Marek M. Kamiński University of Maryland

(1)

STUDIA SOCJOLOGICZNE 1994, 3^1(134-135) ISSN 0039-3371

M arek M. Kamiński

University o f Maryland

TWIERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEJ W NAUKACH SPOŁECZNYCH*

Artykuł omawia wykorzystanie przez formalną teorię racjonalnego wyboru aksjomatów przy formułowaniu ogólnych modeli wyboru społecznego. Z a ilustrację posłużyło twierdzenie Arrowa, jeden z najważniejszych wyników teorii wyboru społecznego. Konsekwencje niespełnienia różnych aksjomatów zostały pokazane na przykładach z teorii głosowania. Bardzo znaczne różnice między wynikami zastosowania pozornie niewiele różniących się metod wyboru społecznego zostały zilustrowane na przykładzie polskich wyborów parlamentarnych z 1993 roku.

Wprowadzenie

M etoda aksjomatyczna w naukach społecznych** znalazła zastosowanie przede wszystkim w teorii wyboru społecznego, kooperacyjnej teorii gier i teorii alokacji1. Każda nich stawia odrębne pytania, posługuje odmiennymi pojęciami i używa różnych zbiorów aksjomatów. Sposób wykorzystania aksjomatów jest

Marek M. Kamiński, Department of Government and Politics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742, USA; e-mail v_mkaminski@bss2.umd.edu.

* A utor dziękuje za cenne uwagi Grzegorzowi Lissowskiemu i Piotrowi Świstakowi. Praca nad powyższym artykułem została częściowo sfinansowana z grantu IRIS, University of Maryland, College Park.

** Artykuł ten odwołuje się często dalej do tekstu Lalmana, Oppenheimera i Świstaka (w tym numerze Studiów Socjologicznych, dalej LOŚ). Autor zakłada, że Czytelnik zna ten tekst i rozumie takie pojęcia, jak preferencje i ich przechodniość, optymalność w sensie Pareto, teoria aksjomatycz

na, paradoks wyborcy, twierdzenie o wyborcy medianowym Blacka, przestrzenne modele polityki.

Pojęcia te dalej używane będą w znaczeniu identycznym do zdefiniowanego w artykule LOŚ.

Przedstawieniu twierdzenia Arrowa, jego zastosowań oraz innych wyników został nadany możliwie nieformalny charakter. Komentarze, uściślenia i odsyłacze do literatury bardziej zaawansowanej znajdzie Czytelnik w przypisach.

1 Przystępne wprowadzenie do teorii wyboru społecznego stanowią książki Bonnera [1986] (z zastosowaniami do ekonomii dobrobytu) i Rikera [1982] (z zastosowaniami do teorii głosowania), a także obszerny artykuł Plotta [1976] i podręcznik Muellera [1989]. Najlepszy zapewne wykład

(2)

74 M AREK M. KAMIŃSKI

jednak we wszystkich trzech przypadkach podobny. Służą one bądź sfor

mułowaniu postulatów normatywnych, tzn. własności uznanych w danym kontekście za pożądane, bądź scharakteryzowaniu cech posiadanych przez daną konkretną metodę lub proces.

Twierdzenie Arrowa o niemożliwości, najbardziej znane osiągnięcie podej

ścia aksjomatycznego, dostarcza bardzo typowego przykładu wykorzystania aksjomatów. Każdy z niewielu aksjomatów Arrowa wyraża pewną pożądaną własność metody, w tym przypadku metody wyboru społecznego. Wymagania stawiane przez każdy z nich z osobna wyglądają na stosunkowo łagodne.

Zestawione razem, okazują się jednak prowadzić do sprzeczności: metoda spełniająca jednocześnie wszystkie te aksjomaty nie istnieje.

W rzeczywistości w niezliczonych sytuacjach społecznych mamy do czynienia z efektywnym wyborem: wybierani są prezydenci, produkowane są różne towary w konkretnych ilościach, uchwalane są ustawy. Znaczy to, że z a w s z e w sytuacjach, w których podejmowane są decyzje społeczne, przynajmniej jeden z aksjomatów Arrowa nie jest spełniony. Ponieważ każdy z tych aksjomatów wyraża pewne pożądane własności metody wyboru, każda z realnie działających metod podejmowania takich decyzji jest więc w pewien sposób ułomna.

Znalezienie tej ułomności i ocena jej znaczenia jest jednym z zadań teorii wyboru społecznego.

W kolejnych częściach artykułu zostaną sformułowane i dokładniej omówio

ne problem wyboru społecznego oraz aksjomaty i twierdzenie Arrowa. Następ

nie zbadane zostaną konsekwencje niespełnienia poszczególnych aksjomatów w kontekście różnych metod agregacji opisywanych w naukach politycznych.

N a przykładach z teorii głosowania pokazane zostanie, jakie zasadnicze znaczenie dla kształtu systemu politycznego i ekonomicznego społeczeństwa posiada posługiwanie się metodami opartymi o różne zbiory aksjomatów.

Problem wyboru społecznego

Podstawowe pytanie teorii wyboru społecznego można sformułować na wiele różnych sposobów. Wybór dokonywany jest zazwyczaj na podstawie danych 0 preferencjach (gustach, upodobaniach) jednostek. Poważniejsze różnice pojawiają się przy zdefiniowaniu samego wyniku wyboru. Dwa często spotyka

ne sformułowania można nazwać „problemem wyboru najlepszej alternatywy”

1 „problemem Arrowa”.

podstaw matematycznej teorii wyboru społecznego można znaleźć w książce Sena [1970]. Klasycz

nym tekstem z teorii gier jest książka von Neumanna i Morgensterna [1944, 1947]. Nowsze podręczniki Shubika [1982] i Ordeshooka [1986] zawierają dobre wprowadzenie do kooperacyjnej teorii gier, zaś książki Younga [1994] oraz Thomsona'i Lensberga [1992] omawiają aksjomatyczne ujęcia teorii alokacji i teorii targu.

(3)

TWIERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEJ 7 5

Problem wyboru najlepszej alternatywy polega na poszukiwaniu takiej metody - funkcji wyboru - która w oparciu o preferencje jednostek wyróżnia z każdego podzbioru zbioru wszystkich alternatyw jedną z nich, najczęściej interpretowaną jako „najlepsza” bądź „najbardziej pożądana” społecznie bądź też podzbiór takich najlepszych alternatyw. Problem wyboru społecznego w ujęciu Arrowa polega z kolei na znalezieniu metody dokonującej na podstawie preferencji indywidualnych uporządkowania wszystkich alternatyw.

T ak otrzymane uporządkowanie określane jest mianem preferencji społecz

nych. Alternatywy stojące w tym uporządkowaniu wyżej interpretowane są najczęściej jako bardziej pożądane społecznie2.

Prostymi przykładami sytuacji wyboru społecznego są: głosowanie w komi

tecie rodzicielskim, wydawanie wyroku przez ławę przysięgłych, przypisanie miejsc zawodnikom w łyżwiarstwie figurowym, głosowanie nad budżetem w parlamencie, podejmowanie decyzji o interwencji zbrojnej przez sojusz militarny lub ONZ. W każdej z takich sytuacji zakres możliwych wyborów oraz sposób ich dokonywania są inne. Alternatywami są odpowiednio różne trasy wycieczki szkolnej, werdykt: „winny” lub „niewinny”, zawodnicy lub drużyny sportowe, projekty ustaw, skala i forma interwencji. Niektóre z decyzji odnoszą się do spraw mających znaczenie lokalne, bądź dotyczą jedynie niewielu zainteresowanych jednostek, inne mają ważkie konsekwencje dla funkcjonowa

nia całego społeczeństwa lub różnych społeczeństw. Czasem każdy z zaintereso

wanych m a jakiś wpływ na ostateczną decyzję, czasem zaś decyzje podej

mowane są przez specjalne gremium.

Wspólne wszystkim wymienionym sytuacjom jest to, że różne metody wyboru m ogą prowadzić do diametralnie różnych wyników. Co więcej, do drastycznie różnych wyników prowadzić mogą metody wyboru różniące się stosunkowo nieznacznie. Wyniki, do których prowadzi metoda, mogą też być niezgodne z normatywnymi właściwościami, które chcielibyśmy, aby ona posiadała. Poniższe przykłady pokazują sytuacje, w których wybór metody agregacji jest kwestią pierwszorzędną, z konsekwencjami dla najważniejszych sfer życia społecznego.

M etodą agregacji preferencji wyborców jest ordynacja wyborcza. W wybo

rach parlamentarnych ordynacja wylicza szczegółowo łączną liczbę mandatów w parlamencie, sposób tworzenia okręgów oraz podział mandatów między okręgi, wielkość listy krajowej, algorytmy przydzielania mandatów na pod

stawie otrzymanych głosów, progi wyborcze, reguły rejestracji partii, sposób ich finansowania i przydział czasu antenowego w telewizji publicznej itp. Niewiel

kie na pozór różnice w ordynacjach prowadzić mogą do zasadniczo odmien

2 Lissowski (1987) formułuje jako inny możliwy cel agregacji preferencji indywidualnych opis statystyczny danej populacji, tzn. znalezienie uporządkowania „najbliższego” profilowi preferencji tej populacji.

(4)

76 MAREK M. KAMIŃSKI

nych wyników wyborów. Pokazują to wyniki symulacji rozkładu mandatów w parlamencie polskim w wyborach parlamentarnych 1993 roku przeprowadzo

ne przy zastosowaniu różnych ordynacji wyborczych (patrz Tabela 1).

Tabela 1. Konsekwencje przyjęcia różnych metod agregacji: rzeczywiste i symulowane wyniki wyborów parlamentarnych z 1993 roku przy zastosowaniu różnych ordynacji wyborczych

N r i nazwa listy Wyniki: 1993bp 1991

1. Porozumienie Centrum 0 9 14

2. KKW „Ojczyzna” 0 24 40

3. PSL-PL 0 2 8

4. KPN 22 22 33

5. SLD 171 142 98

6. PSL 132 115 75

7. KLD 0 10 14

8. Solidarność 0 13 23

9. UD 74 56 58

10. BBWR 16 16 21

11. UP 41 33 44

12. U PR 0 5 10

15. KdR 0 4 7

16. TSKNW K 1 0 1

17. Partia „X ” 0 2 5

19. Samoobrona 0 4 6

25. TSKM N na ŚO 3 3 3

Źródło: M onitor Polski N r 50/1993, symulacja z użyciem programu SEATS.

bp Ordynacja wyborcza bez progów.

Kolumny tabeli przedstawiają wyniki symulacji otrzymane przy założeniu, że przejście do innej ordynacji wywarłoby jedynie mechaniczny (lub arytmetyczny) wpływ na system polityczny i główni aktorzy zachowaliby się podobnie:

wyborcy głosowali identycznie, partie przeprowadziły identyczne kampanie i utworzyły identyczne koalicje przedwyborcze. Kolumna „wyniki” zawiera rzeczywisty podział mandatów dokonany przy użyciu algorytmu d ’H ondta i następujących progach: 5% dla partii, 8% dla koalicji, 0% dla list mniejszości i 7% dla mandatów z listy krajowej oraz przy 391 mandatach przyznanych w 51 okręgach, zaś 69 przyznanych z listy krajowej. Kolumna „1993 bp” zawiera

(5)

TWIERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEJ 77

symulowaną liczbę m andatów przy użyciu tej samej ordynacji bez progów, zaś

„1991” symulowaną liczbę mandatów przy algorytmie obliczania głosów z 1991 roku (bez progów, z kwotą Droopa).

Skróty oznaczają: K dR - Koalicja dla Rzeczypospolitej; TSKNW K - T o

warzystwo Społeczno-Kulturalne Niemców Województwa Katowickiego;

TSKM N na ŚO - Towarzystwo Społeczno-Kulturalne Mniejszości Niemieckiej na Śląsku Opolskim. Pogrubioną czcionką zaznaczone zostały wyniki w miejs

cach, w których zmiana byłaby szczególnie dramatyczna.

Zniesienie progów wyborczych w 1993 roku wprowadziłoby zapewne do parlamentu silną grupę partii prawicowych. Gdyby dodatkowo algorytm rozdzielania m andatów był taki sam jak dwa lata wcześniej, przesunięcie na prawo byłoby jeszcze większe. Koalicja PSL-SLD, która wyłoniła się po wyborach, miałaby w takiej sytuacji zamiast 303 zaledwie 173 mandaty i zapewne nie doszłoby w ogóle do jej utworzenia. Z kolei można spekulować, że ustanowienie progu w skali kraju na poziomie 20% lub wyższym spowodowało

by znaczne zmiany w zachowaniu partii i wyborców i doprowadzić by mogło do przywrócenia jedności podzielonym partiom postsolidarnościowym, a w konse

kwencji Sejmu utworzonego z dwóch lub nawet jednej partii. System polityczny Polski wyglądałby w każdej z tych sytuacji bardzo różnie. Każda ordynaq'a oddziałałaby ponadto na jego kształt również i w dłuższej perspektywie czasowej.

Innym przykładem jest proces transformacji gospodarek krajów Europy Środkowo-Wschodniej. Każdemu z elementów tego procesu: prywatyzacji, nowym zasadom opodatkowania czy prowadzenia polityki finansowej państwa odpowiada zmiana metody podejmowania decyzji o ważnym społecznym znaczeniu. Najważniejsza z tych zmian dotyczy własności przedsiębiorstw państwowych i zastąpienie centralnego planisty przez mechanizm rynkowy przy decydowaniu o inwestycjach, profilu czy wielkości produkcji. Znaczy to, że np.

decyzje inwestycyjne nie są podejmowane w oparciu o centralnie gromadzoną informację i pewien arbitralnie przyjęty algorytm, ale raczej w oparciu o rozpo

znanie przez inwestora na rynku potencjalnego popytu wystarczającego na zagwarantowanie m u zysku. Najprościej formułowane uzasadnienie dla trans

formacji gospodarczej opiera się na przekonaniu, ż e „ r y n e k ” j a k o m e t o d a a l o k a c j i z a s o b ó w j e s t b a r d z i e j „ e f e k t y w n y ” n i ż , , p l a n c e n t r a l n y ” . Nie tylko więc same podejmowane decyzje, ale i metody podejmowania decyzji społecznych mogą się różnić, mogą być uznawane za

„lepsze” lub „gorsze”, tzn. można się po nich spodziewać „lepszych” lub

„gorszych” wyników.

Powyższe przykłady dotyczą dwóch najważniejszych sfer zastosowania teorii wyboru społecznego: polityki i gospodarki. W obu różne metody prowadzą do różnych wyników, posiadają odmienne własności, działają w oparciu o inne dane społeczne itp. Pewne ich składniki, jak algorytm przydzielania głosów można zapisać w pełni formalnie, inne zaś, jak sposób podejmowania decyzji

(6)

produkcyjnych w przedsiębiorstwie, można scharakteryzować jedynie w przy

bliżeniu. Osiągane wyniki są zazwyczaj trudno porównywalne, zaś segregacja metod na „lepsze” i „gorsze” nie jest możliwa bez przyjęcia jakiegoś niekwes- tionowalnego kryterium „jakości”. Poza faktem, że w obu sytuacjach podej

mowane są pewne decyzje o konsekwencjach społecznych, niewiele więc wydaje się je łączyć. Zaletą podejścia aksjomatycznego jest to, że każdą dobrze zdefiniowaną metodę wyboru społecznego pozwala „rozłożyć na czynniki pierwsze”, aksjomaty, zastępując w ten sposób nieprecyzyjne porównywanie ,jakości” m etod formalnym porównaniem ich własności. Każda z realnie istniejących metod, bez względu na stopień jej skomplikowania, o ile tylko prowadzi do określonej klasy wyborów, może być poddana temu zabiegowi.

Aby jednak precyzyjnie postawić zagadnienie wyboru społecznego, koniecz

ne są pewne uproszczenia, eliminujące z rozważań mniej ważne aspekty rzeczywistości, lub pozwalające ich rozpatrzenie odłożyć na później, po wy

pracowaniu modelu podstawowego.

Założenia i aksjomaty modelu Arrowa3

Mamy do czynienia z pewną skończoną liczbą j e d n o s t e k tworzących s p o ł e c z e ń s t w o oraz pewną liczbą a l t e r n a t y w s p o ł e c z n y c h lub s t a n ó w ś w i a t a . Zakładamy dalej, że społeczeństwo liczy co najmniej dwie jednostki oraz że m ają one do wyboru między przynajmniej trzema alter

natywami. „Społeczeństwo” złożone z jednej jednostki jest przypadkiem banal

nym, z kolei wybór między dwoma alternatywami jest względnie prosty i stanowi obiekt odrębnych studiów w ramach teorii wyboru społecznego.

K ażda z jednostek porządkuje wszystkie alternatywy od najlepszej do najgor

szej. Jest to najbardziej elementarne wymaganie racjonalności jednostkowej.

Wyborców z „patologicznymi” preferencjami, cyklicznymi bądź niepełnymi, wyklucza się z rozważań4. Preferencje wszystkich wyborców w danej sytuacji

3 Problem Arrowa przedstawiony został tu przy użyciu minimum matematyki (szczegółowe omówienie kwestii matematycznych znajdzie Czytelnik w języku polskim w pracy Lissowskiego [1983]). A utor zrezygnował też z podawania dowodu: można go znaleźć w większości podręczników teorii wyboru społecznego. Najbardziej znany jest dowód Sena (1970:41-46). Oryginalny dowód Arrowa (1951) zawiera błąd, poprawiony w wydaniu z 1963 roku. Szkic dowodu (wraz z omówie

niem twierdzenia) można znaleźć też w przetłumaczonej na język polski książce Luce i Raiffy (1964).

4 Istnieją teorie oparte o słabsze założenia, np. ważne w psychologii pojęcie półporządku (semiorder), pozwalające n a sformalizowanie pojęcia progu rozróżnialności bodźca (patrz Luce 1956). Teorie takie powstają na bazie licznych eksperymentów ujawniających w pewnych sytuacjach brak przechodniości relacji indyferencji jednostkowej (Tversky 1969). Pewne procedury decyzyjne w sporcie, stosowane np. w rozgrywkach ligi piłkarskiej, są również w stanie wyłonić zwycięzcę, mimo że „preferencje” z reguły zawierają cykle (drużyna A wygrała z B, która wygrała z C, która wygrała z A).

(7)

TW IERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEI 79

nazywamy p r o f i l e m p r e f e r e n c j i i n d y w i d u a l n y c h . M etoda wyboru społecznego przyporządkowuje każdemu profilowi preferencji indywidualnych pewne preferencje społeczne. Rozważany problem wyboru społecznego jest więc problemem postawionym przez Arrowa.

W przykładach z poprzedniej sekcji jednostkami byli odpowiednio wyborcy i konsumenci, zaś alternatywy stanowiły partie polityczne i schematy inwes

tycyjne. Agregacja dokonywana była poprzez ordynację wyborczą i system podejmowania decyzji inwestycyjnych w przedsiębiorstwie. Informację służącą do podjęcia decyzji dostarczało wskazanie najbardziej preferowanej partii oraz zagregowane dane o popycie na dane dobro. Drugi z omówionych przykładów jest bardziej złożony i jego rozpatrzenie prowadziłoby do problemu pomiaru i porównywalności preferencji jednostkowych, centralnego dla ekonomii dob

robytu. Zaznaczając tu istotność zagadnień pomiaru i porównywalności, ograniczymy się w dalszych przykładach jedynie do sytuacji wymagających preferencji porządkowych i nie zakładających porównywalności5.

Formalnie możemy powyższe założenia zapisać następująco: I= {l,2,...,m } jest z b i o r e m j e d n o s t e k (społeczeństwem), zaś A = {al,a2,...,aJ z b i o r e m a l t e r n a t y w ( s t a n ó w ś w i a t a ) . Zakładamy, że / jest zbiorem skończo

nym, zawierającym przynajmniej dwie jednostki, zaś A zawiera przynajmniej trzy alternatywy i może też być zbiorem nieskończonym. Relacją dwuar- gumentową S, w skrócie: relacją S na zbiorze A nazywamy dowolny zbiór par uporządkowanych < a,a- > takich, że a^aeA, co będziemy zapisywać aSa-.

Relacja S jest:

a. Zwrotna, jeśli dla każdego aeA zachodzi aSa;

b. Spójna, jeśli dla dowolnych а{,а} m a miejsce przynajmniej jedna sytuacja: afia^

lub a^Sa.-,

c. Przechodnia, jeśli dla dowolnych а{, а ^ z tego, że aiSaj oraz a^Sa^ wynika, że również a Sa^.

K ażda zwrotna, przechodnia i spójna relacja R nazywana jest relacją preferencji lub krócej: preferencjami. Relacja P zdefiniowana w następujący sposób: aPa- wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi aiRai oraz nie zachodzi aR ai nazywana jest relacją mocnych preferencji lub krócej: mocnymi preferencjami.

Przykładami preferencji i mocnych preferencji są odpowiednio relacja ‘ > ’ i ‘ > ’ określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.

Oznaczmy przez П&, zbiór wszystkich możliwych preferencji jednostki i na zbiorze A, zaś przez Kt zbiór wszystkich możliwych preferencji społecznych.

Preferencje jednostki i będą oznaczane przez IE, zaś mocne preferencje tej samej jednostki przez Pv Preferencje oraz mocne preferencje społeczne oznaczane

5 Problem pomiaru i porównywalności preferencji (lub użyteczności) indywidualnych został postawiony w sposób formalny przez Sena (1970). Omówienie matematycznej strony tego problemu zawiera artykuł Sena (1977), zaś w języku polskim praca Lissowskiego (1986).

(8)

będą przez R i P. Profilem preferencji indywidualnych nazywamy kompletną listę preferencji wszystkich jednostek: < R vR v ...,Rm> . Zbiór wszystkich profili preferencji indywidualnych { ci?,,...i?m> : j^gIK,, i?2e lK2,...i?men3m}. oznaczać będziemy przez 1Ę.

W myśl powyższych założeń o procesie podejmowania decyzji społecznej jednostki są w stanie przeanalizować cały zbiór alternatyw oraz uporządkować je od najlepszej do najgorszej. Podobnie zbiór alternatyw jest uporządkowany przez preferencje społeczne. Jeśli traktować te założenia jako hipotezy em

piryczne, ich adekwatność zależy od charakteru dokonywanych wyborów, zdolności obliczeniowych jednostek, właściwości metody agregacji itp. Jeśli natomiast traktować je jako założenia normatywne, definiują one pewną klasę metod agregacji. D la metod z tej klasy informacją służącą do otrzymania preferencji społecznych są preferencje indywidualne bez zakładania porównań międzyosobowych. K ażda m etoda spełniająca powyższe warunki nazywana jest funkcją dobrobytu społecznego6. Formalnie, funkcją dobrobytu społecznego nazwiemy dowolną funkcję W przyporządkowującą każdemu profilowi prefe

rencji indywidualnych z pewnego ich zbioru djClE, dokładnie jedne preferencje społeczne R e IS.

Aksjomaty Arrowa, podawane najczęściej w sformułowaniu Sena (1970)7, nakładają na funkcję dobrobytu społecznego cztery dodatkowe, niewinnie wyglądające warunki. W arunki te wyrażają pewne oczekiwania normatywne wobec „akceptowalnej” metody agregacji. Za przyjęciem każdego z nich przemawiają solidne argumenty. Twierdzenie Arrowa oznajmia, że są one sprzeczne: nie istnieje funkcja dobrobytu społecznego spełniająca jednocześnie wszystkie cztery aksjomaty.

Aksjomat 1 (U): Nieograniczona Dziedzina. Funkcja dobrobytu społecznego określona jest na zbiorze wszystkich profili preferencji indywidualnych d^DSj.

Aksjomat 2 (P): Zasada Pareto. Jeśli wszyscy jednomyślnie preferują alternatywę x nad y, wówczas funkcja dobrobytu społecznego powinna przed

kładać x nad y. Formalnie: Jeżeli dla pewnych a ,a eA oraz < R {,...,Rm> eA v W (< R vR 2,...,Rm > ) = R oraz a P fi. dla wszystkich s, wówczas aPa..

Aksjomat 3 (i): Niezależność od Alternatyw Niezwiązanych. Preferencje społeczne pomiędzy alternatywami x i у zależą wyłącznie od preferencji jednostek względem alternatyw x i y. Preferencje związane z innymi alter

natywami nie mają więc wpływu na wybór społeczny między x i y. Formalnie:

Jeśli dla dowolnych alternatyw а^авА i dla dowolnych profili preferencji indywidualnych <i?,,i?2,...,i?m> , < S 1,S2,...,Sm> eA1 a R Ą zachodzi wtedy

6 Jest to oryginalna nazwa Arrowa („social welfare function"). Zostaje ona zachowana ze względów tradycyjnych.

7 Zachowane zostały tradycyjnie stosowane w literaturze przedmiotu angielskie skróty na oznaczenie warunków Arrowa: U ( Unrestricted Domain), P (Pareto), I (Independence o f Irrelevant Alternatives) i D (Nondictatorship).

(9)

TW IERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEJ 81

i tylko wtedy, gdy o-JSą dla wszystkich s, wówczas jeśli W (< R pR v ... ,Rm > )= R , W (< S v S 2,...,Sm> ) = S, to aRa^ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy afia..

Aksjomat 4 (D)\ Wykluczenie Dyktatury. Nie istnieje para alternatyw oraz jednostka taka, że jeśli posiada ona mocne preferencje względem tej pary, to funkcja dobrobytu społecznego wyznacza preferencje społeczne dla tej pary pokrywające się zawsze idealnie z jej preferencjami bez względu na preferencje innych. Nie istnieje s e l takie, że jeśli dla dowolnych alternatyw а{,а еА, a{Psa , to aPa-.₁ _J

Warunki U, P, I oraz D stanowią minimalny zbiór aksjomatów, który nie może być jednocześnie spełniony przez funkcję dobrobytu społecznego. Znaczy to, że dla dowolnych trzech aksjomatów spośród nich możemy znaleźć metodę agregacji, która je spełnia. Przykłady takich metod zostaną omówione dalej.

Tak np. jedyną funkcją dobrobytu społecznego spełniającą U,P oraz I jest metoda, którą niewielu uznałoby za uniwersalnie najlepszą: dyktatura.

Powyższe zdanie można też uznać za równoważne sformułowanie twier

dzenia Arrowa. Sformułowanie, w którym mowa o sprzeczności aksjomatów Arrowa, m a jednak tę zaletę, że nie skupia uwagi na jednym tylko aksjomacie D.

Pozwala to raczej przeanalizować niezależnie wszystkie aksjomaty i sprawdzić, który (lub które) z nich nie są spełnione przez realnie istniejące i stosowane metody agregacji. Okazuje się, że ta droga analizy prowadzi do uporząd

kowania pozornie bardzo odmiennych metod agregacji spotykanych w różnych naukach społecznych, a szczególnie w ekonomii i naukach politycznych w ramach jednego spójnego systemu pojęć.

Co to znaczy, że aksjomaty Arrowa wyrażają pewne „pożądane” własno

ści metody agregacji? Stosunkowo najmniej wątpliwości budzi akceptacja aksjomatów P i D. Jeśli wszyscy wolą x od y, również i społeczeństwo powinno przedkładać x nad y. Podobnie w wielu sytuacjach nie można zaakceptować wyboru dyktatorskiego jako idealnej metody podejmowania decyzji.

M ożna jednak łatwo znaleźć sytuacje, w których aksjomaty P i D nie są spełnione. Z wyborem przypominającym dyktaturę mamy do czynienia często wtedy, gdy koszta zwlekania z decyzją są wysokie, do jej podjęcia potrzebna jest wiedza fachowa, zaś interes osobisty „dyktatora” nie koliduje wyraźnie z celami danej instytucji. M a to często miejsce w sądzie, w sporcie, w medycynie czy w biznesie. Również przy podejmowaniu decyzji publicznych w biurokracji państwowej występuje precyzyjne rozgraniczenie kompetencji, co jest równo

ważne oddaniu władzy dyktatorskiej nad pewną sferą w ręce danego urzędnika.

W rzeczywistości „dyktatura” ta jest zawsze w pewien sposób ograniczona przez prawo, obyczaj i normy społeczne. Z kolei zasada Pareto może być złamana przy decyzjach podejmowanych w oparciu o tradycje, przyzwyczajenie lub rutynę biurokratyczną. W takich sytuacjach wybór społeczny może zostać dokonany z całkowitym pominięciem preferencji jednostek.

(10)

Konsekwencje niespełnienia pozostałych aksjomatów Arrowa8 lub założeń definiujących funkcję dobrobytu społecznego są bardziej złożone i zostaną omówione dokładniej dalej. Aksjomat I wyraża postulat, aby wprowadzenie dodatkowej alternatywy nie zakłócało relacji społecznej preferencji pomiędzy danymi dwiema alternatywami. Jeśli gmina preferuje wybudowanie domu opieki społecznej zamiast stadionu sportowego, to preferencje względem tych dwóch projektów powinny pozostać niezmienione, gdy pojawi się projekt trzeci, np. budowa parku miejskiego. Z kolei aksjomat U postuluje, żeby metoda agregacji rozwiązywała problem wyboru społecznego Arrowa przy każdym możliwym profilu preferencji indywidualnych.

Poniżej omówione zostaną niektóre implikacje twierdzenia Arrowa dla teorii głosowania. Teoria ta jest blisko związana z ekonomią dobrobytu, która była pierwszym obszarem zastosowania twierdzenia Arrowa. Wyznaczenie dokład

nej granicy między obydwoma teoriami jest częstokroć trudne, obie stanowią integralną część teorii wyboru publicznego, badającej jednocześnie wpływ różnych metod wyboru społecznego na własności wyniku wyboru oraz płynące stąd konsekwencje dla dobrobytu społecznego. Twierdzenie Arrowa przy

czyniło się do tej unifikacji w decydującym stopniu.

Teoria głosowania: problem stabilności wyników

Najczęściej stosowaną m etodą głosowania jest zwykła reguła większościowa, w której z dwóch alternatyw wygrywa ta, na którą wskazało więcej wyborców jako lepszą. Remis m a miejsce, gdy na każdą z alternatyw wskaże jednakowa liczba wyborców. K tóre z aksjomatów Arrowa nie są spełnione przez tak zdefiniowaną metodę? Rozpatrzmy je po kolei:

U - wynik głosowania jest zdefiniowany zawsze, niezależnie od preferencji wyborców;

P - jeśli wszyscy głosowali na x w parze z y, to w wyniku głosowania x wygrywa z y;

I - wynik głosowania zależy wyłącznie od alternatyw x i y; alternatywy nieistotne nie m ają nań żadnego wpływu;

D - oczywiście nikt nie m a władzy dyktatorskiej.

Twierdzenie Arrowa mówi nam, że dla dowolnej funkcji dobrobytu społecz

nego przynajmniej jeden z aksjomatów U, P, I oraz D nie jest spełniony. Reguła większościowa nie może więc być funkcją dobrobytu społecznego. Do wyboru między dwoma alternatywami niepotrzebna jest nam wiedza o intensywności preferencji wyborców ani porównywanie siły ich preferencji. Pozostaje więc

8 Literatura przedstawiająca konsekwencje niespełnienia różnych aksjomatów Arrowa jest obszerna. Przystępnie omawiają te kwestie Mueller (1989: 387-395) i Riker (1982: 119-136).

(11)

jedynie warunek przechodniości i rzeczywiście, ten właśnie warunek nie jest spełniony. Paradoks wyborcy (patrz LOŚ) jest przykładem sytuaq'i, w której wynik głosowania nie jest przechodni: m a miejsce cykl. Twierdzenie Arrowa pozwala przewidzieć, że problem z cyklicznością, bądź niestabilnością, wyni

ków głosowania większościowego m u s i wystąpić przynajmniej dla pewnego profilu preferenq'i indywidualnych. „Niestabilność” oznacza w tym kontekście zależność ostatecznego wyniku od kolejności głosowania, a także podatność na manipulacje ze strony przewodniczącego obrad i wyborców. Paradoks wyborcy jest w tym świetle przypadkiem szczególnym bardziej ogólnego problemu nieistnienia funkcji dobrobytu społecznego spełniającej aksjomaty Arrowa9.

Problem nieprzechodniości wyników głosowania nie pojawia się w modelu Blacka (1958) (patrz LOŚ)10. Niespełniony jest tu aksjomat U: dziedzina głosowania większościowego ograniczona jest do profili u n i m o d a l n y c h .

Zasadność ograniczenia dokonanego przez Blacka polega na jego realizmie.

Black zauważył, że preferencje jednostek w każdym społeczeństwie są zazwyczaj rzeczywiście w pewien sposób skorelowane i założenie to uczynił częścią swego modelu. Okazało się, że eliminuje ono całkowicie występowanie cykli. „Realizm”

założenia unimodalności preferencji podsuwa natychmiast pytanie: skoro tak, to czy problem cykli nie jest sztuczny? Wyniki Plotta (1967), McKelvey’a (1976,1979) i Schofielda (1978) (patrz LOŚ) pokazują, że tak nie jest. Problem cykli pojawia się znów, jeśli rozpatrujemy przestrzenie alternatyw wymiaru większego niż jeden, nawet z ograniczeniem dziedziny do profili unimodalnych. Co więcej, cykle mogą wystąpić „prawie zawsze” i wypełnić całą przestrzeń alternatyw.

Teoria głosowania przestrzennego widziana z takiej perspektywy stanowi więc pewne studium problemu Arrowa: bada sytuacje, w których dziedzina wszystkich profili jest w pewien sposób ograniczona. Ograniczenie dziedziny dokonywane jest z jednej strony poprzez założenie unimodalności, zaś z drugiej - poprzez przyjęcie pewnej geometrii przestrzeni alternatyw. W najprostszym przypadku modelu Blacka geometria przestrzeni alternatyw wyznaczona jest zwykłą linia prostą, w innych jest to wielowymiarowa przestrzeń Euklidesowa lub przestrzenie do niej topologicznie „podobne”. Wprowadzaniu różnych

9 Ważne miejsce w badaniach znaczenia braku przechodniośd zajmuje szacowanie praw

dopodobieństwa wystąpienia cyklu. Niespełnienie założenia przechodniośd nie jest jednak tożsame z automatycznym wystąpieniem cykli. Zastępując to założenie warunkiem q u a s i - p r z e c h o d - n i o ś c i bądź nieco słabszym warunkiem a c y k l i c z n o ś c i również otrzymuje się gwarancję, że cykle nie wystąpią. W pierwszym wypadku zamiast dyktatora nieuchronnie musi jednak istnieć

„oligarchia”: podzbiór wyborców O taki, że o ile każdy w O przedkłada x nad y, to x jest również preferowane społecznie nad у (Gibbard, tekst nieopublikowany). W drugim przypadku musi ż kold istnieć „kolegium”, w którym każdy dysponuje prawem weta (Brown 1973, 1975).

1D Twierdzenie Arrowa pozostaje prawdziwe również dla nieskończonej liczby alternatyw występującej w przypadku modelu Blacka. Nie jest natomiast prawdziwe dla nieskończonej liczby wyborców (Fishbum 1970).

(12)

geometrii przestrzeni alternatyw przyświeca jednak zawsze podobna idea:

chodzi o narzucenie pewnych ograniczeń na dziedzinę wszystkich profili, przy czym ograniczenia te nie są całkowicie „przypadkowe”, ale posiadają pewne regularności związane z właściwościami danej geometrii.

W każdym modelu przestrzennym przyjmuje się aksjomaty P, I oraz D, a także zmodyfikowaną wersję U i sprawdza, na ile wystarczy to do spełnienia przechodniości, a także jakie są inne własności tak ogra

niczonej reguły większościowej. Znaczna część teorii głosowania przestrzen

nego może więc być rozumiana jako studiowanie problemu Arrowa przy różnych modyfikacjach aksjomatu U. Inne modele tej teorii wychodzą jednak poza zakres problemu Arrowa, wprowadzając do rozważań takie nowe elementy, jak zasób informacji posiadany przez partie i wyborców, większą lub zmienną liczbę partii, inne koncepcje równowagi niż Nasha, inne metody głosowania, czy głosowanie probabilistyczne (patrz np. McKel

vey 1990).

Wiele metod głosowania (np. często stosowana metoda Bordy bądź algoryt

my służące do obliczania głosów w wyborach 1991 i 1993 roku) nie spełnia aksjomatu I. Jest tak również w przypadku metody częstościowej, która wybiera alternatywę z największą liczbą głosów, niezależnie od tego, czy uzyskała ona większość bezwzględną czy nie. Do jakich prowadzi to konsek- wenqi? Zanim dokładniej omówiony zostanie przypadek ordynacji wyborczej z 1993 roku, rozpatrzmy następujący prosty przykład, użyty przez Arrowa w uzasadnieniu przyjęcia tego aksjomatu.

W wyborach prezydenckich startują trzej kandydaci х, у i z. D la uprosz

czenia załóżmy, że wyborcy posiadają tylko trzy różne rodzaje preferencji w następujących proporcjach: xP yP z: 48%; yP zP x: 49%; zP xP y: 3%. Jeśli przyjąć, że wyborcy głosują zgodnie ze swoimi preferencjami, w wyborach wygrywa y. Jednak jego zwycięstwo zależy w dużej mierze od pozornie nic nie znaczącego kandydata z. Gdyby na przykład z zmarł na dzień przed wyborami, wygrałby x\ gdyby zaś z zmarł w dzień po wyborach, a więc nie wpływając już na ich wynik, wygrałby y. Kandydat zmógłby się również strategicznie wycofać w ostatniej chwili, umożliwiając tym samym zwycięstwo x w zamian za uzyskanie odeń obietnicy korzystnych koncesji powyborczych. T ak więc zwy

cięstwo x bądź у zależy od postawy trzeciego kandydata bądź faktu, który „nie powinien” wpływać na wynik wyborów: daty śmierci trzeciego kandydata.

Sytuacja jest jednak jeszcze bardziej skomplikowana: wycofanie się у albo x czyni zawsze prezydentem „centrowego” kandydata z, mimo jego niewielkiej liczby „pierwszych” głosów.

Sytuacja podobna do opisanej wyżej miała miejsce w wyborach w Chile w 1970 roku (Taagepera i Shugart 1989). K andydat lewicy Allende (у w naszym przykładzie) wygrał wybory prezydenckie uzyskując w głosowaniu częstoś- ciowym zaledwie 36,3% łącznej liczby głosów. Z wielu analiz wynika, że profil

(13)

preferencji wyborców był najprawdopodobniej taki, że każdy z pozostałych dwóch kandydatów (prawicy i centrum) wygrałby z nim w głosowaniu parami.

Tradycyjnie stosowana w wyborach prezydenckich w Chile metoda częstoś- ciowa doprowadziła więc do zwycięstwa kandydata mniejszości i do głębokiej frustracji centrowo-prawicowej większości. Dalszym efektem był przewrót wojskowy i dyktatura Pinocheta.

Co by się stało, gdyby zmienić reguły i głosować poprzez większość bezwzględną z „dogrywką”? W większości wyborów prezydenckich stosowana jest ta właśnie metoda: gdy w pierwszej turze żaden z kandydatów nie uzyska ponad 50% głosów, odbywa się druga tura z udziałem dwóch kandydatów z najwyższą liczbą głosów z pierwszej tury. Przy takim założeniu do drugiej rundy przechodzą jc i y; wygrywa x. Jednak przypadkowa śmierć bądź strategiczne wycofanie się z wyborów kandydata у czyni prezydentem z, mimo, że w pierwszej rundzie przy obecności x i у uzyskałby on jedynie nieznaczące 3% głosów. Przy sprzyjającym „zbiegu okoliczności” znów każdy z trzech kandydatów mógłby zostać prezydentem.

Nawet więc przy założeniu, że wyborcy głosują zgodnie ze swoimi preferencjami oraz że głosowanie nad wszystkimi alternatywami odbywa się jednocześnie lub w ustalonym porządku (nie m a więc możliwości manipulowa

nia kolejnością głosowania przez przewodniczącego), ostateczne wyniki są zależne od czynników, które chcielibyśmy uznawać za nieistotne. Problem tu występujący jest nieco inny niż w przypadku prostego głosowania większoś

ciowego: funkcja dobrobytu społecznego nie spełnia aksjomatu I i w efekcie wpływ na ostateczny wynik może wywrzeć zachowanie „nieistotnego” kan

dydata. Konsekwenq'e są jednak podobne jak przy cyklach: niestabilność wyników.

Jak zmienią się z kolei wyniki, jeśli uchylimy założenie, że wyborcy głosują zgodnie z preferencjami? Ponowna analiza przykładu pokazuje, że wyborcy głosując niezgodnie ze swoimi preferencjami mogliby czasem doprowadzić do wyboru bardziej ich satysfakcjonującego kandydata.

Przy braku przechodniośd niestabilność oznacza zagrożenie cyklami, a więc uzależnienie wyniku od kolejności głosowania wniosków lub manipulacji przewodniczącego. W przypadku złamania aksjomatu /zam iast cykli pojawiają się możliwości manipulacji ze strony „nieistotnych” kandydatów. Twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite, jedno z najważniejszych w teorii głosowania i będące zastosowaniem twierdzenia Arrowa (Gibbard 1973, Satterthwaite 1975), wska

zuje, że żadna m etoda głosowania dla więcej niż dwóch wyborców nie jest ponadto odporna na strategiczne manipulacje z ich strony. Jeśli więc dziedzina preferencji wyborców nie jest ograniczona, lub ograniczenie to jest niedostatecz

ne, mamy więc zawsze do czynienia z podwójną komplikacją: cyklami lub manipulacjami ze strony kandydatów oraz głosowaniem strategicznym wybor

ców, niezgodnym z preferencjami. Głosowanie strategiczne lub manipulacje

(14)

mogą w pewnych sytuacjach prowadzić do wyników uznanych za bardziej pożądane, jednak ogólnie sytuaq'a ta prowadzi do najrozmaitszych „paradok

sów głosowania” i osłabia jednoznaczną interpretację ostatecznego wyniku głosowania.

Powróćmy do przykładu wyborów parlamentarnych z 1993 roku. Przy ówczesnej ordynacji wyborczej i przy zaistniałej strukturze koalicyjnej, profil preferencji wyborców był szczególnie „wrażliwy” na obecność „nieistotnych”

alternatyw i manipulacji strategicznej. N a przykład, gdyby wyborcy prawicowi w 1993 roku nie głosowali zgodnie ze swoimi pierwszymi preferencjami, a oddali głosy s t r a t e g i c z n i e na jedną tylko partię prawicową, weszłaby ona do Sejmu ze znaczną liczbą mandatów. Podobnie gdyby wyborcy głosujący na K LD , oczekując wyniku swojej partii poniżej 5%, oddali głosy na drugą w kolejności, zapewne byłaby to najczęściej UD i właśnie ta partia zyskałaby na takim głosowaniu strategicznym najwięcej.

Również i partie miały w wyborach 1993 roku możliwości manipulacji, związane z niespełnieniem aksjomatu I. Gdyby np. „Solidarność” i mniejsze partie prawicowe nie poszły do wyborów, do Sejmu weszłyby zapewne „Ojczyz

na” i PC z dużą liczbą mandatów. Jednak w sytuaqi braku pełnej informacji po stronie wyborców oraz praktycznej niemożliwości transferowania zysków pomiędzy partiami, obie te możliwości nie zostały zrealizowane. W efekcie doszło do utworzenia parlamentu, w którym podział mandatów słabo odzwier

ciedlał rozkład głosów wyborców. Brak reprezentacji partii prawicowych w takim parlamencie zmniejsza stabilność i zaufanie do systemu politycznego i stanowi przykład sytuacji, w której „wady” ordynacji wyborczej (nieuchronne w świetle twierdzenia Arrowa) ujawniły się szczególnie mocno.

Przy głosowaniu rzadko posiadamy informacje o preferencjach wyborców dokładniejszą niż porządkowa. Z reguły jest ona jeszcze uboższa, jako że minimalna informacja niezbędna do obliczenia wyniku wyborów w większości ordynacji wyborczych do parlamentu wymaga jedynie od wyborcy podania nazwy najbardziej faworyzowanej partii, podobnie jak w wyborach prezyden

ckich nazwiska pojedynczego kandydata. Preferencje, częściowo lub całkowicie, są ujawniane explicite w trakcie aktu głosowania. Nie m a też podstaw do przyjmowania jakichkolwiek kryteriów porównywalności pomiędzy głosami różnych wyborców. Uzyskanie informacji dokładniejszej jest zazwyczaj bardzo kosztowne bądź technicznie niewykonalne w związku ze strategicznymi aspek

tami głosowania11.

11 Projektowanie sytuacji, w których najbardziej opłacalną strategią jest ujawnienie swoich rzeczywistych preferencji, jest przedmiotem jednego z działów teorii gier. Problemy głosowania przy użyciu informacji dokładniejszej niż porządkowa ilustruje następujący prosty przykład. Załóżmy, że w wyborach prezydenckich pomiędzy dwoma kandydatami wyborcy otrzymują po dziesięć punktów i mogą przyznawać je w dowolnej proporcji, w zależności od „intesywności” swoich preferencji względem kandydatów. Wówczas niezależnie od prawdziwej intensywności tych prefe

(15)

W efekcie problemy „intensywności” preferencji oraz ich „porównywalno

ści” pojawiają się w teorii głosowania rzadko. Niespełniony jest zazwyczaj któryś z aksjomatów Arrowa bądź przechodniość wyboru społecznego. W eko

nomii dobrobytu, teorii sprawiedliwości dystrybutywnej i innych dziedzinach zastosowania twierdzenia Arrowa sprawy mają się zazwyczaj odmiennie.

Główny cfężar problemu przenosi się w kierunku pomiaru intensywności preferencji i ich porównywalności.

Zakończenie: teorie aksjomatyczne w naukach społecznych

Pełne omówienie konsekwencji wyniku Arrowa w naukach społecznych nie jest możliwe w ramach jednego artykułu.Twierdzenie Arrowa jest jednym z najważ

niejszych wyników ekonomii dobrobytu i nazywane jest niekiedy jej „trzecim podstawowym twierdzeniem” (dwa pierwsze stanowią formalizację twierdzenia Adama Smitha (1976) o „niewidzialnej ręce rynku”). W tym kontekście znaczy to, że niemożliwe jest skonstruowanie numerycznej miary poziomu dobrobytu społecznego, będącej funkcją dobrobytu społecznego i spełniającej aksjomaty Arrowa. M iary takie, jak produkt krajowy brutto (PBK) nie spełniają założeń o porządkowym charakterze preferenq'i jednostkowych oraz ich nieporównywal- ności, a czasem również innych aksjomatów Arrowa (patrz Tabela 2).

W teorii sprawiedliwości dystrybutywnej z twierdzenia Arrowa wynika niemożliwość zaprojektowania systemu instytucji społecznych dokonującego

„sprawiedliwej” alokacji wytworzonych dóbr bez złamania założeń o informacji porządkowej i nieporównywalności. W psychologii do problemu Arrowa prowadzi przyjęcie założenia, że proces decyzyjny jednostki przebiega poprzez uszeregowanie alternatywy na różnych wymiarach i agregację tak otrzymanych rankingów. Pojawia się on nawet w dziedzinach tak odległych od nauk społecznych, jak ocena wyników zawodników w niektórych konkurencjach sportowych. Przy braku naturalnej miary porównań między dyscyplinami, jak w dziesięcioboju, ostateczna klasyfikacja zawsze oparta być musi o arbitralne założenia o porównywalności wyników.

Twierdzenie Arrowa wywarło podwójny wpływ na teorię wyboru społeczne

go. Po pierwsze, poprzez uniwersalność postawionego problemu i dobranych aksjomatów dostarczyło jej s z k i e l e t u p o j ę c i o w e g o . Aksjomaty U, P, I, D oraz założenie przechodniości są od czasu artykułu Arrowa uznawane powszechnie za „pożądane”, tzn. niespełnienie któregoś z nich jest zazwyczaj

rencji strategią dominującą (najlepszą z punktu widzenia celów wyborcy) jest oddać wszystkie punkty na bardziej preferowanego kandydata. W rezultacie prowadzi to do glosowania opartego de facto o informację porządkową: wszyscy przyznają swojemu kandydatowi dziesięć punktów, zaś

drugiemu zero.

(16)

traktowane jako defekt metody agregacji niezależnie od kontekstu jej użycia.

Założenia porządkowego charakteru preferencji indywidualnych oraz ich nie- porównywalności m ożna natomiast uznać za żądania „maksymalistyczne”.

Czasem możliwość pomiaru preferenq'i dokładniejszego niż porządkowy wyda

je się być realna, zaś przyjęcie pewnego stopnia ich porównywalności uzasad

nione. Wówczas do ustalenia istnienia lub nieistnienia metody agregacji 0 pożądanych właściwościach konieczne jest zastosowanie któregoś z twierdzeń

„przedłużających” stosowalność twierdzenia Arrowa na przypadki dokładniej

szego pomiaru i pewnej porównywalności preferencji. Cała plejada tych twierdzeń ogłoszonych w końcu lat siedemdziesiątych doprowadziła do głębo

kich zmian w ekonomii dobrobytu, określanych niekiedy mianem „rewolucji”

(Hammond 1985).

Po drugie, poszukiwanie „optymalnej” lub „racjonalnej” metody agregacji preferencji jednostkowych: metody głosowania, metody określania dobrobytu społecznego czy metody porównywania społeczeństw według kryterium spra

wiedliwości zostało zdefiniowane przez Arrowa w sposób formalny jako spełnienie określonego zbioru aksjomatów. Wyznaczyło to więc pewien s t a n d a r d zadawania podobnych pytań i odpowiadania na nie. W jego ramach rozpatrywany jest zbiór aksjomatów, które z osobna można uznać za pożądane 1 sprawdza się, czy mogą być spełnione jednocześnie. W przypadku odpowiedzi negatywnej następuje analiza „kosztów” niespełniania poszczególnych aks

jomatów. Koszt ten zależy od kontekstu sytuacji wyboru i czynników takich, jak: łatwość manipulacji, dostępność informacji dokładniejszej niż porządkowa, występowanie wzorów społecznych ograniczających profile preferencji jedno

stkowych. Ocena, która z metod jest w danej sytuacji właściwsza, zależy więc od dodatkowych zmiennych charakteryzujących tę sytuację. Zestawienie różnych przykładowych metod wyboru oraz aksjomatów, które nie są przez nie spełnione, podaje Tabela 2.

Praktycznie wszystkie wyniki teorii wyboru społecznego albo stanowią głos w dyskusji nad znaczeniem pojęcia racjonalności wyboru społecznego, albo dowodzą kolejnej „niemożliwości” agregacji informacji indywidualnej w społe

czną12. Inne formalne teorie aksjomatyczne stawiają sobie jednak inne pytania i inaczej na nie odpowiadają.

Teorie alokacji, wyboru społecznego i gier kooperacyjnych łączy stosowanie metody aksjomatycznej: precyzyjne zdefiniowanie badanych obiektów, przyję

cie aksjomatów określających pewne relacje wewnątrz zbioru tych obiektów i badanie ich konsekwencji na drodze dedukcyjnej13. Stawiane przez nie pytania obracają się w trójkącie: racjonalność - przewidywalność - sprawiedliwość.

12 Kelly w swojej monografii przedmiotu (1978) omawia około 50 najważniejszych twierdzeń

„o niemożliwości” .

13 Patrz LOŚ. Twierdzenie Arrowa omawiane jest często w ramach kursów logiki na wydziałach matematyki bądź filozofii.

(17)

TWIERDZENIE ARROWA: PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA METODY AKSJOMATYCZNEJ 89 Tabela 2. Najważniejsze metody wyboru społecznego oraz niespełniane przez nie

aksjomaty i założenia problemu Arrowa

Teoria Niespełniane aksjomaty lub założenia Metody agregacji Teoria

głosowania

Wykluczenie dyktatury Przechodniość

Niezależność od nieistotnych alternatyw Nieograniczona dziedzina

Dyktatura

Głosowanie większościowe Głosowanie częstośdowe, metoda Bordy, ordynacje wyborcze Głosowanie z prefe

rencjami unimodalnymi Ekonomia

dobrobytu

Pomiar porządkowy

nieporównywalność preferencji Jak wyżej oraz Pareto

♦Utylitaryzm (suma użyteczności)

♦Miary dochodu społecznego jak PKB Teoria targu Pomiar porządkowy ♦Rozwiązanie Nasha

* Gwiazdkami zaznaczono metody nie omówione w artykule

Oparcie na jednakowych fundamentach metodologicznych prowadzi do ich stopniowego przekształcania w jednolitą teorię normatywną, pozwalającą też formułować testowalne hipotezy. Pozwala to na odsłanianie zdumiewających niekiedy współzależności podzielanych przez procedury, metody czy schematy pochodzące z diametralnie na pozór różnych dyscyplin nauk społecznych.

Literatura

Arrow, K. 1951 (wyd. drugie popr. 1963). Social Choice and Individual Values.

New York: John Wiley.

Black, D. 1958. The Theory o f Committees and Elections. Cambridge: Cambrid

ge University Press.

Bonner, J. 1986. Introduction to the Theory o f Social Choice. Baltimore: Johns Hopkins University Press.

Brown, D.J. 1973. Acyclic Choice. New Haven: Cowles Foundation Discussion Paper, Yale University.

Brown, D.J. 1975. Aggregation o f Preferences. „Quarterly Journal of Econo

mics” 89:456-69.

Fishburn, P.C. 1970. Arrow’s Impossibility Theorem: Concise Proof and Infinite Voters. „Journal of Economic Theory” 2:103-106.

Gibbard, A.S. 1973. Manipulation o f Voting Schemes: A General Result.

„Econometrica” 41:587-602.

(18)

Hammond, P.J. 1985. Welfare Economics. W: George R. Feiwel (ed.) Issues in Contemporary Microeconomics and Welfare. Albany: State University of New York Press.

Kelly, J.S. 1978. Arrow Impossibility Theorems. New York: Academic Press.

Lalman, D ., J. Oppenheimer i P. Świstak. 1993. Formal Rational Choice Theory:

A Cumulative Science o f Politics. W: Ada W. Finifter (ed.) Political Science:

The State o f the Discipline II. Washington, D.C.: American Political Science Association. [Tłumaczenie polskie: w tym numerze „Studiów Socjologicz

nych” .]

Lissowski, G. 1983. Demokratyczne sposoby podejmowania decyzji. „Prak

seologia” 3-4:49-94.

Lissowski, G. 1986. Porównanie zasad sprawiedliwości dystrybutywnej. „Etyka”

22:153-81.

Lissowski, G. 1987. Opis statystyczny a wybór społeczny. „Studia Socjologicz

ne” 3-4 (106-107): 507-525.

Luce, R.D. 1956. Semiorders and a Theory o f Utility Discriminations. „Econo- metrica” 24:178-191.

Luce, R.D. i H. Raiffa. 1964. Gry i decyzje. Warszawa: PWN.

M acKay, A. 1980. Arrow’s Theorem. The Paradox o f Social Choice. A Case Study in the Philosophy o f Economics. New Haven and London: Yale University Press.

McKelvey, R.D. 1976. Intransitivities in Multidimensional Voting Models and Some Implications fo r Agenda Control. „Journal of Economic Theory”

12:472-82.

McKelvey, R.D. 1979. General Conditions fo r Global Intransitivities in Formal Voting Models. „Econometrica” 47:1085-1111.

McKelvey, R.D. 1990. Game Theoretic Models o f Voting in Multidimensional Issue Spaces. W: Game Theory and Applications. T. Ichiishi, A. Neyman i Y. Taum an, (eds) New York: Academic Press.

„M onitor Polski” . 1993. Warszawa, 4 październik, nr 50.

Mueller, D. 1989. Public Choice II. New York: Cambridge University Press.

Ordeshook, P. C. 1986. Game Theory and Political Theory. Cambridge Univer

sity Press.

Plott, Ch. 1967. A Notion o f Equilibrium and its Possibility Under Majority Rule” „American Economic Review” 57:787-806.

Plott, Ch. 1976. Axiomatic Social Choice Theory. „American Journal of Political Science” 20:511-596.

Riker, W. 1982. Liberalism Against Populism. A Confrontation Between the Theory o f Democracy and the Theory o f Social Choice. Illinois: Prospect Heights.

(19)

Satterthwaite, M. 1975. Strategy-Proofness and Arrow’s Conditions: Existence and Correspondence Theorems fo r Voting Procedures and Social Welfare Functions. „Journal o f Economic Theory” 10:187-217.

Schofield, N. 1978. Instability o f Simple Dynamic Games. „Review of Economic Studies” 45:575-594.

Sen, A.K. 1970. Collective Choice and Social Welfare. New York: North Holland.

Sen, A.K. 1977. On Weights and Measures: Information Constraints in Social Welfare Analysis. „Econometrica” 45:1539-72.

Shubik, M. 1982. Game Theory in the Social Sciences. Cambridge, Mass.: MIT Press.

Smith, A. 1976 [1776]. An Inquiry into the Nature and Causes o f the Wealth o f Nations. Ed. R.H. Cambpell, A.S. Skinner i W.B. Todd. Oxford:

Clarendon Press.

Taagepera, R. i M.S. Shugart. 1989. Seats and Votes. The Effects and Determinants o f Electoral Systems. New Haven: Yale University Press.

Thomson W. i T. Lensberg. 1992. The Theory o f Bargaining with a Variable Number o f Agents. New York: Cambridge University Press.

Tversky, A. 1969. Intransitivity o f Preferences. „Psychological Review” Vol.

76:31-48.

Von Neumann, J. i O. Morgenstern. 1944 (2d ed. 1947). Theory o f Games and Economic Behavior. New York: Wiley.

Young, H.P. 1994. Equity. In Theory and Practice. Princeton: Princeton U niversity Press.

Arrow’s theorem: an example of the application of the axiomatic method in the social sciences

Summary

Focusing on general models of social choice this paper points to advantages of axiomatic formulations of theories. Axiomatization used in Arrow’s Theorem, one of the most im portant findings of social choice theory, is discussed in some detail and serves as an example. Next, cases taken from voting theory show what happens when different Arrow’s axioms are not satisfied. Finally, an analysis of the 1993 parliamentary elections in Poland shows how the use of slightly different voting rules might have led to dramatically different electoral outcomes.

(20)

Теорема Эрроуа: Пример применения аксиоматического метода в общественных науках

Резюме

В статье обсуждается использование формальной теории аксиом при формулировке общих моделей группового выбора. В качестве иллюстрации выступила теорема Эрроуа, одно из важнейших достижений теории группового выбора. Результаты невыполнения различных аксиом указаны на примерах из теории голосования. Значительные различия между результатами применения кажется не отличающихся друг от друга методов группового выбора иллюстрируются примерами из парламентарных выборов 1993 года.