Balansowanie szeregowej linii montażowej z ograniczeniami wykluczania operacji

ZESZYTY NA UK OW E POLITECHNIKI ŚL ĄS KI EJ______________________________________ 1932

Seria: A U T O M A T Y K A z. 63 Nr kol. 735

Franciszek MARECKI Instytut A u to ma ty ki Politechniki Śląskiej

BALANSOWANIE S Z ER EG OW EJ LINII M O N T A Ż O W E J Z OGRANI CZ EN IA MI W Y K L U C Z A N I A OPERACJI

S t r e s z c z e n i e . W prac y przeds ta wi on o model m a te ma ty cz ny i algo- rytm ba la ns ow an ie szeregowej linii montażowej z og ra ni cz en ia mi w y ­ kluczania operacji. O g ra ni cz en ia w y k l uc za ni a w y ni ka ją z ko ni e c z n o ś ­ ci w y k o ny wa ni a operacji po różnych stronach linii i (lub) l i mi to wa­

nego obszaru dla k o n t e n e r ó w z deta la mi na stanow is ku pracy. Post a­

w i o n y problem zo st ał rozwiązany za pomocą algorytmu programowania wieloetapowego.

1. WPRO WA DZ EN IE

Pod po jęciem ba la ns ow an ia linii montażowej rozumiemy rozdział operacji na st an ow is ka pracy. Przy fo rm ułowaniu problemu zwykle zakłada się. Ze dane są: zbiór operacji, ogra ni cz en ia k o l e j n oś ci ow e w y k o ny wa ni a oraz cza­

sy operacji. Ponadto z a da ny Jest cykl linii, jako kryt er iu m op ty malizacji balansowania przyjmuje się mi ni ma li za cj ę liczby stanowisk pracy. Je dnakże rezultatem rozwiązania problemu wi n n a być nie tylko mini ma ln a liczba sta­

nowisk pracy, ale równieZ podzbiory o p e r a d l dla kaZdego s t a n o w i s k a . Prze­

gląd metod rozwiązania tak s f o r mu ło wa ne go pr oblemu z a m i es zc zo no w fi].

Pewne uo gó ln ie ni a tego pr oblemu p r z e d s ta wi on o w [2} i [3].

W d a ls zy m ciągu będzie rozpatrywana linia mont aZ ow a z szeregowymi s t a­

nowiskami pracy. Jedn oc ze śn ie przyjmiemy. Ze tran sp or te r g ł ów ny nie u m o ż ­ liwia przejść m o nt er ów z lewej na prawą stronę linii (i odwrotnie). A zatem stanow is ko pracy musi być zl ok al iz ow an e po jednej stronie l i n i i . Drugie ogra ni cz en ie prze st rz en na Jest zw iązane z gabarytem detali. Z a ł o ­ żymy , Ze niektóre podzbiory operacji nie mogą być wy ko ny wa na na Jednym etanowleku p r a c y ; z uwagi na zbyt duże gaba ry ty detali. Kons ak we nc ją tych założeń Jest wykl uc ze ni e niektó ry ch operacji na pewnych stacjach.

Problem ba la nsowania linii m o n t a ż o w e j , z u w z g lę dn ie ni em ograniczeń przestrzennych, zo st an ie rozwią za ny metodą progra mo wa ni a wieloetapowego.

W punkcie 2 s f or mu ło wa ny zostanie problem w postaci matematycznej. N a ­ stępnie w punkcie 3 prze ds ta wi my algorytm, a w punkcie 4 uwagi końcowe i wnioski.

2. SF OR MU ŁO WA NI E PROBLEMU

Załóżmy, ża dany Jest zbiór operacji:

In) g d z i e :

ti>n - n-ta operacja, N - liczba operacji.

Czaa y wykonywania operacji dane aę wektorem:

[ # •

0

g d z i e :

- czao w y k o ny wa ni a operacji Ct>n .

O g ra ni cz en ia kolejności w y k o ny wa ni a operacji przedstawia macierz:

r '

El om on ty tej maci er zy maję na st ęp uj ęc e znaczenie:

f ^\

1: jeśli C0ą Jest bezp oś re dn im p o p r z e dn ik ie m op eracji »

O: w przeciwnym przypadku

Niechaj będzie dany cykl linii, ap eł ni sj ęc y warunek:

n»N

min ^ '5’

K n i N n f

g d z i e :

C - cykl linii.

Lokalizacja operacji w po przek linii zapisana Jest wektorem:

8 “ [ bn]

Elementy tego we ktora maję następujęce znaczenia:

+ 1: Jeśli operacja Ct) musi być wyko na na po prawej stronie linii;

•bn 0: Jeśli operacja (J może być wyko na na po prawej lub lewej stronie linii:

-1: Jeśli op eracja o)_ musi być wyko na na po lewel atronie linii.

Balansowanie szeregowej linii m o n t a ż o w o .1. 83

Przed w p r o w a dz en ie m warunku. Jaki winn y spełniać operacje przydzielone na jedno stanowisko pracy, określimy dwa wektory:

d^ - d o p u s z c z a l n a pojemność k-tego stanowiska pracy, K - liczba stacji linii montażowej.

Niechaj d^ oznacza zbiijr operacji pr zy dzielonych na k-te stanowisko p r a ­ cy, Operacje te wi nn y spełniać warunek:

Wektory: (6), (8) i (9) pr ze dstawiają elementy ograni cz eń wykluczania o p e­

racji na Jednym stanowisku pracy. Wart o ponadto podkreślić. Ze ro zpatru­

jemy linię szeregową składającą się z K stacji. Stanowiska pracy mogą.

być zlokalizowane po lewej lub prawej (wyłącznie) stronie transportera, na poszczególnych stacjach. Tym samym liczba szeregowych stanowisk pracy nie może przekroczyć liczby stacji (k) na linii.

Oz naczmy przez tn moment za ko ńc ze ni a w y k o ny wa ni a operacji c*>n na- li­

nii. Moment ten Jest liczony od chwili we jś ci a ch assis mo nt ow an eg o ob i e k ­ tu na linię. Numer stanowiska, na którym została wy ko na na operacja Ci>n . wyznaczamy z formuły:

Kryterium op tymalizacji balansowania linii można zapisać w postaci:

(B)

gdzie :

w n - w s pó łc zy nn ik ga barytu de ta li dla operBcji W n , oraz

(9)

gdzie :

(1 0)

( 1 1 )

gdzie :

m numer stanowiska pracy,

najmniejsza liczba całkowita nie mniejsze od wartości w na w i a ­ sie kwadratowym.

(l2e)

M . F. Marecki

g d z i e :

Q - minimalna liczba stanowisk pracy.

Rezultat (l2a) można osiągnąć D r o ś c i e j, stosując kryterium:

min (12b)

gdz te :

U - minimalny czas w y ko na ni a w s zy st ki ch operacji na linii.

Ponadto kryterium (l2b) pozwala wy brać najlepsze rozwiązanie spośród tych, które daję minimalna liczbę stanowisk pracy.

Zakładamy, że operacje są nie podzielno, tzn. każda operacja musi być wy ko na na na Jednym stanowisku pracy. Ograniczenie to można za pisać w pos­

taci

(13)

Ograniczenia kolejnońciowe zapisujemy Jako

Y

•i n

Og ra ni cz en ia lokalizacji maję postać

Y Y f e ■„]* ■ [§ >J*

Ograniczania gabarytowe se przedstawione następująco

(od « n*^k

(l*)

(15)

(16)

Tak więc w funkcji celu (l2) oraz og raniczeniach : (l2). (14), (l5) i (l6j niewiadomymi są chwile t (n = 1,N). Po wyzn ac ze ni u tych chwil można z (lii określić P o dz bi or y operacji na stanowiska oracy.

3. ALGORYTM

Al gorytm rozwiązania af or mu ło wa ne go wyżej problemu będzie oparty na programowaniu wieloetapowym. Kolejna etapy oznaczymy indeksom , (^=0.N'.

Podstawowymi elementami tego algorytmu są: star procesu decyzyjnego, w a r­

tość stanu,1 orocedura generowania st an ów oraz procedura eliminowania sta­

nów nięoersnektywicznyćh. Decyzja jest interpretowano jako przydział ope­

racji do realizacji. Cięg decyzji nazwiemy s r r a i e g i ą . Podejmowanie decy-

Balansowanie szeregowej linii m o n t a ż o w e j . 85

zji rozpoczniemy w sytuacji, gdy nie pr zy dz ie lo no jeszcze żadnej operacji do realizacji. St an procesu de cy zy jn eg o interpretuje zatem sytuację na linii po podjęciu decyzji. Cięg st an ów nazwiemy t r a j e k t o r i ą . Ge ne ro wa ni e stanów będzie prowadzoną etapami, tzn. w s zy st ki e stany etapu -j? -tego o- trzymujemy na podstawie tylko stanów po pr ze dn ie go y -1-go etepu. Sposób generowania stanów uzasadnia nazwę - programowanie wieloetapowe. Z każdym stanem zwiążemy Jego wartość, którą w ro zpatrywanym przypadku będzie c h w i ­ la zakończenia wy ko ny wa ni a operacji należą cy ch do tego stanu. W ten soo- sób stan ostatniego N- te go etapu, który ma najmniejszą wartość, daje o d-

tvmalne rozwiązanie problemu.

1

3.1. Stan procesu decy zy jn eg o 1 wa r t o ś ć etanu

Stan y procesu decy zy jn eg o będą numerowane indeksem (luo 1) w ramach etapu (lub -p - l ) .

Def. 1 ; St an Jest wektorem:

p M . [ > ] (l7i

0 (n=l,N) (»-i t l,)

“O , N ) gdzie :

Lrj - liczba stanów-ff-tego etapu.

Elementy tego wektora określamy nBstępujgco:

t - Jeżeli operacja con należy do stanu;

(18) 0 - w przeciwnym przypadku.

A więc stan początkowy P 1,0 jest w e k t or em zerowym, natomiast każdy stan końcowy P'"’ ma wszy st ki e ws pó łr zę dn e dodatnie.

Z każdym stanem P^)? zwlężemy jego wartość, którą o z na cz ym y v ^ ’?

Oef. 2 ; Wartość stanu jaet skslarem, wy zn ac za ny m z formuły:

V“*’? = max p M (19)

ISn^N n

>% N

Każdy 3ten P ' daje dopu sz cz al ne ł-pzwiązanie problemu, a jego wartość Jest czasem wykonania w s zy st ki ch operacji. A żarem kryterium (l2) można napisać w oostaci:

Ol m

O = max o';' min lsSreSN

(20'

86 F. Marecki

Wy ni ka 6tęd, Ze opty ma ln y stan ostatniego etapu w y zn ac za my jako:

( min V * "N = V * ,N) =$> (P& 0 ,N

1SSML P°) (2 1)

N

. gdzie :

P° - optymalny stan N- te go etapu.

Z optymalnego stanu P ° . zgodnie z (ll) , określamy przydział operacji na stanowiska pracy.

3.2. Procedura generowania stanów

Procedura ge ne ro wa ni a stanów polega na uzupełnieniu stanu o d o ­ puszczalno operację 0>n , co w konsekwencji daje nowy stan O p e r a ­ cja con Jest dopuszczalna, Jeśli wcześniej w y k o na no jej ws zy st ki e p o ­ przedniki lub gdy nie ma poprzedników. Ogólna procedura generowania sta­

nów ma następujęcę postać:

W -

i “N

2 ł i.n “ 0 ) V [ % . n - i ] = > (pJ'r l > °)J i«l

•(PV ? . p i.7-i + ^a P ). (2 2)

Eleraonty we ktora Ap maję naetępujęce wartości:

¿Pi

tn gdy i = n

O w przeciwnym przypadku

Moment t wy zn ac za my z formuły:

V 1 '1? " 1 + Jeśli: [ ^ ( V X -1?-1 +

-frj4

V1'?”1J+

A ( b ± . bn > O) A ( 2 * ^ ♦ " n ^ b k ) [ c . C + s?n : w przeciwnym przypadku

k • [ h P i 1 '^'1]" " [ h V 1 '1?“ 1]*

(23)

(24)

przy tym:

(25)

Tak więc operacjo a>n Jest przydzielone no k-te stanowisko pracy (sta­

cjo) , jełoli pozwało na to “luz" czasu i ograniczenia wykluczenia. W prze­

ciwnym przypadku operację tę Drzydzielamy na k+l-sze stanowisko procy -

Balansowanie szeregowa;) llnll montażowej. 87

Dod warunkiem, że k + l ^ K . Deżell wa ru ne k ten nie Jeat spełniony, to nie

0

można w y g e ne ro wa ć stanu.

3.3, Procedura eliminowania stanów

W trakcie obli cz eń niektóre stany można wyelim in ow ać , gdyż nie prow a­

dzę one do rozwięzanla optymalnego. Eliminacja stanów zmniejsza z a p o t r z e ­ bowania na pamięć kooputerowę i może skrócić czas obliczań. Po w y e l i m i n o ­ waniu stanu w dals zy ch ob li cz en ia ch pomijana Jest wi ęż ka trajektorii wy- chodzęcych z wy el im in ow an eg o stanu, Z tego wz gl ęd u skraca się czas ob li­

czeń. Dednakże, w przypadku gdy po testowaniu stan.nie zostanie w y e l i m i ­ nowany - czas obliczeń zwiększa się. Stęd os za cowanie czasu ob liczeń w y ­ maga prze pr ow ad ze ni a testów komput er ow yc h (balansowanie linii Jest p r o ­ blemem N P - zupełnym).

Załóżmy, że w y ch od zę c ze stanu P można po optymalnej trajektorii

a ® iu o 0^7 J l C s*

otrzymać stan końcowy P 1' . A n al og ic zn ie z P otrz ym am y P 2 .

* V A? * t?

Def. 3 : St an P dominuje nad stanem P 1 Jeżeli:

,

( V 1 % V 2 ) ^ , ( P ^ (26)

gdzie : .

symbol d o mi na cj i stanów.

Ponieważ o d o mi na cj i st anów należy rozatrzygnęć na etapie y -tym, zatem wprowadzimy następujęcę regułę:

Tw. St an P do minuje nad stanem P Jeżeli:

yton1'7 O) °)J^ (4 1>f ■ * ( V ^ % V ^ 2 '7 ) ^

=i> _ p % ? ) . (27) '

\ przy tyra:

V { R p j ’? ] + - kj = > («± « <?*’7 ). (28)

Dowód togo twierdzenia opiera się na spostrzeżeniu, źe trajektoria opty-

,

«sina od stanu P do P jest realizowana od stanu P- . Ponie-

*1-? * ? . Ń JVS,N

wsż d o da tk ow o etan P ma mniejszę wartość, zate m V < V . Za- tam re stanu P 'V nie możno uz yskać rozwięzanla lepszego, aniżeli ze

*7 r? i -^2 'V

stanu p . Stęd stan p el im inujemy z d a l s zy ch obliczeń.

B8 F. Marecki j

4. UWAGI KOŃCOWE T WNIOSKI

Przedstawiony w pracy model balansowania szereaowej linii montażowej różni się istotnie od o p is ów pr ze ds ta wi on yc h w literaturze przedmiotu.

Wpro wa dz on e ogra ni cz en ia w y k l uc za ni a ooerecji na stanowisku pracy czynię model bardzie] przydatny do wykorz ys ta ni a w praktyce.

Ograniczenia wykl uc za ni a komplikuję organizację linii montażowej, prze2 co rośnie liczba potrzebnych stacji Ci nie w y k o r z y s t a n y czas ich pracy).

Z tego względu może wy st ęp ie ko ni ec zn oś ć (z uwagi ne K) wprowadzenia rów­

noległych stanowisk pracy na stacjach linii.

Przedstawiony algorytm programowania w i el oe ta po we go Jest szczególny»

p r zy padkiem algorytmu podziału i og ra ni cz eń (bez powrotów). Stosowanie te­

go algorytmu Jest uzasadnione w orzypadkech dużej liczby ograniczeń.

Eliminacja stanów nieper sp ek ty wi cz nyc h może być prowadzona nie tylko poprzez dominację. Każdy stan może być sondowany, czy można z niego uzys­

kać rozwięzenie dopuszczalne. W tym celu należy sprawdzić, czy K-k stacji wyst ar cz a dla pozostałych operseji. Innę możliwość daje uzyskane wcześ­

niej rozwiązanie heurystyczne (można Je wyznaczyć, generujęe na podstawie (22) Jednę trajektorię), Jeżeli wa rt oś ć w y g e ne ro wa ne go etanu Jest większs niż rozwięzania heurystycznego, to stan taki pomijamy w d a l s zy ch oblicze­

niach.

Jeżeli w ob li czeniach wy st ęp uj e przekr oc ze ni a do pu sz cz al ne go zakresu pamięci komputerowej, to uzyskane rozwięznnie. jest heurystyczne. Celem 0- trzymanie rozwięzenie op ty malnego można od Dewnogo etapu 1] p r ow ad zi ć ob­

liczenia lokalne, startujęc od każdego stanu P ^ ’? . Os za cowanie czasu obliczeń wymaga ka żd or az ow o pr zeprowadzenia testów komputerowych. Obli­

czenia takie pr ze prowadzone w pracy dlB modeli o pr ak tycznym znacze­

niu wskazuję, że czas ten Jest rzędu minut (programy napisana w FORTRANIE na EMC MIŃSK-32).

LITERATURA

W ;:;K y p ó a B . B . , Ee;ieiJ(K H ii C . A . : UHCJieHHbie u e i o ^ u b peu eH H H 3 a ^ a v n CaJUiaHCK-|

poaanHH cóop oRHoił JiiiHHM. AU y e e p , KiiCepHeTsiKa. I , 1 9 7 7 .

[2] Ma recki F. : Static Control of Tasks Allo ct at io n on As se mb ly Line, In­

tern. Konf. Control Sy stems and Co mputer Science, Bukareszt 1981.

[3J Ma re ck i F. : As se mb ly line balancing problem, Konf. Sy stems Science VII W r o c ł a w 1981.

[V] Przybysz T. : Balansowanie szeregowej linii montażowej , praca dyplomo­

wa (nie publikowana) Instytut Automatyki. Poli te ch ni ki S l ę s k i e j . Gli­

wice 1981.

Recenzent: Prof. dr h e b . inź. A n t o n i N IED ER LIŃ SK I

W p ł y nę ło do Re dakcji 15.05.1982 r.

Bolanaowanie azercgowe^ iinli montotowej. 89

BAJUIAHCMP03AHHE TIOCJIEJiOBATEJIbHOit MOHTAKHO,! JMHHH C 0 rPAHHBSHUHMH kcKJIUHEHHH O nEPA Lfiit

? e s jo u e

B paOoTe npexicTaBjieKO Mtsf euaTHMCCKjr» Mo^ejtb h aaropiiTM 6a.i.-:.:;HCKpcBaHHH

n o c . i e ^ O B a T e j i b H o i i M o n x a x H o : : a h h h h c o r p a K H !i e n ; i H M n i i c K . - K m e n n H o n e p a i # i : > . Orpa-

H M M e H K a 3t h B 0 3 H H K a i o T n o n o n o A y a c n o J i B B O B a H H H o n e p a n j i ; 1. n o oSb i i m C T O p O H a U n O T O H H O if JIH H H K K ( w i n ) .CHMi’.K T H p O B a n H O r o M e C T a A -IA K O H T e t l l i e p O B 0 flG T a .n .S M H H a p a O o n e M M e c T o . S a n a v y O a j M a H C K p o B a H H H p e m i i H o M e i c f l o M M H o r o a a r o B o r o n p c r p a u - W H p O B a K H H .

SERIAL A S S E M B L Y LINE BALANCING WI TH OPERATION EXCLUSION CO NT RA IN TS

S u m m a r y

In the oaper we present o ma th em a t i c a l model and an al go ri th m ' of b a ­ lancing of a serial as se mb ly line with ooaration e x cl us io n controints. The roperation e x cl us io n co ns tr ai nt s are the co ne equence of oorforming the ooe- rations on both sides of assembly line and (or) of area limitation tor spare oarts c o nt ai ne rs at stations. Tho problem in solved w i t h the aia of a mu lt i- st ag e pr og ramming algorithm.