Dynamika w wiruj ˛ acej pułapce harmonicznej

Dynamika w wiruj ˛ acej pułapce harmonicznej

klasycznie i kwantowo

Tomasz Sowi ´ nski

Centrum Fizyki Teoretycznej PAN

Kraków, 8 maja 2006

Klasyczna analiza ruchu

Hamiltonian układu

H = p ²

2m + m

2 r· ˆ V (t)·r

Klasyczna analiza ruchu

Hamiltonian układu

H = p ²

2m + m

2 r· ˆ V (t)·r Hamiltonian w układzie wiruj ˛ acym

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r

Klasyczna analiza ruchu

Hamiltonian układu

H = p ²

2m + m

2 r· ˆ V (t)·r Hamiltonian w układzie wiruj ˛ acym

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r Równania ruchu

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p

Klasyczna analiza ruchu

Równanie własne na amplitud ˛e modu:

− ˆ Ω − iω _{k m} ¹

− m ˆ V − ˆ Ω − iω _k

!

· R ^(k) ₀ P ^(k) ₀

!

= 0

Rozwi ˛ azania konstruujemy z modów własnych:

r (t) p (t)

!

=

6

X

k=1

λ _k R ^(k) ₀ P ^(k) ₀

!

e ^{iω k t}

Klasyczna analiza ruchu

Równanie własne na amplitud ˛e modu:

− ˆ Ω − iω _{k m} ¹

− m ˆ V − ˆ Ω − iω _k

!

· R ^(k) ₀ P ^(k) ₀

!

= 0

Rozwi ˛ azania konstruujemy z modów własnych:

r (t) p (t)

!

=

6

X

k=1

λ _k R ^(k) ₀ P ^(k) ₀

!

e ^{iω k t}

równanie na cz ˛esto´sci własne

ω ⁶ + A ω ⁴ + B ω ² + C = 0

cz ˛esto´sci własne zawsze wyst ˛epuj ˛ a parami: ^± ω .

Cz˛esto´sci własne, a stabilno´s´c układu

Równanie na cz ˛esto´sci własne ( ^Ω = Ωn )

χ ³ + A χ ² + B χ + C = 0 (ω ² = χ) A = −2Ω ² − _Tr ( ˆ V )

B = Ω ⁴ + Ω ² h

3n· ˆ V ·n − ^Tr ( ˆ V ) i

+ ^Tr ( ˆ V ) ² − _Tr ( ˆ V ² ) 2

C = −Ω ⁴ n· ˆ V ·n + Ω ² h

Tr ( ˆ V )n· ˆ V ·n − n· ˆ V ² · n i

− _Det ( ˆ V )

Cz˛esto´sci własne, a stabilno´s´c układu

Równanie na cz ˛esto´sci własne ( ^Ω = Ωn )

χ ³ + A χ ² + B χ + C = 0 (ω ² = χ) A = −2Ω ² − _Tr ( ˆ V )

B = Ω ⁴ + Ω ² h

3n· ˆ V ·n − ^Tr ( ˆ V ) i

+ ^Tr ( ˆ V ) ² − _Tr ( ˆ V ² ) 2

C = −Ω ⁴ n· ˆ V ·n + Ω ² h

Tr ( ˆ V )n· ˆ V ·n − n· ˆ V ² · n i

− _Det ( ˆ V )

Dla ustalonego V ˆ i n otrzymujemy równanie krzywej

f (χ, Ω) = χ ³ + A(Ω) χ ² + B(Ω) χ + C(Ω) = 0

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 1 , V _y = 3 , V _z = 2 Ω = (0, 0, Ω)

0 1 2 3 4

Ω

1 2 3 4 5 6

χ

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 1 , V _y = 3 , V _z = 2 Ω = (0, 0, Ω)

0 1 2 3 4

Ω

1 2 3 4 5 6

χ

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 1 Potencjał nieobracaj ˛ acy si ˛e

X Y

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 1 Powolny obrót ( Ω = 0.2 ), pierwszy obszar stabilno´sci

X Y

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 1 Obrót destrukcyjny ( Ω = 1.5 ), obszar niestabilno´sci

X Y

Przypadek dwuwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 1 Szybki obrót ( Ω = 2 ), drugi obszar stabilno´sci

X Y

Dowolne ustawienie osi obrotu

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 Ω = ^{√ Ω}

3 (1, 1, 1)

0 1 2 3 4

Ω

1 2 3 4 5 6

χ

Dowolne ustawienie osi obrotu

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 Ω = ^{√ Ω}

3 (1, 1, 1)

0 1 2 3 4

Ω

1 2 3 4 5 6

χ

Przypadek trójwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 Pierwszy obszar niestabilno´sci

Y

X Z

Przypadek trójwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 Drugi obszar niestablino´sci

X Y Z

Przypadek trójwymiarowy

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 Stabilizacja sił ˛ a Coriolisa

X Y Z

Rezonans grawitacyjny

Hamiltonian w obecno´sci pola grawitacyjnego

H = p ²

2m + r· ˆ Ω·p + m

2 r· ˆ V ·r + mg(t)·r

Równania ruchu nadal s ˛ a liniowe, ale niejednorodne

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t) Rozwi ˛ azanie równa ´n ruchu jest postaci

r (t) p (t)

!

=

6

X λ _k (t) R ^(k) ₀ P ^(k)

!

e ^{iω k t}

Rezonans grawitacyjny

Dynamika konkretnego modu

d λ _k

d t = γ _k ^{k e −iω k (Ω)t} + γ _⊥ ^{k e i(Ω−ω k (Ω))t} Warunek rezonansu grawitacyjnego

ω _k (Ω) = Ω Jest to ciekawy typ rezonansu

obrót pułapki Ω

cz ˛esto´s´c własna ω

warunek rezonansu ω = Ω

Punkty rezonansowe

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 n _x = cos( ^2π ₅ ) , n _y = 0 , n _z = sin( ^2π ₅ )

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

χ

Ω

Punkty rezonansowe

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 n _x = cos( ^π ₄ ) , n _y = 0 , n _z = sin( ^π ₄ )

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

χ

Ω

Punkty rezonansowe

V _x = 3 , V _y = 2 , V _z = 1 n _x = cos( ₆₀ ^π ) , n _y = 0 , n _z = sin( ₆₀ ^π )

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

χ

Ω

Trajektorie w obecno´sci grawitacji

V _x = 1 , V _z = 3 , Ω = (0, 0, 0) brak obrotu

X'

Z'

Trajektorie w obecno´sci grawitacji

V _x = 1 , V _z = 3 , Ω = (0, 0.15, 0) Poni˙zej cz ˛esto´sci rezonansowej

X'

Z'

Trajektorie w obecno´sci grawitacji

V _x = 1 , V _z = 3 , ^Ω = (0, q

3 8 , 0) Obrót rezonansowy

Z'

X'

Trajektorie w obecno´sci grawitacji

V _x = 1 , V _z = 3 , Ω = (0, 2, 0) Powy˙zej cz ˛esto´sci rezonansowej

Z'

X'

Dynamika kwantowa

Hamiltonian kwantowy H ˇ = −~ ²

2m ∇ ² + ~

i r· ˆ Ω·∇ + m

2 r · ˆ V ·r + mg(t)·r zbadajmy ewolucj ˛e paczki gaussowskiej

Ψ(r, t) = N (t) ^{e ~ i φ(t)} exp



− m

2~ [r − R(t)]· ˆ K (t)·[r − R(t)] + ir·P (t)

~



Srednie poło˙zenie i p ˛ed ´

hˇ ri = Z

Ψ ^∗ (r, t) r Ψ(r, t) ^{d 3} r = R(t) hˇ p i = ~

i Z

Ψ ^∗ (r, t) ∇ Ψ(r, t) ^{d 3} r = P (t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa ´n na ewolucj ˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R (t)

d t = P (t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( ^Im K ˆ (t))

d φ(t)

d t = − ~

2 Tr( ^Re K ˆ (t)) − P (t) ²

2m + m

2 R (t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa ´n na ewolucj ˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R (t)

d t = P (t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( ^Im K ˆ (t))

d φ(t)

d t = − ~

2 Tr( ^Re K ˆ (t)) − P (t) ²

2m + m

2 R (t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja parametrów paczki

Równanie Schrödingera prowadzi do równa ´n na ewolucj ˛e parametrów:

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² + i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

d R (t)

d t = P (t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R(t) − ˆ Ω·P(t) − mg(t)

d N (t)

d t = N (t)

2 Tr( ^Im K ˆ (t))

d φ(t)

d t = − ~

2 Tr( ^Re K ˆ (t)) − P (t) ²

2m + m

2 R (t)· ˆ V ·R(t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz K ^ˆ

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² +i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz K ^ˆ

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² +i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj ˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz K ^ˆ

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² +i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj ˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

 d d t N ˆ



· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

 d d t D ˆ



· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Kształt kwantowej paczki opisany jest przez macierz K ^ˆ

d K ˆ (t)

d t = −i ˆ K (t) ² +i ˆ V − h ˆ Ω, ˆ K (t) i Wykonujemy dekompozycj ˛e

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

− i m

 d d t N ˆ



· ˆ D ⁻¹ + i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ ·

 d d t D ˆ



· ˆ D ⁻¹ =

= i

m ² N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ N · ˆ D ⁻¹ + i ˆ V + i

m Ω· ˆ ˆ N · ˆ D ⁻¹ − i

m N · ˆ ˆ D ⁻¹ · ˆ Ω

Ewolucja kształtu paczki

Po uporz ˛ adkowaniu równania maj ˛ a posta´c:

d D ˆ

d t = 1

m N − ˆ ˆ Ω· ˆ D

d N ˆ

d t = − m ˆ V · ˆ D − ˆ Ω· ˆ N Przypomnijmy klasyczne równania ruchu:

d r

d t = p

m − ˆ Ω·r

d p

d t = −m ˆ V ·r − ˆ Ω·p − mg(t)

Kolumny N ˆ i D ˆ spełniaj ˛ a klasyczne równania ruchu!

Kształt paczki nie czuje zewn ˛etrznego pola!

Przykład 1D

Jednowymiarowy oscylator (bezwymiarowo):



− ∂ ²

∂ξ ² + ξ ²



ψ(ξ, τ ) = i ∂

∂τ ψ(ξ, τ ) Zbadamy ewolucj ˛e paczki gaussowskiej:

ψ(ξ, τ ) = N (τ ) ^{e −α(τ )ξ 2 /2} α(0) = 2

Przykład 1D

Jednowymiarowy oscylator (bezwymiarowo):



− ∂ ²

∂ξ ² + ξ ²



ψ(ξ, τ ) = i ∂

∂τ ψ(ξ, τ ) Zbadamy ewolucj ˛e paczki gaussowskiej:

ψ(ξ, τ ) = N (τ ) ^{e −α(τ )ξ 2 /2} α(0) = 2

Rozwi ˛ azanie: α (τ ) = −i ⁿ _{d(τ )} ^{(τ )}

warunek pocz ˛ atkowy: n(0) = −2, d(0) = i i rozwi ˛ azujemy:







d ˙ = n

˙n = −d

⇒







d (τ ) = −2 sin(τ ) + i cos(τ )

n (τ ) = −2 cos(τ ) − i sin(τ )

Generyczny stan stacjonarny

Jeszcze raz ewolucja kształtu:

K ˆ (t) = − i

m N ˆ (t)· ˆ D ⁻¹ (t)

Aby kształt nie zale˙zał od czasu wystarczy, aby:

D ˆ (t) = D ˆ ₀ · _e ^{i ωt ˆ} N ˆ (t) = N ˆ ₀ · _e ^{i ωt ˆ}

K ˆ ₀ = − _m ⁱ N ˆ ₀ · ˆ D ₀ ⁻¹

Pami ˛etamy, ˙ze klasyczne mody spełniaj ˛ a taki warunek:





r ^(k) (t) p ^(k) (t)



 =





R ^(k) ₀ P ^(k) ₀



 e ^{iω k t}

Z klasycznych amplitud mo˙zna zbudowa´c stacjonarn ˛ a paczk˛e falow ˛ a

Przepis na funkcj˛e falow ˛ a

Znajd´z trzy mody własne:

R ⁽¹⁾ ₀ P ⁽¹⁾ ₀

!

e ^{iω 1 t} R ⁽²⁾ ₀ P ⁽²⁾ ₀

!

e ^{iω 2 t} R ⁽³⁾ ₀ P ⁽³⁾ ₀

!

e ^{iω 3 t}

Zbuduj macierze N ^ˆ ₀ i D ^ˆ ₀ nast ˛epuj ˛ aco:

D ˆ ₀ = 

R ⁽¹⁾ ₀ R ⁽²⁾ ₀ R ⁽³⁾ ₀

 N ˆ ₀ = 

P ⁽¹⁾ ₀ P ⁽²⁾ ₀ P ⁽³⁾ ₀



Przepis na funkcj˛e falow ˛ a

Znajd´z trzy mody własne:

R ⁽¹⁾ ₀ P ⁽¹⁾ ₀

!

e ^{iω 1 t} R ⁽²⁾ ₀ P ⁽²⁾ ₀

!

e ^{iω 2 t} R ⁽³⁾ ₀ P ⁽³⁾ ₀

!

e ^{iω 3 t}

Zbuduj macierze N ^ˆ ₀ i D ^ˆ ₀ nast ˛epuj ˛ aco:

D ˆ ₀ = 

R ⁽¹⁾ ₀ R ⁽²⁾ ₀ R ⁽³⁾ ₀

 N ˆ ₀ = 

P ⁽¹⁾ ₀ P ⁽²⁾ ₀ P ⁽³⁾ ₀

 Wylicz macierz K ^ˆ ₀ = − _m ⁱ N ˆ ₀ · ˆ D ₀ ⁻¹

Gaussowska funkcja falowa

Ψ ₀ (r) = N ^{e − 2~ m r · ˆ K 0 ·r}

Wybór modów własnych

Układ posiada 6 modów własnych o cz˛esto´sciach:

± ω ₁ ± ω ₂ ± ω ₃

Potrzebujemy 3 mody do konstrukcji macierzy N ˆ ₀ i D ˆ ₀

Które mody nale˙zy wybra´c?

Wybór modów własnych

Układ posiada 6 modów własnych o cz˛esto´sciach:

± ω ₁ ± ω ₂ ± ω ₃

Potrzebujemy 3 mody do konstrukcji macierzy N ˆ ₀ i D ˆ ₀

Które mody nale˙zy wybra´c?

Nale˙zy wybra´c te mody, które zapewni ˛ a Re K ˆ ₀ > 0 Istnieje tylko jedna taka kombinacja!

Z ka˙zdej pary o okre´slonej cz˛esto´sci jest wybrany dokładnie jeden mod

Nawet gdy hamiltonian nie jest dodatniookre´slony istnieje taka

kombinacja!

Inne stany stacjonarne

Aby znale´z´c inne stany stacjonarne zbadajmy ewolucj ˛e funkcji:

Ψ(r, t) = N ^{e ~ i φ(t)} exp



− m

2~ [r − R(t)]· K ˆ ₀ · [r − R(t)] + ir·P (t)

~



teraz kształt K ˆ ₀ nie zmienia si ˛e w czasie

Srednie poło˙zenie i p ˛ed spełniaj ˛ ´ a klasyczne równania

d R(t)

d t = P (t)

m − ˆ Ω·R(t)

d P (t)

d t = −m ˆ V ·R (t) − ˆ Ω·P (t) Wybierzmy mod o cz˛esto´sci − ω _k





R(t) P (t)



 =





R ^(−k) ₀ P ^(−k) ₀



 e ^{−iω k t}

Inne stany stacjonarne

Funkcj ˛e falow ˛ a ma wtedy posta´c

Ψ(r, t) = A ^{e iΩ 0 t}

X ∞ n=0

1

n! H _n (α _k · r) ^{e −in ω k t e − 2~ m r · ˆ K 0 ·r}

Ω ₀ = − 1

2 Tr( ^Re K ˆ ₀ )

α k ∝ m ˆ K ₀ ·R ^(−k) ₀ + iP ^(−k) ₀

Stanem stacjonarnym hamiltonianu jest zatem:

Ψ n (r) = A n H n (α k · r) Ψ ₀ (r) E _n = ~ (nω k − Ω ₀ )

Konstrukcj ˛e nale˙zy powtórzy´c dla wszystkich klasycznych modów.

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Gaussowski stan stacjonarny

Ψ ₀ (x) = N ^exp

„

− mΩ 2~ x ²

«

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Ruch po klasycznej trajektorii

Ψ(x, t) = N ^exp

„

− mΩ

2~ (x − R(t)) ² + ixP (t)

~

«

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Gaussowski stan stacjonarny

Ψ ₀ (x) = N ^exp

„

− mΩ 2~ x ²

«

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Ruch po klasycznej trajektorii

Ψ(x, t) = N ^exp

„

− mΩ

2~ (x − R(t)) ² + ixP (t)

~

«

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Ruch po trajektorii drugiego modu

R(t) = ^{e −i Ωt}

P (t) = im Ω ^{e −i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Gaussowski stan stacjonarny

Ψ ₀ (x) = N ^exp

„

− mΩ 2~ x ²

«

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Ruch po klasycznej trajektorii

Ψ(x, t) = N ^exp

„

− mΩ

2~ (x − R(t)) ² + ixP (t)

~

«

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Ruch po trajektorii drugiego modu

R(t) = ^{e −i Ωt}

P (t) = im Ω ^{e −i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Rozwini ˛ecie w wielomiany Hermitta

Ψ(r, t) =

∞

X

n =0

A ⁿ H ⁿ (αx) ^{e −in Ω t e i Ω 0 t} Ψ ₀ (x)

Gaussowski stan stacjonarny

Ψ ₀ (x) = N ^exp

„

− mΩ 2~ x ²

«

Przykład 1D

Równania ruchu

˙x(t) = p(t) m

˙

p(t) = −mΩx(t)

Ruch po klasycznej trajektorii

Ψ(x, t) = N ^exp

„

− mΩ

2~ (x − R(t)) ² + ixP (t)

~

«

Mody własne

0

@ 1 imΩ

1 A e ^{i Ωt}

0

@

−1 imΩ

1

A e ^{−i Ωt}

Ruch po trajektorii drugiego modu

R(t) = ^{e −i Ωt}

P (t) = im Ω ^{e −i Ωt}

Kształt stanu stacjonarnego

D ₀ = 1 D ₀ = −1 N ₀ = imΩ N ₀ = imΩ

K ₀ = Ω K ₀ = −Ω

Rozwini ˛ecie w wielomiany Hermitta

Ψ(r, t) =

∞

X

n =0

A ⁿ H ⁿ (αx) ^{e −in Ω t e i Ω 0 t} Ψ ₀ (x)

Gaussowski stan stacjonarny

Ψ ₀ (x) = N ^exp

„

− mΩ 2~ x ²

«

Zupełny układ stanów

Ψ ⁿ (x) = A ⁿ H ⁿ

r ~ mΩ x

!

Ψ ₀ (x)

E ⁿ = ~ (nΩ + Ω/2)

Podsumowanie

Wiruj ˛ aca pułapka harmoniczna

Dynamika klasyczna - obrót wokół osi głównej - obrót wokół dowolnej osi - stabilno´s´c dynamiki

- obszary niestabilno´sci

Pole grawitacyjne

- nietrywialny wpływ pola - rezonans grawitacyjny

Dynamika kwantowa

- dynamika gaussowskiego stanu - gaussowski stan stacjonarny - rodzina stanów stacjonarnych

Cała dynamika kwantowa

opisana w j ˛ezyku

dynamiki klasycznej