Funkcje analityczne
Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
1 Przekształcenia płaszczyzny
Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Rozpatrywać będziemy R2 jako przestrzeń liniową (nad R) z bazą standardową (tzn. bazę tworzą dwa wektory: (1, 0) oraz (0, 1)).
Odwzorowanie A : R2→ R2nazwiemy liniowym, gdy spełnia warunek:
A(αs + βt) = αA(t) + βA(s) dla każdych t, s ∈ R2 oraz α, β ∈ R.
Każde odwzorowanie liniowe można przedstawić jako działanie macierzy A = (aij), i, j = 1, 2, czyli
As =a11 a12
a21 a22
×s1
s2
dla każdego s = (s1, s2) ∈ R2.
Prawdziwe jest również zdanie odwrotne, tzn. każda macierz 2 × 2 wyznacza odwzorowanie liniowe z R2 w R2.
Przykład: obrót na płaszczyźnie
W przestrzeni R2 obrót o kąt t dany jest za pomocą macierzy
O(t) =cos t − sin t sin t cos t
.
Obrót jest przykładem odwzorowania wiernokątnego, tzn. takiego, że kąt między dowolnymi wektorami v, w ∈ R2jest taki sam, jak kąt między wektorami Ov, Ow ∈ R2.
Wiernokątne odwzorowania liniowe Twierdzenie 1. Odwzorowanie liniowe
A = a b
−b a
a, b ∈ R, a2+ b26= 0
jest konforemne.
Dowód 1. Zauważmy, że dla dowolnych v = (x1, y1), w = (x2, y2) ∈ R2zachodzi równość hAv, Awi =(ax1+ by1, −bx1+ ay1), (ax2+ by2, −bx2+ ay2)
= (a2+ b2)hv, wi.
Zatem, jeśli v, w ∈ R2 są prostopadłe, to również prostopadłe są wektory Av, Aw. Aby zakończyć dowód wystarczy przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazowych.
2 Funkcje holomorficzne jako wiernokątne przekształcenia płasz- czyzny
Równokątność, czyli konforemność
Niech A ⊂ C. Odwzorowanie f : A → C nazywamy równokątnym (konforemnym) w z0, jeśli zachowuje kąt między krzywymi.
Re Im
z0
z 7→ f (z)
Re Im
Przykład: niekonforemne odwzorowanie
Re Im
z 7→ z2
Re Im
Warunki Cauchy’ego–Riemanna
Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0+ iy0 ∈ A. Jakobian odwzorowania f jest równy
∂u
∂x(x0, y0) ∂u
∂y(x0, y0)
∂v
∂x(x0, y0) ∂v
∂y(x0, y0)
Jeśli f jest holomorficzna w z0 = x0+ iy0, to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian jest równy
∂u
∂x(x0, y0) ∂u
∂y(x0, y0)
−∂u
∂y(x0, y0) ∂u
∂x(x0, y0)
Warunek dostateczny konforemności
Twierdzenie 2. Niech f będzie holomorficzna w otoczeniu z0 oraz f0(z0) 6= 0. Wtedy f jest równokątna w z0.
Dowód 2 (szkic). Uzasadnienie polega na tym, by pokazać, że odwzorowanie f można przedstawić jako skalowanie oraz obrót, przy czym to drugie obraca styczną do krzywej C w otoczeniu z0 o ustalony kąt zależny tylko od odwzorowania f (w szczególności nie zależy ten kąt od krzywej).
Przykład: z 7→ ez
Warunek f0(z0) 6= 0 implikuje, że w otoczeniu z0 funkcja f jest różnowartościowa (tzw. lokalnie różno- wartościowa). Poniższy przykład pokazuje, że f nie musi być (globalnie) różnowartościowa.
Re Im
z 7→ ez
Re Im
Przykładowo: jeśli z = 1 + it, t ∈ R, to
e1+it= e · eit= e(cos t + i sin t) t ∈ R
Twierdzenie Riemanna
Twierdzenie 3 (Riemann). Niech G, D ⊂ C, G, D 6= C, będą dwoma obszarami jednospójnymi. Wówczas dla dowolnych a ∈ G, b ∈ D istnieje takie odwzorowanie wiernokątne f zbioru G na D, że f (a) = b.
Obszar E nazywamy jednospójnym, gdy zbiór C \ E jest spójny.
Dysk jednostkowy jest jednospójny
1
Pierścień nie jest jednospójny
r2
r1
3 Ważne odwzorowania wiernokątne
Obszary konforemnie równoważne
Obszary D, G ⊂ C nazywamy konforemnie równoważnymi, jeśli istnieje konforemne odwzorowanie f przekształcające D na G.
Jeśli dodatkowo f jest róznowartościowa, to istnieje f−1 przekształcające konforemnie G na D.
Odwzorowanie z 7→ az + b Funkcja
z 7→ az + b a, b ∈ C, a 6= 0 jest wiernokątna na C.
Jej działanie można opisac jako skalowanie przez |a|, obrót o arg a oraz przesunięcie o b.
Odwzorowanie z 7→ zα, α ∈ R Funkcja
z 7→ zα α ∈ R
jest wiernokątna poza zerem. Jej działanie można opisac jako skalowanie o potędze α oraz „symetryczne”
rozciągnięcie/zwężenie.
Re Im
z 7→ z2
Re Im
Odwzorowanie z 7→ zα, α ∈ R
Re Im
z 7→ z12
Re Im
Odwzorowanie z 7→ az+bcz+d (przekształcenie M¨obiusa) Jeśli ad − bc 6= 0, to funkcję
z 7→ az + b
cz + d: C → C nazywamy funkcją M¨obiusa. Pochodna funkcji M¨obiusa wynosi
ad − bc (cz + d)2, stąd poza z = −d/c ta funkcja jest wiernokątna.
(Przypadkiem z 7→ az + b już się zajmowaliśmy.)
Twierdzenie 4. Każde przekształcenie M¨obiusa przekształca zbiór złożony z kół oraz linii prostych na zbiór złożony z kół oraz linii prostych.
4 Obszary konforemnie równoważne
Górna półpłaszczyzna i dysk jednostkowy
Niech Π+= {z ∈ C : Im z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : Π+→ D dana wzorem
f (z) = z − i
1 − iz z ∈ Π+ odwzorowuje konforemnie Π+ na D.
Re Im
z 7→1−izz−i
Re Im
Uniwersalność przekształcenia M¨obiusa
Twierdzenie 5. Trzy dowolne parami rózne punkty z1, z2, z3 mogą zostać przekształcone na trzy ustalone i parami różne punkty w1, w2, w3 za pomocą jednoznacznie wyznaczonego przekształcenia M¨obiusa f . Funkcję f można wyznaczyć z równania
f (z) − w1 f (z) − w3
·w2− w3 w2− w1
= z − z1 z − z3
·z2− z3 z2− z1
.
(Jeśli któryś z wybranych punktów to ∞, wówczas iloraz, w którym występuje ten punkt traktuje się jako 1.)
Uniwersalność przekształcenia M¨obiusa: przykład f (z) − w1
f (z) − w3
·w2− w3 w2− w1
= z − z1 z − z3
·z2− z3 z2− z1
.
Przykład 1. Znajdziemy odwzorowanie M¨obiusa przekształcające punkty z1 = −1, z2 = 0, z3 = 1 na odpowiednio punkty w1= −1, w2= −i, w3= 1.
Na podstawie powyższego wzoru mamy f (z) + 1
f (z) − 1· −i − 1
−i + 1= z + 1 z − 1·0 − 1
0 + 1. Stąd
f (z) = z − i 1 − iz. Jest to konforemne przekształcenie Π+ na D!
Znajdowanie odwzorowań konforemnych: strategia
Zadanie 1. W jaki sposób przekształcić obszar D na G za pomoca funkcji M¨obiusa?
Dysk jednostkowy i prawa półpłaszczyzna
Niech Π+= {z ∈ C : Re z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → Π+ dana wzorem
f (z) = z − 1
z + 1 z ∈ D odwzorowuje konforemnie D na Π+.
Re Im
z 7→z−1z+1
Re Im
Dysk jednostkowy na dysk jednostkowy
Niech D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → D dana wzorem
f (z) = fz0(z) = z − z0
z0z − 1 z ∈ D konforemnie przekształca D na D w taki sposób, by f (z0) = 0.
Wnętrze kąta na dysk jednostkowy
Niech G =z ∈ C : arg z ∈ −π6,π6 . Odwzorować konforemnie obszar G na dysk jednostkowy D.
Odwzorowanie z 7→ z3 przekształca G na prawą półpłaszczyznę, natomiast funkcja z 7→ z−1z+1 prawą półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Stąd funkcja
z 7→ z3− 1
z3+ 1 z ∈ G przekształca konforemnie G ma D.
Re Im
z 7→zz33−1+1
Re Im