29.11.2018, kl 1b Działania na zbiorach.
Symbol x ∈ A oznacza, że x jest elementem zbioru A. Podstawowe operacje na zbiorach:
• suma zbiorów A i B: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
• część wspólna (przecięcie) zbiorów A i B: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B},
• różnica: A \ B = {x : x ∈ A ∧ x 6∈ B},
• różnica symetryczna: A4B = A \ B ∪ B \ A.
Jeśli każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B, to mówimy, że A jest podzbiorem zbioru B, co oznaczamy pisząc A ⊂ B. Jeśli A ⊂ X, to dopełnieniem zbioru A w X jest zbiór A0:= X \ A.
Zadanie 1. Sprawdź, że
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(c) A \ (A \ B) = A ∩ B,
(d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), (e) A4(B4C) = (A4B)4C, (f) A ∪ B = A4B4(A ∩ B).
Zadanie 2. A1, . . . , An, B1, . . . , Bn są zbiorami. Uzasadnij, że
(a) (A1∪ A2∪ . . . ∪ An) \ (B1∪ . . . ∪ Bn) ⊂ (A1\ B1) ∪ . . . ∪ (An\ Bn), (b) (A1∪ A2∪ . . . ∪ An)4(B1∪ . . . ∪ Bn) ⊂ (A14B1) ∪ . . . ∪ (An4Bn).
Zadanie 3. Udowodnij, że zbiór A14A24 . . . 4Anjest zbiorem dokładnie tych elementów, które należą do nieparzystej liczby spośród zbiorów A1, A2, . . . , An.
Zadanie 4. Dane są zbiory A oraz B1, B2, . . . , Bn. Udowodnij, że
A ∩ B1∩ B2∩ . . . ∩ Bn= A \ ((A \ B1) ∪ (A \ B2) ∪ . . . ∪ (A \ Bn)) .
Sumy i przecięcia nieskończone. W matematyce często rozważamy nieskończone sumy i nieskończone przecięcia zbiorów:
∞
[
i=1
Ai= {x : ∃i∈Nx ∈ Ai},
∞
\
i=1
Ai= {x : ∀i∈Nx ∈ Ai},
gdzie A1, A2, A3, . . . są zbiorami. Nieco ogólniej, dla rodziny zbiorów At, t ∈ T , parametryzowanej zbiorem indeksów T , rozważa się zbiory ∩t∈TAti ∪t∈TAt.
Przedziały liczbowe.
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b) = {x ∈ R : a ¬ x < b}, (a, +∞) = {x ∈ R : a < x}, [a, +∞) = {x ∈ R : x a}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ¬ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ¬ b}.
Zadanie 5. Wyznacz
\
n∈N
(−1 n, 1 + 1
n), [
n∈N
(−1 n, 1 + 1
n).
Zadanie 6. Niech An= {n2, n2+ 2, n2+ 4, n2+ 6, . . . , n2+ 4n + 2}. Znajdź ∪n∈NAn.
Zadanie 7. Niech Am,n= (m2, m2+ 2m + n2), gdzie m, n są pewnymi liczbami naturalnymi. Znajdź zbiory [
m∈N
\
n∈N
Am,n, \
m∈N
[
n∈N
Am,n.
