• Nie Znaleziono Wyników

Pokaż, że szeregP∞n=1an jest zbieżny bezwzględnie

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pokaż, że szeregP∞n=1an jest zbieżny bezwzględnie"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

#8. Zadania z analizy IB, ćwiczenia 09/10.12, kolokwium 07.12 1. Wykaż, że ciąg an= sin n nie dąży do zera.

2. Szeregi Pn=1an oraz Pn=1 bn są zbieżne bezwzględnie. Pokaż, że szereg Pn=1cn, gdzie cn=p|anbn| jest zbieżny.

3. Wiadomo, że szereg Pn=1n2anjest zbieżny. Pokaż, że szeregPn=1an jest zbieżny bezwzględnie.

4. Podaj przykład zbieżnego szereguPn=1an, takiego że szeregPn=1a2njest rozbież- ny.

5. Pokaż, że jeśli szereg Pn=1an o nieujemnych wyrazach jest rozbieżny, to i szereg P

n=1 an

1+an jest rozbieżny.

6. Ciąg {an} ma następującą własność: Dla każdego ciągu liczb sn ∈ {−1, 1} szereg P

n=1snanjest zbieżny. Pokaż, że szereg Pn=1anjest bezwzględnie zbieżny.

7. Zbadaj zbieżność szeregów

X

n=1

1/2 n

!

qn, (q > 0)

X

n=1

1/2 n

!2

,

X

n=2

logn+1n−1

√n ,

X

n=1

n+1 n

n2

3n . 8. Udowodnij, że

X

n=1

n2+ n + 1 −√

n2− n + 1 n log2n < ∞.

9. Udowodnij, że limx→0 arc sin xx = 1, a następnie pokaż, że Pn=1arc sinn1 = ∞.

10. Dla x ∈ R \ {2kπ : k ∈ Z} udowodnij wzór 1

2+

n

X

k=1

cos kx = sin(n +12x) 2 sinx2 .

11. Udowodnij, że podane szeregi mają ograniczone sumy częściowe:

X

n=1

cos n,

X

n=1

sin(2n − 1),

X

n=1

(−1)n+1sin n,

X

n=1

(−1)n+1sin2n.

12. Udowodnij, że podane szeregi są zbieżne:

X

n=1

cos nx log n ,

X

n=1

(−1)n+1sin n n ,

X

n=1

(−1)n+1sin2n

√n ,

X

n=1

(−1)n+1sin2n log(1+1 n).

13. Dane są zbieżne ciągi {an} i {bn}, przy czym ten drugi jest jeszcze monotoniczny.

Korzystając z kryterium Abela, udowodnij, że szeregi

X

n=1

(an+1− an)bn,

X

n=1

(an+1− an)b2n są zbieżne.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Szereg majoryzuje się szeregiem geometrycz-

będzie ciągiem niezależ- nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze skończoną wartością oczekiwaną i skończoną,

[r]

Znajdź minimum tej

Odpowiedź: Podany szereg jest

598. Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność.. musi być zbieżny, a przy tym szereg spełniający podany warunek istnieje).

Ósemką nazywamy sumę dwóch okręgów zewnętrznie stycznych, stosunek promieni których jest równy 13 19.. Zbiór E jest sumą pewnej rodziny parami

Granicę tę oznacza się