0508 Jak obliczyć zmianę energii ładunku w polu centralnym i jednorodnym? Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

0508 Jak obliczyć zmianę energii ładunku w polu centralnym i jednorodnym?

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

Czy to nie ciekawe?

Pole elektrostatyczne, podobnie jak pole grawitacyjne, jest polem zachowawczym.

Przesuwając cząstkę ze stałą prędkością w polu zachowawczym wykonujemy pracę, której wartość równa jest zmianie energii potencjalnej cząstki. Zatem wartość tej pracy nie zależy od drogi, po której porusza się ciało, a wyłącznie od położenia początkowego i końcowego.

W tym e‐materiale poznasz szczegóły tego zagadnienia.

Twoje cele

dowiesz się, jak wyznaczamy zmianę energii podczas przenoszenia ładunku w polu elektrycznym,

poznasz związek między pracą przeniesienia ładunku a jego energią, wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązania zadań.

0508 Jak obliczyć zmianę energii ładunku w polu

centralnym i jednorodnym?

Przeczytaj

Warto przeczytać

Energia układu jest miarą pracy, jaką może wykonać układ. Wykonanie pracy przez układ lub nad układem zawsze wiąże się ze zmianą jego energii.

Gdy zewnętrzna siła wykona dodatnią pracę na pewnym układem, jego energia musi wzrosnąć. Tak jest, gdy ściskamy sprężynę (rośnie energia potencjalna sprężystości) lub podnosimy masę na pewną wysokość (rośnie energia potencjalna grawitacji).

By uniknąć dwuznaczności, w poniższym tekście natężenie pola elektrycznego oznaczymy jako  , natomiast energię oznaczymy jako  .

By wyznaczyć zmianę energii ładunku w polu elektrycznym pod wpływem działania zewnętrznej siły, możemy skorzystać z dwóch metod.

Pierwsza metoda polega na wyznaczeniu zmiany energii potencjalnej ładunku podczas przesuwania między dwoma punktami pola. By to zrobić, musimy znać potencjał pola elektrycznego w punkcie początkowym i końcowym. Potencjał pomnożony przez ładunek równy jest energii potencjalnej ładunku

Zmiana energii potencjalnej będzie więc wprost proporcjonalna do różnicy potencjału elektrycznego między punktem końcowym (B) a początkowym (A). Różnicę potencjałów nazywamy napięciem i oznaczamy jako  :

Zwróć uwagę na kolejność indeksów A i B w powyższym równaniu.

E E

V

E = qV .

U

ΔE = q (V

− V

) = q U

.

Rys. 1. Praca w polu zachowawczym nie zależy od krzywej, po której porusza się ciało, lecz jedynie od punktu początkowego i końcowego. W polu zachowawczym praca wyznaczona po krzywej czerwonej będzie równa pracy wyznaczonej po krzywej niebieskiej.

Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym, więc praca w tym polu nie zależy od drogi, po jakiej zostało wykonane przesunięcie, a jedynie od położenia początkowego i końcowego (przykład przedstawiono na Rys. 1.).

Druga metoda, z jakiej możemy skorzystać do wyznaczenia zmiany energii, wymaga Obliczenia pracy , jaka została wykonana nad układem. Siła przesuwając cząstkę o odcinek wykonuje pracę równą iloczynowi skalarnemu tych dwóch wielkości

Ta metoda jest szczególnie wygodna, gdy siła działająca na cząstkę jest stała i nie zależy od położenia. Wtedy całkowita praca wykonana przez siłę na odcinku wynosi:

gdzie to kąt pomiędzy kierunkiem siły i przesunięcia.

Chcąc przesunąć ładunek w polu elektrycznym, jednocześnie wykonując przy tym

minimalną pracę, zewnętrzna siła musi zrównoważyć siłę, z jaką pole elektryczne działa na ładunek i dokonać przesunięcia ze stałą prędkością. Zatem zewnętrzna siła musi mieć tę samą wartość i kierunek, co siła pola, lecz przeciwny zwrot.

Całkowita praca wykonana nad ładunkiem równa będzie zmianie jego energii:

W F ^→

Δ→l ΔW

ΔW = → F Δ→l.

→l W = → F →l = Fl cos α,

α

W = ΔE .

Pole jednorodne

Jednorodne pole elektrostatyczne występuje wokół naładowanej elektrycznie rozległej płyty w niewielkiej odległości od jej powierzchni, również pole między okładkami płaskiego kondensatora możemy w przybliżeniu potraktować jako jednorodne. Takie pole

przedstawiono na Rys. 2. Natężenie pola jednorodnego nie zależy od położenia, czyli jest takie samo w każdym punkcie przestrzeni. Do przesunięcia ładunku w jednorodnym polu, równolegle do pola, potrzebna jest stała siła równa co do wartości sile pola, lecz przeciwnie skierowana:

Rys. 2. Przesuwanie ładunku równolegle do linii jednorodnego pola.

Ponieważ siła jest stała, praca jaką wykona równa jest iloczynowi jej wartości i długości odcinka, po którym ładunek został przesunięty:

Upraszczając, jeśli przesuwamy ładunek przeciwnie do zwrotu siły pola elektrycznego o odcinek , wykonamy wówczas pracę:

Przypadkiem odmiennym od omówionego jest przesuwanie ładunku prostopadle do linii pola. Takie przesunięcie nie wiąże się z wykonaniem pracy, gdyż wektor siły i wektor przesunięcia są do siebie prostopadłe:

F = −q → → E.

W = F(x

− x

) cos 0 = −qE

(x

− x

).

d

W = qEd.

W = → F → d = Fd cos

= 0,

gdzie jest wektorem łączącym punkt z punktem .

Rys. 3. Przesuwanie ładunku prostopadle do linii jednorodnego pola. Ładunek nie zmienia swojej energii potencjalnej, ponieważ nie jest przy przesuwaniu wykonywana żadna praca.

Pole centralne

Centralne pole elektrostatyczne występuje np. wokół ładunków punktowych lub

naładowanych kul, zarówno powierzchniowo, jak i objętościowo. Natężenie takiego pola zależy od odległości od centrum źródła pola  i od wartości ładunku wytwarzającego pole:

By wyznaczyć pracę przeniesienia ładunku w polu centralnym, najłatwiej jest wyznaczyć różnicę potencjałów między punktem końcowym a początkowym. Potencjał pola

centralnego wokół ładunku punktowego opisuje równanie:

d → A B

r Q

E =

.

Q

V =

.

Rys. 4. Przesuwanie ładunku w polu centralnym.

W wyniku przesunięcia ładunku od punktu  do punktu  , energia ładunku zmieni się o wartość:

Słowniczek

Siła zachowawcza

(ang. conservative force) – siła (pole siły), której praca nie zależy od drogi, po której praca jest wykonywana, a jedynie od położenia punktów początkowego i końcowego. Przykłady sił zachowawczych to siła grawitacji, siła Coulomba, siła sprężystości.

q A B

ΔE = q[V (r

) − V (r

)] =

(

−

).

Film samouczek

Jak obliczyć zmianę energii ładunku w polu centralnym i jednorodnym

Obejrzyj, jak wyznaczamy zmianę energii ładunku poruszającego się po torze spiralnym w polu centralnym.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Polecenie 1

Jak zmieniłaby się energia ładunku , gdyby był przenoszony po okręgu o środku w ładunku ?

Polecenie 2

Czy zmieni się wartość pracy, jeśli źródłem pola będzie ładunek ujemny, a przesuwać będziemy ładunek dodatni?

q Q

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij

zmieni się, będzie zawsze zerowa, nie zmieni się

Energia potencjalna ładunku ... podczas przesuwania ładunku prostopadle do linii pola. Energia potencjalna ładunku ... podczas przesuwania

ładunku równolegle do linii pola.

W wyniku przesunięcia ładunku w polu elektrycznym przez siłę zewnętrzną ze stałą prędkością, równolegle do jego linii, zmienia się jego energia:

tylko kinetyczna.

tylko potencjalna.

kinetyczna i potencjalna.

Od czego zależy wartość pracy przeniesienia ładunku w polu elektrycznym między dwoma punktami?

od natężenia pola

od znaku ładunku

od krzywej, po której przesuwa się ładunek













Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Ładunek punktowy znajduje się w odległości od centrum pola centralnego. W jakiej

odległości należy umieścić ładunek, by wartość bezwzględna jego energii wzrosła dwukrotnie?

R

R2

√2R

2R

Pewna siła odsuwa elektron od nieruchomego ładunku dodatniego. W którym przypadku praca przesunięcia ładunku będzie większa: przy przesuwaniu z odległości do

R 2R

2R

4R

W

> W

W

= W

W

< W

Jaki jest stosunek pracy przeniesienia ładunku w polu jednorodnym o odcinek równolegle do kierunku pola do pracy przeniesienia ładunku o odcinek ? Wynik podaj z dokładnością do jednej cyfry znaczącej.

Odp.: Poszukiwany stosunek wynosi .

q l

2q l/2

Pewna siła wykonała dodatnią pracę równoważąc siłę Coulomba podczas przesuwania dwóch ładunków dodatnich względem siebie. Jak zmieniła się odległość między ładunkami w wyniku przesunięcia?

wzrosła

zmalała

















Ćwiczenie 8

Ładunek ujemny zostaje przesunięty w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu o odcinek o długości pod kątem 45 stopni względem linii pola. O jaką wartość zmieni się energia ładunku?

−q E

d

√21

Eqd

Eqd

√2Eqd







Dla nauczyciela

Scenariusz lekcji:

Imię i nazwisko autora: Tomasz Gradowski

Przedmiot: Fizyka

Temat zajęć: Jak obliczyć zmianę energii ładunku w polu centralnym i jednorodnym?

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.

Zakres rozszerzony

Treści nauczania – wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:

19) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa je oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne dla jego przebiegu.

VII. Elektrostatyka. Uczeń:

8) analizuje pracę jako zmianę energii potencjalnej

podczas przemieszczenia ładunku w polu elektrycznym;

posługuje się pojęciem potencjału pola i jego jednostką;

9) oblicza zmianę energii ładunku w polu centralnym i jednorodnym.

Kształtowane

kompetencje kluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

kompetencje cyfrowe,

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. wymienia własności pola elektrostatycznego, 2. objaśnia związek między pracą i energią, 3. wyznacza zmianę energii ładunku w polu

elektrostatycznym jednorodnym i centralnym, 4. oblicza różnicę potencjału elektrycznego pola, 5. wykorzystuje w obliczeniach definicję pracy

przeniesienia ładunku.

Strategie nauczania: IBSE

Metody nauczania: wykład informacyjny, analiza pomysłów Formy zajęć: praca w parach, praca zbiorowa

Środki dydaktyczne: tablica Materiały pomocnicze: - PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie definicji pracy oraz związku między pracą a energią.

Faza realizacyjna:

Nauczyciel omawia, na czym polega zachowawczość pola grawitacyjnego i pyta uczniów o to, czy dostrzegają jakieś podobieństwa między polem elektrostatycznym i polem grawitacyjnym. Uczniowie dyskutują na ten temat na forum klasy. Jeżeli mają problem z dojściem do właściwych wniosków, wówczas nauczyciel pomaga im pytając o to, czy widzą podobieństwo między spadkiem swobodnym i polem elektrycznym rozpędzającym dodatni ładunek poruszający się zgodnie z liniami pola. Druga analogia, którą nauczyciel podpowiada uczniom, to rzut w górę w jednorodnym polu grawitacyjnym i ruch cząstki naładowanej w polu elektrycznym, gdy jest ona hamowana. Na końcu nauczyciel

przypomina uczniom wzory na siłę Coulomba i siłę grawitacyjną zapisując je na tablicy.

Prosi uczniów by przedyskutowali podobieństwa i różnice między tymi siłami na forum klasy i w przypadku, gdy nie są w stanie dojść do właściwych odpowiedzi (siły mają ten sam charakter i różnią się stałymi, siła grawitacyjna jest tylko przyciągająca), naprowadza ich na właściwy trop.

Nauczyciel wyjaśnia różnicę między przesuwaniem ładunku równolegle i prostopadle do linii pola, przypominając, że praca jest równa zeru, gdy przesunięcie jest prostopadłe do działającej siły. Następnie prosi uczniów o to, aby podali jakieś przykłady takich

przypadków ruchu w polu grawitacyjnym. Na forum klasy uczniowie dyskutują o tym, czy przykłady podawane przez kolegów są poprawne.

W drugiej części lekcji nauczyciel wprowadza wzór opisujący pracę w polu centralnym.

Nauczyciel prosi uczniów o podanie przykładów ruchu po krzywej zamkniętej w polu grawitacyjnym i elektrostatycznym (np. ruch elektronu wokół jądra i ruch satelity).

Uczniowie w parach wyznaczają pracę przeniesienia ładunku w polu jednorodnym (korzystając z definicji pracy). Wybrana przez nauczyciela para ochotników przedstawia swoje rozwiązanie na tablicy i na forum klasy prowadzona jest dyskusja na temat

poprawności tego rozwiązania.

Faza podsumowująca:

Uczniowie, wykorzystując zdobytą wiedzę, rozwiązują, w parach, zadania 1‐4 z zestawu ćwiczeń. Odnoszą się do postawionych sobie celów lekcji - ustalają, które osiągnęli, a które wymagają jeszcze pracy (jakiej i kiedy). W razie potrzeby nauczyciel dostarcza im informację zwrotną kształtującą.

Praca domowa:

W ramach powtórzenia i utrwalenia wiadomości uczniowie rozwiązują zadania 5‐8 z zestawu ćwiczeń.

Wskazówki metodyczne opisujące różne

zastosowania danego multimedium

Multimedium może być wykorzystane przez uczniów jako praca domowa przed lekcją i być wprowadzeniem do tematu.