V seria zada´ n z matematyki IIA

V seria zada´ n z matematyki IIA

1. Zbada´c zbie˙zno´s´c punktowa i jednostajn_, a nast_, epuj_, acych ci_, ag´_, ow funk- cyjnych

(a) fn = x + ^e−nx_n (b) f_n = _1+n^x2x²

(c) f_n = _n3^nx+x²

2. Wyznaczy´c funkcje graniczn_, a dla ci_, agu funkcyjnego_, {fn} zadanego na R wzorem

f_n(x) = nx sinx n

Zbada´c charakter tej zbie˙zno´sci na zbiorach R, R₊oraz na przedzia lach postaci [0, a], gdzie a > 0.

3. Pokaza´c, ˙ze szereg funkcyjny

∞

X

n=1

1 2ⁿ⁻¹√

1 + nx jest zbie˙zny jednostajnie na przedziale [0,∞).

4. Zbada´c zbie˙zno´s´c szereg´ow funkcyjnych (a) P_∞

n=1 1

n²(1+n²x²), x∈ R (b) P_∞

n=1 sin nx

√3

n⁴+x², x∈ R

5. Funkcja f jest okre´slona na R wzorem: f (x) = P_∞

n=1 1

n⁴+x². Pokaza´c,

˙ze funkcja f jest ciag la na R i obliczy´_, c R_∞

0 f (x)dx.

6. Wyznaczy´c promie´n zbie˙zno´sci szereg´ow funkcyjnych (a) P_∞

n=1n!xⁿ (b) P∞

n=1

(n!)²x²ⁿ (2n)!

1