Energia potencjalna układu dwóch ładunków punktowych

Energia potencjalna układu dwóch ładunków punktowych

r

₁

r

₂

r

₁₂

Q

₁

Q

₂

Budujemy układ dwóch ładunków punktowych w „pustej” przestrzeni:

1. Wprowadzenie pierwszego ładunku Q₁ nie wymaga wykonania pracy.

2. Wprowadzenie drugiego ładunku Q₂ wymaga wykonania pracy:

 

 



 −

=

⋅

−

=

∫

∞

∞

r r

Q s Q

d F W

r

r

1 1

4

_{0 12}

2

12 1

r πε r

12 2 1

4

0

1

r Q E

_p

Q

= πε

⇒

→

∞

1 0

r - energia potencjalna układu

dwóch ładunków

Elektrostatyczna energia potencjalna układu trzech ładunków punktowych

r

₁

r

₂

r

₃

r

₂₃

r

₁₃

Q

₁

Q

₂

Q

₃

Np. wprowadzamy kolejny ładunek Q₃. Praca wykonana przy sprowadzeniu ładunku Q₃ wynosi:

( )

∫ ∫

∞ ∞

⋅ +

−

=

⋅

−

=

³ ₃ ³ _{13 23}

3

r

r

r

r

s d F

F s

d F

W r r r r r

∫

∫

∞

∞

⋅

−

⋅

−

=

³ ₁₃ ³ ₂₃

3

r

r r

r

s d F

s d F

W r r r r

23 3 2 0 13

3 1 0 12

2 1

0

4

1 4

1 4

1

r Q Q r

Q Q r

Q E

_p

Q

πε πε

πε ^{+ +}

Stąd =

Elektrostatyczna energia potencjalna układu wielu ładunków punktowych

∑∑

≠

=

^N

j k j jk k

p

r

j

Q E Q

2 1

Np. elektrostatyczna energia potencjalna liniowego kryształu złożonego z jonów

Na

⁺

i Cl

^-

a

2 4 ln

2

0 2

a E

_p

e

− πε

=

 =



 



 − + − + −

= ...

4 2 3

2 2

2 1

2 4

1

²

0

a E

_p

e

πε ^{− } _ ^{ − + −} 4 ^{− ... } _ ^ 1

3 1 2

1 1 4

2

²

0

a e πε

Na

⁺

Cl

⁺

Na

⁺

Cl

⁺

Na

⁺

Cl

⁺

Na

⁺

Cl

⁺

Na

⁺

Cl

⁺

Elektrostatyczna energia ładunków. Kula jednorodna.

const ρ =

r dQ dW Q

dE

_p ^r

4

0

1

= πε

=

+ r

R a

dr

ρ

dQ

3

3 4 r

Q

_r

= ρ ⋅ π dQ = ρ ⋅ 4 π r

²

dr

0 4 2

3 4

ε

πρ r dr dE

_p

=

0 5 2

0 4 0

2

15 4 3

4

ε πρ ε

πρ a

dr r

E

a

p

= ∫ = 3

³

4 a Q = ρ ⋅ π

, ale

a E

_p

Q

0 2

4 5 3

= πε

Energia w polu elektrostatycznym.

cała przestrzeń

Dla ciągłego rozkładu

ładunku:

( ) ( )

∫

=

V

p

dV dV

E r

_{1 2}

12

4

0

2 1

2 1

πε ρ

∑∑ ρ

≠

=

^N

j k j jk k

p

r

j

Q E Q

2 1

( ) ( )

∫ ⁼

V

r dV 1 4

2

2

12 0

πε ϕ

ρ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ^{1 ,} ϕ ^{1 ,} ρ ^{2 ,} ϕ ²

gęstość ładunku i potencjał pola w punktach (1) i (2)

( ) ( )

∫

=

V

p

dV

E 1 1

₁

2

1 ρ ϕ

Ponieważ nie zależy od punktu (2) możemy zapisać:

∫

=

V

p

dV

E ρϕ

2 1

cała przestrzeń

Równanie Poissona.

ϕ

∇

−

= E

ε

0

= ρ

⋅

∇ E r r ⇒

ε

0

ϕ = ρ

∇

⋅

∇ r r

∆

≡

∇

=

∇

⋅

∇ r r r

²

2 2 2

2 2

2

z y

x ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆

operator Laplace’a

r r

Twierdzenie Gaussa:

ε

0

ϕ = − ρ

∆ Równanie Poissona

= 0

∆ ϕ Równanie Laplace’a

Jeżeli ρ = 0 to

Energia w polu elektrostatycznym cd.

∫ ^∇

−

=

V

p

dV

E ε

₀

ϕ

₂

ϕ 2

r

 



 



∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

^{2 2}₂ ²₂ ²₂

z y

x

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ^r

gdzie

2 2 2

 

 





∂

− ∂

 

 





∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂

− ∂

 

 





∂

∂

∂ + ∂

 

 





∂

− ∂

 

 





∂

∂

∂

= ∂

z z

z y

y y

x x

x

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

2 2 2

x x x

x ∂

+ ∂

 

 





∂

= ∂

 

 





∂

∂

∂

∂ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

( ^{ϕ ∇ ϕ} ) ( ) ( ) ^{− ∇ ϕ ⋅ ∇ ϕ}

⋅

∇

= r r r r

ale

( ) ( ) ∫ ( )

∫ ^{∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇}

=

V V

p

dV dV

E ε r ϕ r ϕ ε r ϕ r ϕ 2

2

0 0

Energia w polu elektrostatycznym cd.

( ) ^dV ( ) ^{n da}

V S

r r r

r ⋅ ∇ = ∇ ⋅

∫ ∇ ^{ϕ ϕ} ∫ ^{ϕ ϕ}

Z twierdzenia Gaussa:

( ) ( ) ∫ ( )

∫ ^{∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇}

=

V V

p

dV dV

E ε r ϕ r ϕ ε r ϕ r ϕ 2

2

0 0

Szacujemy całkę powierzchniową, gdy

S → ∞

( ) ( ) ∫

∫ ^{∇ ⋅ ∇ = ⋅}

=

V V

p

dV E E dV

E r r r r

2 2

0

0

ϕ ϕ ε

ε

cała przestrzeń

1 ,

∝ R

ϕ 1 ,

R

2

E ∝

=

∇ r ϕ r _{S ∝ R}

²

_,

(Wszystkie ładunki znajdują się w skończonej odległości, całkujemy po powierzchni kulistej)

( )

∫ ^{∇ ⋅ ∇ →}

V

dV 0 ϕ

ϕ ^r

r

Gęstość energii pola elektrostatycznego

( ) ( ) ∫

∫ ^{∇ ⋅ ∇ = ⋅}

=

V V

p

dV E E dV

E r r r r

2 2

0

0

ϕ ϕ ε

ε

0 2

2 E e

_p

₌ ε

Każdy element objętości dV=dxdydz zawiera w polu elektrycznym energię:

gęstość energii pola elektrostatycznego

Energia potencjalna ładunku punktowego a siła działająca na ten ładunek

( ) r d r Q E ( ) r d r Q ( ) r F

W E

R R

p

∫ r r r ∫ r r r ϕ r

∞

∞

=

⋅

−

=

⋅

−

=

=

( ) ^{r Q E} ( ) ^{r Q} ( ) ^{r Q} ( ) ^{r E} ( ) ^r

F ^r r = ^r r = − ∇ ^r ϕ r = − ∇ ^r ϕ r = − ∇ ^r

_p

r

( ) ^{r E} ( ) ^r

F r r = − ∇ r

_p

r