17.1.2019, kl 1b Funkcje
Definicja. Jeśli każdemu elementowi zbioru x przyporządkowany został dokładnie jeden element y zbioru Y , to mówimy, że zostało zdefiniowane przekształcenie (inaczej, funkcja) ze zbioru X do zbioru Y . Jeśli przekształ- cenie oznaczymy przez f , to w powyższej sytuacji możemy napisać f : X → Y .
(i) Element przyporządkowany przez przekształcenie f : X → Y elementowi a ∈ X oznaczamy przez f (a).
Mówimy, że f (a) jest wartością przekształcenia f w punkcie a ∈ X. Możemy napisać: a 7→ f (a).
(ii) X nazywamy dziedziną, zaś Y — przeciwdziedziną przekształcenia f : X → Y . (iii) Dla A ⊂ X definiujemy obraz zbioru A przy przekształceniu f jako
−
→f (A) = {f (x) : x ∈ A}1
Zbiór−→
f (X) nazywamy obrazem przekształcenia f : X → Y lub zbiorem wartości funkcji f : X → Y . (iv) Przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y przy przekształceniu f : X → Y nazywamy zbiór
←−
f (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}2
(v) Wykresem przekształcenia f nazywamy zbiór {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y . Przekształcenie jest zatem szczególnym przypadkiem relacji.
(vi) Mówimy, że f jest różnowartościowa, jeśli różnym argumentom x1, x2∈ X (x16= x2) przypisane są różne wartości, tj. f (x1) = f (x2) =⇒ x1= x2. Piszemy wówczas f : X−−→ Y .1−1
(vii) Mówimy, że f jest „na”, jeżeli dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X, że f (x) = y.
(viii) Przekształcenie f : X → Y , które jest jednocześnie różnowartościowe i „na” nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Używa się też określeń injekcja (odpowiednio, surjekcja, bijekcja) na prze- kształcenie różnowartościowe (odpowiednio, „na”, wzajemnie jednoznaczne).
W odniesieniu do przekształceń o wartościach liczbowych, np. f : X → R, zwykle mówimy o funkcjach. Funkcje f : N → R nazywane są ciągami liczbowymi.
Zadanie 1. Który z poniższych diagramów przedstawia funkcję:
2• // 4•
5• // 7•
8•
FF
11•
1• // 7•
2• 6•
3•
>>|
||
||
||
|
2•
D!!D DD DD DD 11•
4•
z==z zz zz zz
D!!D DD DD DD 9•
8• // 7•
2•
111 1111 1111 111 5•
5•
>>|
||
||
||
| 6•
8•
>>|
||
||
||
| 7•
0•
+++
++++
++++
++++
++++
++ a•
1•
B B BB BB BB b•
3•
>>|
||
||
||
| c•
4•
FF
d•
0•
+++
++++
++++
++++
++++
++ a•
1•
>>|
||
||
||
| b•
3•
>>|
||
||
||
| c•
4•
>>|
||
||
||
| d•
Zadanie 2. Dla przekształceń f : {0, 1, 3, 4} → {a, b, c, d} zaprezentowanych na diagramach poniżej znajdź−→
f ({0, 3}),
−
→f ({1, 3, 4}), ←−
f ({a}), ←−
f ({a, b}),←−
f ({b, d}). Które z nich jest różnowartościowe, „na”, wzajemnie jedno- znaczne?
Zadanie 3. Niech f : X → Y , A1, A2⊂ X, B1, B2⊂ Y . Czy prawdą jest, że (a) −→
f (A1∪ A2) =−→
f (A1) ∪−→
f (A2),−→
f (A1∩ A2) =−→
f (A1) ∩−→
f (A2),−→
f (A1\ A2) =−→
f (A1) \−→ f (A2),
1Zwykle obraz−→
f (A) jest oznaczany przez f (A).
2Często zbiór←−
f (B) oznaczany jest przez f−1(B).
(b) ←−
f (A1∪ A2) =←−
f (A1) ∪←−
f (A2),←−
f (B1∩ B2) =←−
f (B1) ∩←−
f (B2),←−
f (B1\ B2) =←−
f (B1) \←− f (B2), (c) ←−
f (−→
f (A1)) = A1,−→ f (←−
f (B1)) = B1?
Zadanie 4. Czy prawdą jest, że jeśli przekształcenie f : X → Y spełnia−→
f (X) = Y i←−
f (Y ) = X, to f jest wzajemnie jednoznaczne?
Definicja. Złożeniem przekształceń f : X → Y , g : Y → Z nazywamy przekształcenie h : X → Z takie, że h(x) = g(f (x)). Piszemy h = g ◦ f .
Zadanie 5. Wykazać, że (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) dla dowolnych przekształceń f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → W . Definicja. Przekształcenie f : X → X nazywa się identycznością na X, jeśli dla każdego x ∈ X mamy f (x) = x.
Jeśli b jest ustalonym elementem zbioru Y i f (x) = b dla każdego x ∈ X, to f nazywamy przeksztalceniem stałym.
Definicja. Przekształcenie g : Y → X nazywa się odwrotnym do f : X → Y (oznaczenie, g = f−1), jeśli g ◦ f = idX i f ◦ g = idY. Piszemy f2= f ◦ f , f3= f ◦ f ◦ f , fn+1= fn◦ f dla n = 1, 2, . . ..
Definicja. Dla przekształcenia f : X → Y i podzbioru X0 ⊂ X definiuje się funkcję f |X0 : X0 → Y zwaną obcięciem przekształcenia f do podzbioru X0, f |X0(x) := f (x) dla x ∈ X0.
Zadanie 6. Czy prawdą jest, że jeśli dla przekształceń f : X → Y i g : Y → X mamy g ◦ f = idX, to g = f−1. A jeśli dodatkowo założymy, że f jest „na”?
Zadanie 7. Wykazać, że przekształcenie f : X → Y ma przekształcenie odwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy f jest wzajemnie jednoznaczne.
Zadanie 8. Rozważamy funkcję f : R \ {−1} → R \ {1},
f (x) =x − 2 x + 1.
Czy f jest wzajemnie jednoznaczna? Jeśli tak, to znajdź wzór na f−1. Zadanie 9. Dana jest funkcja f : R \ {0} → R, f (x) = ||x| − 2| − 2. Znajdź zbiory←−
f ({0}),←−
f ([−1, 1]), −→ f ((0, 1]).
Zadanie 10. Funkcja f : R → R dana jest wzorem f (x) = x − [x]. Znajdź zbiory−→
f ([54,2512]) i←− f ({34}).
Zadanie 11. Funkcje f : R2→ R i g : R → R są określone wzorami3
f (x, y) = x + y, g(t) = |t|.
Wyznacz funkcję h = g ◦ f . Znajdź i naszkicuj na płaszczyźnie zbiór←− h ((0, 1]).
Zadanie 12. Udowodnij, że przekształcenie f : R2→ R2 dane wzorem f (x, y) = (x + y, x − y)
jest wzajemnie jednoznaczne. Narysuj przeciwobraz i obraz kwadratu [k × k + 1] × [l, l + 1] przy przekształ- ceniu f , gdzie k, l są ustalonymi liczbami całkowitymi.
Zadanie 13. Zbadaj czy przekształcenie f : R2→ R2 określone wzorem f (x, y) = (x + y2, y + x2) jest różnowartościowe i czy jest „na”.
3R2= R × R. Ogólnie, An= A × A × . . . × A (n razy).
2
