PAiTM - zima 2017/2018

(1)

Prędkości i przyspieszenia w mechanizmach płaskich Przykład – metoda analityczna

Dane: geometria mechanizmu (długości członów) oraz kąt φ(t) członu napędowego. φ(t)=ωt, ω=const.

Szukane: prędkość i przyspieszenie suwaka D jako funkcja kąta φ(t).

φ(t)

A B

C

D

h

O

(2)

φ(t)

A B

C

D

h 1

5

O

(3)

φ(t)

A B

C

D

e h

1

2 3 4

5

O

X

(4)

φ(t)

A B

C

D

h 1

2 3 4

5

O

X r

h

a wektorów. Wektory

te rozpinane są pomiędzy punktami charakterystycznymi mechanizmu. Kiedy mechanizm pracuje to wektory te mogą zmieniać swoje

położenie, orientację i długość.

(5)

φ(t)

A B

C

D

e h

1

2 3 4

5

O

X r

h

a

c b

d

e wieloboki wektorów,

których będzie tyle, ile potrzeba, aby każdy punkt

mechanizmu był uwzględniony.

(6)

φ(t)

X Y

r

h

a

c b

d

e

zadany kąt φ(t). Dla każdego wektora definiujemy kąt skierowania tego wektora. Najlepiej dla wszystkich kątów użyć tej samej

zasady określania kąta: obrót osi X przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do pokrycia z

wektorem.

(7)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

(8)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h φ_h=90^o

(9)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a φ_h=90^o

(10)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

(11)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r

(12)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

(13)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

(14)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ (t) = 90^o - φ(t)

φ_b

(15)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

(16)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t)

φ_h=90^o

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ (t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t)

(17)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t)

φ_d

(18)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ (t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t)

φ_d

φ_d=270^o

(19)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

(20)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ (t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e φ_e=180^o

(21)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_a(t) φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_b(t) ≠ const. φ_c(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

o

5. Określiliśmy wszystkie kąty, podkreślając, które mają stała wartość a które zmieniają się w czasie pracy mechanizmu.

(22)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ =270^o

φ_e

|r| = |AB| = r = const.

6. Teraz określamy długości wszystkich wektorów:

(23)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

(24)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ =270^o

φ_e

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

(25)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

(26)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ =270^o

φ_e

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

(27)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

(28)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ =270^o

φ_e

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

(29)

φ(t)

X r

h

a

c b

d

e

φ_h

φ_a(t) φ_h=90^o

φ_r(t)

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t)

φ_c(t) = φ_a(t)

φ_d

φ_d=270^o

φ_e

o

|r| = |AB| = r = const.

|h| = |OA| = h = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

h + r = a 7. Piszemy

(30)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t) ≠ const.

φ_c(t) = φ_a(t) φ_d= 270^o φ_e= 180^o

|r| = |AB| = r = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

h + r = a c + b + d + e = 0

8. Rozwiązujemy to równanie wektorowe rzutując wektory na osie układu współrzędnych.

(31)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t) ≠ const.

φ_c(t) = φ_a(t) φ_d= 270^o φ_e= 180^o

|r| = |AB| = r = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

h + r = a c + b + d + e = 0 x : hcos ϕ_h+r cos ϕ_r(t )=a(t) cos ϕ_a(t)

y : hsin ϕ_h+r sin ϕ_r(t)=a(t)sin ϕ_a(t)

x : c cos ϕ_c(t)+b cos ϕ_b(t)+d(t)cos ϕ_d+e cos ϕ_e=0 y : c sin ϕ_c(t )+b sin ϕ_b(t)+d (t)sin ϕ_d+e sin ϕ_e=0

9. Dzięki temu, że wszystkie kąty oznaczyliśmy tą samą metodą, rzuty są odpowiednio z kosinusami i sinusami.

(32)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t) ≠ const.

φ_c(t) = φ_a(t) φ_d= 270^o φ_e= 180^o

|r| = |AB| = r = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

x : hcos 90ô+r cos(90ô−ϕ(t ))=a(t)cos ϕ_a(t) y : hsin 90ô+r sin(90ô−ϕ (t))=a(t)sin ϕ_a(t)

x : c cos ϕ_a(t)+b cos ϕ_b(t)+d (t)cos 270ô+e cos 180ô=0 y : c sin ϕ_a(t)+b sin ϕ_b(t)+d (t)sin 270ô+e sin 180ô=0

10. Upraszczamy równania rzutów z użyciem informacji o kątach.

(33)

φ_a(t) ≠ const.

φ_r(t) = 90^o - φ(t)

φ_b(t) ≠ const.

φ_c(t) = φ_a(t) φ_d= 270^o φ_e= 180^o

|r| = |AB| = r = const.

|a| = |OB| = a(t)

|c| = |OC| = c = const.

|b| = |CD| = b = const.

|d| = d(t)

|e| = e = const.

x : hcos 90ô+r cos(90ô−ϕ(t ))=a(t)cos ϕ_a(t) y : hsin 90ô+r sin(90ô−ϕ (t))=a(t)sin ϕ_a(t)

x : c cos ϕ_a(t)+b cos ϕ_b(t)+d (t)cos 270ô+e cos 180ô=0 y : c sin ϕ_a(t)+b sin ϕ_b(t)+d (t)sin 270ô+e sin 180ô=0 x : r sin ϕ(t)=a(t)cos ϕ_a(t)

y : h+r cos ϕ(t )=a(t )sin ϕ_a(t )

(34)

x : r sin ϕ(t)=a(t)cos ϕ_a(t) y : h+r cos ϕ(t )=a(t )sin ϕ_a(t ) x : c cos ϕ_a(t)+b cos ϕ_b(t)−e=0

y : c sin ϕ_a(t)+b sin ϕ_b(t)−d (t)=0 1

2 3 1

4

na funkcje typu arcus, które nie zawsze zwracają wartości w interesującym nas zakresie kątów.

(35)

y : c sin ϕ_a(t)+b sin ϕ_b(t)−d (t)=0

a ( t)=√ ^r²^sin²⁽^{t )+}⁽h+r cos ϕ( t ))² ϕ_a(t )=atan( h+r cos ϕ( t )

r sin ϕ( t ) )

ϕ_b(t )=arccos e−c cos ϕ_a(t ) b

d ( t)=c sin ϕ_a(t )+b

√

¹⁻

⁽

^{e−c cos ϕ}^b ^a⁽^{t )}

⁾

²

1 2 3 1

4

(36)

d ( t)=c sin ϕ_a(t )+b

√

¹⁻

⁽

^{e−c cos ϕ}^b ^a⁽^{t )}

⁾

²

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

a ( t)=√^r²^sin²⁽^{t )+}⁽h+r cos ϕ( t ))²

[m]

przedstawiono wykresy dla funkcji:

(37)

ϕ_a⁽t)=atan(^{h+r cos ϕ}r sin ϕ(t⁽)^t⁾)

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

[_rad]

(38)

y : c sin ϕ_a(t)+b sin ϕ_b(t)−d (t)=0

a ( t)=√ ^r²^sin²⁽^{t )+}⁽h+r cos ϕ( t ))² ϕ_a⁽t)=atan(^{h+r cos ϕ}r sin ϕ(t⁽)^t⁾)

d ( t)=c sin ϕ_a(t )+b

√

¹⁻

⁽

^{e−c cos ϕ}^b ^a⁽^{t )}

⁾

²

1 2 3 1

4

funkcji d(t). Różniczkowanie to, można wykonać “na papierze”, ale ze względu na skomplikowaną formę d(t) lepiej użyć oprogramowania do obliczeń symbolicznych (Mathematica, wxMaxima,

Mathcad). Można też wykonać przybliżone różniczkowanie numeryczne metodą ilorazu różnicowego.

(39)

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

v_D(t )= ˙d ( t )

m s

(40)

h= 0,4 [m]

c= 1 [m]

e= 0,4 [m]

b= 1 [m]

ω= 1 [rad/s]

a_D(t )= ¨d ( t )

m s²