2 lista zada« z matematyki 2 dla studentów Biotechnologii In».
1. Obliczy¢: a) Z 2
−1
|x|3dx; b) Z π
0
| cos x|dx.
2. Wyznaczy¢ funkcje górnej granicy caªkowania dla podanych funkcji na podanych przedziaªach:
a) f(x) = |x|, dla x ∈ [−1, 1]; b) f(x) =
1 dla 0 ≤ x ≤ 1
2x − 2 dla 1 < x ≤ 2 , dla x ∈ [0, 2].
3. Obliczy¢ warto±ci ±rednie danych funkcji na danych przedziaªach:
a) f(x) = 4x − x2, [0, 4]: b) f(x) = 3
x, [1, 3]; c) f(x) = x√
1 − x2, [0, 1] (podst. t = 1 − x2).
4. Przyjmijmy, »e kroplówka podaje pacjentowi mi¦dzy innymi glukoz¦ w czasie 3 godzin i z pr¦dko±ci¡
f (t) = 15π(1 + cosπt3)(w gramach na godzin¦). Wyznaczy¢ funkcj¦ F (x) górnej granicy caªkowania (czyli ilo±ci podanej glukozy do chwili x) oraz ±redni¡ pr¦dko±¢ podawania glukozy.
5. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych liniami:
(a) y = x2 i y = 2x + 3;
(b) x + y = 5 i xy = 4;
(c) wykresami funkcji y = sin x, y = cos x oraz osi¡ Oy (x ≥ 0);
(d) y = x2 i y =√ x.
6. Obliczy¢ obj¦to±ci bryª powstaªych w wyniku obrotu wokóª osi Ox danych obszarów:
a) A : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x − x2; b) B : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 1 + x2. 7. Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku paraboli y = 12x2 dla x ∈ [0, 1].
8. Zbada¢ zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych i obliczy¢ te, które s¡ zbie»ne:
a) Z ∞
1
dx
(x + 2)2; b) Z +∞
−∞
dx x2+ 9; c)
Z ∞ 0
x2e−x3dx; d) Z ∞
1
dx
√3
3x + 5; e) Z 1
0
dx
√5
x2; f) Z 1
0
dx 1 − x2. 9. Wyznaczy¢ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du danych funkcji:
a) f(x, y) = xy− yx; b) f(x, y) = esinxy; c) f(x, y) = arctg1 − xy
x + xy; d) f(x, y, z) = x x2+ y2+ z2. 10. Wyznaczy¢ pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du danych funkcji:
a) f(x, y) = sin(x2+ y2); b) f(x, y) = xexy; c) f(x, y) = x2y +x2 y3.
11. Korzystaj¡c z ró»niczek odpowiedniej funkcji wyznaczy¢ warto±ci przybli»one wyra»e«:
a) p(−2, 98)2+ (4, 03)2; b) (1, 03)5,02; c) p(1, 96)3 2+ (2, 03)2.
12. Wysoko±¢ i promie« podstawy sto»ka zmierzono z dokªadno±ci¡ ±1 mm. Otrzymano h = 60 cm, r = 30 cm.
Z jak¡ dokªadno±ci¡ mo»na wyznaczy¢ jego obj¦to±¢.
13. Wyznaczy¢ gradient funkcji f(x, y) = xy w dowolnym punkcie. Dla punktu (1, 1) wyznaczy¢ pochodne w kierunku gradientu oraz wersorów [45,35]i [√22, −
√2 2 ].
14. Wyznaczy¢ ekstrema podanych funkcji: a) f(x, y) = x2+ xy + 2y2− 14y; b) f(x, y) = (2x + y2)ex; c) f(x, y) = x3+ y3− 3xy; d) f(x, y) = 8
x +x
y + y; e) f(x, y) = x2+ y2− 32 ln(xy).
