LISTA 39 Zadanie 1.
Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 4. Jaka powinna być różnica tego ciągu, aby suma kwadratów drugiego i szóstego wyrazu była najmniejsza?
Zadanie 2.
Dane są punkty 𝐴 = (−2, −3) i 𝐵 = (4, 1) oraz prosta 𝑘 o równaniu 5𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0. Na prostej 𝑘 znajdź punkt 𝐶 równo oddalony od punktów 𝐴 i 𝐵. Oblicz pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
Zadanie 3.
Trójkąt o bokach 10, 17 i 21 obraca się wokół najdłuższego boku. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły.
Zadanie 4.
Trapez równoramienny opisany jest na okręgu o promieniu 1. Pole trapezu wynosi 5. Znajdź długość ramienia trapezu. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu z trapezem.
Zadanie 5.
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 𝑛 > 3 zachodzi nierówność: 𝑛2> (𝑛+2𝑛 ) . Zadanie 6.
Dany jest układ równań: {𝑚𝑥 + (2𝑚 + 1)𝑦 = 𝑚
−𝑥 + 𝑚𝑦 = 2𝑚 . Zbadaj liczbę rozwiązań tego układu w zależności od parametru 𝑚. Dla jakich wartości 𝑚 układ ten jest spełniony przez parę liczb nieujemnych?
Zadanie 7.
Sporządź wykres funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ |𝑠𝑖𝑛𝑥|, dla 𝑥 ∈ 〈−5
2𝜋, 5
2𝜋〉.
Zadanie 8.
Niech 𝑓(𝑥) =𝑝𝑥−𝑞𝑥−𝑟 . Wyznacz liczby 𝑝, 𝑞 i 𝑟, jeśli wiadomo, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z wykresu funkcji 𝑦 =1
𝑥 w wyniku translacji o wektor 𝑣⃗ = [1, 3]. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu współrzędnych.
Zadanie 9.
Dane jest wyrażenie 𝑤 = 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 1) + 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 + 1) − 𝑙𝑜𝑔√2
2
(7 − 𝑥). Określ dla jakich 𝑥 to wyrażenie ma sens. Wyznacz te wartości 𝑥, dla których 𝑤 = 1.
Zadanie 10.
Dany jest zbiór 𝑊 wielomianów postaci 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 przyjmują wartości ze zbioru {−1, 0, 1} oraz 𝑎 ≠ 0. Ze zbioru 𝑊 losujemy jeden wielomian. Oblicz prawdopodobieństwo, że jednym z jego pierwiastków jest 𝑥 = 1.
