C Zadania dla chętnych

05DRAP - Dyskretne przestrzenie probabilistyczne

Definicja. 1. Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F , P), gdzie Ω– zbiór zdarzeń elementarnych,

F – σ–ciało zdarzeń (podzbiorów Ω),

P – funkcja prawdopodobieństwa/miara probabilistyczna/prawdopodobieństwo.

Przestrzeń probabilistyczna dyskretna

• Ω = {ω1, ω2, ω3, . . .} – co najwyżej przeliczalny;

• F – wszystkie podzbiory Ω;

• P – zadana przez ciąg (pi)_i=1,2,... wzorem P ({ωi}) = p_i (uwaga:P

ip_i= 1).

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, Ω = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅}, P({ω1}) = P({ω2}) = P({ω3}) = 1/8, P({ω4}) = 1/4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A = {ω1, ω₃, ω₅} i zdarzenia A⁰.

Zadanie A.2. Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne) dla rozdania kart w brydża, w którym przez rozdanie rozumiemy:

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

b. zbiór wszystkich podziałów talii na 4 osoby (po 13 kart);

c. rodzina wszystkich zbiorów kart, które mógł dostać gracz S.

W każdym przypadku wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A – gracz S otrzymał 5 pików.

Zadanie A.3. Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Interesuje nas kolor wylosowanej karty. Niech A będzie zdarzeniem, że wylosowaliśmy trefla.

a. Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elemenstarne są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwozdarzenia A.

b. Zbuduj uproszczony model dla tego doświadczenia, w którym przyjmujemy, że Ω = {♥, ♣, ♦, ♠}.

Zadanie A.4. Rzucamy 3 razy kostką. Jesteśmy zainteresowani liczbą , które wypadły. Niech A będzie zdarzeniem, że wypadła dokładnie raz.

a. Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

b. Załóżmy, że budujemy uproszczony model przestrzeni dla tego doświadczenia, przy założeniu, że Ω = {(, , ), (, , ), (, , ), ( , , ), (, , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )},

gdzie oznacza wynik inny niż . Zdefiniuj prawdopodobieństwo P w tej przestrzeni tak, aby prawdopodobieństwo w tym modelu było zgodne z tym w modelu a)

c. Zbuduj uproszczony model dla Ω = {0, 1, 2, 3}, gdzie zdarzenia elementarne oznaczają liczbę wyrzuconych . Opisz w kilku słowach, jakie modele przestrzeni probabilistycznej można zaproponować dla n rzutów kostką i tak samo opisanego zdarzenia A.

Zadanie A.5. W kapeluszu mamy 10 losów wygrywających wartych 1 zł i 20 losów przegrywających wartych 0 zł.

Losujemy kolejno, ze zwracaniem trzy losy.

a. Zbuduj model przestrzeni klasycznej opisującej to doświadczenie, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

b. Zbuduj uproszczony model dla tego doświadczenia, w którym przyjmujemy, że Ω to zbiór ciągów długości 3 o wyrazach ze zbioru {0, 1}.

c. Zbuduj uproszczony model dla tego doświadczenia, w którym przyjmujemy, że Ω = {0, 1, 2, 3}, gdzie zdarzenia elementarne oznaczają łączną wygraną.

W każdym przypadku oblicz prawdopodobieństwozdarzenia A - wylosowaliśmy co najwyżej jeden los wygrywający.

Zadanie A.6. Myśliwy strzela cztery razy do celu i zakładamy, że szanse trafienia w każdej próbie są takie same, jak szanse na pudło. Interesuje nas numer pierwszego trafienia.

a. Zbuduj model przestrzeni klasycznej opisującej to doświadczenie, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

b. Zbuduj uproszczony model dla tego doświadczenia, w którym przyjmujemy, że Ω = {1, 2, 3, 4, brak}.

c. Zbuduj uproszczony model dla tego doświadczenia, w którym przyjmujemy, że Ω = {T, P }, gdzie T oznacza, że myśliwy trafił przynajmniej raz, a P oznacza, że myśliwy spudłował we wszystkich rzutach.

W każdym przypadku oblicz prawdopodobieństwozdarzenia A - myśliwy trafi przynajmniej raz.

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Losujemy 2 kule z urny, w której jest 10 kul białych i 20 kul czarnych. Zbuduj „odpowiadający rzeczywistości”

model przestrzeni probabilistycznej

a. z prawdopodobieństwem klasycznym;

b. z Ω ={{◦,◦},{◦,•},{•,•}} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają zbiorom kolorów wylosowanych kul);

c. z Ω ={(◦,◦),(•,◦),(◦,•),(•,•)} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają kolorom kolejno wylosowanych kul);

opisujący to doświadczenie. W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A – wylosowano kule różnego koloru.

Zadanie B.2. Zbuduj dwa różne modele przestrzeni probabilistycznej dla doświadczenia polegającego na rzucie dwiema dobrze wyważonymi kostkami sześciennymi, które mają następujące liczby oczek na ściankach: kostka A - 3,3,3,4,5,5;

kostka B - 2,2,2,4,4,4.

a. Model klasyczny;

b. Model, w którym zdarzenia elementarne odpowiadają parom wyrzuconych liczb.

Następnie oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucona suma oczek na kostkach równa się 7.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.3. Rzucamy 200 razy uczciwą kostką. Zbuduj „odpowiadający rzeczywistości” klasyczny model przestrzeni probabilistycznej opisujący to doświadczenie. W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzeń

A – w ostatnim rzucie 6 wypadła po raz 50;

B – co najmniej raz wypadła 6;

C – dokładnie 35 razy wypadła 6;

D – dokładnie 35 razy wypadła 6 i 20 razy 5;

E – dokładnie 37 razy wypadła liczba podzielna przez 3.

Zadanie B.4. Losujemy 10 losów z urny, w której jest 100 losów o wartości 1PLN i 200 losów o wartości 0PLN. Zbuduj

„odpowiadający rzeczywistości” model przestrzeni probabilistycznej a. z prawdopodobieństwem klasycznym;

b. z Ω = {0, 1, 2, . . . , 10} (gdzie zdarzenia elementarne odpowiadają wygranej kwocie)

opisujący to doświadczenie. W opisanej przestrzeni wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia A – wygrano 3PLN.

Zadanie B.5. Rzucamy obciążoną kostką do gry, dla której szóstka wypada 2 razy częściej niż jedynka, a szansa wypadnięcia dla każdej z pozostałych liczb oczek wynosi 1/6. Zbuduj model przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia. Jaka jest szansa wyrzucenia liczby parzystej?

2

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Rzucamy nieskończną liczbę razy kostką K4 (możliwe wyniki pojedynczego rzutu: 1,2,3,4). Podaj przy- kład sensownej przestrzeni probabilistycznej, która dobrze opisuje ten eksperyment. Potem policz w tej przestrzeni prawdopodobieństwo zdarzenia: nigdy nie wypadła 4.

Zadanie C.2. Niech b będzie ciągiem binarnym długości s. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą i przypisujemy orłom 1, a reszkom 0. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na jakichś s kolejnych miejscach pojawi się ciąg b. (Uwaga: To zadanie jest łatwe, gdy użyje się Lematu Borela–Cantelliego. Prosimy o rozwiązanie wykorzystujące tylko podstawowe własności prawdopodobieństwa.)

Zadanie C.3. Pechowy Paweł został zamknięty w pustym pomieszczeniu z jedną sprawiedliwą monetą. Niegrzeczna Nadia obiecała go uwolnić, jeśli wykona zadanie. Ma opisać algorytm, który korzystając tylko z tej monety, daje w losowy sposób jeden z dwóch wyników: TAK (z prawdopodobieństwem

√ 2

2 ) lub NIE (z prawdopodobieństwem 1 −

√ 2

2 ). Pomóż Pawłowi i opisz jak taki algorytm miałby działać. Uzasadnij poprawność algorytmu.

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 P (A) = ^10·20(³⁰₂) =10·20+20·10 (30)₂

a)

SPOSÓB I

Ω – zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru 30 kul, F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) = (³⁰¹2). SPOSÓB 2:

Ω – zbiór uporządkowanych par różnych kul (ciągów długości 2 bez powtórzeń), F = 2^Ω,

∀_ω∈ΩP ({ω}) = ₍₃₀₎¹₂. b)

Ω ={{◦,◦},{◦,•},{•,•}}, F = 2^Ω,

P ({◦,◦}) = (¹⁰₂)

(³⁰₂), P ({◦,•}) = ^10·20(³⁰₂), P ({•,•}) = (²⁰₂) (³⁰₂). c)

Ω ={(◦,◦),(•,◦),(◦,•),(•,•)}, F = 2^Ω,

P ((◦,◦)) = ⁽¹⁰⁾₍₃₀₎²₂, P ((•,◦)) = ^20·30(30)2, P ((◦,•)) = ^30·20(30)2, P ((•,•)) = ⁽²⁰⁾(30)²2, B.2 a)

Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {(x, y) : x ∈ {31, 32, 33, 4, 51, 52}, y ∈ {21, 22, 23, 41, 42, 43}}

(31 oznacza, że jest pierwsza trójka - rozróżniamy boki kostki i liczby) F = 2^Ω–wszystkie podzbiory Ω

Prawdopodobieństwo: ∀ω∈ΩP ({ω}) = 1/36 b)

Zbiór zdarzeń elementarnych:

Ω = {(3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 4)}

F = 2^Ω–wszystkie podzbiory Ω Prawdopodobieństwo:

P ({(3, 2)}) = 1/4 P ({(3, 4)}) = 1/4 P ({(4, 2)}) = 1/12 P ({(4, 4)}) = 1/12 P ({(5, 2)}) = 1/6 P ({(5, 4)}) = 1/6 A – suma oczek jest równa 7

P (A) = 5/12 B.3 P (A) = (¹⁹⁹₄₉)⁵¹⁵⁰

6²⁰⁰ , P (B) = ⁶²⁰⁰6^−5200200, P (C) = (²⁰⁰₃₅)^5200−35

6²⁰⁰ , P (D) = (²⁰⁰₃₅)(²⁰⁰⁻³⁵₂₀ )^{4200−35−20}

6²⁰⁰ , P (E) = (²⁰⁰₃₇)^2374163

6²⁰⁰ . Ω – zbiór ciągów długości 200 o wyrazach ze zbioru {1, . . . , 6},

F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) = ₆200¹ . B.4 P (A) = (¹⁰⁰₃ )(²⁰⁰₇)

(³⁰⁰₁₀) = (¹⁰₃)⁽¹⁰⁰⁾3(200)₇ (300)10

a)

SPOSÓB 1:

Ω – zbiór dziesięcioelementowych podzbiorów zbioru 300 losów, F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) = (³⁰⁰₁₀¹).

4

SPOSÓB 2:

Ω – zbiór dziesięcioelementowych ciągów o wyrazach ze zbioru 300 losów (losy nie mogą się powtarzać), F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) = ₍₃₀₀₎¹₁₀. b)

Ω = {0, 1, . . . , 10}

F = 2^Ω,

∀_0¬k¬10P ({k}) = (¹⁰⁰k)(_10−k²⁰⁰) (³⁰⁰10)

B.5 Zbiór zdarzeń elementarnych: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

F = 2{1,2,3,4,5,6}–wszystkie podzbiory Ω

Prawdopodobieństwo: P ({1}) = 1/9, P ({2}) = 1/6, P ({3}) = 1/6, P ({4}) = 1/6, P ({5}) = 1/6, P ({6}) = 2/9.

UWAGA: Trzeba skorzystać z tego, że P ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) = 1.