie^.

W dalssymapgu www.odnimypewngilosdpmydotnycutwierokai^:

STWIERDZENIE 1 . Cigg zbiezny jest ogronicsony^.

Dow 'oD: Ustalmy ^{E > o i} wesimy ^{N : dhe n > N} Ixn ^- _g ^{I < E .} _{Wteoly prawie} wsuystkie ( pose , byi ^{moze xs , xz , ... ,} xµ ) wyrazy apgu ^{(xn) sg w odcinku}

Jg ^{- E,} gte ^{[ . 02h} ocsmy ^{m = min} { ^{xz , xz, ... , ×µ ,} g- ^E } M=max{×z^{, xz , ...}

×µ , gte } _wteoly ^zbior wynaiow ciggu ^{sawiere nig w odcinku En, M] .}

Dm

Twierdzeuie odwnotne niejest ^{prawdziwe : xn - ED "} jest ogranicsony ^{, ale} niejest sbiezhy^.

TWIERDZENIE 2 Kazay a.gg momotomicsny ⁱ agranicsony ^{jest zbiezhy.}

DOWO'D :

Dowodzimy ^the ciggow rosngcych^{. Nick} X={ ^{is ,} xz , ^... } _g=supX ^{. W} _szcsegol ^-

hosci oznecze to ,Ze the ^IN Xnfg ^. Uolowodnimy^{, ze} g ^jest granicg ^{( xn). Dowod a a} iouozmyize _g ^mie jest groining^{. Pvawdziwe just wipe zolanie 23}

~(^{V.e > OF New : th > N I} g- ^{xnl <} e)

111

Fe > o ^: t ^{New Fm > N} 1g ^-

×÷

isthieje nieskonosenie

/ ^wide

wynaw.wcipgukNCaietozo1aniepoludzkuiIstniejeEsotakieizepozeodcinkiemJg-EigteLjestmiesKohaeniewielewyrazo.wapgu.22oieozeniegsxusatemtaknaprawdgnieskoncseniewielewyrazo.wapgujestwpmedzialeJ-a.g-ET.PamigtamyponaoUoizeciggiestnoshpcy.Jes.liwigcxmsg-ctotakzewszystkieXnsg-Edlemim.O2hacsietoizewodcinkuT-x.g-dspwszystkiewyrazycigguCxnj.tznXcT-ig.eJAlewtedysupxsg-sspnecsnosc.gjestwigcgranicgCxujPR2YKtADiCiggxn-C1tntYjestnosngcyiogranicsony.IstotnieLnF-YjIEnnIinntsfhIEnTIcaHfnnnttEtIfnImntilstnIiEnJIcnHls-cYYydTE.uttn5Ls-naYIYII-e1tf-f-1IhIZ1-7xuii3xnHt1njh-1tn.tntCyjntet.i.tCYdnht.i.tn1n-st1.itmI21m4@jfyKnh-1-t.i

+ (^{h- ktn}

Html

.m\

12

=mkk-s nl¥n

{ 1+1+27^{+ ..} .tt#+...+nff1+1ttz+a1t...gktst...tnfzf3

Dnugiepnsydatne toierdzeniedolyayceciggowto ^{: 24}

TWIERDZENIE ( ^otrech ciggach)

Nick (xn) ,(_{yn ) ,} ^{( zn} ) bgdqciggami ^{takimiize FMEIN} Xnfymszn ^. fes.li ftp.xnilmiz.zn-g.totakzenbjmyyn-g

DOW'0D : Ustalmy ^{E > 0 I} ahajotdmy N×iN2E ^{IN takie , Zeolla × >} N×

IXN^. GICE^{, ale n >} Nz ^{/ Zn -} glcc ^{. Inacsq .} sapiszemy

XNE ]g ^{- E,} gtE[ ^{= >} g- ^{E ( Xu}

Zhe ]g ^-E. gte[ ^{= > zn (} ft ^E Wesimyteraz ^{m > Max} {Nx, Nz g- ^es xnfynezncgte ^{= >} lyrglce

⇒

On PRZYKTAD ^:

×n=TT weimy ^{an =p -1 anti = "M m=( ttan )m}

m=( ttanj

'

-- ttmant ( 1) ^{an 't ... Zttnan + ( d)as}

M ^- 1 z ^h(^{h. i}) ²

2- ^an

÷ ^{>, an '} ofanffn liman=0

to limas

STWIERDZENIE ( Operate ^me ciggach sbiezhych⁾

( in ), (yn^{) sbiezne ,} liming limynih

cⁱ) taper nbjmocxxntpyn)=&g+ph

Cid ftp.cxnyn^)=gh

Ciii ) fes.li yntoih.to ^to

ftp.#y=n9DOW0D

K) Kxntpyn ^- &g ^- phlf

Kllxrgltlplynhl

n takieize lxwgk 42k, ⁱ lyn.gl ^< {,p^{, wteoly}

Kxntpyn ^- &g ^- phlf Kllxrgltlplyn^HE. HE,

+ 1M¥^{, = E 25}

kit lxnyn ^- ghl ⁼ lxnyn ^- _gyn ⁺ _gyn ^- ghl ^{< lxn -} gkynl ⁺ _lgllyn ^{- hl f} *

aggcyn⁾ jest sbiezny ^{, wigc} ograninony ^. Many lynkm

Nx ^{: th >}N× ^{lxn -} glc

4mz Yg

owe n > Max {Nx,Ny }

* f ^{M +} _8¥ ^{= E}

#

ciii )

×y÷ ^. In ⁼ hxyjnyI.hxn-ghtgh-yy.nl#)gLhyn_{hyn hyn} ⁾

Cigg ( ynjest^{) sbiezny do linty rdznejod zere . Wobec} tego istnieje ^N

to Kie

, ze ale m > N lynl ^{> hz . Ponowlto} unvlamy ^{E > o I bi enemy}

Nx^{: one n >} N× ^{lxn -} 91 ^{( , Ny: the} Egh^{n > Ny In - ynlc hghge}

wtedy own > Max { ^N,N×,Ny }

, ^h

. Etf ⁺

gthgte

-

Ciggi Guidry^'_ego oktonych ^{more bpdue sa chwilg} odyrywajqwaznq

w matematyce ^{nolg saniwno od} strong pvaktyosng^. jakiteoretyosng^:

DEFINICJA

Niech ( ^xn) bgdsie apgiem licsbowym^. Mowing ^{, Ze ( in ) spetnie warunek}

Cauchy^'_ego jes.li

V.^{e >} o FN ^{> 0} tfmn ^{> N} Ixn ^- xml ^{< E}

TWIERDZENIE W IR cigg speinie ^wowunek Candy^'ago wteoly itylko wteolyitylko ^wteoly gay ^jest abiezny

27

Baron Augustin ^{- Louis} Cauchy 1789-1857 Frange

LIMES SUPERIOR _, LINES INFERIOR

( _Janusz Zajdel )

DEFINKJA ^Nied ( xn) bqolzie apgiem mecsywistym ^. O2nac2my

¥n={ ^{xi : in > n} } ⁼ { ^{xn ,} ×n+s , ^... }

Mn= sup # _n

, mn=infXn Mne1Ru{ ^to } _, Mme Rufo } limsupxn ^{= Inf} { ^{Mn : new} } ^{liminfxn = sup} {mn ^{: men} } limsupiliminf isthiejqdhekazdegocipgu^, mwggbyi mieskonowme

PRZYKTAD ^: _Xn= fifth ^×z=O

141=4

28×2=3/2

Mz=% mz= ^{- 1}

Xz= ^- % Mz= 54 _mg ^{. - 1}

µII¥snaI¥

Xy Xs ^Xs ×1 Xg Xq Xz

• • • • 0•

-1×7

limsnp ( tnshtf )=1 liminf ( hittin ₎₌ ^- 1 (*)

PRZYKTAD Xm=ffenTn_, ^{- EC rn ) liminfxnt -1 limsup×n=1}

1 2 3 4 ^{5 6 7 8} 9 10 11 12 13 14 ^{1516 17 18 ... m}

1 1 1 2 2 2 2 2 33 3 3 3 33 4 4 ^{9 ..} K

0 1 2 ^{0 1} 2 3 4 ⁰ 1 2 3 4 5 ^{6 0} 1 2 ... e

m=k2tl ^KEN

, lE{ 0,1 , ^... ,2k } the

×n= a ^- k=k2-k-k2+l_ ⁼

E( F) ^{= K ttk}

b- K

÷ K

×1o Xyz ×14

- 1 Xg ^{Xz ×m} Xg Xns Xz ^×15 z

I 1 I

11

I

tHl

11

Xy Xs ^{×2 Xp Xp}

K=1 , to ,1 ,2 xz= ^- tz ×z=o xs=f

k=2 to ,1^{. ×q= -25 xs=}.4^{'T ×g=O × # +1g ×p=2z}

1<=3 1=0

,

..,6 ×g= ^-3g ^×,o=

-at ^×,,= ^-gt ×h=o ×n= ^{1h ×},s= } ^{.. .}

DEMNKJA Punktem skupienie ciggu ^(xm) nasywamy ^{licsbg her} takg ^{. Ze the £9} dowolnego ^{E > 0 W odcinku Th - E , h+e[} jest mieskomcsenie wide wynasow

ciggu^{. HE > 0 V. New Fm > N 1h- xnl < E to} jestpunktem skupienie apgow

( ^{He > O F * MEN lxn - h|<}_E) mieognanicsonycn ² gory

- x ^{.. . . .} 2 OLOIU

Graniae _, jeih^{. istnieje, jest} (_{jcolynym) punktem stupienie ciggu}^{. G.gg n - C-}Dhttn

me dwepunkty skupienie ^{. Iee} punktow skupienie ^me apg ^a pmyktoww ^{(H ?}

Niel K^: IN → IN bgolzieodwzovowaniem scisle

vosngcym ^{. Lamiast Kcn) piszemy}

km ^.

Podapgiem

W jakim wystspowouy ^W wyjsciowym wpgu^.

STWIERDZENIE ^: Punkt skupienie ciggu jest granicg pewneyo podciggu^.

DOWOD: Nick ^Rrebgdzie punktem skupienie afgu ^{(xn). 2} definicj^. punktu skupienia wymike^{, Ze w odcinku Jr -1 , Ntt [} jest mieskoricsenie wide wyrasdw ciggu^. Wytieramy dowolny wyna2 ^spo'snod sawartycn ^w tym ^{odcinku : Xks bgokie on} pierwnym wyrazem podupgu^{. Nastgpnie} zmniejswmy ^{odcinek : ]r -}tz^, rtf ^{[ .} _Wtym

odcinkujesttez meskonnenie wide wyrasow apgu ^. Wyhenamy jedeu ^{2 mich : xk, dbojpc,} zeby ^Ka> kz ^. Nastgpmie ponownie ^2mm.g.nanny ^{odcinek : Jn -}st^, rtfe ⁱ _{wybieramy xkg} ^{, K},>K

,^.

W ten sposob Konswuujemy podcipg (_Xkn)apgu ^{( xm) . Wiadomo , ze} Xkmetrnt ^,~tnt[

satem I Xkn^- rlcfn , W pokasuje ^{, Ze} nlgjm_. xkn ^{= r.}

•

STWIERDZENIE Graniae gonna ^a.ggu^{jest kresem} gonnym ^zbionu puuktow sknpienie ^tego ciggu ^{. Graniae dolne} jest ^kresem dolnym ^abionu punktoir skupieuie apgu^.

SZKIC DOWODU Kompletny ^dowid jest mietrudny ^ale _Zmudny^. Lrobimy ^{satem tylko}

tylko ^{szkic .} Rozpatrsymy pmypadek ciggu takiego ^{, Ze limsup ×m= C I CEIR , tzn}

jest ^{to hisbe skoncsone .} Pokazemy^{, Ze c} jest punktem skupienie ^{(Xn) i ze nie}

me wigkszyih ^{punktow skupienion .} =Xn

C= limsupxn ⁼ lnnf^{sup { Xn, ×n+, ... . } Skono c= in.f{Mn : he IN} to snaosy , ze}

=

th Mn > C i (^Mn)jest malejpcy^{. Jest to a.gg} malejgcyi ogranicsony ^{a owtu ,}

~ .

a wigc zbiezny ^{. 2 dowodn}stosownego twierokenee wynikd ^{, Ze}

c- him Mn ^{. 2} oletiniy^. granicy zmgiolziemy ^one tazaego ^{e> othkie 30}

Ne , te ale ^n> Ne Mme ^[C , Ctc [ . Zacsnijmy ^{od E - Li} wyanacsmy Nz , +2N Mnstze ^{[ c+e[}MNs+z=^{4. . sup} { ×Ns+si×Ns+z. ^... } ^{, th}

istmeje ×Nstk ^{to. kite} ×Ns+ke]Mµs+,

-1 , Mµs+^, ] ^{. Ostateanie}

XNSTKEJC ^{-1 , Ct 1 [ .} Zocsynamy ^{definiowac '} apy ^{( yn ) 0} wowtoscioch

w Ni

vosnpcy ktowlgc _Ys= ^Nztk

Dalai ^bi enemy e=f ipowtansamy procedures dbajqc by ^{Na >} Nztk ^. Otnymuiemy ×Ns+k, e) ^c- I. C+I[ ⁱ ye Natka ^.

Poowbnie dhe e=¥ 1g^{, , .. . . 2 konstrutji wiowe, ze (Xyn)} iestabiezny ^do

e , wise ^C jest punktem skupienie ^(Xn) Pozostoje pokasac^{' , ze nie me} wigkszego ^{punktu skupienie .} Zatozmy ^, zejest ^{:c '> C} wteoly isthieje

hieskoncseuie_istniqe wide^N wynawiw_takieize jednouesnieoneciggun >^(XnN⁾ Mnwigkszydr^e E, ⁰⁰¹ day ^{. I}

' ¥[ ^, _ayei

Xin ^a ] ^{- x} _, 4¥ ^{[ satem} pnawie wszystkie wyraay ciggu sqmniejsie

ad c+¥ ^→ _spmecsnosd^.

Otto Stolz

1842 (^{Hall in Tirol )}

1905 ( ^Wieolen')

TWIERDZENIE STOLZA

Cxu )_, (yn^{) sq} apgami mecsywistymi^,

(yn⁾ jest ^as peoneyo migsuenosnpcy ^oraz

ftp.yn-b.Jes.li istnige gnanice

Xnt, ^- Xn

him ^- to istniejenbjm_. ¥ iotiegnanice ^{sg n' wne .}

n→x Yntt ^- yn

DOWJD^: Zanin pngiokiem ^ow wtasuwego ^{owwooln , 2omwaZ} my ^{Ze job}

. the

iefl _, ^... ,N} ^,hu÷e€a,b]^{di > o ' , to take} Ezuvinetaib^]

istotnie at Tffb ^{⇒ adie mic boi = >} _Eadie E. ^uic Fbt ^.

⇒ azoic Zuicbzvi ⇒ a ,< Ezujincb ^{. 31}

×mi= # a ^a ER

I Rozwazmyteraz pmypadek gay _ymn ^- _yn

Due ustolonego ^{E > o i} wystowniejgw oluzego ⁿ ( ⁿ >,N) _many

Xnti ^- Xu

a- 42 ^f In ^fate

sachodsi wigc ^theJ

Xntn ^- Xn Xn

Eni yn.TL#i...iXN+=istosujemypoagteowqobserwoq.g_YNH ^- _yn

i dostojemy

a %efnnis.ge#ce+E+znlxynnIiIg-ek4

My jeolnakmusimy ^{szawwac '} /×y÷^{e|- :}

.at#yi.a)onyEntxE-aElFnaKlyIF.allajIt+lEt+iailEl⇐

< %+%< ^e

< % _<^t ₁ to _to

-

BiekemyntakduZeZebytedodatkic4zIRozwozamypmypadekXntI_texynti-ynSkorrotaktodhewystowcsojgwoluzycumTynnfI@71.2atemxnti-xu7Yntsiyn70O2meuotoiZeHmjjestrrosngcyodpewnegomiejsue2ouozmy.ze

me to miejsce ^{the nzN}

Xhts ^- ×n > ynti ^{- Yn}

xp

- xni >

yn ^{- yus -}

t.IE#ygyigfIoIIII:I:ti.e*.*

wteolywersjgImozn@2ostosowadobYml-Y-Y0boCxn1spetm3.e2Xnti-Xm2atozeuie.1Ideehnti-xn_nIg_o2owneuiamyCXu1mel-Xn1istosujemyI.p.Ynti-ynUWAGliaFwierokeniejestwjeolnqstnong.tzn2istnienielimFnmicmiewymikedhelimxhHIYnti-ynnp.x

n=G^ )^" +1

xn

yn=m ^Jn

-20

Lyn

(2) Zatozenie Yn ^{-7 -} jest ^wazne

Xn=t ^- nt _yn ^{. 2-} I

← Nosngcy ^ale ogranicsony

¥ ^{→ atL} FIE .tn#stnt_=s^- _2¥, ^-2 _.int ^L

(3) Monotonicsnosc ^. ₍

yn⁾ jestwazne

Xn=Mn ^{+ Cn ) " n→a}

yninnenn

¥n=nT±Enynt-*

Hum ^{+ Zfnjn}

WNIOSEK 2 TW ^. STOLZA ^:

ftp.#=nlfm.(xn+ ^{, - in )}

jes.ligraniaepoprowejistnieje.WN1OSEKZTwsT0L2AiUA.GtOSCiFuNKcjilog.Po2wazamynhjmanrxn.2amiasttegomoznebowwinlfm.hogFn-limhYnIStosujemypopmedniwniosekiJeiliisthiejelim@gxn.ilogxDtoistnieielimWfIisqmiwne.Alelogxuti-logxn-logxnxtf.WnioskiyemyiZelimFXn-hmYnFnje.sligraniaepopraug.s

wonie istnieje ^.