Programowanie liniowe – metoda sympleks

Programowanie liniowe – metoda sympleks

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

13. wykład z algebry liniowej Warszawa, stycze ´n 2018

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 / 12

Metoda sympleks

Twórca– George Dantzig, USA 1947 rok

Cel: rozwi ˛azywanie zadania programowania liniowego okre ´slonego w postaci standardowej

f (x₁, . . . ,x_n) =c₁x₁+ · · · +c_nx_n→ min (f –funkcja celu) przy warunkach

U :







a₁₁x₁+ · · · +a_1nxn =b₁ ... . .. ... ... a_m1x_m1+ · · · +amnxn =bm

, x₁≥ 0, . . . , xn≥ 0, gdzie bi ≥ 0 dla i = 1, . . . , m. W skrócie :

Min{c^>· x : Ax = b, x ≥ 0}, gdzie A =







a₁₁ · · · a_1n ... . .. ... a_m1 · · · a_mn





,

 b₁ ..

 

x₁ ..

 

c₁ ..



Schemat przeszukiwania: Zaczynaj ˛ac od pewnego rozwi ˛azania bazowego dopuszczalnego, przechodzimy kolejno do innych rozwi ˛aza ´n rozwi ˛aza ´n bazowych dopuszczalnych, w ka˙zdym kroku zast ˛epuj ˛ac jeden element zbioru bazowego innym, dopóki da si ˛e pomniejsza´c warto´s´c funkcji celu f .

Interpretacja geometryczna: Rozwi ˛azania bazowe dopuszczalne = wierzchołki zbioru dopuszczalnego X .

Wymiana jednego elementu w zbiorze bazowym = przej´scie do s ˛asiedniego ( tzn. poł ˛aczonego kraw ˛edzi ˛a) wierzchołka X . W˛edrówk˛e po wierzchołkach ko ´nczymy w wierzchołku ”najni˙zszym” w sensie funkcji celu f .

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 3 / 12

Przykład (Szczegóły metody sympleks ) Szukamy najwi ˛ekszej warto´sci funkcji

g(x₁,x₂,x₃,x₄,x5) =16x₁+10x₂+x₃, przy ograniczeniach : x₁+x₃=2

x₂+x₄=3 x₁+x₂+x₅=4 x₁≥ 0, . . . , x5≥ 0

Sprowadzamy problem do postaci standardowej zast ˛epuj ˛ac maksymalizacj ˛e funkcji g minimalizacj ˛a funkcji

f (x₁,x₂,x₃,x₄,x5) = −16x₁− 10x₂− x₃. Inaczej mo˙zna to zadanie zapisa´c w postaci f (x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) = −16x₁− 10x₂− x₃→ min przy

Ax = b, x ≥0, gdzie A =





1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1



,x =









 x₁ x₂ x₃ x









 ,b =



 2 3 4





Przykład (cd)

Macierz ˛a rozszerzon ˛a układu jest:





1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 3 1 1 0 0 1 4



Widzimy st ˛ad, ˙ze wybieraj ˛ac jako zmienne bazowe (zale˙zne) x₃,x₄,x5mamy rozwi ˛azanie ogólne postaci:

U₁:







x₃=2 −x₁ x₄=3 −x₂ x5=4 −x₁ −x₂

Pocz ˛atkowym wektorem bazowym dopuszczalnym jest

(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) = (0, 0, 2, 3, 4), zbiór bazowy to {3, 4, 5}. Wyra˙zamy funkcj ˛e celu f przy pomocy zmiennych wolnych x₁,x₂:

f (x ) = −16x₁−10x₂−x₃= −16x₁−10x₂−(2−x₁) = −2−15x₁−10x₂. Dla pocz ˛atkowego rozwi ˛azania bazowego dopuszczalnego warto´s´c f wynosi −2 (bo x₁=x₂=0). Czy mo˙zemy j ˛a polepszy´c (tj.

pomniejszy´c)? Tak, powi ˛ekszaj ˛ac x₁albo x₂.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 5 / 12

Przykład (cd)

Wybieramy wi ˛ec x₁jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a (kierujemy si ˛e tym, ˙ze współczynnik przy x₁w zapisie f jest ”najbardziej” ujemny - to reguła heurystyczna(=intuicyjna), a nie ´sci´sle uzasadniona).

Musimy równie˙z okre´sli´c, która ze zmiennych x₃,x₄,x₅przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a. Wybór jest zdeterminowany przez to, by nowe rozwi ˛azanie bazowe było dopuszczalne (tzn. nie pojawiły si ˛e ujemne warto´sci zmiennych).

Reguła jest nast ˛epuj ˛aca: spo´sród dotychczasowych zmiennych bazowych (=zale˙znych) wybieramy t ˛e, w której dotychczasowym przedstawieniu jako funkcji zmiennych wolnych współczynnik a przy nowej zmiennej bazowej jest ujemny i iloraz wyrazu stałego b przez ten współczynnik, czyli b/a jest najwi ˛ekszy(=jego moduł jest najmniejszy). Czyli: dla x₃iloraz b/a = 2/ − 1, za´s dla x₅iloraz b/a = 4/ − 1, wybieramy wi ˛ec x₃– przestanie ona by´c zmienn ˛a bazow ˛a (prosz ˛e sprawdzi´c, ˙ze wybór x5da rozwi ˛azanie bazowe niedopuszczalne).

Przykład (cd)

Wybieramy wi ˛ec x₁jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a (kierujemy si ˛e tym, ˙ze współczynnik przy x₁w zapisie f jest ”najbardziej” ujemny - to reguła heurystyczna(=intuicyjna), a nie ´sci´sle uzasadniona).

Musimy równie˙z okre´sli´c, która ze zmiennych x₃,x₄,x₅przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a. Wybór jest zdeterminowany przez to, by nowe rozwi ˛azanie bazowe było dopuszczalne (tzn. nie pojawiły si ˛e ujemne warto´sci zmiennych).

Reguła jest nast ˛epuj ˛aca: spo´sród dotychczasowych zmiennych bazowych (=zale˙znych) wybieramy t ˛e, w której dotychczasowym przedstawieniu jako funkcji zmiennych wolnych współczynnik a przy nowej zmiennej bazowej jest ujemny i iloraz wyrazu stałego b przez ten współczynnik, czyli b/a jest najwi ˛ekszy(=jego moduł jest najmniejszy). Czyli: dla x₃iloraz b/a = 2/ − 1, za´s dla x₅iloraz b/a = 4/ − 1, wybieramy wi ˛ec x₃– przestanie ona by´c zmienn ˛a bazow ˛a (prosz ˛e sprawdzi´c, ˙ze wybór x5da rozwi ˛azanie bazowe niedopuszczalne).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 6 / 12

Przykład (cd)

Wybieramy wi ˛ec x₁jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a (kierujemy si ˛e tym, ˙ze współczynnik przy x₁w zapisie f jest ”najbardziej” ujemny - to reguła heurystyczna(=intuicyjna), a nie ´sci´sle uzasadniona).

Musimy równie˙z okre´sli´c, która ze zmiennych x₃,x₄,x₅przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a. Wybór jest zdeterminowany przez to, by nowe rozwi ˛azanie bazowe było dopuszczalne (tzn. nie pojawiły si ˛e ujemne warto´sci zmiennych).

Reguła jest nast ˛epuj ˛aca: spo´sród dotychczasowych zmiennych bazowych (=zale˙znych) wybieramy t ˛e, w której dotychczasowym przedstawieniu jako funkcji zmiennych wolnych współczynnik a przy nowej zmiennej bazowej jest ujemny i iloraz wyrazu stałego b przez ten współczynnik, czyli b/a jest najwi ˛ekszy(=jego moduł jest najmniejszy).

Czyli: dla x₃iloraz b/a = 2/ − 1, za´s dla x₅iloraz b/a = 4/ − 1, wybieramy wi ˛ec x₃– przestanie ona by´c zmienn ˛a bazow ˛a (prosz ˛e sprawdzi´c, ˙ze wybór x5da rozwi ˛azanie bazowe niedopuszczalne).

Przykład (cd)

Wybieramy wi ˛ec x₁jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a (kierujemy si ˛e tym, ˙ze współczynnik przy x₁w zapisie f jest ”najbardziej” ujemny - to reguła heurystyczna(=intuicyjna), a nie ´sci´sle uzasadniona).

Musimy równie˙z okre´sli´c, która ze zmiennych x₃,x₄,x₅przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a. Wybór jest zdeterminowany przez to, by nowe rozwi ˛azanie bazowe było dopuszczalne (tzn. nie pojawiły si ˛e ujemne warto´sci zmiennych).

Reguła jest nast ˛epuj ˛aca: spo´sród dotychczasowych zmiennych bazowych (=zale˙znych) wybieramy t ˛e, w której dotychczasowym przedstawieniu jako funkcji zmiennych wolnych współczynnik a przy nowej zmiennej bazowej jest ujemny i iloraz wyrazu stałego b przez ten współczynnik, czyli b/a jest najwi ˛ekszy(=jego moduł jest najmniejszy).

Czyli: dla x₃iloraz b/a = 2/ − 1, za´s dla x₅iloraz b/a = 4/ − 1, wybieramy wi ˛ec x₃– przestanie ona by´c zmienn ˛a bazow ˛a (prosz ˛e sprawdzi´c, ˙ze wybór x5da rozwi ˛azanie bazowe niedopuszczalne).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 6 / 12

Przykład

Uwaga: je´sli wszystkie współczynniki przy nowej zmiennej bazowej s ˛a nieujemne, to oznacza to, ˙ze funkcja celu f jest na zbiorze rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych nieograniczona z dołu – osi ˛aga dowolnie niskie ujemne rozwi ˛azania.

Nowy zbiór bazowy to {1, 4, 5} i odpowiadaj ˛ace mu rozwi ˛azanie ogólne to:

U₂:







x₁=2 −x₃ x₄=3 −x₂ x5=2 −x₂ +x₃

Mo˙zemy zapisa´c funkcj ˛e celu

f (x ) = −2 − 15x₁− 10x₂= −2 − 15(2 − x₃) −10x₂= −32 − 10x₂+15x₃ Mamy dopuszczalne rozwi ˛azanie bazowe (2, 0, 0, 3, 2), w którym f osi ˛aga −32. Mo˙zemy zmniejszy´c warto´s´c f zwi ˛ekszaj ˛ac x₂. B ˛edzie ono, wi ˛ec now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a. Poniewa˙z 3/ − 1 < 2/ − 1, zatem x5

przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a.

Przykład

Uwaga: je´sli wszystkie współczynniki przy nowej zmiennej bazowej s ˛a nieujemne, to oznacza to, ˙ze funkcja celu f jest na zbiorze rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych nieograniczona z dołu – osi ˛aga dowolnie niskie ujemne rozwi ˛azania.

Nowy zbiór bazowy to {1, 4, 5} i odpowiadaj ˛ace mu rozwi ˛azanie ogólne to:

U₂:







x₁=2 −x₃ x₄=3 −x₂ x5=2 −x₂ +x₃

Mo˙zemy zapisa´c funkcj ˛e celu

f (x ) = −2 − 15x₁− 10x₂= −2 − 15(2 − x₃) −10x₂= −32 − 10x₂+15x₃ Mamy dopuszczalne rozwi ˛azanie bazowe (2, 0, 0, 3, 2), w którym f osi ˛aga −32. Mo˙zemy zmniejszy´c warto´s´c f zwi ˛ekszaj ˛ac x₂. B ˛edzie ono, wi ˛ec now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a. Poniewa˙z 3/ − 1 < 2/ − 1, zatem x5

przestanie by´c zmienn ˛a bazow ˛a.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 7 / 12

Przykład

Nowy zbiór bazowy to {1, 2, 4}, za´s odpowiadaj ˛ace mu rozwi ˛azanie ogólne to

U₃:







x₁=2 −x3

x₂=2 +x₃− x5

x₄=1 −x₃ +x₅ Mo˙zemy przedstawi´c

f (x ) = −32 − 10(2 − x5+x₃) +15x₃= −52 + 5x₃+10x5. Poniewa˙z w zbiorze rozwi ˛aza ´n dopuszczalnych x₃≥ 0, x5≥ 0 zatem f osi ˛aga warto´s´c najmniejsz ˛a = −52 dla x₃=x5=0 czyli dla rozwi ˛azania bazowego dopuszczalnego (2, 2, 0, 1, 0). Zatem rozwi ˛azanie pierwotnego problemu to max g = − min f = 52

Znajdowanie pocz ˛ atkowego wektora bazowego dopuszczalnego

Mamy zbiór X opisany standardowo przez

Ax = b, x = [x₁, . . . ,x_n]^> ≥ 0, gdzie A ∈ Mm×n,b ∈ M_m×1,b ≥0. Jak stwierdzi´c, ˙ze X jest niepusty, i je´sli tak jest jak znale´z´c wektor bazowy dopuszczalny?

Stosuje si ˛e tzw. metod ˛esztucznej bazy, wprowadzaj ˛ac dodatkowe zmienne, y₁, . . . ,ym, macierz współczynników A przedłu˙zaj ˛ac o

macierz jednostkow ˛a Im. Tzn. macierz układu dla n + m zmiennych ma teraz posta´c [A|I_m|b] ∈ M_m×(n+m+1)(R), z macierz ˛a współczynników A⁰ = [A|I_m] ∈M_m×(n+m) oraz x⁰ = [x₁, . . . ,x_n,y₁, . . . ,y_m]^>,i

rozwi ˛azujemy problem y₁+ · · · +yn→ min przy warunkach A⁰x⁰ =b, x⁰ ≥ 0.

Ten problem ma zawsze rozwi ˛azanie.

Je´sli osi ˛agamy min = 0 to X 6= ∅, w przeciwnym wypadku, tzn. min > 0 mamy X = ∅.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 9 / 12

Znajdowanie pocz ˛ atkowego wektora bazowego dopuszczalnego

Mamy zbiór X opisany standardowo przez

Ax = b, x = [x₁, . . . ,x_n]^> ≥ 0, gdzie A ∈ Mm×n,b ∈ M_m×1,b ≥0. Jak stwierdzi´c, ˙ze X jest niepusty, i je´sli tak jest jak znale´z´c wektor bazowy dopuszczalny?

Stosuje si ˛e tzw. metod ˛esztucznej bazy, wprowadzaj ˛ac dodatkowe zmienne, y₁, . . . ,ym, macierz współczynników A przedłu˙zaj ˛ac o

macierz jednostkow ˛a Im. Tzn. macierz układu dla n + m zmiennych ma teraz posta´c [A|I_m|b] ∈ M_m×(n+m+1)(R), z macierz ˛a współczynników A⁰ = [A|I_m] ∈M_m×(n+m)oraz x⁰ = [x₁, . . . ,x_n,y₁, . . . ,y_m]^>,i

rozwi ˛azujemy problem y₁+ · · · +yn→ min przy warunkach A⁰x⁰ =b, x⁰ ≥ 0.

Ten problem ma zawsze rozwi ˛azanie.

Przykład

Zbiór X ⊂ R⁴opisany jest przez:

8x₁+3x₂− 5x₃+x₄=4 3x₁+x₂− 2x₃− x₄=1 x₁,x₂,x₃,x₄≥ 0

Wprowadzamy sztuczne zmienne y₁,y₂i funkcj ˛e celu f (x₁, . . . ,x₄,y₁,y₂) =y₁+y₂→ min przy warunkach 8x₁+3x₂− 5x₃+x₄+y₁=4

3x₁+x₂− 2x3− x4+y₂=1 x₁, . . . ,x₄≥ 0, y₁,y₂≥ 0

y₁,y₂s ˛a pocz ˛atkowymi zmiennymi bazowymi (zale˙znymi)

 y₁=4 −8x₁ −3x₂ +5x₃ −x₄ y₂=1 −3x₁ −x₂ +2x₃ +x₄

Wyra˙zamy f przez zmienne niezale˙zne: f = 5 − 11x₁− 4x₂+7x₃.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 10 / 12

Przykład

Zbiór X ⊂ R⁴opisany jest przez:

8x₁+3x₂− 5x₃+x₄=4 3x₁+x₂− 2x₃− x₄=1 x₁,x₂,x₃,x₄≥ 0

Wprowadzamy sztuczne zmienne y₁,y₂i funkcj ˛e celu f (x₁, . . . ,x₄,y₁,y₂) =y₁+y₂→ min przy warunkach 8x₁+3x₂− 5x₃+x₄+y₁=4

3x₁+x₂− 2x3− x4+y₂=1 x₁, . . . ,x₄≥ 0, y₁,y₂≥ 0

y₁,y₂s ˛a pocz ˛atkowymi zmiennymi bazowymi (zale˙znymi)

 y₁=4 −8x₁ −3x₂ +5x₃ −x₄ y₂=1 −3x₁ −x₂ +2x₃ +x₄

Wyra˙zamy f przez zmienne niezale˙zne: f = 5 − 11x₁− 4x₂+7x₃.

Przykład

Zbiór X ⊂ R⁴opisany jest przez:

8x₁+3x₂− 5x₃+x₄=4 3x₁+x₂− 2x₃− x₄=1 x₁,x₂,x₃,x₄≥ 0

Wprowadzamy sztuczne zmienne y₁,y₂i funkcj ˛e celu f (x₁, . . . ,x₄,y₁,y₂) =y₁+y₂→ min przy warunkach 8x₁+3x₂− 5x₃+x₄+y₁=4

3x₁+x₂− 2x3− x4+y₂=1 x₁, . . . ,x₄≥ 0, y₁,y₂≥ 0

y₁,y₂s ˛a pocz ˛atkowymi zmiennymi bazowymi (zale˙znymi)

 y₁=4 −8x₁ −3x₂ +5x₃ −x₄ y₂=1 −3x₁ −x₂ +2x₃ +x₄

Wyra˙zamy f przez zmienne niezale˙zne: f = 5 − 11x₁− 4x₂+7x₃.

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 10 / 12

Przykład

Zbiór X ⊂ R⁴opisany jest przez:

8x₁+3x₂− 5x₃+x₄=4 3x₁+x₂− 2x₃− x₄=1 x₁,x₂,x₃,x₄≥ 0

Wprowadzamy sztuczne zmienne y₁,y₂i funkcj ˛e celu f (x₁, . . . ,x₄,y₁,y₂) =y₁+y₂→ min przy warunkach 8x₁+3x₂− 5x₃+x₄+y₁=4

3x₁+x₂− 2x3− x4+y₂=1 x₁, . . . ,x₄≥ 0, y₁,y₂≥ 0

y₁,y₂s ˛a pocz ˛atkowymi zmiennymi bazowymi (zale˙znymi)

 y₁=4 −8x₁ −3x₂ +5x₃ −x₄

y =1 −3x −x +2x +x

Przykład

mo˙zemy zmniejszy´c f wybieraj ˛ac x₂jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a, natomiast y₂przestanie by´c zmienna bazow ˛a.

 x₂=1 −3x₁ +2x₃ +x₄ −y2

y₁=1 +x₁ −x₃ −4x₄ +3y₂ Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne:

f = 1 + x₁− x3− 4x4+4y₂

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 11 / 12

Przykład

mo˙zemy zmniejszy´c f wybieraj ˛ac x₂jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a, natomiast y₂przestanie by´c zmienna bazow ˛a.

 x₂=1 −3x₁ +2x₃ +x₄ −y2

y₁=1 +x₁ −x₃ −4x₄ +3y₂

Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne: f = 1 + x₁− x3− 4x4+4y₂

Przykład

mo˙zemy zmniejszy´c f wybieraj ˛ac x₂jako now ˛a zmienn ˛a bazow ˛a, natomiast y₂przestanie by´c zmienna bazow ˛a.

 x₂=1 −3x₁ +2x₃ +x₄ −y2

y₁=1 +x₁ −x₃ −4x₄ +3y₂ Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne:

f = 1 + x₁− x3− 4x4+4y₂

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 11 / 12

Przykład

Jako now ˛a zmienn ˛a bazowa wprowadzamy x₃natomiast y₁staje si ˛e zmienn ˛a niebazow ˛a (woln ˛a):

 x₂=3 −x₁ +2x₃ −7x₄ +2y₁ +5y₂ x₃=1 +x₁ −4x₄ −y₁ +3y₂

Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne: f = y₁+y₂

Otrzymali´smy minf = 0, zatem mamy niepusty X i nale˙zy do niego dopuszczalny punkt bazowy (x₁,x₂,x₃,x₄) = (0, 3, 1, 0).

Przykład

Jako now ˛a zmienn ˛a bazowa wprowadzamy x₃natomiast y₁staje si ˛e zmienn ˛a niebazow ˛a (woln ˛a):

 x₂=3 −x₁ +2x₃ −7x₄ +2y₁ +5y₂ x₃=1 +x₁ −4x₄ −y₁ +3y₂

Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne: f = y₁+y₂

Otrzymali´smy minf = 0, zatem mamy niepusty X i nale˙zy do niego dopuszczalny punkt bazowy (x₁,x₂,x₃,x₄) = (0, 3, 1, 0).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 12 / 12

Przykład

Jako now ˛a zmienn ˛a bazowa wprowadzamy x₃natomiast y₁staje si ˛e zmienn ˛a niebazow ˛a (woln ˛a):

 x₂=3 −x₁ +2x₃ −7x₄ +2y₁ +5y₂ x₃=1 +x₁ −4x₄ −y₁ +3y₂

Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne:

f = y₁+y₂

Otrzymali´smy minf = 0, zatem mamy niepusty X i nale˙zy do niego dopuszczalny punkt bazowy (x₁,x₂,x₃,x₄) = (0, 3, 1, 0).

Przykład

Jako now ˛a zmienn ˛a bazowa wprowadzamy x₃natomiast y₁staje si ˛e zmienn ˛a niebazow ˛a (woln ˛a):

 x₂=3 −x₁ +2x₃ −7x₄ +2y₁ +5y₂ x₃=1 +x₁ −4x₄ −y₁ +3y₂

Wyra˙zamy f przez nowe zmienne niezale˙zne:

f = y₁+y₂

Otrzymali´smy minf = 0, zatem mamy niepusty X i nale˙zy do niego dopuszczalny punkt bazowy (x₁,x₂,x₃,x₄) = (0, 3, 1, 0).

Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 12 / 12