22DRAP - Nierówności
Twierdzenie. 1 (Nier. Czebyszewa). Dla każdej zmiennej losowej X, X 0, i każdego ε > 0, P(X ε) ¬ 1εEX.
Wniosek. 2 (Nier. Markowa). Dla każdej zmiennej losowej X i wszystkich ε, r > 0, P(|X| ε) ¬ ε1rE|X|r.
Wniosek. 3 (Czebyszewa–Bienaym´e). Dla każdej zmiennej losowej X i każdego ε > 0, P(|X − EX| ε) ¬ VarXε2 . Równoważnie, P(|X − EX| εσX) ¬ ε12, gdzie VarX = σ2X
Twierdzenie. 4 (Nierówności Bernsteina). Jeśli Sn∼ Bin(n, p), to dla każdego ε > 0
P
Sn
n − p ε
¬ e−2n2 oraz P Sn
n − p ¬ −ε
¬ e−2n2, czyli P
Sn
n − p
ε
¬ 2e−2n2.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. X1, . . . , X20 są zmiennymi losowymi (niekoniecznie niezależnymi) o rozkładzie Poissona P o(1).
a. Użyj nierówności Czebyszewa do oszacowania z góry P(X 30), dla X =P20 i=1Xi.
b. Załóżmy teraz, że X1, . . . , X20 są niezależne. Czy można uzyskać lepsze oszacowanie korzystając z nierówności Czebyszewa–Bienaym´e?
Gratis: Czy wiemy coś o rozkładzie zmiennej losowej X w b)?
Zadanie A.2. X ma rozkład dwumianowy Bin(n, 1/2). Korzystając z a. nierówności Czebyszewa–Bienaym´e;
b. nierówności Bernsteina
oszacuj z dołu prawdopodobieństwo, że X odchyli się od wartości n/2 o mniej niż 3√
n. Porównaj oszacowania.
Zadanie A.3. Profesor wie z doświadczenia, że wynik studenta na egzaminie jest zmienną losową X o EX = 75 i VarX = 25. Zakładamy idealistycznie, że wyniki studentów są niezależne.
a. Co można powiedzieć o szansach pojedynczego, wybranego losowo studenta na uzyskanie wyniku pomiędzy 65 a 85 (nierówności ostre)?
b. Korzystając z nierówności Czebyszewa–Bienaym´e oszacuj, ilu studentów powinno wziąć udział w egzaminie, aby zapewnić średni wynik grupy w przedziale (70, 80) z prawdopodobieństwem co najmniej 0, 99?
Zadanie A.4. Wiedząc, że EX = 75, EY = 75, VarX = 10, VarY = 12 i Cov(X, Y ) = −3, oszacuj z góry P(|X − Y | 15).
Zadanie A.5. Pokaż, że jeśli EX = 0 i X 0, to X = 0 p.n. (tzn. P (X = 0) = 1). Wskazówka. Skorzystaj z nierówności Markowa.
Zadanie A.6. Wywnioskuj z poprzedniego zadania następujące stwierdzenie: jeśli V arX = 0, to X ma rozkład jedno- punktowy (tzn. P (X = c) = 1 dla pewnego c ∈ R).
Zadanie A.7. Medianą zmiennej losowej X nazywamy każdą taką liczbę t, że P (X ¬ t) 12 i P (X t) 12. Załóżmy, że zmienna losowa X jest nieujemna i ma wartość oczekiwaną. Pokaż, że wtedy mediana tej zmiennej losowej M e(X) ¬ 2EX.
Zadanie A.8. W latach 1957-1967 urodziło się w Polsce 6354,9 tys. dzieci, w tym 3067,3 tys. dziewczynek. Na tej podstawie można przypuszczać, że prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki p = 0, 4827. Ale w roku 1957 na 776,5 tys.
urodzeń przypadało 375,7 tys. dziewczynek, czyli 48, 38%. Należy wyjaśnić, czy ta częstość nie jest podejrzanie duża. W tym celu oszacuj prawdopodobieństwo, że na n = 776500 urodzeń będzie 375700 dziewczynek lub więcej, jeśli p jest takie, jak wyżej. Zakładamy, że szanse urodzenia się dziewczynki w każdym przypadku są niezależne od innych przypadków.
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. Liczba samochodów sprzedawanych tygodniowo w pewnym salonie jest zmienną losową o wartości oczeki- wanej 16. Oszacuj z góry prawdopodobieństwa, że w przyszłym tygodniu sprzedaż przekroczy (tzn. będzie większa niż) (a) 18, (b) 25.
1
Zadanie B.2. Przypuśćmy, że w poprzednim problemie wariancja liczby sprzedanych samochodów przez tydzień wynosi 9.
(a) Oszacuj z dołu prawdopodobieństwo, że liczba samochodów sprzedanych w przyszłym tygodniu będzie pomiędzy 10 a 22 (włącznie).
(b) Oszacuj z góry prawdopodobieństwo, że liczba samochodów sprzedanych w przyszłym tygodniu będzie większa niż 18.
Zadanie B.3. (Zad. 3, §7.1.) Rzucamy 15000 razy kostką. Oszacować z nierówności Czebyszewa-Bienaym´e i nier. Bernsteina prawdopodobieństwo, że liczba szóstek będzie różnić się od 2500 o więcej niż 100.
Zadanie B.4. W pewnym urzędzie czas obsługi petenta (liczony w minutach) jest zmienną losową X o parametrach EX = 45 i VarX = 15. Zakładamy, że czasy obsługi różnych petentów są niezależne.
(a) Załóżmy, że w urzędzie pojawiło się 50 petentów. Jaka jest szansa, że średni czas ich obsługi będzie wynosił od 35 do 55 minut (nierówności ostre)?
(b) Oszacuj, ilu petentów powinno pojawić się w urzędzie, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0, 9 średni czas obsługi należał do przedziału (44, 46).
Skorzystaj z nierówności Czebyszewa-Bienaym´e.
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI
Zadanie B.5. Niech X będzie nieujemną zmienną losową o wartości oczekiwanej EX = µ > 0. Pokazać, że P(X 2µ) ¬ 12. Zadanie B.6. Dla zmiennej losowej X mamy EX = VarX = 20. Co można powiedzieć o P(0 < X < 40) ?
Zadanie B.7. Losujemy 7500 razy ze zwracaniem jedną kartę z talii 52 kart. Oszacuj prawdopodobieństwo, że liczba wylosowanych pików odchyli się od wartości oczekiwanej o co najmniej 100 (użyć nierówności Czebyszewa-Bienaym´e i nier.
Bernsteina)
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Udowodnij tzw. jednostronną nierówność Czebyszewa: dla zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej EX = 0 i wariancji VarX = σ2i dla każdego a > 0
P(X a) ¬ σ2 σ2+ a2. Zadanie C.2. Zad. 2, §7.1.
2
Rozwiązania do niekrótych zadań
B.1 P (X > 18) = P (X 19) ¬ 16/19, P (X > 25) = P (X 26) ¬ 8/13 B.2 (a) P (10 ¬ X ¬ 22) = P (9 < X < 23) 40/49
(b) P (X > 18) = P (X 19) ¬265361
B.4 (a) P X5050 ∈ (35; 55) 0, 997 (b) 150
B.5 z nierówności Czebyszewa B.6 P (0 < X < 40) 19/20
B.7 P (|S7500− ES7500| 100) ¬ 649 (nierówność Czebyszewa-Bienaym´e), P (|S7500− ES7500| 100) ¬ 2e−8/3 (nierów- ność Bernsteina)
3
