–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ciągłość funkcji
15. Ciągłość funkcji
Niech f : D → R, D ⊂ R, a x
0∈ D. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈D|x − x
0| < δ =⇒ |f(x) − f(x
0) | < ε.
Niech dana będzie funkcja f : D → R, D ⊂ R, x
0∈ D. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(xn)∞n=1⊂Dx
n→ x
0= ⇒ f(x
n) → f(x
0).
Mówimy, że funkcja f : D → R, D ⊂ R jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie x
0∈ D.
Wszystkie funkcje elementarne: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, funkcje logaryt- miczne, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne są funkcjami ciągłymi.
15.1. Przykładowe zadania
1. Zbadać ciągłość funkcji
f (x) =
1
x2
dla x < −1, (x + 2)
2dla − 1 ¬ x ¬ 2, 3
xdla x > 2.
Rozwiązanie:
Poza punktami x
1= −1 i x
2= 2 funkcja jest ciągła, gdyż jest zawężeniem funkcji elementarnych.
Należy zatem zbadać ciągłość funkcji f w punktach x
1= −1 i x
2= 2. W tym celu policzymy granice obustronne w obu punktach.
lim
x→−1−
f (x) = lim
x→−1− 1
x2
= 1, lim
x→−1+
f (x) = lim
x→−1+
(x + 2)
2= 1, zatem lim
x→−1
f (x) = 1 = f ( −1), zatem f jest ciągła w punkcie x = −1.
x
lim
→2−f (x) = lim
x→2−
(x + 2)
2= 8, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
3
x= 9, zatem lim
x→2−
f (x) ̸= lim
x→2+
f (x), czyli nie istnieje lim
x→2
f (x), zatem f jest nieciągła w punkcie x = 2.
Odpowiedź: Funkcja f nie jest ciągła w punkcie x = 2. Natomiast jest ciągła w zbiorze R \ {2}.
15.2. Zadania
Zbadać ciągłość funkcji f : R → R określonej następująco:
1. f (x) =
{|x|x
+ x dla x ̸= 0,
0 dla x = 0.
2. f (x) =
{
x
2+ 4 dla x ¬ 0, 3x − 1 dla x > 0.
3. f (x) =
{ x−1
x2+x−2
dla x / ∈ {−2, 1},
1
3
dla x ∈ {−2, 1}.
4. f (x) =
{
log
3((x + 3)
2) dla x / ∈ [−5, 5], x
2− 25 dla x ∈ [−5, 5].
5. f (x) =
{
cos
πx2dla |x| ¬ 1,
|x − 1| dla |x| > 1.
6. f (x) =
{ xx2−9
dla x < 0, x ̸= −3
x
x2+1
dla x 0, x = −3.
7. f (x) =
{sin 3xx
dla x < 0,
√ x
2+ 9 dla x 0.
8. f (x) =
{x2−6x+9
x−3
dla x ̸= 3,
1 dla x = 3.
83
Ciągłość funkcji
9. f (x) =
{
−2 sin x dla x < 0, cos x dla x 0.
10. f (x) =
2
x2x−1−xdla x < 1, log
2x + 2 dla x 1.
11. f (x) =
{1x
dla x < 1, x ̸= 0, 2x − 1 dla x ¬ 1.
12. f (x) =
x
2dla x < 0,
√ x − 1 dla 0 ¬ x < 1,
1 dla x 1.
13. f (x) =
x
2− 1 dla x ¬ 0, 0 dla 0 < x < 1, log x dla x 1.
Dobrać parametry a i b tak, aby poniższe funkcje były ciągłe:
14. f (x) =
−2 sin x dla x ¬ −
π2, a sin x + b dla −
π2< x ¬
π2, cos x dla x >
π2.
15. f (x) =
{
|x| dla x ¬ 1, x
2− a dla x > 1.
16. f (x) =
2
x+2dla x ¬ −3, ax + b dla − 3 < x ¬ 2,
1
1−x
− 1 dla x > 2.
17. f (x) =
{x2−4x+3
x−1
+ x dla x ̸= 1,
a dla x = 1.
18. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) D
f= R \ {0}.
b) Funkcja f jest rosnąca w zbiorze ( −∞, −3) ∪ (2, 4).
c) lim
x→4+
f (x) = lim
x→2−
f (x).
d) Prosta x = 0 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f . e) Funkcja f ma co najwyżej trzy miejsca zerowe.
f) lim
x→−∞
f (x) = + ∞.
19. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) D
f= R \ {0, 2}.
b) Prosta x = 2 jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
c) Funkcja f jest malejąca w przedziale ( −∞, 1).
d) lim
x→0+
f (x) = f (4).
e) Prosta y = 3 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f . f) Funkcja f jest ciągła.
g) Funkcja f ma co najwyżej trzy miejsca zerowe.
h) lim
x→2+
f (x) = + ∞.
84
Ciągłość funkcji
20. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) Funkcja f jest rosnąca w zbiorze ( −∞, −1).
b) f (x) > 0 dla x ∈ (−2, 0).
c) Funkcja f jest ciągła.
d) Prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną wy- kresu funkcji f .
e) lim
x→0+
f (x) = −∞.
f) f ( −2) = f(0) − 1.
g) Prosta y = x jest asymptotą ukośną funkcji f w + ∞.
21. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) Funkcja f jest silnie rosnąca w zbiorze ( −∞, −1).
b) f (x) > 0 dla x ∈ (−∞, 3) \ {−1, 1}.
c) Prosta x = 1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f . d) Funkcja f jest ciągła dla x ∈ (1, +∞).
e) lim
x→1+
f (x) = lim
x→−1−
f (x).
f) f (2) = 1 − f(3).
22. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f , ocenić, czy następujące zdania są praw- dziwe:
a) lim
x→2+
f (x) = f ( −1).
b) f (x) < 0 dla x ∈ (1, +∞) \ {2}.
c) Funkcja f ma dokładnie 4 miejsca zerowe.
d) Funkcja f jest ciągła.
e) Funkcja f jest malejąca w zbiorze ( −1, 2).
f) f ( −3) = f(1) + 1.
g) Prosta y = −2 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f .
85
