ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ___________ 1986
S e r i a : AUTOMATYKA z , 84- jjr ^ 0 1 . 8 9 ^
S t a n i s ł a w Z d r z a ł k a
I n s t y t u t C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j P o l i t e c h n i k a W rocław ska
SZEREGÓW ANIE ZADAŃ NA L I N I I MONTAŻOYffiJ Z WIELOMA STANOWISKAMI KRYTYCZNYMI *
S t r e s z c z e n i e . 'II p r a c y sform uło wano z a g a d n i e n i e s z e r e g o w a n i a z a da ń n a l i n i i m ontażow ej z w ielom a s t a n o w i s k a m i k r y t y c z n y m i . P o k a z a n o , ż e p r z y pevmych z a ł o ż e n i a c h z a g a d n i e n i e to j e s t równoważne mo
d y f i k a c j i wielowym iarowego p ro b le m u p a k o w a n ia , w k t ó r e j w y s t ę p u j ą p r z e d m i o t y o d o d a t n i c h i ujemnych w y m ia ra ch . Wykazano, ż e p ro b lem j e s t N P - t r u d n y o r a z p r z e d s t a w i o n o w y n ik i b ad a ń algorytmów h e u r y s ty c zn y c h ' d l a p r o b le m u j e d n o i wielowym iarow ego.
1. Wstęp
77 p r a c y rozv/ażamy z a g a d n i e n i e s z e r e g o w a n i a z a d a ń n a . l i n i i m ontażow ej.
Model proponowany w p r a c y d o t y c z y n a s t ę p u j ą c e j s y t u a c j i :
1) Na l i n i i m ontażowej wykonywanych j e s t w i e l e r o d z a jó w p ro d u k tó w , p r z y czym k aż d y z n i c h wymaga w y k o n a n ia pew nej l i c z b y o p e r a c j i , ró ż n y c h d l a p o s z c z e g ó l n y c h r o d z a j ó w p ro d u k tó w ,
2) O p e r a c j e z w ią z a n e z wykonaniem k aż d eg o r o d z a j u p r o d u k t u z o s t a ł y p r z y d z i e l o n e do s t a n o w i s k l i n i i montażowej i d l a każdego s t a n o w i s k a znany j e s t ł ą c z n y c z a s wykonywania w s z y s t k i c h o p e r a c j i k aż dego r o d z a j u p r o d u k t u .
5 ) . D la dowolnego p u n k t u l i n i i monta żow ej c z a s pom ię dzy p r z y b y c ie m dwóch ' k o l e j n y c h p r o d u k tó w j e s t równy k c ,- g d z i e k j e s t dowolną d o d a t n i ą l i c z
bą c a ł k o w i t ą a c , minimalnym o d s tę p e m c z a s u p o m ię d z y - p r z y b y c ie m dwóch . k o l e j n y c h p r o d u k tó w ; c nazywamy czasem c y k l u i za k ła d a m y , ż e j e s t on
s t a ł y i z n a n y .
ń ) I s t n i e j e « s t a n o w i s k l i n i i , ponumerowanych d a l e j p r z e z 1 , 2 , . . . , , m , d l a k t ó r y c h c z a s y p r z e b y w a n i a p r o d u k tó w n a s t a n o w i s k a c h u^, i = 1 , . . . , m , s p e ł n i a j ą w aru n ek u^ > c , Ł = 1 , . . . , m , o r a z d l a każdego s t a n o w i s k a i i s t n i e j e p r o d u k t j , t a k i . ż e , ł ą c z n y c z a s wykonywania o p e r a c j i p r o d u k t u j n a s t a n o w i s k u i , j e s t w ię k s z y od c z a s u c y k l u , Pj.j > c * Z a k ł a damy, że “ i ó l a k aż dego i o r a z j . O p is a n e t u s t a n o w i s k a 1 , 2 , . . . . . . ,m nazywamy d a l e j k r y t y c z n y m i .
5) 7/ t r a k c i e m onta żu, p r o d u k t y n i e mogą z m i e n i a ć 'swoich p o z y c j i n a t a ś m i e . S t ą d . o d s t ę p y czasowe pom iędzy p r z y b y c ie m dwóch ty c h samych produktów n a dowolne s t a n o w i s k o s ą je d n a k o w e ; k o l e j n o ś ć pro d u k tó w w t r a k c i e mon
t a ż u n i e u l e g a z m i a n i e .
P rz y p r z e d s t a w i o n y c h z a ł o ż e n i a c h k o l e j n o ś ć o r a z o d s tę p y , czasowe p o m ię - dzy przybyw aniem p o s z c z e g ó l n y c h p r o d u k tó w n a s t a n o w i s k a l i n i i montażowej
b p r a c a b y ł a c z ę ś c i o w o f i n a n s o w a n a .p rż a z R P . I . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n i a i o p t y m a l i z a c j a c i ą g ł y c h układów d y n a m ic z n y c h 1 p ro ce só w d y s k r e t n y c h "
506 S. Z d r z a ł k a
madą i s t o t n y wpływ n a c z a s w y k o n a n ia z a d a n e j p a r t i i p ro d u k tó w ( p l a n u p r o d u k c j i ) . Wpływ ty c h czynników u w i d a c z n i a s i ę t y l k o n a s t a n o w i s k a c h k r y t y cz nych i z t e g o w z g lę d u , w d a lsz y m c i ą g u o g r a n ic z y m y s i ę t y l k o do ty c h s t a n o w i s k . I l u s t r u j e t o r y s . 1, g d z i e z a ł o ż o n o , ź e do w y k o n a n ia .są c z t e r y r ó ż n e p r o d u k t y , o num e ra ch od 1 do '+, n a l i n i i m onta żow e j z n a j d u j ą s i ę dwa s t a n o w i s k a . k r y t y c z n e i d l a k aż d eg o z n i c h = 2c. Ha r y o . 1 p r z e d s ta w i o n e s ą d o p u s z c z a l n e harmonogramy wykonywania p ro d u k tó w n a s t a n o w i s kac h k r y t y c z n y c h 1 1 2 d l a dwóch k o l e j n o ś c i m o n ta ż u . Dla k o l e j n o ś c i
< 1 , 2 , 3 , 0 maksymalny c z a s w y k o n a n ia w s z y s t k i c h p r o d u k tó w n a s t a n o w i s k a c h 1 1 2 . w y n o s i 13»5 j e d n o s t e k , d l a k o l e j n o ś c i < 2 , 4 , 1 , 3>, 10 j e d n o s t e k . Za
uważmy j e s z c z e , że d l a k o l e j n o ś c i <1, 2,3»4)> o d s t ę p c z a s u pom iędzy p r z y b y ciem p r o d u k tó w 1 i 2, n i e może w y n o s ić c , ponie;vaż w ted y o p e r a c j e p r o d u k t u 2 n a s t a n o w i s k u 2 n i e b y ły b y z a k o ń c z o n e p r z e d momentem, w k t ó r y m p r o d u k t t e n o p u s z c z a s t a n o w i s k o 2; harmonogram t a k i j e s t n i e d o p u s z c z a l n y . Podob
n i e , gdyby d l a p ro d u k tó w 2 i 3 o d s t ę p te n b y ł równy c , wówczas o p e r a c j e p r o d u k t u 3 n a s t a n o w i s k u 1 n i e mogłyby s i ę z a k o ń c z y ć p r z e d momentem, w
k tó ry m p r o d u k t 3 o p u s z c z a s t a n o w i s k o 1.
j i l _ ■3 I I
2
r g E J Z Ei i
11
g i m m : !__» i g i * i1
H lH.5 10
!>tonoMikC i
sianO tjiikC ’Z
Rys. 1. D o p u s z c z a ln e harmonogramy wykonywania p r o d u k tó w n a s t a n o w i s k a c h k r y t y c z n y c h 1 i 2 d l a k o l e j n o ś c i m onta żu < 1 , 2 , 5 » ' * / ’ i < 2 * 4 , 1 , 3 > . F i g . 1. F e a s i b l e s c h e d u l e o o f o p e r o t i o n s on. c r i t i c a l s t a t i o n s 1 and 2 f o r
s e ą u e n c e s < 1,2,3».'*^ 0113 < 2 , 4 , 1 , 3 > .
W p r a c y p r z e d s t a w i a m y f o r m a l n y m o d e l . z a g a d n i e n i a s z e r e g o w a n i a pro d u k tó w n a l i n i i m onta żow e j z w ie lo m a s t a n o w i s k a m i k r y t y c z n y m i , p o k a z u j e m y t e p o s t a w i o n y p r o b l e m o p t y m a l i z a c y j n y j e c t s i l n i e R P - t r u d n y , p o k az u je m y zw ią z k i t e g o . z a g a d n i e n i a ze znanymi, p r o b le m a m i p a k o w a n i a , je d n o i w ielo w y m ia
rowymi, i n a k o n i e c , p r z e d s t a w i a m y k i l k a p r o c e d u r h e u r y s t y c z n y c h w raz z a n a l i z ą n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u .
S z e re g o w a n ie z a d a ń n a l i n i i m o n ta ż o w e j...
2. S fo r m u ło w a n ie problem u
Dany j e s t z b i ó r z a d a ń J = { , . . . , o r a z z b i ó r maszyn Ii =
w d a lsz y m c i ą g u , d l a u n i k n i ę c i a n a d m i e r n e j n o t a c j i , p r z e z J oraz ' ” o z n a c z a ć będzie m y r ó w n ie ż z b i o r y in deksów o d p o w ie d n io , z a d a ń o r a z ma
s z y n . Każdemu z a d a n i u p r z y p o r z ą d k o w a n y j e s t c i ą g o p e r a c j i 0 . ^ , 0 ^ , . . .
• . . , 0 > wykonywanych k o l e j n o , z g o d n i e z r o s n ą c y m i p ie r w s z y m i i n d e k s a m i,iUJ n a m aszynach Łi^, J.'g,. . . ,ŁIQ. Z a d a n i a o d p o w ia d a ją p roduktom 'wykonywanym na l i n i i m o n ta ż o w e j, n a t o m i a s t maszyny, sta n o w isk o m k r y ty c z n y m . Czas wykony
w a n ia o p e r a c j i O^j w y n o s i p ^ y , p r z e r y w a n i e wykonywania o p e r a c j i n i e j e s t do zw o lo n e ; k a ż d a maszyna może w d a n e j c h w i l i c z a s u wykonywać co n a j w y ż e j j e d n ą o p e r a c j ę . Dla k aż d eg o z a d a n i a J j o p e r a c j a 0 ^ musi być wykonywana w p r z e d z i a l e c z a s u [y.^ + r C j ) ^ + r ( j ) + u^J , g d z i e v i , u Ł s ą zadanym i n i e u je m n y m i l i c z b a m i r z e c z y w i s t y m i , n a t o m i a s t r j e s t f u n k c j ą wzajem nie je d n o z n a c z n ą z J w z b i ó r Q = { r ^ = ( k - 1 ) c : i t Z+) , g d z i e Z+ j e s t z b i o rem d o d a t n i c h l i c z b c a ł k o w i t y c h , a c , d o d a t n i ą l i c z b ą r z e c z y w i s t ą . W iel
k o ś c i V p U ^ o r a z c m ają n a s t ę p u j ą c ą i n t e r p r e t a c j ę : j e s t czasem , w k t ó rym z a d a n i e ( p r o d u k t ) p r z e b y w a d ro g ę od p o c z ą t k u l i n i i montażowej co i - - t e g o s t a n o w i s k a k r y t y c z n e g o , u^ j e s t czasem p r z e b y w a n i a z a d a n i a n a s t a n o w isk u i , n a t o m i a s t c j e s t cz asem c y k l u . F u n k c j a r , zm ienna d e c y z y j n a , o k r e ś l a o d s t ę p y c z a s u , w k t ó r y c h k o l e j n e z a d a n i a p o j a w i a j ą s i ę n a s t a n o w is k u i . Zauważmy, że d l a k aż dego s t a n o w i s k a (maszyny) j e s t ona t a k a sama.
P ro b le m p o l e g a n a z n a l e z i e n i u f u n k c j i r , d l a k t ó r e j k a ż d a o p e r a c j a 0 ^ wykonywana j e s t w p r z e d z i a l e c z a s u t v ^ + r ( j ) , v i + r ( j ) +• u ^ o r a z m a m ^ j K j ) p r z y j m u j e w a r t o ś ć m i n i m a l n ą .
P r z y j ę t e k r y t e r i u m o d p o w ia d a m i n i n a l i z a c j i l i c z b y c y k l i n i e z b ę d n y c h co w y k o n a n ia w s z y s t k i ć h o p e r a c j i p rz y p o r z ą d k o w a n y c h do j e d n e j maszyny ( s t a n o w is k a k r y t y c z n e g o ) . P o n iew aż i u^ s ą s t a ł e , k r y t e r i u m to j e s t równo
z n a c z n e z m i n i m a l i z a c j ą l i c z b y c y k l i n i e z b ę o n y c h do w y konania z a d a ń ze z b i o r u J n a w s z y s t k i c h m a szy n a ch , a w p r z y b l i ż e n i u , z d o k ł a d n o ś c i ą do u_
o d p o w iad a ono m i n i m a l i z a c j i c z a s u w yk o n an ia z a d a ń z e z b i o r u J .
F o r m a l n i e z a d a n i e t o możemy p o s t a w i ć n a s t ę p u j ą c o . N iec h : J -»
i g ii; . S ^ ( j ) + j e s t momentem r o z p o c z ę c i a wykonywania o p e r a c j i O ^ j. Oz
naczmy j f = (S'1 , . , . , S m) . F u n k c ję y nazywamy' usz eregow aniem do p u sz cz aln y m ( K - d o p u s z c z a ln y m ) j e ż e l i
( i ) St ( j ) = S ^ k ) j = k , S1 ( j ) < S i 0 0 => 3 t ( j ) + P i j 4 S j O O d l a k a ż d e g o i £ M;
C i i ) i s t n i e j e w za jem n ie j e d n o z n a c z n a f u n k c j a r z J w Q (z J w z b i ó r { r k = ( k - 1 ) c : k e { i , . . . . ,K>} ) t a k ą , ż e d l a k a ż d e g o i £ 1!, r ( j ) i S Ł( a ) , S Ł( d ) + P i j ^ r ( j ) +. u r
N a l e ż y z n a l e ź ć u s z e r e g o w a n i e K - d o p u s z c z a l n e , d l a k t ó r e g o K j e s t m in im aln e.
P ro b le m t e n będzie m y d a l e j o z n a c z a ć p r z e z EMS.
3oe
S .Z d r z a ł k aW d a l s z y m c i ą g u z d e f i n i u j e m y k l a s ę u s z e r e g o w a ń d o p u s z c z a l n y c h , k t ó r a zawsze z a w i e r a u s z e r e g o w a n i e o p t y m a l n e .
N iec h p e r m u t a c j a 31 n a z b i o r z e J o k r e ś l a k o l e j n o ś ć w ykonyw ania za dań j e s t one s a k a sam a n a k a ż d e j m a s z y n i e ; p r z e z J t ( j ) o z n a c z a ć będzie m y z a d a n i e , k t ó r e z n a j d u j e s i ę n a p o z y c j i j w p e r a u t a c j i X . N ie c h J** b ę d z i e u s z e r e g o w a n ie m s p e ł n i a j ą c y m w a r u n k i ;
D la k aż dego i e Ł!,
( i ) r ( J t ( D ) = o , s | ( k ( 1 ) ) = o ,
( i i ) r ( S r ( j + 1 ) ) = r ( j r ( j ) ) + l * c , s * ( s ( j + ; 1 ) ) = m a x { r & r ( j + 1 ) j , S ? ( f ( j » ♦ P u c ( j ) ’ '
g d z i e l s = maxi e l j 1 ^ , o r a z
1 Ł = m i n { z ć Z + : m a x { s £ ( S i( j ) ) + p ^ ^ j , r ( J C ( j ) ) + z c } + p i s ( j + 1 ) ^ r ( E ( 3 ) ) + z c + U i } .
Łatwo można s p r a w d z i ć , ż e j P 3" j e s t u s z e re g o w a n i e m d o p u s z c z a ln y m . O znacz
my przefc KOf) w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u d l a ć P .
L em at. N ie c h f b ę d z i e u s z e r e g o w a n i e m d o p u s z c z a ln y m , w: k tó r y m k o l e j n o ś ć w ykonywania z a d a ń o k r e ś l o n a j e s t p r z e z Sc . « t e d y
KOf*) 4 K ( ? ) .
Dowód w y n ik a w p r o s t z d e f i n i c j i cP* i u s z e r e g o w a n i a d o p u s z c z a l n e g o . Z l e matu w y n ik a , ż e b e z s t r a t y o g ó l n o ś c i r o z w a ż a ń , możemy o g r a n i c z y ć z b i ó r u- s z e r e g o w a ń d o p u s z c z a l n y c h do z b i o r u w s z y s t k i c h J **.
N a s t ę p u j ą c e t w i e r d z e n i e p o d a j e w a r u n k i , p r z y k t ó r y c h r o z w i ą z a n i e p o s ta w i o n e g o p r o b le m u j e s t t r y w i a l n e .
T w i e r d z e n i e 1 . J e ż e l i d l a k aż d eg o i a ^ s p e ł n i o n y j e s t j e d e n z n a s t ę p u j ą cych warunków:
( i ) i c d l a k aż d eg o j e. J ,
( i i ) c=1 o r a z P i j > j £ s ą l i c z b a m i c a ł k o w i t y m i , ( i i i ) c ^ p i ^ i u Ł — ,.c d l a k a ż d e g o j £ J ,
t o K. o s i ą g a minimum d l a dow olnego u s z e r e g o w a n i a f . ■ ■
Dowód d l a p r z y p a d k u gdy INII = 1 z n a j d u j e s i ę w p r a c y i 5 1 , ć l a p r z y p a d ku Ili) > ! ■ p r z e b i e g a on p o d o b n i e .
5. Wielowymiarowy zm odyfikowany p r o b l e m p ą k o w a n i a D la x , y a R3 oznaczmy;- UxJ = msx l x . i t ,
K i * s max{x,y} = ( n a x { x 1 , y 1j , . . . ,m ax { x s , y g)’ ) .
S z e re g o w a n ie z a d a ń n a l i n i i n o irta ż o w e .i.. . . . '309
Dany j e s t z b i ó r t p r z e d m io tó w o num erach ze z b i o r u U = { l , . . . , t } , p r z y czym każdemu p r z e d m i o t o w i j p rz y p o r z ą d k o w a n y j e s t w e k t o r liczbowy' c e c h a^j ~ ( a^ ^ , » • • , a^ ^ ) £ R , ~ 1 ^ d i j ł i —1 , .^* * i s j ■ j « 1 , , . . , t . Dane s ą r ó w n i e ż p o j e m n i k i o n u m e ra c h 1 , 2 , . . . , k a ż d y o p o je m n o ś c i w y ra ż o n e j
za pomocą s - w y s ia r o w e g o w e k t o r a j e d n o s tk o w e g o ( 1 , 1 ...1 ) . Niech S b ę d z i e p e r m u t a c j ą n a z b i o r z e X C D o k r e ś l a j ą c ą k o l e j n o ś ć w k ł a d a n i a p r z e d miotów ze z b i o r u X do p o j e m n i k a 1 . P r z e z P^ ¿ ( - j ) oznaczamy s-wymiarowy w ektor- o k r e ś l a j ą c y po zio m p o j e m n i k a 1 po zap ak o w a n iu p r z e d m io tó w ć ( 1 ) , . . ,
• ♦ • ' , i ( j ) . P o je m n i k p u s t y ma po zio m P1 ^ { Q) ~ °» ^ d k o ’a i s s t P l , S ( j ) = max{ ° ’P l , i > ( j _ 1 ) + a6 ( j ) ^
N a le ż y z n a l e ź ć r o z b i c i e z b i o r u U n a L p o d z b i o r ó w D ^ , . . . , D L o r a z p e r - m u t a c j e 5 ^ , . . . , 5 ^ n a ty c h p o d z b i o r a c h , takie-.- ż e
. |l Pl , f ( j)H ' ^ * • * * »••■•» lUjl
o r a z L j e s t minimalne.- .
P ro b le m . t e n . b ędz ie m y d a l e j o z n a c z a ć p r z e z NZPP.
K p r z y p a d k u , gdy O < i- 1 , powyższy p r o b l e m znany j e s t ja k o w i e l o wymiarowy, l u b w ektorow y p r o b le m p a k o w a n ia (WPP), n a t o m i a s t gdy m=1 o r a z O < &-y -i- j e s t t o k l a s y c z n y p r o b l e m p a k o w a n ia ( P P ) , [ 1 , 2 ] .
N a s t ę p u j ą c e t w i e r d z e n i e p o d a j e z w ią z e k m ię dzy.K ł'S a '.VZFP.
T w i e r d z e n i e 2 . N ie c h c=1 o r a z = 2c d l a k aż d eg o i € M. N iec h XK o z n a c z a .m in im a ln ą w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u w EMS, a Ł*, m in im a ln ą lic z b ę pojem ników -
w p r o b l e m i e WZFP, w k tó r y m t = n , s=m o r a z a i j =- P i j ~1 - Wted* ..
= n + l * - i . .
Z a ł o ż e n i e , ż e c=1 n i e o g r a n i c z a o g ó l n o ś c i . t w i e r d z e n i a poniew aż każdy p r o b l e m K!iS można t r y w i a l n i e sprowadzić do p r z y p a d k u , gdy c=1. Dowód-'
■ t w i e r d z e n i a d l a p r z y p a d k u jednowymiarowego (m=1) podany j e s t w C '5 l .
‘T w ie r d z e n ie 3. D e c y z y jn a w e r s j a p r o b le m u SUS, w k tó r y m w s z y s t k i e , d a n e s ą l i c z b a m i n a t u r a l n y m i l u b w y m ie rn y m i. j e s t s i l n i e H P - z u p e łn a .
■'Dowód: Łatwo można s p r a w d z i ć , ż e d e c y z y j n a w e r s j a KilS n a l e ż y do- k l a s y Np.
; P s e u a o w i e l o n i a n o w a t r a n s f o r n o w a l n o ś ć w e r s j i d e c y z y j n e j PP, k t ó r a j e s t
■ s i l n i e N P - z u p e ł n a [ 2 ] do p . o d p ro b le m u . EMS, w k tó r y m m=1 w y n ik a z T w ier
d z e n i a 2 . - • .' ' -' ..
S i l n a - N P - z u p e ł n o ś ć p o s t a w i o n e g o p ro b le m u u z a s a d n i a p o s z u k i w a n i e " d o b - ' r y ć h " m e to d h e u r y s t y c z n y c h d l a j e g o - r o z w i ą z y w a n i a . Związek z p roblem am i
• p a k o w a n i a , . T w i e r d z e n i e 2 o r a z f a k t , -że d l a jednowymiarowego p r o b l e m u p a k ow ania - ( I T ) . I s t n i e j ą . p r o c e d u r y - h e u r y s t y c z n e o d o k ł a d n o ś c i d l a n a j g o r s z e go przy p a d k u , p o n i ż e j 205» [ 1 ] , s t a n o w i ą z e c h ę t ę do t a k i c h p o s z u k iw a ń , p r z y n a j m n i e j d l a . p r o b l e m u s z e r e g o w a n i a z j e d n ą . m a s z y n ą . Z d r u g i e j s t r o n y , -wynik o trz y m a n y p r z e z Yao [ 3 ] d l a wielowym iarowego p ro b le m u p a k o w a n ia ' (WPP), t e k a ż d y " r o z s ą d n y " a l g o r y t m ( t o z n a c z y t a k i , , k t ó r y n i e p o z o s t a w i a
Jin . S . Z d r z a łk a
^óch ń i e p u s t y c h po jemników,- j e ż e l i - i c h z a w ra rto ść można z m i e ś c i ć w j e d nym) o z ł o ż o n o ś c i , o b l i c z e n i o w e j 0 ( n l o g - n ) p o s i a d a d o k ł a d n o ś ć a sym pto
t y c z n ą d l a . , n a j g o r s z e g o . p r z y p a d k i r n l e m n i e j s z ą n i ż o ( r a z y o p ty m a l n a waiy t o ś ć f u n k c j i ) , g d z i e m j e s t wymiarem p r o b le m u 'p ak o w an ia,, . n i e o b i e c u j e r e w e la c y j n y c h ' pod względem d o k ł a d n o ś c i alg o ry tm ó w d l a w e r s j i w ic i o w y m ia r o - . wej-. p o s ta w i o n e g o p r o b l e m u .
4 . A lgorytm y h e u r y s t y c z n e d l a p r o b l e m u ■ Je d n o a a s z y n o w e g o t - p r z y p a d e k u ^ -2 c H o z p ą tr u ję m y jednOmaszynowy p r o b l e m KJĆS ( c = 1 ) z c = l . A lg o r y tm y '- r o z p a tr y w a n e w tym p u n k c i e sfo rm u ło w a n e śą- d l a e k w i w a l e n t n e j p o s t a c i p r o b le m u KUŚ, t o - j e s t - d l a jednowym iarow ego zm odyfikowanego p r o b le m u p a k o w a n ia - - ■■
(Zpp),- w -k tó ry m U =; J o r a z a.j' = p ^ -1 d l a j e. U; i f j s ą w tym p r z y - , p ad k u ' s k a l a r a m f . ' U a j ą c . d a n e r o z w i ą z a n i « ' h e u r y s t y c z n e ZPP w - p o s t a c i ż b i o - , r u p e r m u t a c j - i u s z e r e g o w a n i e h e u r y s t y c z n e 0 t r z y m u j ę m y - b i o - .
r ą c g d z i e j / j e s t p o ł ą c z e n i e m - p e r m p t a p j i jcT^, óo z a p i s u jemy d a l e j j a k o 4 '= ..V * Z a c h o d z i p r z y -tym,.. [ 5 ] ,
D l a u n i k n i ę c i a n a d m i e r n e j _no t ą c j i , - w 'd a l s z y m . c i ą g u p r z e z j o z n a c z a m y . rów
n i e ż l i c z b ę ż a d a ń ze z b i o r u J . Będziemy t e ż mówić o ^Wk-łąd an i u" z a d a ń z l i s t y J , z a m i a s t ; p r z e d m i o t ó w ’z l i s t y - U , 'd o pojem nlków .- P o j e m a i k i o z n a c z a my p r z e z B ą , B g j . . . , a i c h p o z io m y , -o d p o w ied n io . p r z e z - F ^ . P g , . . . . Poziom p u s t e g o p o j e m n i k a w y n o s i 0 . : -
A lg orytm NP:'- Z a d a n i a wkładamy do (pojem ników w k o l e j n o ś c i w j a k i e j w y s t ę - . p u j ą o n e - n a l i ś c i e . J , ' r o z p o c z y n e j ą c - ' o d p i e r w s z e g o , ' k t ó r e wkładamy do B1 . •' N ie c h ' j b ę d z i e k o l e j n y m żądaniem ,' k t ó r e - n a l e ż y , u m i e ś c i ć * p o j e m n i k u , a
Bj n ie p .u ś t y m - p o j e m n i k ie m o n a j v ? l ę k s
2
ym' i n d e k s i e . J e ż e l i ' •¿max i O.P} + a ^ l l ¿ 1 , um ie ść z a d a n i e j - w B^. i - p o d s t a k P1 s= \ ; ■ . w p rze ciw n y m p r z y p a d k u , Umieść z a d a n i e j w i p o d s t a w Pj_-+- ^ ł s ę m a x { 0 » A lgorytm HP-KF; ■ U t w ó r z . 1 i s t y i J ' ' z a d a ń ż e z b i o r ó w J s - a ^ . O } • i j " = { j e j j a ^ -i O if i k o l e j n o ś ć z a d a ń ń a l i s t a c h j e s t ' d o w o l n a ) ' Z a d a n i a wkładamy do p o je m ników z k a ż d e j . l i s t y o d d z i e l n i e , r o z p o c z y n a j ą c od -pierw
s z e g o z a d 8 ń l a z l i s t y . J % k t ^ r e wkładamy -do B^. Z a d a n i a z J ' wkładamy do- B^ t a k d ł u g o , aż n a t r a f i m y n a z a d a n i e j , d l a k t ó r e g o + a^ > ń . Z ad a - n i e j p o z o s t a j e j a k o p i e r w s z e n a l i ś c i e j ' i n a s t ę p n i e w B* u m ie s z c z o n e s ą z a d a n i a z j " , aż do momentu, w k t ó r y m n a t r a f i n y n a -z a d a n ie . j,- d l a k t ó r e g o max ( 0 ., P ą + a^} .= O.' Z a d a n i e j u m ie sz c z a m y w B^ i wracamy do - l i s - . t y J ' . P r o c e d u r a p o w t a r z a ś l ę ' t a k d ł u g o , aż w y c z e r p i e s i ę j e d n a z l i s t , .Wtedy...' s t o s u j e m y a l g o r y t m NP. do z a d a ń p o w s t a ł e j l i s t y .
A lgorytm ' gPD-NFD: - U t w ó r z - ' l i s t y . j ' . i j " Z a d a ń ze z b i o r ó w j ' = { j t J t a ^ y - O } , i - J ' ' =. { j t J s ą ^ < - O } u p o r z ą d k o w a n e wg m a l e j ą c y c h a ^ .
S z e re g o w a n ie ż ą d a ń n a l i n i i m o n ta ż o w e j. 311
E ta p 1 . Z a s t o s u j a l g o r y t m .FED do z a d a ń z l i s t y j ' (A lgorytm FFD [ 1 , 2 ] u m ie s z c z a z a d a n i a k o l e j n o , p o c z y n a j ą c od p i e r w s z e g o , k t ó r e pakowane j e s t do 3 ^ . K o l e j n e z a d a n i e u m ie s z c z a n e j e s t . w p o je m n ik u b n a j m n i e j s z y m name--, r z e s p o ś r ó d t y c h , w k t ó r y c h ono s i ę m i e ś c i ) . ■ U p o rz ąd k u j n i e p u s t e pojem
n i k i wg r o s n ą c y c h poziomówj w n a s t ę p n y m ' e t a p i e w ykorzystyw ane będą -tylko t e p o j e m n i k i .
E ta p 2 . (Mówimy, i e dwa p o j e m n i k i B' i B " o poziom ach p ' i p " 1 Są . s k l e - . j a n e p r z e z z a d a n i e j 6 j " , j e ż e l i z a d a n i e j. u m ie sz c z o n e j a k o ' o s t a t n i e w B' s p e ł n i a ! msuc { O,P ' + a ^ } + F " 4 1 ) . Z a d a n i a z l i s t y j " u m ie sz c z a n e s ą k o l e j n o , r o z p o c z y n a j ą c od p i e r w s z e g o . j ^ , ' k t ó r e . U m ie szc za n e j e s t j a k o o s t a t n i e y; B^j P i - max {
0
, P ^ + a V } . Niech. z a d a n i e j b ę d z i e k o l e j n y m z a - ' daniem z j " , k t ó r e n a l e ż y u m i e ś c i ć w p o j e m n i k u , a 3^ m a jąc y p oziom P ^ , . p o je m n ik ie m o n a j m n i e j s z y m i n d e k s i e s p p ś r ó d t y c h , k t ó r e . n i e z o s t a j y . s k l e j o n e . Umieść z a d a n i e j j a k o o s t a t n i e w 1 p o d s t a w P ^ . - , m a x { Ó , P + 'a ^ i . J e ż e l i p + P i K 1 , wówczas p o j e m n i k B^ j e s t s k l e j o n y (ż )5 p o d s ta w . P := P + ..P j i p r z e j d ź do n a s t ę p n e g o z a d a n i a . -W p rze ciw nym p r z y p a d k u p r z e j d ź , do n a s t ę p n e g o z a d a n i a z l i s t y J " .■Oznaczmy D z b i ó r w s z y s t k i c h problemów k o n k r e t n y c h K i ś , ' d l a ' któ rych.
= 2 c 'o r ,a z | J ' | = h , I J , " l ; = y h , " ¡p> O. N ie c h T^-CD b ę d z i e ’. w a r t o ś c i ą , f u n k c j i c e l u w K B wygenerowaną p r z e z a l g o r y t m A dl® p r o b le m u k o n k r e t n e go I , a T > ( I ) o p t y h a l i i ą w a r t o ś c i ą 1, f u n k c j i c e l u ’ d l a I . D o k ład n o ś ć a l g o r y t mu A d l a ' n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u p r o b l e n ó w k o n k r e t n y c h ze z b i o r u ^ d e f i
n i u j e m y n a s t ę p u j ą c o . ■ v
4 , h -■ sup
■I.fe D T * ( I )
Eokł a d n o ś ć a s y m p to ty c z n a ' B^’°° d a n a j e s t p r z e z l i m
h-» o°'
^ r , h A- *
a**h^NF
’T w ie r d z e n i e ' b . J e ż e l i ■ u t =' 2 c , to d l a a l g o r y t m u NF ( ( 2 + t ) h - 1 i , ' 3
2 ( 2 + 1 ) h - 2 .. n ' 3 3b - 3 ^ " 2 2h*
4 ^
( 2 -t y ) h —1
• (1. + f ) h "
2 ( 2 + f ) h - 2 ' . ■ 3h
. 1 i > . 2
’t
S . Z d r z a ł k a
-oraz! d l a .a lg o r y tm u NF-NF,
' ( 5 + 3 f )b + 1 R^’^ 4 ^
NF-NF
(3 + 3jf)h . ( 1 2 + 2 y ) h - 6
^ 9b - 12 . - - ' \ (5 + 3 y ) b - 3
^KF-NF ^ <
( 3 + 3 y )h ( 1 2 + 2 f ) h - 6 J . ; : • 9h.
r *
2
» t > \
Dowód t w i e r d z e n i a można z n a l e i d w [&3 . D o k ł a d n o ś c i a s y m p t o t y c z n e s ą n a s t ę p u j ą c e : . •...
f « Tł ■»
-%F
.2 >.-f j + J- ’
4
+2
rl
3 5 ♦ 3 ? 5 +
*12 + 2j*
y 15 - t
✓ 1 J - 4 i ; -
' -í B i»M .
Aauwaśmy, ż e m aksymalne w a r t o ś c i i p o ' f ł O w ynoszą odpo
wiednio- 4 = 1 . 6 6 6 i ^ = - 1 . 4 4 4 . . . , o r a z 5?,^°“= = f * R e z u l t ^t y s y m u l a c j i n u m e r y c z n e j p o d a n e s ą w t a b l i c y 1 . .
A J o 0 . 2 5 0 . 5 0 0 . 7 5 1 . 0 0 • 1 .2 5 2 . 0 0
2j 1 0 . 2 1 2 . 7 : 1 4 . 2 , 1 7 . 4 ■ 1 6 . 8 1 5 . 1 5 . 4
MOC ,'3 3 . 3 5 0 . 0 6 6 . 6 57-1 . 5 0 . 0 4 4 . 4 . 3 5 . 3
E 1 0 . 2 1 0 . 1 9 . 9 ■ 9 . 8 8 . 8 . 2 . 7 0
■33.3 - 5 8 . 8 ; 4 4 , 4 3 9 . 0 3 3 - 3 2 9 . 6 , ' 2 2 . 2
- 1 . 4 .2.2 4 . 2 ' 5 - 7 . ' . 6 . 5 2.-1 0
- - - - • - - - -
" . y* o©
Tao. 1. Ś r e d n i e . d o k ł a d n o ś c i (-E) o r a z w a r t o ś c i (H^’ -1.) 100&, o z n a c z o n e j a ko d l a a lgorytm ów KF, ÍTF-ÍT?, FFD-ZíFD; ’ D l6 k a ż d e g o { , - w a r t o ś ć ś r e d n i a w z i ę t a j e s t z e i o o - l i s t , d l a k a ż d e j , z n i c h - h = 2 0 0 , J. generow anych wg r o z k ł a d u
j e d n o s t a j n e g o . - ' ' "■ ' '..
S z e re g o w a n ie z a d a ń a a l i n i i m o n ta ż o w e j.-.. ■ ,313
R e z u l t a t y d o t y c z ą c e algorytm ów NF i NF-NF mają p r z e d e w s z y s tk im war
t o ś ć p o z n a w c z ą . A lgorytm NF, n a j p r o s t s z y a l g o r y t m typu " o n - ł i n e " , n a k a z u j e bowiem s z e r e g o w a n i e z a d a ń w do w o ln ej, k o l e j n o ś c i , z a te m w a r t o ś ć . ■ Bjjp . ' 1 . 6 6 6 . . . p o k a z u j e j a k i j e s t z a k r e s . z m i a n w a r t o ś c i - f u n k c j i c e l u d l a p o s t a w i o n e g o p r o b l e m u . P o d o b n ie j e s t w p r z y p a d k u RF-NF, g d z i e n a s t ę p u j e ; m i e s z a n i e z a d a ń " k r ó t k i c h " z " d ł u g i m i " . A lg o ry tm FFD-liFD j e s t p rz y k ła d e m - k o m b i n a c j i dwóch z n a n y ch algorytm ów d l a p ro b le m u p a k o w a n ia , 'wykazuje on
z n a c z n i e w i ę k s z ą d o k ł a d n o ś ć ś r e d n i ą , n i e s t e t y a n a l i z a n a j g o r s z e g o p r z y p a d ku d l a te g o a l g o r y t m u j e s t problem em b a r d z o trudnym .
5 . Alg orytm y h e u r y s t y c z n e d l a p roblem u wleloin aszynowego: P r z y p a d e k u^ =2c P r z e d s t a w i m y t u t y l k o j e d e n w y n ik , d o t y c z ą c y a l g o r y t m u UF.
D o kładność d l a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u d e f i n i u j e m y t e r a z j a k o -' • . U D ' .'
'= SUP s >
, i e d t * ( i ) ■, •
g d z i e D j e s t - z b i o r e m w s z y s t k i c h problemów k o n k r e t n y c h , d l a k t ó r y c h u , = 2 c ,
i 6 II. •' ' '
T w i e r d z e n i e 5 . J e ż e l i u^= 2c, i £ M, t o d l a a l g o ry t m u KF,- R..*, = 2.
« y n ik t e n , c h o c i a ż p r o s t y d.o o t r z y m a n i a , j e s t n i e c o z a s k a k u j ą c y , p o n i e waż wykazano [ j j ] , ż e d l a wielowymiarowego p r o b le m u pakowania-, o w y m i a r z e ' n, k aż d y " r o z s ą d n y " a l g o r y t m p a k o w a n ia p o s i a d a d o k ł a d n o ś ć d l a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u n i e ' l e p s z ą od m.
P o d o b n ie j a k w przypa dku-je dnom a szynow ym , s y m u l a c j a num e ry c zn a a l g o r y t mu NF o r a z - i n n y c h badanych a lgorytm ów w y k a z a ł a i c h . d u ż ą ś r e d n i ą d o k ł ą d - . n o ś ó ; d l a n a j l e p s z e g o ż badanych a l g o r y t m ó w ' n i e p r z e k r a c z a ł a o n a 10;.- p r z y w ym ia ra ch z a d a ń generow anych wg r o z k ł a d u j e d n o s t a j n e g o . '
6 . Uwagi. końcowe
'S p r a c y p r z e d s t a w i o n o o r a z z a s y g n a liz o w a n o wybrane w y n i k i b ad a ń nad sform uło w anym d l a p o t r z e b ' s t e r o w a n i a l i n i ą montażową w Z a k ła d a c h Mecha
n i c z n y c h " U r s u s " modelem s z e r e g o w a n i a zadań, n a l i n i i monta żow ej ze s t a c o -
. w is k a m i k r y t y c z n y m i . .
Z uw agi n a t o , ż e d l a u i = 2c w y s t ę p u j e o p i s a n y w p r a c y z w ią z e k b ada nej-t modelu z p ro b le m a m i p a k o w a n ia , ' p r z e d e w s z y s tk im badano a l g o r y t m y h e u r y s t y c z n e d l a t e g o p r z y p a d k u . D a ls z y c h badań wymagają a l g o ry tm y d l a s y t u a c j i ,
■’ gdy u i = kc,' g d z i e k j e s t dowolną l i c z b ą n a t u r a l n ą o r a z d l a dowolnych u.j_.
J a k . s i ę o k a z a ł o ' a n a l i z a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u b y ł a m oż liw a t y l k o d l a n a j p r o s t s z y c h alg o ry tm ó w , w p r z y p a d k u b a r d z i e j w y ra fin o w a n y ch s t a j e s i ę o n a p r z e d s i ę w z i ę c i e m w rę c z karkołomnym. P o t w i e r d z a j ą s i ę t u t r u d n o ś c i j a k i e n a p o t k a n o p r z y a n a l i z i e a lgorytm ów FFD i BFD d l a p r o b le m u p a k o w a n i a ! ' .
314 S . Z d rz a łk a
LITERATURA
„1J E .G .C o f f man,K .R .G a r e y . D . S . Johnson? A p p ro x im a tio n A l g o r i t h m s f o r B i n - P a c k in g -An U pdated S urve y , B e l l L a b o r a t o r i e s , 1984.
[ 2] K .R .G a r e y , D .S .J o h n s o n ‘.C om pute rs and I n t r a c t a b i l i t y . A Guide t o
t h e Theory o f IJP-Com pleteness , W.H.Freeman and Company , San i - r a n c l -
; s c o , 1979.
(3^ A.C .Y aoj .-Hew a l g o r i t h m s f o r b i n p a c k i n g , J . A s s o c . C o m p u t . F a c h . 27 ( 1 9 9 0 ) , 207-2 2 7 .
[42 S . Z d r z a ł k a ; . Jed'liomaszynowy p ro b le m s z e r e g o w a n i a zadań c a l i n i i monta
żowej »Sympozjum :■ Z a s t o s o w a n i a T e o r i i Systemów , 1 9 3 5 »Z esz y ty Naukowe
" Akademii C ó r n ic z o - T e c h n i c z n e j im .S . S t a s z i c a ,Nr lO^A,Kraków 1955.
. G r a b o w s k i, E .N o w ic k i.C . S m u tn ic k l , S . Z d r z a ł k a ; T e o r i a i a l g o ry t m y
■ r o z w ią z y w a n ia za dań o p t y m a l i z a c j i d y s k r e t n e j d l a z a g a d n i e ń k o l e j n o - śc iow ych .C z . I I I . P roble m y s z e r e g o w a n i a za d a ń na l i n i i montażowej w Zł*
"U rsus" . R a p o r t S e r i i : S p ra w o z d a n ia n r 20 / 8 5 , Wroclaw 1985.
^ 3 K ow alew ski H, i i n n i : A u t o m a t y z a c j a d y s k r e t n y c h p r o c e s ó w p rz e m y s ło w y c h .
" WNT, Warszawa 1934.
R e c e n z e n t : B o c . d r h . i n ż . J e r z y Klamka W p ły n ę ło do R e d a k c j i ¿ o 1 9 6 6 . 0 4 . 3 0
UPOEUBJA PACUHCAHHH 3kMB. Bk CBOPOHHOii HKHMH CO MHOimi
k p h t c t c e c k h m s i m e c i a m i
P e 8 d m e
B c Ta t ł o npeflOTaBneHa npo&neMa paom caH H s saaflE npz orpamzraeHHfli x a - paETepHHX
nim
CflopOEHOfi JIHHKH 00 UHDrHMH KpHTHEeCKHMH UeCTaMS. iOKa3HBaeT- ca ,
e t o npo&Jieua flBJiaeTOH c hush o P - TpyEHofl h e t o ohb paBHocEjrtHa, npH HeKOTopax npewiojroieBHax, npodneue MHoroMepHoU ynaKOBicz b KOHTefiHopH.DpHBOHHTOa H6CK0JIBKD 9BpHCTHEeCKHX BJITOpHTMOB H ROT HeKOTOpHX E3 HKX 000- CHBaDTOfl pesyjiŁTaTH aHaJiE3a Haflxyaraero cjrynaH.
SCHEDULING JOBS ON AN ASSEMBLY LINE V/ITH MULTIPLE CRITICAL .WORK
STATIONS ' ■ • ■ . _ . ,
■ S u m m a r y ' ! •
I n t h e p a p e r , a p ro b lem o f s c h e d u l i n g J o b s on m a ch in e s w ith c o n s t r a i n t s on r e l e a s e and d e a d l i n e s c h a r a c t e r i s t i c f o r a n a s s e m b ly l i n e w i t h mul
t i p l e c r i t i c a l work s t a t i o n s i s f o r m u l a t e d . l t i s assumed t h a t e a c h j o b con
s i s t s o f a c h a i n o f m o p e r a t i o n s w hich a r e t o be p r o c e s s e d on m m a ch in e s , ea c h on one . f i x e d m achine.E ach- o p e r a t i o n - h a s t o be e x e c u t e d e n t i r e l y i n t h e t i m e i n t e r v a l o f a g i v e n l e n g t h , c h o s e n f r c m - t h e ■ s e t o f f e a s i b l e I n t e r v a l s .
The p r o b le m i s t o a s s i g n t o e a c h o p e r a t i o n t h e t i m e I n t e r v a l d a t e . d e a d l i n e , s u c h t h a t e a c h o p e r a t i o n i s e x e c u t e d e n t i r e l y i n i t s t i m e i n t e r v a l and t h e r e l e a s e d a t e o f t h e l a s t o p e r a t i o n i s minimum. I t i s shown t h e problem i s s t r o n g l y N P -hard and u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s . e q u i v a l e n t t o a m o d i f i c a t i o n o f t h e m u l t i d i m e n s i o n a l b i n p a c k i n g p r o b l e m , i n which i t e m s have p o s s l t i v e and n e g a t i v e s i z e s , A number o f h e u r i s t i c methods i s p r o p o s e d and f o r some o f t h e m , t h e r e s u l t o f w o r s t c a s e a n a l y s i s a r e p r e s e n t e d .
S ze re g o w a n ie z a d a n n a I l n l l m o n tâ t owe .1 . . . J
