C Zadania dla chętnych

04DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Definicja. 1. Prawdopodobieństwem (funkcją prawdopodobieństwa/miarą probabilistyczną) nazywamy funkcję P : F → R spełniającą następujące aksjomaty:

A1. P(A) ­ 0, dla każdego A ∈ F;

A2. P (Ω) = 1;

A3. Jeżeli A1, A2, A3, . . . ∈ F , są parami rozłączne, to P(

∞

S

i=1

Ai) =

∞

P

i=1

P (Ai) . Twierdzenie. 1. Niech A, B ∈ F . Prawdopodobieństwo P ma następujące własności:

W1. P(∅) = 0

W2. Jeżeli Ai∈ F , i ∈ {1, . . . , n}, są parami rozłączne, to P(

n

S

i=1

Ai) =

n

P

i=1

P (Ai) . W3. P(A⁰) = 1 − P(A)

W4. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) W5. Jeśli A ⊆ B, to P(A) ¬ P(B) W6. P(A) ¬ 1

W7. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Zasada włączania i wyłączania:

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

k=1

(−1)^k−1Sk, gdzie Sk= X

J ⊆[n],|J |=k

P





\

j∈J

Aj



, dla k = 1, . . . , n.

W szczególności, jeśli P (A1) = . . . = P (An), P (A1∩ A2) = P (A1∩ A3) = . . . = P (An−1∩ An) itd., dla wszystkich przekrojów, to

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

k=1

n k



(−1)^k−1P (A1∩ . . . ∩ Ak)

Nierówność Boole’a: P (S

iAi) ¬P

iP (Ai)

Twierdzenia o ciągłości: Jeśli A1⊆ A2⊆ . . . (ciąg wstępujący), to P (S An) = limn→∞P (An). Jeśli A1⊇ A2⊇ . . . (ciąg zstępujący), to P (T An) = limn→∞P (An).

Warto pamiętać: P (T

iAi) = 1 − P (S

iA⁰_i)

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Adam, Bolek i Czesiek zagrali w kasynie w karty. W tej grze karcianej w rozdaniu każdy gracz dostaje po 4 karty z tej samej talii 52 kart. Gracz wygrywa, jeśli otrzyma 4 karty o tej samej wartości (możliwe jest, że gracze wygrywają jednocześnie). Oznaczmy zdarzenia:

A–Adam wygrał B–Bolek wygrał C–Czesio wygrał Wiemy, że

P (A) = P (B) = P (C) = a

P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (A ∩ C) = b P (A ∩ B ∩ C) = c

Korzystając ze zdarzeń A, B i C oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenia. W miarę potrzeby korzystając z własności prawdopodobieństwa, oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

a. wygrał co najmniej jeden;

b. wygrał tylko Adam;

1

c. wygrało dokładnie dwóch spośród Adama, Bolka i Czesia.

Dla ciekawskich: a = (13 · 4!)/(52)4, b = ((13)2· (4!)²)/(52)8, c = ((13)3· (4!)³)/(52)12.

Zadanie A.2. Ustawiamy w rzędzie litery ze słowa TAMTAM, korzystając z zasady włączania i wyłączania wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że

a) pewne dwie takie same litery stoją obok siebie;

b) żadna z liter nie stoi obok takiej samej jak ona litery.

Zadanie A.3. Do pociągu złożonego z 8 wagonów wsiada losowo k pasażerów (k ­ 8). Oblicz prawdopodobieństwo, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer.

Zadanie A.4. Niech Ω = (0, 3] i P((a, b]) = c(b − a), 0 ¬ a < b ¬ 3. Znajdź c. Niech Cn=

1 −_n¹, 2 +_n+1¹ i

, n = 1, 2, . . . . Oblicz P (S∞

n=1C_n) oraz P (T∞ n=1C_n).

Zadanie A.5. Niech P(A) = 3/4 i P(B) = 1/3. Uzasadnij, że 1/12 ¬ P(A ∩ B) ¬ 1/3 i podaj przykłady świadczące o tym, że te oszacowania są optymalne.

Zadanie A.6. Niech A1, A2, . . . będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń o prawdopodobieństwach P(Aⁿ) ¬ 3⁻ⁿ dla każdego n ­ 1. Wykaż, że

P

\^∞

n=1

A⁰_n

­1 2.

Zadanie A.7. Niech A ∪ B ∪ C = Ω, P(B) = 2P(A) , P(C) = 3P(A), P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C). Udowodnij, że 1/6 ¬ P (A) ¬ 1/4 i że oba ograniczenia są optymalne.

Zadanie A.8. Niech Ω = [−3, 3] i P([a, b]) = ¹6(b − a), −3 ¬ a < b ¬ 3. Niech C1, C2, C3, . . . będzie ciągiem zdarzeń zdefiniowanym następująco: Cn = [−1 −_n¹, 1 +_n²] dla n nieparzystych i Cn = [−1 − _n⁴, 1 +_n+1¹ ], jeśli n jest parzyste.

Oblicz P (S∞

n=1C_n) oraz P (T∞ n=1C_n).

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Dane są liczby a, b, c, p, q. Wiadomo, że:

P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(A ∪ B) = P(B ∪ C) = P(C ∪ A) = p oraz P(A ∩ B ∩ C) = r.

Oblicz

(a) prawdopodobieństwo zdarzenia D – „zaszło przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C”, (b) prawdopodobieństwo zdarzenia E – „zaszło dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C”, (c) prawdopodobieństwo zdarzenia F – „zaszły dokładnie dwa ze zdarzeń A, B, C”.

Zadanie B.2. Wiedząc, że P(A) = p, P(B) = q, P(A ∪ B) = r, oblicz:

a) P((A ∩ B)⁰), b) P(A⁰∩ B⁰), c) P((A ∪ B) \ (A ∩ B)).

Zadanie B.3. Niech P(A ∩ B⁰) = ₂₀⁷, P(B \ A) = 20⁵, oraz niech P(A ∪ B) = 7 · P(A ∩ B). Oblicz P(A) i P(B).

Zadanie B.4. Uzasadnij, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C w przestrzeni Ω a. P(A) + P(B) + P(C) − (P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C)) ­ 0.

b. P(A) ­ P(A ∩ C) + P(A ∩ B) − P(A ∩ B ∩ C).

Zadanie B.5. Losujemy 13 kart z talii 52 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart nie wystąpi przynajmniej jeden kolor.

Zadanie B.6. Rzucamy n razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z możliwych wyników (1, 2, . . . , 6 oczek) pojawi się przynajmniej raz?

Zadanie B.7. Niech Ω = (−2, 2] i P((a, b]) = c(b − a), −2 < a < b ¬ 2. Znajdź c. Niech Cⁿ = 

−1 −¹_n, 1 +_n+1¹ i , n = 1, 2, . . . . Oblicz P (S∞

n=1Cn) i P (T∞ n=1Cn).

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.8. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, Ω = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅}, P({ω1}) = P({ω2}) = P({ω³}) = 1/8, P({ω4}) = 1/4.

(a) Ile wynosi P({ω⁵}) ?

(b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A ∪ B, A ∩ B i A \ B dla A = {ω1, ω3, ω4, ω5} i B = {ω2, ω3, ω4}.

Zadanie B.9. Asia, Basia i Czesia wybrały się na narty. Oznaczmy zdarzenia:

A – Asia złamała nogę w trakcie wyjazdu;

B – Basia złamała nogę w trakcie wyjazdu;

C – Czesia złamała nogę w trakcie wyjazdu.

P (A) = P (B) = P (C) = ¹₃, P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 12¹ oraz P (A ∩ B ∩ C) = 24¹.

Korzystając ze zdarzeń A, B i C oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenie. Następnie oblicz jego prawdopodobieństwo:

D – żadna z dziewcząt nie złamała nogi w trakcie wyjazdu.

E – dokładnie dwie z dziewcząt złamały nogę.

Zadanie B.10. Dane są zdarzenia E i F w tej samej przestrzeni probabilistycznej. Korzystając z aksjomatów i faktów podanych na wykładzie udowodnij, że jeśli E ⊆ F , to P(F⁰) ¬ P(E⁰).

Zadanie B.11. Niech P(A) = 1/3 i P(B) = 1/2. Uzasadnij, że 1/2 ¬ P(A ∪ B) ¬ 5/6 i podaj przykłady świadczące o tym, że te oszacowania są optymalne.

Zadanie B.12. Z talii 52 kart losujemy cztery karty (kolejność nieistotna). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie as, kier i blotka (2-9) ?

Zadanie B.13. (1.8.2) Rzucamy n razy dwiema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy wszystkie pary (i, i), i = 1, 2, ..., 6.

Zadanie B.14. Cztery pary małżeńskie usiadły losowo w rzędzie w urzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie siedzi obok swojej żony?

Zadanie B.15. Zadanie 4. §1.8 Zadanie B.16. Zadanie 7. §1.8 Zadanie B.17. Zadanie 9. §1.8

3

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Udowodnić nierówność P(Tn

i=1Ai) ­Pn

i=1P(Ai) − (n − 1).

Zadanie C.2. Niech A, B, C będą zdarzeniami w przestrzeni Ω.

a. Uzasadnij, że P(A) + P(B) + P(C) − 2(P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C)) + 3P(A ∩ B ∩ C) ­ 0.

b. Niech P(A ∩ B) = P(B ∩ C) = P(C ∩ A) = 1/3. Uzasadnij, że P(A⁰∩ B⁰∩ C⁰) ¬ 2P(A ∩ B ∩ C).

Zadanie C.3. (Problem Lucasa) n heteroseksualnych par małżeńskich siada przy okragłym stole, w ten sposób, że najpierw mężczyźni zajmują co drugie miejsce, a następnie kobiety siadają losowo na pozostałych miejscach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadna kobieta nie usiądzie obok swojego męża.

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 (a) 3p + r − a − b − c (b) 3(2p + r − a − b − c) (c) 2(a + b + c) − 3p − 3r B.2 a) 1 − p − q + r

b) 1 − r c) 2r − p − q

B.3 P (A) = 9/20, P (B) = 7/20

B.4 wsk. (a) A1 i W4 (b) (A1, W4, W5) lub (W5 i W7)

B.5 52 13

−1 4 ·39

13



− 6 ·26 13

 + 4



B.6 1 −

6

X

k=1

6 k



(−1)^k−1(6 − k)ⁿ 6ⁿ

B.7 c = 1 4, P(S∞

n=1Cn) =7

8, P(T∞

n=1Cn) =1 2 B.8 (a) 3/8 (b) 1, 3/8, 1/2

B.9 P (D) = 5/24, P (E) = 1/8.

B.11 wsk. A1, W5 i W7

B.12 1 −52 4

−1

48 4

 +39

4

 +20

4



−36 4



−16 4



−15 4

 +12

4



B.13 1 −

6

X

k=1

6 k



(−1)^k−1(36 − k)ⁿ 36ⁿ

B.14 (b) 1 − 4(36)1339!

52! + 6(36)2626!

52! = 1 − 4

36 13

52 13

+ 6

36 13

23 13

52 13

39 13

= 1 − 4

36 13

52 13

+ 6

36 10

52 26

C.1 wsk.: skorzystać z indukcji matematycznej

5