14.2.2019, kl 1b Funkcje - ciąg dalszy Rozważamy funkcje f określone na pewnym zbiorze X o wartościach rzeczywistych. Definicja. Funkcję f : X → R nazywamy ograniczoną z góry, jeśli ∃

14.2.2019, kl 1b Funkcje - ciąg dalszy

Rozważamy funkcje f określone na pewnym zbiorze X o wartościach rzeczywistych.

Definicja. Funkcję f : X → R nazywamy ograniczoną z góry, jeśli ∃M ∈R∀x∈Xf (x) ¬ M . Podobnie, f jest ograniczona z dołu, jeśli funkcja −f jest ograniczona z góry. Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ograniczona z góry i z dołu. Zerami funkcji f : X → R nazywamy takie punkty x ∈ X, że f (x) = 0.

Rozważamy teraz takie funkcje f : X → R, których dziedzina X jest podzbiorem zbioru R.

Piszemy f : R ⊃ X → R.

Definicja. Funkcja f : R ⊃ X → R jest

(i) rosnąca, jeśli x₁ < x₂ =⇒ f (x₁) < f (x₂);

(ii) niemalejąca, jeśli x₁ < x₂ =⇒ f (x₁) ¬ f (x₂);

(iii) malejąca, jeśli −f jest rosnąca;

(iv) nierosnąca, jeśli −f jest niemalejąca.

Funkcja f jest monotoniczna (odpowiednio, ściśle monotoniczna), jeśli jest niemalejąca lub nierosnąca (odpowiednio„ rosnąca lub malejąca). Przedział monotoniczności oznacza przedział, na którym funkcja jest monotoniczna.

Definicja. Niech dziedziną funkcji f będzie taki podzbiór X ⊂ R, że x ∈ X =⇒ −x ∈ X.

Funkcję f : R ⊃ X → R nazywamy

1. parzystą, jeśli f (−x) = f (x) dla każdego x ∈ X;

2. nieparzystą, jeśli f (−x) = −f (x) dla każdego x ∈ X.

Zadanie 1. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji (a) f (x) = |x + 3| − |x − 1|,

(b) f (x) = |4 − 5x| + |1 − 3x| + 2x + 4,

Wyznacz zera tych funkcji. Czy podane funkcje są ograniczone z góry? A z dołu?

Zadanie 2. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji (a) f (x) = _1+x¹ 2,

(b) f (x) = _1+x^x 2, (c) f (x) = _x2+x+1^x2 .

Zadanie 3. Sprawdź, czy podane funkcje są parzyste, czy są nieparzyste:

(a) f (x) = ^x_x²4^+|x|−16, (b) f (x) = _x^x·|x|3+x,

(c) f (X) = sgn(x) · |x|,

(d) f (x) = ^|x−2|_x+1 + ^|x+2|_x−1 .

Zadanie 4. Niech f (x) = ||x − 1| − 1|. Narysuj wykresy funkcji f (x + 3), f (x − 2), f (x) + 3, f (−x),

−f (x), f (2x), ¹₂f (x), f (|x − 1|).

Zadanie 5. Znajdź wszystkie funkcje różnowartościowe f : R → R takie, że dla każdego x ∈ R spełniony jest warunek

f (x · f (x)) = f (x²).

Zadanie 6. Znajdź wszystkie funkcje f : [0, 1] → [0, 1] takie, że dla dowolnych x, y ∈ [0, 1]

|f (x) − f (y)| ­ |x − y|.

Zadanie 7. Niech f (x) = |4 − 4|x|| − 2. Ile rozwiązań ma równanie f (f (x)) = x?

Zadanie 8. Dane są funkcje f, g : [0, 1] → R. Udowodnij, że dla pewnych x, y ∈ [0, 1]

|xy − f (x) − g(y)| ­ 1 4.

Zadanie 9. Uzasadnij, że dowolna funkcja f : R → R jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej.

Zadanie 10. Funkcja f : R → R spełnia dla każdego x ∈ R równość f (x + 1) − f (x) = 2x + 1

oraz |f (x)| ¬ 1 dla x ∈ [0, 1]. Wykazać, że f (x) ¬ x²+ 2 dla każdego x ∈ R.

2