1 lista zada« z matematyki 2 dla studentów Biotechnologii In».
1. Wyznaczy¢ caªki:
a) Z (2√
x3+ 1
√3
x)dx; b) Z 2x + x2+ 1
√5
x dx; c) Z ex
2xdx; d) Z cos 2t
cos2tdt; e)Z u2− 1 1 + u2du. 2. Wykonuj¡c wskazane podstawienia wyznaczy¢ caªki:
a)Z
x2ex3dx, t = x3; b)Z ln3x
x dx, t = ln x; c)Z x3√3
1 + x4dx, t = 1+x4; d)Z sin x
√cos xdx, t = cos x.
3. Stosuj¡c metod¦ caªkowania przez cz¦±ci wyznaczy¢ caªki:
a)R x sin 3xdx; b)R (x2+ 2x) cos xdx; c)R xarctgxdx; d)R x3ln xdx. 4. Wykorzystuj¡c podstawienia liniowe wyznaczy¢ caªki:
a)Z
√3
2x + 5dx; b)Z dx
2 + 3x; c)Z dx
1 + 4x2; d)Z dx
x2+ 2x + 2; e)Z dx x2− 10x + 29. 5. Wyznaczy¢ caªki z wyra»e« wymiernych:
a)Z dx
(2x − 3)5; b)Z x2dx
x − 2; c)Z 1
x2+ 3x − 10dx; d)Z x
x2− 4dx; e)Z 2x + 7 x2+ x − 2dx; f)
Z 2x + 5
x2+ 4x + 5dx; g)
Z 2 + x
x − x2dx; h)
Z x2 + 2x + 4
x(x2+ 4) dx; i)
Z x2+ x + 1 x3+ x dx.
6. Stosuj¡c podstawienia t = sin x lub t = cos x oraz korzystaj¡c ze wzorów trygonometrycznych wyznaczy¢ caªki:
a)Z
sin3xdx; b)Z
cos5xdx; c)Z
cos22xdx; d)Z
sin4xdx; e)Z
4 cos2x cos2xdx; f)Z
sin xdx cos3x ; g)R cos3x sin2xdx; h)R sin3x cos3dx; i)R ctg2xdx; j)Z
cos x cos 2xdx.
7. Korzystaj¡c ze wzorów na caªki z podstawowych wyra»e« niewymiernych wyznaczy¢ caªki:
a)Z
√ dx
x2+ 2x + 5; b)Z
√ dx
x2− x − 1; c)Z √
x2− 4x + 8dx; d)Z
√ dx
2x − x2; e)R √
5 − 4x − x2dx. 8. Korzystaj¡c ze wzoru Newtona-Leibniza obliczy¢ podane caªki:
a)Z 2 1
√
x + 1
√x
dx; b) Z 1 0
x − 1
x + 1dx; c)Z 12
0
dx
x2− 1; d) Z 2 1
1
x4 + x2
dx; e)Z 1 0
√ dx 4 − x2. 9. Wyznaczy¢ pola obszarów ograniczonych liniami:
(a) osi¡ Ox i lini¡ y = sin x dla x ∈ [0, π];
(b) osi¡ Ox i lini¡ y = 4 − x2;
(c) osi¡ Ox, prostymi x = 1, x = 5 i lini¡ xy = 5;
(d) osi¡ Ox, prost¡ x = 3 i wykresem funkcji f(x) = x2− 2x; (e) osi¡ Ox i wykresem funkcji f(x) = (x + 2)x(x − 2).
10. Wykonuj¡c wskazane podstawienia obliczy¢ caªki:
a)Z 6 1
dx 1 +√
3x − 2, 3x − 2 = t2; b)Z 3 1
√xdx
x + 1, x + 1 = t; c)Z 14
0
√ dx
x(1 − x), x = t2; d)Z 1
0
x√
1 + xdx, √
1 + x = t; e)Z 3 0
x√
9 − x2dx, x = 3 sin t; f)Z π 0
sin xecos xdx, u = cos x.
