Przykłady behawioralno-poznawczych postaw uczniów klasy czwartej szkoły podstawowej

M

L

Kraków

Przykłady behawioralno-poznawczych postaw uczniów klasy czwartej szkoły podstawowej

wobec zadań matematycznych

1. UWAGI WSTgPNE

Podjęcie badań nad rozwojem postawy ucznia wobec problemów matematycznych postulowano już od wielu la t . świadczy o tym między innymi apel autorów raportu amerykańskiego komitetu National Advi­

sory Committee on Mathematical Education (NACOME): „Wzywamy wszy­

stkich dydaktyków do podjęcia badań nad rozwojem postaw, umiejęt­

ności rozwiązywania problemów, nawyków krytycznego myślenia - tra- uznawanych za istotn e w nauczaniu matematyki - oraz nad dostępnymi środkami mierzalnej oceny w tym zakresie" (NACOME, 1975»

s tr . 55).

Badania omawiane w niniejszym artykule stanowią fragment szerszych badań; w ca łości mających charakter tylko wstępny i son­

dażowy, gdyż zajmowałam s ię w nich nie t y le rozwojem, co opisem zastanych postaw uczniów wobec zadań matematycznych rozwiązywanych w k la sie czwartej szkoły podstawowej. Sondażowy charakter tych ba­

dań wiąże s ię te ż z tym, że zastosowane przeze ranie narzędzia ba­

dawcze dają jedynie wstępną orien tację w postawach uczniów. Przy doborze i stosowaniu tych narzędzi starałam się bowiem utrzymać takie warunki, w jakich zazwyczaj uczniowie rozwiązują zadania ma­

tematyczne w k la s ie .

Ten poziom kształcen ia (pierwsza klasa ponadpoczątkowa) wybra­

łam do badania postaw uczniów dlatego, że stanowi on według mnie ważny etap w kształtowaniu motywacji i metod postępowania dotyczą­

cych zadań matematycznych. Na tym etapie postępowanie uczniów, wy­

nikające z ich doświadczeń nabytych w okresie nauczania początkowe­

go, ulega zmianom w związku z wyższymi wymaganiami i uczeniem s ię pod kierunkiem nauczyciela matematyki, na ogół innego n iż w klasach początkowych. Warunkiem odpowiedniego ukierunkowania przez nauczy­

c ie la postępowania uczniów przy'rozwiązywaniu zadań matematycznych je s t rozeznanie w istn ieją cy ch i funkcjonujących w rzeczyw istości szkolnej ich postawach wobec takich zadań. Moje doświadczenia z pra­

cy z dziećmi na tym poziomie nauczania i obserwacja le k c ji nauczy­

c i e l i wskazują, że nauczyciel często nie ma świadomości tych pos­

taw, nie zawsze dostrzega przyczyny określonych zachowań d z ie c i wobec zadań, nie w id zi te ż często konieczności głębszego wnikania w te problemy. Dlatego uważam, że zarówno pokazanie różnorodności postaw uczniów, jak i próba an alizy tych postaw z punktu widzenia kształcenia matematycznego, są bardzo pożądane.

W celu opisania postaw uczniów wobec zadań matematycznych po­

trzebne je s t ustalen ie sposobu rozumienia p ojęcia postawy oraz us­

ta le n ie sposobów badania i opisywania tego p o jęcia . Postawy ucz­

niów wobec zadań matematycznych rozważam na t l e szerszego p ojęcia postawy podmiotu wobec przedmiotu w p sych ologii.

2. POJECIE POSTAWY PODMIOTU WOBEC PRZEEMIOTU W PSYCHOLOGII

Poszukiwanie sposobu opisu postawy ucznia wobec zadań matema­

tycznych rozpoczęłam od zbadania rozumienia p ojęcia postawy w ogó­

le .

W pracach psychologów nie ma pełnej zgodności co do rozumie­

nia p o jęcia postawy i sposobów j e j diagnozy. Dla potrzeb mojej pra­

cy wybrałam, wyróżniające s ię p rze jrzy s to ś c ią , stanowisko J. Rey- kowskiego, przyjmowane również w psych ologii społecznej (J. Reyko- wski, 1973).

J. Reykowski określa postawę osoby wobec przedmiotu jako dys­

pozycję t e j osoby do ustosunkowania s ię wobec przedmiotu. Zreferu­

ję krótko, jak Reykowski charakteryzuje p o ję c ie ustosunkowania,

c z y li aktywnych o rga n iza cji własnych stosunków osoby z rzeczywis­

to ś c ią .

Ustosunkowanie to ma formy praktyczne - gdy człowiek podejmu­

je czynności rzeczyw iste, lub symboliczne - gdy jednostka nie ma kontaktu z obiektem ustosunkowania, a tylk o z jego symboliczną re ­ prezentacją, z jego wyobrażeniem lub ideą. Przez ustosunkowania symboliczne rozumie s ię procesy re g u la c ji psychicznej, d zięk i któ­

rym akty rzeczywistego ustosunkowania s ię dochodzą do skutku; cho­

dzi tu o wyobrażenia, plany, pomysły zmian oraz związane z nimi emocje i motywy. Ustosunkowanie wobec konkretnego obiektu może przy­

bierać najrozmaitsze formy, które dałoby s ię zakwalifikować najo­

g ó ln ie j jako pozytywne lub negatywne.

W każdym akcie ustosunkowania mo.żna wyróżnić tr z y podstawowe komppnenty: behawioralny, poznawczy i emocjonalno-motywacyjny. Kom­

ponent behawioralny ustosunkowania wyraża s ię w formie konkretnych czynności motorycznych i werbalnych. Odpowiednikiem symbolicznym są wyrażenia i poglądy na temat tego, co podmiot zamierza zrobić lub co postuluje, co uważa za konieczne do zrobien ia. Komponent poznawczy ustosunkowania wyraża s ię w czynnościach poznawczych pod­

miotu, a dokładnie w tym, jak podmiot selekcjonuje i organizuje na­

pływające inform acje. Organizacja inform acji polega na ich k la s y fi­

k a c ji w odpowiednich kategoriach, na wartościowaniu in form acji.

Komponent emocjonalno-motywacyjny wiąże s ię z uwarunkowaniami każ­

dego ukierunkowanego zachowania przez proces motywacyjny wraz z procesami emocjonalnymi. Proces motywacyjny może być b ard ziej lub raniej uświadomiony; uświadomionymi formami tego procesu są na przy­

kład pragnienia, in ten cje, chęci, obawy. Emocje mogą sterować akta­

mi ustosunkowania, bądź współwystępować z nimi.

Ustosunkowanie jednostki do rzeczyw istości zależy od tego, w jak i sposób zostały zorganizowane inform acje, ja k ie emocje, i motywy powstały, jakim repertuarem możliwości wykonawczych jednostka dys­

ponowała.

W zakończeniu opisu p ojęcia ustosunkowania J. Reykowski napi­

sa ł: „Jak wiadomo, ustosunkowania jednostki wobec pewnych obiektów

otoczenia wykazują w pewnym dłuższym przeciągu czasu dość znaczną

regularność ( . . . ) , człowiek ustosunkowuje s ię do otaczających go

przedmiotów w s ta ły , charakterystyczny dlań sposób ( . . . ) . Postawa

j e s t wewnętrznym warunkiem aktów ustosunkowania , dyspozyoją do tych aktów (podkreślenie m oje). Dzięki t e j dyspozycji ustosunkowa­

nia wobec przedmiotów wykazują względną stałość w dłuższym przecią­

gu czasu” (J. Reykowski, 1973, s tr . 95).

Właściwa diagnoza postaw wymaga jasnego rozumienia s ta ło ś c i ustosunkowali. Otóż:

„Stałość ustosunkowań nie polega jednak na powtarzalności tych samych aktów wobec tych samych obiektów, a na dokonywaniu aktów ma­

jących wspólne znaczenie. Tak np. jednostka może ujawniać rozmaite reakcje emocjonalne wobec przedmiotu w zależności od tego, jak zmienią s ię aktualne stosunki między jednostką a danym przedmiotem, ale można w tych reakcjach dopatrzyć s ię wspólnego znaczenia”

(J. Reykowski, 1973, s t r . 95).

Tak więc stałość ustosunkowania nie pociąga za sobą s ta ło ści wzorów zachowania, emocji; nie wyklucza zmienności doraźnych usto­

sunkowań, Jktóre za leżą od doraźnych r e l a c j i podmiot-przedmiot, często różnych od r e l a c j i stałych. To, co obserwujemy, co bezpoś­

rednio badamy, je s t aktem ustosunkowania, który Jest pewnym zew­

nętrznym przejawem postawy, sama zaś postawa je s t , w podanym przez J. Reykowskiego określeniu, dyspozycją - strukturą latentną. Diag­

noza postawy, j e j opis, je s t więc bardzo trudnym zagadnieniem.

W procedurze opisu postawy trzeba, zdaniem tego autora (J. Rey­

kowski 1973, s t r . 114-115):

1) opisać powtarzające s ię tendencje w zachowaniu (behawioral­

ne) podmiotu wobec przedmiotu - a nie konkretne czynności, 2) u s ta lić sposoby odbierania i organizowania inform acji o rozpatrywanym przedmiocie,

3) opisać reakcje emocjonalne na zmiany stosunku podmiot-

-przedmiot. *

Wszystkie wskaźniki postawy, które możemy otrzymać stosując przedstawioną procedurę opisu, są obciążone, według J. Reykowskie­

go, określonymi wadami związanymi przede wszystkim z ich zależnoś­

c ią od czynników sytuacyjnych. Pojedynczy pomiar wskaźników posta­

wy informuje tylko ó stanie aktualnym; na podstawie tych informa­

c j i nie można o k re ś lić , jak s ię ma ów stan aktualny do stanu rze­

czywistego - jaka je s t między nimi rozp iętość.

Procedura opisu postawy przedstawiona przez J. Reykowskiego

sugeruje, że psycholog ten wyróżnia w dyspozycji tworzącej postawę:

tendencje do zachowań, sposoby odbierania i organizowania informa­

c j i oraz reakcje emocjonalne. Mają one odpowiedniki w komponentach ustosunkowania: behawioralnym, poznawczym i emocjonalno-motywacyj­

nym, i niejako steru ją nimi.

Przedstawione tu ta j u ję c ie postawy według J. Reykowskiego przyjmuję za podstawę do określenia p ojęcia postawy ucznia wobec żadań matematycznych.

3. POJgCIE POSTAWY UCZNIA WOBEC ZADAŃ MATEMATYCZNYCH

P o jęcie postawy występuje te ż w lite r a tu r z e z zakresu dydakty­

k i matematyki. P ojęcie to je s t związane z postulowanymi ogólnymi celami nauczania matematyki, przy czym autorzy poprzestają na do­

syć ogólnym op isie cech postaw określonego typu. Podam przykłady.

A.Z. Krygowska charakteryzując tendencje w formułowaniu ogólnych celów powszechnego nauczania „matematyki dla wszystkich" w różnych krajach, wyróżnia tr z y poziomy k w a lifik a c ji, które uczeń powinien zdobyć w procesie uczenia s ię matematyki. Drugi z tych poziomów tworzy specyficzne dla matematycznej aktywności postawy i n t e l e k ­

tual ne (s tra te g ie i techniki in telek tu a ln e) stosowane w toku roz­

wiązywania matematycznych problemów oraz rozumienie związanych z tym podstawowych elementów metodologii matematyki (A .Z . Krygowska, 1981, s t r . 49). G. Polya wymienia następujące cechy postaw u ż y t e ­ cznych w rozwiązywaniu zadań: (a ) racjonalność, (b) oszczędność, lecz bez założonych z góry ograniczeń, (c ) wytrwałość, lecz i róż­

norodność, (d) stosowanie reguł p re fe re n c ji, np. ła tw ie js ze ma pierwszeństwo przed trudniejszym (G. Polya, 1975, s tr . 279-288).

Postawę t wór cz ą , według H. Wintera, cechuje: przekształcanie sytu acji problemowej, j e j przedłużenie, tra n sfer; gotowość do roz­

ważania alternatyw (myślenie dywergencyjne z aspektami płynności id e i, oryginalności i ru ch liw o ści); odkrywanie nowych możliwości przez kombinowanie (na przykład pojęć lub r e g u ł); wykraczanie poza dane inform acje; gotowość ( i umiejętność) do samodzielnego poszu­

kiwania dróg rozwiązania problemu i dowodzenia; odkrywania związ­

ków, wzorów, struktur; rozpoznawanie, formułowanie i uzasadnianie uogólnień; tworzenie hipotez (cytu ję za A.Z. Krygowską, 1981, s tr.

50).

Przedstawione tu charakterystyki postaw można traktować jako postulowane cele rozwoju istn ieją cy ch postaw uczniów wobec zadań matematycznych. W artykule tym zamierzam opisać postawy rzeczyw iś­

c ie występujące w praktyce szk oln ej; zestawienie ich z postulowany­

mi postawami może być in teresu jące.

Zastosowanie zaproponowanej przez J. Reykowskiego procedury opisu postawy, gdy j e j podmiotem je s t uczeń klasy czwartej, a przed­

miotem zadania matematyczne, wymaga między innymi opisania re a k c ji emocjonalnych ucznia na zmianę stosunku uczbń-zadanie. Takie reak-

( -r )

c je badałam i opisałam w szerszej rozpraw iev -Tu ograniczam się tylk o do sprawozdania z obserwacji i an alizy postaw behawioralno- -poznawczych (w term in o lo gii Reykowskiego) uczniów klas czwartych wobec dwóch zestawów zadań matematycznych, oraz do krótkiego zesta­

wienia wyników badań przeprowadzonych na większej lic z b ie zadań.

Zastosowanie zaproponowanej przez J. Reykowskiego procedury opisu postawy wymagałoby te ż oddzielnego opisania tendencji do za­

chowań uczniów wobec zadań oraz oddzielnego opisania sposobów od­

bierania i organizowania przez tych uczniów inform acji związanych z zadaniami. Należałoby w związku z tym, przy badaniu ustosunkowań ucznia wobec zadań, od d zieln ie opisywać ich komponent behawioralny, c z y li czynności konkretne ucznia (wypowiedzi, zapis symboliczny, rysunek, czynności rzeczyw iste wykonywane na przedmiotach m aterial­

nych) oraz oddzieln ie opisywać ich komponent poznawczy, c z y li ope­

ra cje myślowe ucznia. Czynności konkretne ucznia~są jednak powiąza­

ne z jego operacjami myślowymi, charakter związków między nimi moż­

na, za A.Z. Krygowską, opisać w następujący sposób:

„Czynność konkretna

(a ) może być źródłem procesu in t e r io r y z a c ji, w którym jako j e j odbicie powstaje określona operacja myślowa,

(b ) może być wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, wspierać je i stabilizow ać - przez odbicie w konkrecie i równocześ­

nie je pobudzać,

(1) v •'Całość badań postawy uczniów w aspekcie behawioralno-poz- nawczym i emocjonalno-motywacyjnym została opisana w mojej pracy

doktorskiej p t. Postawy uczniów klasy I V szkoły podstawowej wobec

zadań matematycznych. Maszynopis t e j pracy znajduje s ię w B ib lio ­

tece Głównej WSP w Krakowie.

(c ) może być w eryfikacją w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu o p e ra c ji” (A.Z. Krygowska, 1977, t . 1, s tr . 128).

Uważam, że przy op isie postawy ucznia wobec zadań trzeba brać pod uwagę powiązania konkretnych czynności ucznia z jego operacja­

mi myślowymi i trzeba opisywać charakterystyczne dla niego

przy rozwiązywaniu zadań, w których łączą s ię jego tendencje do zachowań wobec zadań ze sposobami odbierania i organi­

zowania przez niego in form acji dotyczących tych zadań. Przykładem ta k ie j, charakterystycznej dla danego ucznia, metody postępowania może być dążenie do wykonywania rachunków na danych liczbowych za­

dania. Czynności konkretne ucznia związane z tymi rachunkami mogą być z jednej strony wynikiem jego koncentrowania s ię przy czytaniu tr e ś c i zadania na danych liczbowych, z drugiej zaś mogą być sposo­

bem lepszego rozeznania w zależnościach między danymi a szukanymi tego zadania. Ujawnienie s ię ta k ie j metody postępowania ucznia mo­

że zależeć od rodzaju zadania. Przykładem innej metody postępowa­

nia, również związanej z rodzajem zadania, może być dążenie ucznia do konkretnego interpretowania ihform acji danych w zadaniu, zwią­

zanego z bardzo żywym wyobrażeniem rzeczywistych s y tu a cji, spoty-, kanych w życiu lub w dotychczasowym doświadczeniu szkolnym. Może to wpływać na przyjmowanie przez ucznia dodatkowych założeń nie istn ieją cych w tek ście zadania.

W prowadzonych badaniach,za J. Reykowskim, przez

rozumiałam

Nie oddzielałam jednak as­

pektu behawioralnego od poznawczego, a więc wyróżniłam tylk o dwa aspekty postawy ucznia wobec zadań matematycznych:

( 1 )

obejmujący metody postępo­

wania ucznia w procesie rozwiązywania zadań matematycznych, (2 )

, obejmujący motywacje ucz­

niów wobec zadań matematycznych.

Aspekty te są ze'‘sobą powiązane, ich ro zd zie le n ie ma ułatwić przeprowadzenie badań dotyczących diagnozy postaw. Do opisania pos­

taw uczniów wobec zadań matematycznych, poza opisaniem ich motywa­

c j i i metod postępowania, is to tn e je s t podjęcie próby ocenienia

s ta ło ś c i tych motywacji i metod, zależności od rodzaju zadań. Jak

już wspomniałam poprzednio, w artykule ograniczam s ię tylk o do

pierwszego aspektu -obserwowanych postaw.

4. DOBÓR ZADAŃ DO BADANIA POSTAW UCZNIÓW

Przy różnych rodzajach zadań można oczekiwać różnych metod po­

stępowania uczniów przy rozwiązywaniu tych zadań. Opis procesu roz­

wiązywania zadań powinien więc uwzględniać różne ich aspekty.

A.Z. Krygowska wyróżnia t r z y ta k ie aspekty:

„Każde zadanie je s t nośnikiem różnych elementów dydaktycznej in s tru k c ji, takich jak:

- twierdzenia, d e fin i­

c je , algorytmy it p . ;

- formy rozumowania, de­

dukcja, redukcja, poprawna k la sy fik a cja przypadków, logiczna struk­

tura tw ierdzenia, którego s ię dowodzi i t p . ;

-

analogia, indukcyjne poszukiwanie rozwiązania, próba rozwiązania w przypadku szczególnym i poszukiwanie sposobu uogólnienia itp "

(A.Z. Krygowska, 1977, s tr . 130 - podkreślenia moje). W pracy pod redakcją G.A. Goldina i C.E. Mc Clintocka (1979) precyzuje s ię cztery kategorie zróżnicowania sytu acji występujących w badaniach nad rozwiązywaniem zadań. Są to zmienne charakteryzujące:

(a ) s y nt a k t y k ę

, t j . układ występujących w nim słów i symboli,

(b)

i kontekst pozamatematyczny,

(c )

(w sensie adekwatnego modelu matematycz­

nego),

(d) specyficzne dla danego zadania

Zmienna dotycząca syntaktyki zadania nie je s t osobno wyróżnio­

na w przedstawionym wyżej ujęciu autorstwa A.Z. Krygowskiej.

Uwzględnianie w badaniach procesu rozwiązywania zadań ich as­

pektu związanego z układem słów i symboli w tr e ś c i zadania uważam za ważne. Nieznajomość lub nierozumienie przez uczniów konwencji dotyczących zapisu tr e ś c i zadania może być przyczyną wielu ich nie­

powodzeń w rozwiązywaniu zadań, co ilu s tr u je też fragment badania opisany w ro zd zia le 6 tego artykułu. W badaniach postaw uczniów wobec zadań matematycznych ważną r o lę odgrywa ich typowość lub nietypowość.

W lite r a tu r z e dydaktycznej wymienia s ię różne k ry te ria typo- wości zadania. Podam przykłady.

„W doborze zadań zdeterminowanym przez tr e ś c i programu naucza­

nia występują głównie zadania typowe ze względu na

i

w i e d z ę

określonego fragmentu materiału” (W. Mnich, 1980, s tr . 4 - podkreślenie, m oje).

G. Polya charakteryzuje zadania typowe następująco: „Ogólnie rzecz biorąc zadanie je s t zadaniem typowym, j e ż e l i można je rozwią­

zać albo przez podstawienie danych szczegółowych do poprzednio roz­

wiązywanego zadania ogólnego, albo przez

krok po kro­

ku, bez jakiejkolw iek oryginalności, jakiegoś dobrze znanego

k ł a d u ,

( . . . ) Przykład typowy, je s t to przykład o niewielkim zakre­

s ie poznawczym, ilu s tr u je on pewną izolowaną regułę.dając przykład j e j zastosowania i nic ponad to " (G. Polya, 1964, s tr . 243; 1975»

s tr . 297; podkreślenie m oje).

A.Z. Krygowska uważa, że: „Tradycyjne zadania matematyczne ce­

chują s ię n a jczęściej tym, że są

i że poprawne

. Dane są ś c iś le określone, podaje s ię ich t y le i tylk o ty le , i l e ich potrzeba do rozwiązania, pytanie je s t tak sformułowane, że uczeń nie ma wątpliwości co do tego, że odpowiedź je s t jednoznaczna. ( . . . ) Tematy standardowych zadań matematycznych zawierają typowe polecenia i typowe pytania lub tylk o polecenia lub ty lk o pytania” (A.Z. Krygowska, 1977, t . *3, s tr . 30; podkreślenie m oje).

Zbierając cytowane wyżej charakterystyki zadań typowych (stan­

dardowych, tradycyjnych) wyróżniłam tr z y aspekty, ze względu na które dane zadanie może być uznane za typowś lub nietypowe. Zadanie może być typowe ze względu na jeden aspekt, a nietypowe ze względu na drugi.

może być

ze względu na:

(a )

, gdy są one bezpośrednio związane z wymaganymi przez program wiadomościami i umiejętnościami,

(b )

, gdy uczeń może rozwiązać zada­

nie przez bezpośrednie zastosowanie znanego mu schematu postępowa­

nia,

( c )

, gdy danych je s t dokładnie t y le , i l e potrzeba do rozwiązania zadania; polecenie, pytanie je s t jedno­

znacznie sformułowane; możliwe je s t dokładnie jedno rozwiązanie (wynik).

Częste rozwiązywanie zadań nietypowych ze względu na aspekt

(a ) lub (b ) może spowodować uznanió ich za typowe, natomiast typo-

wość lub nietypowość ze względu na aspekt (c ) raczej nie zależy od

częs to tliw o ś c i rozwiązywania (mogą być przyjmowane dodatkowe kon­

wencje precyzujące jednoznaczny sposób rozumienia zadania).

W lite r a tu r z e dydaktycznej (np. Z. Semadeni (1981 ), G. T re liń ­ ski (1980)) omawia s ię zadania nietypowe ze względu na strukturę t r e ś c i. Wskazuje s ię tam, że mogą być tr z y rodzaje zadań nietypo­

wych ze względu na dane:

(a ) zadania z

; gdy niektóre dane lub związki są zbędne do zn alezien ia rozwiązania, nie wykorzystuje s ię ich w rozwiązaniu, można j e wymienić na inne, a nie zmieni s ię wynik, albo można j e te ż wysnuć z pozostałych danych,

(b ) zadania z

, gdy brakuje da­

nych (d e fic y t danych), i nie można jednoznacznie wyznaczyć szuka­

nego obiektu,

( c ) zadania ze

j e ś l i poszczególne in fo r ­ macje nie dadzą s ię pogodzić ze sobą, gdy nie można w ogóle wyzna­

czyć szukanego obiektu.

Subiektywne ocenianie przez ucznia typowości zadania ze wzglę­

du na dane może być różne od stanu faktycznego. Na przykład, w n ie­

których zadaniach można wyznaczyć k ilk a obiektów spełniających wa­

runki poprawnego rozwiązania zadania i rozwiązanie zadania polega na podaniu wszystkich takich obiektów (dotyczy to nie tylk o zadań z nietypową strukturą t r e ś c i ) . Takie zadania mogą być przez ucz­

niów oceniane jako nietypowe, gdyż na ogół spotykają s ię oni z za­

daniami, w których is t n ie je dokładnie jeden obiekt spełniający wa­

runek poprawnej odpowiedzi.

Wśród zadań nietypowych ze względu na nieschematyczność roz­

wiązania, na strukturę t r e ś c i zadania, przeznaczonych już dla klas początkowych, ważną r o lę odgrywają zadania wprowadzające ucznia w różne elementy aktywności umysłowej, takie jak: porównywanie, ana­

lo g ia , dostrzeganie prawidłowości, rozumowanie indukcyjne i uogól­

nian ie. Zadania ta k ie przygotowują ucznia do posługiwania s ię w rozwiązywaniu zadań jedną z podstawowych technik heurystycznych, jaką je s t dostrzeganie i stosowanie a n a lo g ii. Przykłady tego typu zadań można znaleźć w podręczniku matematyki dla klasy czwartej pod redakcją S. Turnaua (1980, s tr . 27) i w książkach G. P olyi

(1964, 1975), i wielu innych.

Wśród zadań podobnych pod względem metody rozwiązania szcze­

gólne miejsce zajmują zadania

mające wspólny typ ma-

tematycznej struktury, choć mogą być odległe fabułą, tr e ś c ią , rodza­

jem lub ilo ś c ią obiektów w nich występujących.

Terminu^zadania izomorficzne" używa H. Freudenthal, ilu stru ją c go najpierw przykładami zadań mających ten sam model matematyczny:

„ ( 1 ) Z miasta ^A do miasta ^B prowadzą trz y drogi, z miasta ^B do miasta ^C - dwie d rogi. Na i l e sposobów można pojechać z miasta

A do miasta C przejeżdżając przez miasto B?

(2) Są tr z y domy i dwa garaże, z każdego domu prowadzi droga do każdego garażu. I l e je s t wszystkich dróg?

(3) Masz trz y swetry i dwie pary spodni. W ciągu il u dni mo­

żesz s ię in aczej ubrać?" (H. Freudenthal, 1978, s tr . 196-199).

W term in ologii używanej przez H. Freudenthala w cytowanej pra­

cy zadanie (1) je s t

par ady

do zadań (2 ) i (3) oraz innych zadań izomorficznych. Rozwiązanie wszystkich przedsta­

wionych wyżej zadań polega na wyznaczeniu mocy odpowiednich ilo c z y ­ nów kartezjańskich, które można przedstawić w t e j samej tabelce k a rte zja ń s k ie j. H. Freudenthal stwierdza d a le j, że nowe zadania, które otrzymalibyśmy zamieniając w tych zadaniach dane liczbowe 2 i 3 innymi liczbam i, te ż byłyby izom orficzne do zadania (1 ). Zada.- nia te miałyby już różne^modele, będące nadal modelami tego samego typu matematycznej struktury.

W. Mnich proponuje nazywać dwa zadania

k i m s e n s i e ,

gdy w ich rozwiązywaniu interweniują izom orficzne stru­

ktury matematyczne -(ta sama struktura matematyczna), a

n y m i ,

gdy w ich rozwiązywaniu interweniuje ten sam rodzaj matema­

tycznej struktury (w . ^Mnich, 1 9 8 0 , ^{s t r .} 5 6 - 5 8 ) .

Posługiwanie s ię ucznia schematami graficznymi przy przedsta­

wieniu tr e ś c i zadania lub jego rozwiązania może mu ułatwić dostrze­

żenie podobieństwa izomorfizmu poszczególnych zadań. Do schematów graficznych używanych w etapie pośrednim między myśleniem konkret­

nym a myśleniem abstrakcyjnym, ja k ie występuje u uczniów klasy czw artej, należą

(ikoniczne w sensie J.S. Brunera), c z y li rysunki schematyczne, uproszczone, stylizow a­

ne, zawsze jednak odzw ierciedlające jak ieś isto tn e cechy rozpatry­

wanych pojęć i sytu acji (Z. Semadeni, 1981, s tr . 72; Z. Putkiewicz, 1962, s t r . 15). Do tych schematów graficznych należą: punkty, pęt­

le , ta b e lk i, drogi, drzewa, s tr z a łk i. W t e o r i i rozwoju J.S. Brune­

ra (1978, s t r . 530-531) reprezentacja w postaci obrazowej, zwana

reprezentacją ikoniczną, następuje po reprezentacji opartej na działaniu, zwanej reprezentacją enaktywną, a poprzedza reprezenta­

c ję symboliczną opartą na słowach czy innych symbolach. Reprezenta­

c ja ikoniczną je s t pewnym uogólnieniem konkretnej sytuacji i kro­

kiem naprzód w kierunku formalnej matematyzacji, pozwala uprościć sytuację; właściwie wykorzystana pozwala pominąć informacje nie­

istotne do rozwiązania zadania (problemu), a skoncentrować się na tym, co je s t istotn e; ułatwia dziecku rozumowanie i może zastąpić wykonanie podobnych czynności na materialnych przedmiotach.

Behawioralno-poznawcze postawy uczniów wobec zadań matematycz­

nych przejaw iają się w metodach ich postępowania w toku rozwiązywa­

nia tych zadań.

W dalszym ciągu ograniczam się więc do opisu sposobów postę­

powania uczniów wybranych klas czwartych podczas rozwiązywania za­

dań przy uwzględnieniu trzech aspektów tych zadań: tre ś c i matema­

tycznych, struktury tre ś c i zadania oraz schematyczności rozwiąza­

nia z zaznaczeniem typowości lub nietypowości zadań ze względu na te aspekty.

Nie podejmuję s ię wyodrębnienia zadań stanowiących „reprezen­

tatywną próbkę" zadań rozwiązywanych w k lasie czwartej. W zesta­

wach zadań wykorzystanych w badaniach opisanych w te j pracy, w większości umieściłam zadania nietypowe ze względu na wymienione przeze mnie aspekty, których z pewnością do tak iej „reprezentatyw­

nej próbki" nie można za liczy ć. Taki dobór zadań może nasuwać wąt­

pliwość, że metody postępowania uczniów w procesie rozwiązywania tych zadań będą zupełnie odmienne niż w przypadku zadań typowych.

Obserwowałam tych samych uczniów rozwiązujących zadania typo­

we i nietypowe. Zewnętrzne reakcje uczniów bardzo dobrych na zada­

nia nietypowe są często wyraźnie inne niż na zadania typowe. Ucz­

niowie ci zadania typowe rozwiązują na ogół szybko, sprawnie, sto­

sując dobrze opanowany sposób postępowania; proces analizy tre ś c i, poszukiwanie sposobu rozwiązania zadania przebiega błyskawicznie i od razu pojawia s ię prawidłowe rozwiązanie. Przy zadaniach nie­

typowych bardzo dobrzy uczniowie także miewali trudności; wypisywa­

l i czasem nonsensy, według opin ii ich nauczycielek, nietypowe dla sie b ie . „Nonsensowne" zachowanie ucznia w przypadku danego niety­

powego zadania było nieraz próbą zastosowania tego schematu postę-

powania, który w przypadku zadań typowych był w ielokrotnie skutecz­

ny i nagradzany dobrą oceną. Gdy bardzo dobry uczeń nie umiał ro z­

wiązać zadania, to była to może sytuacja nietypowa, a le mimo to ujawniał on typowy dla s ie b ie sposób postępowania, a p rzecież o to chodziło. Uczniowie p rze c ię tn i lub sła b si, którzy przy zadaniach nietypowych mają trudności, popełniają błędy, wycofują s ię z nich - zachowują s ię podobnie jak przy rozwiązywaniu zadań typowych.

Zdarzało s ię , że c i słabsi uczniowie przy rozwiązywaniu zadań nie­

typowych odpowiadali nadspodziewanie dobrze, a więc „nietypowo"

dla s ie b ie . Nadspodziewanie dobra odpowiedź słabego ucznia mogła być nie t y le objawem „zwyżki formy", co sukcesem nieskutecznego na ogół, wobec rozległych braków w opanowaniu t r e ś c i programowych, sposobu postępowania. Tym sposobem postępowania może być odwoływa­

nie s ię do wyobrażenia konkretnych, życiowych sytu a cji.

Ocena „typowości" lub „nietypowości" zachowania s ię ucznia w przypadku danego nietypowego zadania w o p in ii nauczycielek wiąże s ię prawdopodobnie z tym, że przez pryzmat zadań-ćwiczeń bezpośred­

nio sprawdzających opanowanie tr e ś c i programowych oceniają one umie jętność rozwiązywania przez uczniów zadań matematycznych w ogóle.

Tymczasem zadania nietypowe mogą sprzyjać ujawnieniu także takich ustosunkować, metod postępowania uczniów, które są różne od wyuczo­

nych i odtwarzanych mechanicznie.

5. OPIS METOD POSTĘPOWANIA UCZNIA W PROCESIE ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH

W pracach psychologów można znaleźć opisy postępowania.ucznia rozwiązującego proste zadanie matematyczne, które są wykorzystywa­

ne do charakteryzacji struktury jego myślenia. Wyróżnia s ię tr z y składniki struktury czynności myślenia (J. K o zieleck i, 1978, s t r . 356):

(1 ) i n f o r m a c j e o św iecie, które są materiałem myślenia; in fo r ­ macje są tym, co je s t przetwarzane w myśleniu,

(2 ) o p e r a c j e , c z y li elementarne transformacje umysłowe, za pomocą których przetwarzamy’ materiał myślenia,

(3 ) reg uł y (metody, tak tyk i, s tr a t e g ie ), c z y li to , co wpływa

na uporządkowanie kolejnych o p e ra c ji; d zięk i regułom łańcuch opera­

c j i ma prawidłowy charakter.

W t e j term in o lo gii, w op isie postępowania ucznia rozwiązujące­

go proste zadanie matematyczne, zwraca s ię uwagę na to , ja k ie in fo r ­ macje wykorzystuje, ja k ie operacje na nich wykonuje, według jakich zasad, reguł postępuje.

Psychologowie różnie k la syfik u ją operacje umysłowe. Na przy­

kład S.L. Rubinsztejn i A. Smirnow wyróżniają dwie operacje podsta­

wowe: analizę i syntezę,oraz tr z y pochodne: porównywanie, abstra­

howanie i uogólnianie. Psychologowie konstruujący programy symu­

lujące myślenie, A. Newell i H. Simon twierdzą, że is t n ie je dużo lic z n ie js z y zbiór o p e ra c ji, wymieniając m .in.: zastępowanie, spraw­

dzanie, poszukiwanie, odrzucanie, kombinowanie, wybieranie, bada- t n ie. D.W. Berlyne, J. P ia get, A. Szemińska, nie podejmując próby w yliczenia wszystkich rodzajów op ęra cji, charakteryzują prawa rzą­

dzące nimi, eksponując przede wszystkim odwracalność o p era cji. Wy­

różnia s ię dwa podstawowe typy reguł sterujących operacjami umysło­

wymi: regu ły algorytmiczne (algorytmy) oraz reguły heurystyczne (heurystyki). Reguły algorytmiczne mają zastosowanie do pewnej og­

raniczonej klasy zadań, są dobrze określone i niezawodne; reguły heurystyczne, ogólne bądź szczegółowe, mają zastosowanie w szero­

k ie j k la s ie zadań, są mniej określone n iż algorytmy, są zawodne.

Do diagnozy postawy ucznia w j e j aspekcie behawioralno-poznaw­

czym ważny je s t opi-s regu ł, którymi uczeń s ię k ieru je, opis metod postępowania, które steru ją jego konkretnymi czynnościami w rozwią­

zywaniu różnych zadań. W lite r a tu r z e dydaktycznej można znaleźć opisy postulowanych metod postępowania, które - jak twierdzą ich autorzy - powinien stosować uczeń, j e ś l i chce skutecznie rozwiązy­

wać zadania. Są to w term in ologii J. Rudniańskiego modele metod.

Jedną z zasadniczych różnic między modelem metody a metodą je s t to , że skuteczność rzeczyw ista metody je s t stopniowalna, podczas gdy model metody postuluje skuteczność całkowitą (J. Rudniański, 1967, s tr . 13).

Modele metod postępowania ucznia w procesie rozwiązywania za­

dań są n a jczęściej przedstawiane w postaci wskazówek heurystycz­

nych pogrupowanych w kilku etapach, fazach pracy nad zadaniem.

G. Polya (1964) systematyzując wskazówki heurystyczne wyróżnia cztery fa zy w rozwiązywaniu zadania:

(1) zrozumienie zadania - co je s t niewiadome? co je s t dane?

ja k i je s t warunek?

(2) układanie planu - pomysł, wykorzystanie zadania analogicz­

nego, niekiedy przeformułowanie zadania, rozwiązanie zadania analo­

gicznego prostszego;

(3 ) wykonanie planu - wykonanie i sprawdzenie kolejnych kroków, zapis rozwiązania;

(4) „rzu t oka wstecz" - sprawdzenie wyniku, uzasadnienie roz­

wiązania; czy wynik można otrzymać w inny sposób? czy wynik lub me­

todę można wykorzystać do innego zadania?

Niemiecki dydaktyk E. Wittraann (1974) wyróżnia, dla ćwiczenia lub prostszego zadania, które je s t elementem ciągu matematycznych problemów „tworzących", następujące fazy pracy ucznia:

( 1 ) zrozumienie zadania - objaśnienie zadania, ustalenie da­

nych in form acji, sporządzenie szkicu sytu acji, jasne sformułowanie

celu, #

(2 ) zn alezien ie rozwiązania - pamiętanie ważnych inform acji, przetworzenie ich, znajdowanie potrzebnych reguł,

(3 ) sformułowanie rozwiązania - sprawdzenie rozwiązania, (4 ) dyskusja przebiegu rozwiązania - stosowane reguły, kon­

tek st z wcześniejszymi wiadomościami,

(5) p rz e jś c ie do kolejnego zadania w ciągu matematycznych pro­

blemów „tworzących".

Radziecki dydaktyk matematyki P.M. Erdniew (1978) wyróżnia cztery k olejn e, wzajemnie ze sobą powiązane, etapy pracy ucznia nad zadaniem matematycznym:

(1 ) ułożenie matematycznego działania, (2) wykonanie d ziałan ia,

(3) sprawdzenie wyniku (k on trola),

(4) p rze jś c ie do pokrewnego, le c z bardziej złożonego zadania.

W k la s y fik a c ji P.M. Erdniewa, podobnie jak u E. Wittmanna, za­

danie pojawia s ię w pewnym ciągu zadań.

W opracowaniu metodycznym pod redakcją J. Górskiej,

(1961), nauczyciele J. S ztajer oraz

A, Westwalewicz wyróżniają dla zadań tekstowych tr z y etapy pracy ucznia przy ich rozwiązywaniu:

(1) zapoznanie s ię z tre ś c ią zadania - analiza językowa tr e ś ­ c i zadania, zapis tr e ś c i zadania (rysunek, pomoc poglądowa), roz­

b iór zadania dokonany metodą analityczną lub syntetyczną,

(2) rozwiązywanie zadania - plan rozwiązywania zadania, rozwią­

zywanie zadania, wzór rozwiązania,

(3 ) sprawdzenie wyniku - w związku z warunkami występującymi w tre ś c i zadania.

Ostatnią fa zę pracy ucznia nad zadaniem w trzech pierwszych klasyfikacjach można by krótko o k reślić terminem „rzut oka wstecz”

lub „rzut oka w przód” . Celem t e j fa zy je s t „przedłużenie” rozwią­

zywania zadania przez ucznia. W p o ls k ie j praktyce szkolnej je s t to c ią g le ra czej postulowana n iż rea ln ie występująca faza pracy ucz­

nia nad zadaniem. Cytowana tu k la syfik a cja „z doświadczeń nauczy­

c i e l i ” ogranicza ostatn ią fa zę pracy ucznia nad zadaniem do spraw­

dzenia wyniku rozwiązania, nie sugerując dyskusji nad nim, przedłu­

żenia rozwiązania. ,

W rzeczywistych sposobach rozwiązywania zadania poszczególne fazy p rzep la ta ją s ię . Proponuję nieco inne spojrzenie na etapy pra­

cy ucznia nad zadaniem.

Można wyróżnić l i s t ę problemów, do których uczeń na ogół musi s ię ustosunkować w pracy nad zadaniem matematycznym:

( 1 )

(2)

- chodzi o środki wykorzystywa­

ne w znajdowaniu i zapisywaniu rozwiązania, np. schematy graficzn e, pomocnicze obliczen ia,

(3 )

- z jednej strony chodzi o rozpatrzenie wszystkich przypadków, z drugiej zaś o różnorodność podejść do rozwiązania,

(4)

- np. dostrzeżenie, wy­

korzystanie schematu rozwiązania analogicznego zadania, (5)

W celu diagnozy postawy uczniów wobec zadań matematycznych opisuję ustosunkowania, metody postępowania uczniów wobec tych pro­

blemów w pracy nad wybranymi zadaniami matematycznymi.

6. BADANIE ASPEKTU BEHAWIORALNO-POZNAWCZEGO POSTAWY UCZNIÓW WOBEC ZADAŃ MATEMATYCZNYCH NA WYBRANYCH PRZYKŁADACH

Prezentowane tu badania prowadziłam od września 1982 do paź­

dziernika 1983 roku. Badaniami objęłam ogółem 76 uczniów trzech klas czwartych: klasy IVa i IVb ze Szkoły Podstawowej nr 33 oraz klasy IVa ze Szkoły Podstawowej nr 35 w Krakowie. Są to Szkoły La­

b oratoria Wyższej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie, pisząc w tym ar­

tykule o badanych uczniach, myślę o uczniach wymienionych wyżej klas czwartych, oznaczając je krótko, na przykład klasę IV szkoły 33^oznaćzam IVa33. Klasy te ze względu na uczniów nie były sp ecja l­

nie dobierane; jedynymi warunkami, od których uzależniono ich wy­

bór, były zgoda nauczycielki i dyrekcji szkoły.

6.1. Charakterystyka badanych uczniów

Wiek badanych uczniów w momencie rozpoczynania badań wahał s ię od 9 la t i 7 miesięcy do 11 la t i 10 miesięcy - różnica wieku wiąże s ię z tym, że czterech uczniów rozpoczęło naukę z rocznym wyprze­

dzeniem, a pięciu powtarzało już jakąś klasę. Większość uczniów w momencie rozpoczynania badań miała ukończone 10 la t . Okres badań dla większości uczniów przypadał więc na jedenasty i początek dwu- i nastegó roku życia.

Postawa ucznia wobec zadań matematycznych je s t składnikiem ca­

łego systemu jego postaw. Właściwa diagnoza postawy ucznia wobec zadań wymaga więc porównania t e j postawy z innymi postawami. Cho­

dzić tu może na przykład o postawy wobec matematyki, wobec szkoły, nauczyciela, uczenia s ię it p . Opisywanie wszystkich tych postaw wykracza poza ramy podjętych badań. W celu jedynie wstępnej orien­

t a c j i w tych postawach zebrałam opinie nauczycielek matematyki i wychowawczyń badanych uczniów, przeglądnęłam dzienniki lekcyjne.

Przy zbieraniu o p in ii nauczycielek, wyrażanych w języku funkcjonu­

jących w praktyce szkolnej określeń, posłużyłam s ię ankietą. Pomi­

jam te dane, ponieważ w artykule z nich nie korzystam, wyraźnie przedstawiam tylk o ta b elę ocen z matematyki. Natomiast przytoczę opinię nauczycielek, które uznały, że klasy te raczej nie wyróżnia­

ły s ię spośród klas czwartych, z jakimi dotychczas pracowały.

T a b e l a 1. Zestawienie ocen z matematyki: w k la sie 111(1.), na półrocze klasy IV (2 .) i po k la sie IV (3 .)

klasy: IVa33(28) IVb33(28) IVa35(20) Razem(76) 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 2. 3.

Oc eny:

bardzo dobry 11 4 7 10 11 5 ✓ 9 7 8 30 22 20

dobry 10 12 12 10 8 14 7 5 5 27 25 31

dostateczny 7 9 8 8 6 8 4 8 7 19 23 23

niedostateczny 0 3 1 0 3 1 0 0 0 0 6 2

76 76 76

6.2. Metoda, narzędzia i organizacja badań

6.2.1.

Celem badania postawy w j e j aspekcie be- hawioralno-poznawczym je s t opisanie ustosunkowali, metod postępowa­

nia uczniów wobec wyróżnionych przeze mnie w p. 5 problemów, które mogą pojawić s ię w pracy ucznia podczas rozwiązywania wybranych zadań matematycznych. Z tym celem związane są dwa zadania. Zadanie pierwsze polega na opisaniu, ja k ie są metody postępowania uczniów.

Zadanie drugie polega na określeniu stopnia s ta ło ś c i stosowania tych metod, c z y li na stwierdzeniu, czy ustosunkowania związane z tymi metodami powtarzają ’s ię wobec różnych zadań.

Z tak rozumianymi zadaniami powiązałam metody badań.

Podstawową metodą je s t

którzy w naturalnych warunkach w k la s ie samodzielnie rozwiązywali sp ecja l­

nie dobrane przeze mnie zestawy zadań matematycznych. Uzupełnieniem t e j metody była

t a n i a

w tra k c ie rozwiązywania zadań; w tym celu nagrałam za pomocą

magnetofonu pytania uczniów. Po wstępnej a n a lizie prac, z niektó­

rymi uczniami przeprowadzałam

(wywiady) doty­

czące ich rozwiązań. Do drugiego zestawu zadań dołączyłam

badając, ja k ie zadania uczniowie uznają za podobne.

M ateriały zebrane przy użyciu tych ,wspomagających metod wyko­

rzystywałam przy in te r p r e ta c ji wyników pisemnych prac uczniów (czystopisów i brudnopisów).

Analiza pisemnych prac przebiegała w kilku etapach.

Rozpoczynałam od zaznaczenia wszystkich błędów i usterek, na­

stępnie po ocenie rozwiązań w kategoriach: poprawne, błędne, brak, niepełne - analizowałam je , starając s ię u s ta lić metody postępowa­

nia uczniów wobec wyróżnionych prz'eze mnie w p. 5 problemów. Na tym etapie sporządzałam zestawienie wyników dla poszczególnych uczniów. Wyniki te były podstawą pewnych zbiorczych zestawień, które omawiam w dalszym ciągu.

6.2.2. Narzędzia i o r g a n i z a c j a badań. Do badania postawy ucz­

niów w j e j aspekcie behawioralno-poznawczym wykorzystałam sp ecjal­

nie dobrane zestawy zadań, a do niektórych z nich dołączyłam parta­

nia. Tu przedstawię tylk o dwa spośród tych zestawów zadań.

C z ę ś ć A

1. Jak może kasjerka w sklepie wypłacić 100 złotych pięcioma monetami? (monety w Polsce: 50 z ł, 20 z ł, 10 z ł , 5 z ł , 2 z ł, 1 z ł, 50 gr, 20 gr, 10 g r ).

2. Wojtek wysłał l i s t do wujka, Ania wysłała l i s t do wujka i Tomek wysłał l i s t do wujka. I l e osób otrzymało lis t y ?

3. Ola ma dla la lk i t r z y spódnice: zieloną, granatową, czer­

woną oraz dwie blu zki: b ia łą i niebieską. Jakie są wszystkie spo­

soby ubrania la lk i?

4. Żołnierz maszeruje z prędkością 6 km na godzinę. Z jaką prędkością będzie maszerowało 100 żołnierzy?

5. Chcę napisać lic z b ę trzycyfrową za pomocą c y fr 1 i 2.

Znajdź wszystkie tak ie lic z b y . C z ę ś ć B

6. Ułóż zadanie związane z tą sytuacją: Masz 200 z ł i wiesz, że:

Z e s t a w I

50 zł 70 zł 10 zł 20 zł

Rys. 1

7. O blicz: (3+5)*30 = i ułóż dwa zadania z tr e ś c ią , któ­

rych rozwiązaniem byłoby to o b liczen ie.

Z e s t a w I I C z ę ś ć A

1. Oblicz sumę c y fr lic z b y 345 i zwiększ ją 35 razy.

2. Każdy bok zakreskowanego na tym rysunku (ry s. 2) ogródka zwiększono 3 razy. I l e metrów s ia t ­ ki potrzeba teraz do ogrodzenia ogródka?

3. Gospodyni sprzedała 3 kg śliwek, potem jeszcze 4 kg, a re­

sztę 5 kg kupiła jedna pani na przetwory. Kilogram śliwek koszto­

wał 35 z ł . I l e pieniędzy otrzymała gospodyni za śliw ki? /

4. Rafał czyta ł interesującą książkę - jednego dnia przez 3 go­

dziny, drugiego 4 godziny, a w wolną sobotę czyta ł przez 5 godzin.

Rafał średnio na godzinę czyta 35 stron. I l e stron mogła mieć książka, którą przeczytał?

5. Z 10 kg śliwek mama zro b iła 8 litrow ych słoików powideł.

Zużyła do tego 3 kg cukru. I l e średnio kosztuje mamę słoik powi­

deł, j e ż e l i kilogram śliwek kosztował 35 z ł , a kilogram cukru 46 złotych?

Rys. 2

6. O blicz: (10*35+3*46):8.

7. Agata na tydzień pożyczyła książkę

r ó w

t która ma 145 stron. W poniedziałek przeczytała 22 strony, we

wtorek 17, a przez pozostałe pięć dni tygodnia czytała po 20 stron.

Czy zdążyła przeczytać książkę na poniedziałek rano?

8. Mama kupiła 7 kg śliwek na przetwory. Kilogram śliwek ko­

sztował 60 z ł . I l e mama za p ła ciła za śliw ki?

C z ę ś ć B - pytania i polecenia

1. Napisz numery zadań, które według cieb ie są podobne, na­

p isz obok, dlaczego są podobne.

Wyniki części B zestawu I są bardzo słabe. W odpowiedzi na po­

lecen ie zadania 6 ty lk o 17 uczniów (na 67) ułożyło zadania bez us­

terek, w zadaniu 7 - było tylk o 12 takich uczniów. Polecenia obu zadań 6 i 7 poprawnie wykonało tylko 4 uczniów.

Błędy popełniane przez uczniów ujawniają ich metody postępowa­

nia przy ustaleniu danych, szukanych oraz warunku zadania.

Jednym z n a jc zę ś c ie j występujących nieporozumień było

podanych w zadaniach 6 i 7, częs-r to łączone z ich zmienianiem, z

Oto przykłady:

W zadaniu 6:

(a ) „Olek kupił dla s ie b ie i s io s try la lk ę za 50 z ł, długopis za 40 z ł, notes za 20 z ł i auto za 90 z ł , razem wydał 200 z ł " . - Andrzej (38).

(Zmieniona została tu ta j cena długopisu i notesu w stosunku do da­

nych zadania 6, wprowadzono nową daną - cenę samochodu. Uczeń napi­

sał zd an ie,,a nie zadanie, brak je s t pytania, nie wiadomo co je s t szukane.)

W zadaniu 7:

(b) „Szkoła zakupiła 4 s to łk i po 60 z ł . Oblicz, i l e kosztowa­

ły s to łk i? " - Artur (1 1 ).

(Uczeń miał o b liczy ć, i l e to je s t (3+5)*30, i ułożyć zadanie, którego rozwiązaniem byłoby to o b lic ze n ie . W ułożonym zadaniu t y l ­ ko wynik je s t równy lic z b ie otrzymanej z o b lic z e ń .)

Takie nieporozumienia w ystąpiły w pracach 54 uczniów (81%); we wszystkich zadaniach ułożonych przez s ie b ie nieporozumienia tego rodzaju popełniło 26 uczniów w zadaniu 6, 24 uczniów w .zadaniu 7, oraz 10 uczniów w obu zadaniach równocześnie.

B ł ę d n e u s t a l e n i a w a r u n k u

dostrzegłam w 32 zadaniach ułożonych przez uczniów w odpowiedzi na polecenie 7. Ogółem w pracach 31 ucz­

niów (46%)

do ułożonych zadań. We wszystkich zada­

niach ułożonych przez s ie b ie ten błąd popełniło 16 uczniów w zada­

niu 6, 22 w zadaniu 7 oraz 11 w obu zadaniach równocześnie. Przy­

kłady:

(c ) „W sklepie były 3 misie i 5 p iłe k . Po tygodniu dowieziono 30 skakanek. (3+5)*30 = 240" - Agata (1 ).

(Agata (1) błędnie u s ta liła związki między danymi; cytowane

przez nią rozwiązanie nie je s t poprawne. Brak p ytan ia.)

1 2 3 u 5 6 7 8

1 %

2 1 if

3 i i

U 1 1 1

5 i i ⁱ

6 Ii 1 %

7

8 i

2 2 1 i ^{2 2} _i ^{% cŹź. 1} m .

1 2 2 m

22Ż

Rys. 3 2. W tabelce obok wpisano

numery zadań tego zestawu. Wstaw znak X w kratkę oznaczoną numera­

mi zadań podobnych.

3. Które zadania można podob­

nie rozwiązać?

4. Podaj numery zadań, któ­

rych rozwiązanie je s t równocześnie rozwiązaniem innego zadania z tego zestawu.

Zadania zestawów (lub ich pierwowzory) zaczerpnęłam z pod­

ręczników matematyki klas I I I - I V lub z opracowań metodycznych do tego poziomu nauczania, powinny to być więc zadania dostosowane

do poziomu uczniów klasy czw artej. Nie oznacza to, że wszystkie te zadania są typowe ze względu na schematyczność rozwiązania, tr e ś ­ c i matematyczne lub strukturę tr e ś c i zadania. Właśnie zestaw I utworzony je s t z zadań, które nie są typowe, natomiast w zestawie I I wykorzystałam zadania ra czej typowe, a wśród nich zadania podob­

ne w t r e ś c i, a także izom orficzne.

Zestaw I zawiera część A i B. Część A tego zestawu składa s ię z pięciu zadań - cztery z nich mogą być rozwiązane bez wykonywania rachunków, a rachunki w zadaniu 1 można wykonać w pamięci. Dla wie­

lu uczniów były to zadania nietypowe ze względu na nieschematycz-r ność rozwiązania. Jak s ię okazuje, część uczniów odczuwa w zadaniu 1 nadmiar danych i niejednoznaczność pytania, a w zadaniu 5 d e fi­

cyt danych. D eficyt danych, d e fic y t inform acji o związku między da­

nymi a szukanymi, występuje te ż w zadaniach 2 i 4. W zadaniu 2 nie wiadomo, czy te d z ie c i miały różnych wujków, czy wysyłały do róż­

nych wujków, czy wszystkie l i s t y dotarły do adresatów (w zadaniu je s t mowa o wysyłaniu, a pytanie dotyczy otrzymania lis t ó w ), w za­

daniu 4 nic nie wiadomo o związku danego żołn ierza z innymi. Stąd

zadania 1, 2, 4 i 5 trak tu ję jako zadania nietypowe ze względu na

strukturę ich t r e ś c i. Zadania 2 i 3 są nietypowe ze względu na

tr e ś c i matematyczne nie związane bezpośrednio z wymaganiami pro-

grarau. N ajczęściej uczniowie w odpowiedzi do zadania podają jak ieś lic z b y - in aczej je s t w zadaniach 1 i 3.

W zadaniu 2 oczekiwałam odpowiedzi, że l i s t y mogło otrzymać trzech, dwóch lub tylk o*jed en wujek (można by, wobec w cześniejszej uwagi, rozszerzyć poprawną odpowiedź o możliwość, że żaden z wuj­

ków n ie otrzymał l i s t u ) . W zadaniu 4 uznawałam, że prawidłowym ro z­

wiązaniem' je s t odpowiedź w rodzaju „n ie możńa o k reślić prędkości” , oceniałam te ż jako poprawne odpowiedzi „6 km/h” , gdy uczeń podawał wyjaśnienie typu „ż o łn ie rz e id ą w jednej kolumnie” .

W części B zestawu I znajdują- s ię dwa zadania. Uczniowie mają tu sami ułożyć zadania tekstowe o tr e ś c i dotyczącej zadanych obiek­

tów i częściowo zadanego warunku (w zadaniu 6) lub o dowolnej tr e ś ­ c i, a le pasującej do danego działan ia (w zadaniu 7 ). Z tego typu sytuacjami uczniowie mogli zetknąć s ię w klasach początkowych, nie tak często jednak, by mogli wypracować sobie odpowiedni schemat po­

stępowania. Uważam te zadania za nietypowe ze względu na nieschema- tyczność rozwiązania.

Zestaw I I zawiera części A i B. Część A składa s ię z ośmiu za­

dań typowych ze względu na t r e ś c i matematyczne, schematyczność roz­

wiązania i strukturę t r e ś c i. Zadania 1, 3 i 4 są

(zob. p. 4) - wszystkie one mają wspólny model mate­

matyczny wyrażający s ię działaniem (3+4+5)*35. Podobnie, izom orfi­

czne w wąskim sensie są zadania 5 i 6, ich wspólny model wyraża s ię działaniem (10«35+3*46):8. Zadania *1, 2, 3, 4 są

w ich rozwiązaniu stosuje s ię prawo ro zd zieln o ści mnożenia względem dodawania opisane wyrażeniem (

•

Również pary zadań n ie izo - raorficznych zostały tak dobrane, by w ystąpiły różnego typu podo­

bieństwa, analogie; między nimi:

(1 )

(te same)

śliw k i (w zadaniach 3, 5 i 8), strony książek (w zadaniach 4 i 7 ), mama (w zadaniach 5 i 8 );

(2

o koszt śliwek (w zadaniach 3 i 8 ); te same polecen ia: „ o b lic z ” (w zadaniach 1 i 6 ); *

(3 )

- 420 (w zadaniach 1, 3, 4 i 8 ).

Część B zestawu I I składa s ię z czterech pytań i poleceń dla uczniów. W dwóch pierwszych chodzi o wskazanie wszystkich podo­

bieństw między zadaniami części A, w pozostałych dwóch chodzi o

wskazanie zadań izomorficznych.

W ta b e li 3 zestawiłam liczb y uczniów obecnych podczas rozwią­

zywania poszczególnych zestawów zadań. Nieobecność uczniów podczas badań utrudnia opracowanie rezultatów badań, n iestety ze względów organizacyjnych na ogół nie mogłam już uzupełnić braków spowodowa­

nych nieobecnością części uczniów.

T a b e l a 2. Czas trwania i termin przeprowadzenia badań

numer zestawu czas trwania termin

I 90 minut październik 1982 r

I I 90 minut listopad 1982 r .

T a b e l a 3. Frekwencja uczniów w badaniach

Klasy i ich stan: IVa33(28) IVb33(28) IVa35(20) Razem(76)

Zestaw I 26 22 19 67

Zestaw I I 26 26 19 71

Organizacja pracy uczniów w k la s ie podczas rozwiązywania za­

dań zestawów wyglądała w następujący sposób:

Na początku le k c ji informowano uczniów, że:

(a ) każdy otrzyma teksty zadań i dwa arkusze czystego papie­

ru z przeznaczeniem na czystopis i brudnopis, (b ) należy zadania rozwiązywać samodzielnie,

(c ) potrzebne o b liczen ia, inne zapisy, należy wykonywać t y l ­ ko na otrzymanych kartkach,

(d) w przypadku trudności można podejść do nauczycielki i za­

pytać, a le w ta k i sposób, by nie utrudniać pracy innym uczniom (rozmowy z nauczycielką nagrywano na taśmie magnetofonowej).

W tra k cie trwania badań przestrzegano tych ustaleń.

Wyniki każdego zestawu były omawiane z uczniami, przy czym

starałam s ię utrzymać terminy przedstawiania i omawiania wyników

sprawdzianów praktykowane przez nauczycielki tych klas. W trak cie

omawiania lub po nim rozmawiałam z niektórymi uczniami na temat

ich rozwiązań; rozmowy te nagrywałam na taśmie magnetofonowej.

Ponieważ uczniowie p y t a li: „Czy rozwiązujemy zadania na oceny?

to w porozumieniu z nauczycielkami ustaliłam , że będzie zwracana uwaga na sposób rozwiązania, i że za poprawne i ciekawe rozwiązania uczniowie mogą ( j e ś l i zechcą) uzyskać oceny z wpisaniem do dzienni­

ka, oceny niedostateczne nie będą odnotowywane w dzienniku.

6.3. Wyniki badań i ich in terp reta cja

Przy prezentowaniu wyników obu zestawów zadań stosuję nastę­

pujący schemat.

Rozpoczynam od przedstawienia zbiorczych wyników, podając na przykład, ilu uczniów poprawnie rozwiązało poszczególne zadania

zestawu. Staram s ię od razu skomentować niektóre z tych wyników.

Następnie opisuję ustosunkowania i metody postępowania ucz­

niów przy ustalaniu danych,, szukanych oraz warunku rozwiązywanych przez nich zadań. Opis ten w przypadku różnych zadań może być bar­

d z ie j lub raniej obszerny - zależy to od tego, czy zadania te sprzy­

ja ły ujawnieniu s ię ustosunkować i metod postępowania uczniów w tym zakresie. Opis ten w dużej mierze opiera s ię na in te rp re ta c ji tego, co uczeń napisał w brudnopisie i czysto p isie, o co pytał przy rozwiązywaniu zadania. Przy bardziej jednoznacznej in terp reta ­ c j i podawałam lic z b y ilu s tru ją c e częstość zaobserwowanego ustosunko wania lub metody postępowania; przy mniej jednoznacznej in terp reta ­ c j i posługiwałam s ię określeniami w rodzaju „niektórzy uczniowie” . W op isie tym często cytuję imiona d z ie c i (wraz z numerem). Dawało to możliwość skonfrontowania postępowania danego ucznia z pewną j e ­ go charakterystyką zawartą w innej części badań (których w tym ar­

tykule nie przedstawiam). Z prac wielu uczniów, przy braku pytań z ich strony, nie potrafiłam odczytać ustosunkować, metod postępo­

wania przy ustalaniu danych, szukanych oraz warunku zadania, stąd opis ten ma na celu ukazanie, ja k ie ustosunkowania i metody postę­

powania uczniów w ystąpiły, bez dokładniejszej oceny ilo ś c io w e j częstości ich występowania.

Po opisaniu sposobów ustalania danych, szukanych oraz warunku rozwiązywanych zadań, opisuję - w podobny sposób - postępowanie uczniów przy doborze środków rozwiązania, rozważaniu różnych możli­

wości, przy doborze schematu rozwiązania oraz przy doborze środków

k o n tr o li.