08DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego
Definicja. 1. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Definicja. 2. Zdarzenia A1, . . . , An nazywamy niezależnymi (lub łącznie niezależnymi), gdy P(Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aik) = P(Ai1) · P(Ai2) · . . . · P(Aik),
dla wszystkich ciągów wskaźników (i1, i2, . . . , ik), gdzie 1 ¬ i1< i2< . . . < ik¬ n, k = 2, 3, . . . , n.
Zanim sformułujemy twierdzenie dotyczące zdarzeń niezależnych, wprowadźmy następujące oznaczenie: jeżeli A jest zdarzeniem losowym, to przyjmujemy A0= A oraz A1= A0.
Twierdzenie. 1. Następujące warunki są równoważne:
(a) zdarzenia A1, . . . , An są niezależne;
(b) dla każdego ciągu ε1, . . . , εn, gdzie εi ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n, zdarzenia A1ε1, Aε22, . . . , Aεnn są niezależne;
(c) dla każdego ciągu ε1, . . . , εn, gdzie εi∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n, zachodzi równość P(Aε11∩ . . . ∩ Anεn) = P(Aε11) · . . . · P(Aεnn).
Definicja. 3. Schematem Bernoulliego będziemy nazywać skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwu możliwych wynikach, nazywanych umownie sukcesem i porażką. Poszczególne doświadczenia będziemy nazywać próbami Bernoulliego.
Twierdzenie. 2. Prawdopodobieństwo pojawienia się dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób, z prawdopo- dobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p, wynosi
n k
pk(1 − p)n−k.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Niech Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5} i P({ω1}) = 18, P({ω2}) = P({ω3}) = P({ω4}) = 163 oraz P({ω5}) = 165. Niech A = {ω1, ω2, ω3}, B = {ω1, ω2, ω4} i C = {ω1, ω3, ω4}. Pokazać, że P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C), ale zdarzenia A, B, C nie są niezależne.
Zadanie A.2. Zdarzenia losowe A, B, C, D, E są niezależne oraz P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(D) = d, P(E) = e.
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a. (A ∪ B ∪ C) ∩ D ∩ E;
b. (A0∩ B0) ∪ (A ∩ B);
c. (A ∪ B) ∩ A0∩ C.
Zadanie A.3. W urnie znajdują się trzy kule, po jednej w kolorach antracytowy, biały i czarny. Eksperyment polega na wylosowaniu jednej kuli z urny (ze zwracaniem). Powtarzamy eksperyment niezależnie 100 razy. Korzystając z niezależności wyników eksperymentów, wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że
a. co najmniej raz została wylosowana kula antracytowa;
b. co najmniej 3 razy została wylosowana kula antracytowa;
c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
d. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, w tym za pierwszym i drugim razem;
e. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, jeśli wiadomo, że za pierwszym i drugim razem została wylosowana kula antracytowa;
f. w pięćdziesiątym eksperymencie wylosowaliśmy antracytową kulę po raz dziesiąty;
g. dokładnie 10 razy wylosowaliśmy kulę antracytową i dokładnie 20 razy kulę białą.
Zadanie A.4. Adam, Bolek i Czesio rzucają – w tej właśnie kolejności – monetą symetryczną, tak długo aż któryś z nich wyrzuci pierwszego orła. Wygrywa ten, który wyrzuci orła. Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy.
Zadanie A.5. Wielokrotnie losujemy jedną kartę z talii 52 kart aż do wylosowania asa. Wyznacz prawdopodobieństwo, że w trakcie eksperymentu nie wylosowaliśmy ani razu króla czerwonego.
1
Zadanie A.6. W poszukiwaniu pewnej książki student zdecydował się odwiedzić trzy biblioteki. W każdej z nich szanse znalezienia książki są takie same, jak szanse jej nie znalezienia. Jeżeli dana książka jest w bibliotece, to jest jednakowo prawdopodobne, że będzie ona wypożyczona, jak też, że będzie dostępna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że student dostanie tę książkę?
Zadanie A.7. Każdy ze 100 pracowników Wydziału Matematyki i Informatyki przychodzi do pracy w losowym momencie pomiędzy 8:00 a 9:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że o 8:15 w pracy jest dokładnie 25 pracowników?
Zadanie A.8. Rzucamy strzałkami do okrągłej tarczy o promieniu 20 cm. Chcąc zdobyć 10 punktów w jednym rzucie, musimy trafić w środkowe koło o promieniu 2 cm. Zakładamy, że możemy trafić w dowolny punkt tarczy, zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym.
a. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 20 rzutach dokładnie 5 razy trafiliśmy w pole warte 10 punktów.
b. Załóżmy, że rzucamy do tarczy dopóki nie trafimy pierwszy raz w pole warte 10 punktów. Oblicz prawdopodobieństwo, że wykonamy przynajmniej 3 rzuty.
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. Załóżmy, że P(B) ∈ (0, 1). Wykaż, że zdarzenia A, B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P(A|B) = P(A|B0).
Zadanie B.2. Rzucamy n razy monetą symetryczną (n 2). Czy zdarzenia A – „wypadnie co najwyżej 1 orzeł”
i B – „moneta nie będzie upadać zawsze na tą samą stronę” są niezależne? UWAGA: Rozważ oddzielnie przypadki n = 3 i n 6= 3.
Zadanie B.3. Spośród liczb {1, 2, 3, 4} losujemy kolejno dwie bez zwracania. Niech A będzie zdarzeniem: pierwsza liczba jest co najwyżej 2, B–druga liczba jest co najmniej 3, C–pierwsza liczba jest parzysta i druga nieparzysta. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne ? Czy zdarzenia te są niezależne parami ?
Zadanie B.4. Eksperyment polega na wylosowaniu jednej karty z talii 52 kart. Powtarzamy go 20 razy niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A :
a. dokładnie 7 razy wylosowaliśmy króla.
b. co najmniej raz wylosowaliśmy asa pik.
c. dokładnie 8 razy wylosowaliśmy kiera w tym za pierwszym i ostatnim razem.
d. dokładnie 6 razy wylosowaliśmy asa, jeśli wiadomo, że za pierwszym i ostatnim razem wylosowaliśmy asa.
e. w szóstym eksperymencie wylosowaliśmy króla po raz trzeci.
f. dokładnie 6 razy wylosowaliśmy asa, dokładnie 2 razy damę i dokładnie 4 razy dziewiątkę.
Zadanie B.5. Zdarzenia A, B i C są niezależne. Wiemy, że P(A) = 12 i P(B) = P(C) = 13. Ile wynosi a. P((A ∪ B) \ C)?
b. P ((A ∪ B) ∩ (A0∪ C))?
Zadanie B.6 (Zad. 7, §3.1). Adam, Bolek i Czesio rzucają – w tej właśnie kolejności – monetą niesymetryczną (orzeł wypada z prawdopodobieństwem p ∈ (0, 1]) tak długo, aż któryś z nich wyrzuci orła. Wygrywa ten, który wyrzuci orła.
Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy.
Zadanie B.7. Rzucamy standardową kostką do momentu wyrzucenia dwójki. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną tylko liczby parzyste.
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI
Zadanie B.8. Losujemy jedną kartę ze standardowej talii 52 kart. Zbadaj niezależność zdarzeń: A – „wyciągnięto figurę”
oraz B – „wyciągnięto asa trefl lub dwójkę karo”.
Zadanie B.9. Trzy ściany czworościanu zostały pomalowane na biało, czerwono i zielono, zaś czwarta – w pasy biało – czerwono– zielone. Doświadczenie polega na rzuceniu czworościanu na płaszczyznę i obserwowaniu koloru ściany, na którą upadł czworościan. Zdarzenia B, C, Z określono następująco:
2
B – czworościan upadł na ścianę z kolorem białym (paskowana też możliwa) C – czworościan upadł na ścianę z kolorem czerwonym (paskowana też możliwa)
Z – czworościan upadł na ścianę z kolorem zielonym (paskowana też możliwa) Czy zdarzenia B, C, Z są niezależne parami ? Czy zdarzenia te są niezależne ?
Zadanie B.10. Rzucamy dwiema kostkami. Niech A będzie zdarzeniem, że na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, B – „na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek”, a C – „suma liczb wyrzuconych na obu kostkach jest nieparzysta”. Zbadaj czy niezależne są zdarzenia A i B oraz A, B i C.
Zadanie B.11. Zad. 9, §3.1.
Zadanie B.12. Zdarzenia A, B i C są niezależne. Wiemy, że P(A) = 12 i P(B) = P(C) = 13. Ile wynosi a. P(A0\ B)?
b. P(A ∪ B0∪ C)?
Zadanie B.13. Zdarzenia A1, A2, . . . , A30 są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo 1/10. Jaka jest szansa, że a. zajdzie co najmniej jedno z nich?
b. nie zajdzie żadne z nich?
c. zajdą dokładnie trzy z nich?
d. zajdą co najwyżej dwa?
e. zajdą co najmniej trzy z nich?
f. zajdzie A30lub zajdą co najmniej dwa z nich?
g. zajdą tylko A2 i A15?
Zadanie B.14. Rzucamy kostką do momentu wypadnięcia szóstki. Jaka jest szansa, że liczba rzutów jest parzysta?
Zadanie B.15. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia „dziesiąty sukces uzyskano w trzydziestym doświadczeniu” w schemacie 100 niezależnych doświadczeń z prawdopodobieństwem sukcesu 1/3 ?
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Zad. 2, §3.2. (Rozwiązanie ma być zwięzłe - nie w postaci sumy) Zadanie C.2. Zad. 4, §3.2
Zadanie C.3. Zad. 5, §3.2.
Zadanie C.4. Zad. 8, §3.2.
Zadanie C.5. Zad. 14, §3.2.
Zadanie C.6. Na każdej z 3 monet orzeł wypada z prawdopodobieństwem 35. Orłom i reszkom na tych monetach przypisujemy punkty: moneta 1 – orzeł 10p., reszka 2p.; moneta 2 – orzeł i reszka po 4p.; moneta 3 – orzeł 3p, reszka 20p.
Grasz z kolegą w grę, która polega na tym, że najpierw kolejno każdy z Was wybiera 1 monetę, a następnie obaj rzucacie raz wybranymi monetami. Wygrywa ten, kto zdobędzie więcej punktów. Czy w tej grze warto być pierwszym graczem czy drugim?
Zadanie C.7. Pasikonik skacze po osi liczb rzeczywistych, z równym prawdopodobieństwem o jeden w lewo co o jeden w prawo. Zaczyna w punkcie 0. W punkcie 1 jest przepaść. Wszystkie punkty poza 1 są bezpieczne. Jaka jest szansa na to, że pasikonik spadnie w przepaść. Jak zmieni się odpowiedź, gdy pasikonik skacze w prawo z prawdopodobieństwem p a w lewo z prawdopodobieństwem q = 1 − p, dla p > q.
Uwaga: Przypadek p < q jest o wiele bardziej skomlikowany. Dlaczego? Zostawiamy jako zadanie dla wytrwałych.
3
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.2 zależne dla n 6= 3 i niezależne dla n = 3 B.3 nie są niezależne parami
nie są niezależne B.4 a) 207 1
13
7 12 13
13 b) 1 − 515220 c) 186 1
4
8 3 4
12
d) 184 1 13
4 12 13
14 e) 52 1
13
3 12 13
3
f) 206 14 2
12 4
1 13
12 10 13
8 B.5 a) 4/9
b) 1/3
B.6 Prawdopodobieństwo wygranej:
Adama równa się p/(1 − (1 − p)3) Bolka jest równe p(1 − p)/(1 − (1 − p)3) Czesia wynosi p(1 − p)2/(1 − (1 − p)3) B.7 1/4
B.8 zależne
B.9 niezależne parami, A, B, C zależne B.10 niezależne parami,
A, B, C zależne B.12 a) 1/3
b) 8/9 B.13 a) 1 − 10930
b) 10930 c) 303927
1030
d) 10930
+ 30 ·1092930 + 302928
1030
e) 1 −
9 10
30
+ 30 ·1092930 + 302928
1030
f) 1 − 10930
− 291 9
10
29 1 10
g) 1092830 B.14 5/11 B.15 299 1
3
10 2 3
20
4
