22.1.2019, kl 1b
Przygotowanie do sprawdzianu nr 4 Zadanie 1. Rozwi¡» równania i nierówno±ci:
(a)|2x − 4| = 3x − 1, (b)|x − 3| < |x| + 2, (c)|x − 3| − |x − 2| + 3|x − 1| − 3|x| = 4 − x.
Zadanie 2. Naszkicuj zbiór {(x, y) ∈ R × R : ||x − 2| + 3y| < |x + 4|}, Zadanie 3. Rozwi¡» równanie
5x + 6 4
=3x − 1
2 , x ∈ R.
Zadanie 4. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb a, b1, b2, . . . , bn zachodzi nierówno±¢
|a + b1+ b2+ . . . + bn| |a| − |b1| − |b2| − . . . − |bn|.
Zadanie 5. Na zbiorze Z × Z de niujemy relacj¦ R:
(k, l)R(k0, l0) ⇐⇒ |k| + |l| = |k0| + |l0|.
Wyka», »e R jest relacj¡ równowa»no±ci i rozstrzygnij, czy istnieje klasa równowa»no±ci relacji R maj¡ca dokªadnie 2018 elementów.
Zadanie 6. Rozwa»amy równanie
{x[x{x}]} = a, (1)
gdzie a jest ustalon¡ liczb¡.
(a) Znajd¹ rozwi¡zanie x ∈ (3, 4) równania (1) dla a = 23.
(b) Wyka», »e rozwi¡za« x ∈ R równania {x[x{x}]} = 23 jest niesko«czenie wiele.
(c) Wyka», »e dla dowolnego a ∈ (0, 1) równanie (1) ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
Zadanie 7. Jaka jest pierwsza cyfra liczby 72019? Prosz¦ zadanie rozwi¡za¢ bez pomocy urz¡dze« elektronicznych.
Wykorzysta¢ fakt, »e 60
71= 1
1 + 1
5 + 1 2 + 1
5
< log 7 < 1
1 + 1
5 + 1
2 + 1 5 +1
6
=371 439
Zadanie 8. Ile jest relacji symetrycznych na zbiorze n elementowym?
Zadanie 9. Rozwi¡za¢ nierówno±¢
8 − 5x 2 − log1
2 x> 0.
Zadanie 10. Rozwi¡za¢ nierówno±¢
1
3x+ 5 < 1 3x+1− 1. Zadanie 11. Niech f : R × R → R × R dane b¦dzie wzorem
f (x, y) = (x + |y|, y − |x|).
(a) Wyznacz przeciwobraz prostej y = x wzgl¦dem przeksztaªcenia f.
(b) Rozstrzygnij, czy f jest ró»nowarto±ciowa i czy jest na.
