ZESZYTY N A U K O W E POLITECH NIKI ŚLĄ SKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 134
2002 N r kol. 1554
Hanna FURM AŃCZYK , Paw eł ŻYLIŃSKI Uniwersytet Gdański
WSADOWE SZEREGOWANIE ZADAŃ JEDNOSTKOWYCH NA POJEDYNCZYM PROCESORZE
Streszczenie. Problem wsadowego szeregow ania zadań jednostkow ych na jednej maszynie polega na przydzieleniu zadań kom patybilnych do wsadów, które będ ą w y
konywane w oddzielnych chwilach czasu. W pracy zajm iem y się przypadkiem , w któ
rym g raf m odelujący problem je st grafem porównywalnym, split grafem albo kografem, a w ielkość w sadu je st ograniczona przez s ta łą p . N aszym celem je s t takie uszeregow anie zadań, aby łączny czas ich wykonyw ania był ja k najm niejszy. N a koniec om ów im y zastosowanie heurystyki w yżarzania sym ulowanego dla rozważanego problem u w przypadku ogólnym.
SCHEDULING UNIT TIME JOBS ON A SINGLE BATCH PROCESSING MACHINE
S u m m ary . Problem o f scheduling on a single batch processing m achine reduces to attaching com patible jo b s to batches. A t m ost one batch can be treated at a tim e. In this paper we consider cases w hich are m odeled by a graph w hich is a com parability graph, split graph or a cograph and the capacity o f a batch is bounded by a constant p.
Our aim is to schedule the jo b s in such w ay that the m akespan is as sm all as possible.
In the last section w e attem p to solve this problem in general case w ith the sim ulated annealing algorithm.
1. Wprowadzenie
W pracy będziem y rozw ażać problem wsadowego szeregow ania n zadań jednostko
wych na jednej m aszynie B. M odel ten je st rozszerzeniem klasycznego m odelu szere
gowania zadań, w którym na jednej m aszynie w danej chw ili czasu m oże być wykonywane co najwyżej jedno zadanie. Tutaj zakładam y, że w danej chwili m oże być wykonywany co naj
wyżej jeden w sad zadań. Grupę zadań, które m ogą być wykonywane jednocześnie, tw orzą zadania kom patybilne, np. podobne towary, które m ogą być razem transportow ane. Relację tę
128 H. Furmańczyk, P. Żyliński
przedstaw iam y za pom ocą grafu kom patybilności G(V,E), w którym wierzchołki reprezentują zadania, a dw a wierzchołki s ą połączone kraw ędzią wtedy, gdy są kom patybilne, czyli mogą być w ykonywane jednocześnie. W ielkość w sadu je st ograniczona przez stałą/?. Naszym ce
lem je st takie uszeregow anie zadań, aby łączny czas ich wykonyw ania był ja k najmniejszy.
M ożem y zatem problem ten opisać następująco: 5 | G = graph, p\ Cmax, gdzie G oznacza graf kom patybilności, a graph je st konkretną klasą grafów rozważanego problem u. W pracy zaj
m iem y się przypadkiem zadań jednostkow ych (5| G = graph, p , p i - 1| Cmm), zatem czas w ykonyw ania w sadu je st również jednostkow y. Będziemy rozw ażać zagadnienie dla niektórych grafów doskonałych, mianow icie dla split grafów oraz dla grafów porównywalnych, w tym rów nież dla kografów. Poniew aż Boudhar i Finkę [2] pokazali, że problem B\G={V,E),p=7\Cmm m oże być rozwiązany w czasie 0 { n ' s), przyjm iem y, że p t 3.
Problem w sadow ego szeregowania zadań jednostkow ych na pojedynczym procesorze je st równoważny problem owi PODZIAŁU N A OGRANICZONE KLIKI grafu kom patybilności. Zagadnienie to definiujemy następująco:
Dane: N ieskierow any graf G(V, E) oraz k , p e N .
P ytanie: Czy istnieje podział V na kliki K t , K 2,..., K k takie, ± e \K i\< p dla ! < / < £ ?
W przypadku ogólnym problem podziału na ograniczone kliki je st NP-zupełny, gdyż zawiera problem PODZIAŁU N A KLIKI [6]. Zatem i problem wsadowego szeregow ania zadań w przypadku ogólnym je st problem em NP-zupełnym . W ostatnim paragrafie omówimy zastosow anie heurystyki w yżarzania sym ulowanego właśnie dla przypadku ogólnego.
Szeregow anie w sadow e m a zastosowanie w szędzie tam, gdzie istnieje możliwość grupow ania zadań, m iędzy którymi je s t określona pew na relacja. N a przykład, wspomniany ju ż transport różnych tow arów czy m alowanie pewnych elem entów za pom ocą maszyny, która m oże przyjm ować po kilka części jednocześnie oraz daje m ożliw ość użycia różnych kolorów farb w kolejnych jednostkach czasu. W ów czas naszym zadaniem je st taki podział tow arów czy elem entów , aby łączny czas wykonywania danej operacji był ja k najkrótszy.
2. Grafy porównywalne
G rafy porów nyw alne s ą grafami odpowiadającymi częściowym porządkom [10]. Są to grafy nieskierow ane G{V,E) takie, że m ożliwe je st przyporządkowanie kraw ędziom kierun
ków w taki sposób, że jeśli (a,b) oraz (b,c) są łukam i, to również (a,c) je s t lukiem . Lonc [8]
Wsadowe szeregow anie zadań... 129
pokazał, że w sadow e szeregow anie dla tych grafów je s t problem em NP-zupełnym . Jeżeli je d nak ograniczymy się do węższej klasy grafów - do kografów, to problem staje się w ielom ia
nowy.
2.1. Kografy
Zaczniemy od zdefiniow ania tej klasy grafów.
Definicja 1 [11]. Kografy stanow ią najm niejszą rodzinę grafów zaw ierającą pojedynczy wierzchołek, zam kniętą na operacje sumy i zespolenia.
Przykładami kografów m ogą być grafy puste, pełne, czy pełne r-dzielne. Kografy mają strukturę rekurencyjną. M ożem y więc z każdym kografem G stowarzyszyć ukorzenione drzewo binarne, nazyw ane kodrzew em grafu G. W ierzchołki kodrzew a będziem y nazywali węzłami. Każdy w ęzeł nie będący liściem je s t etykietowany albo " u " (jest w ęzłem sumy) albo "+" (jest w ęzłem zespolenia) i każdy z nich m a dokładnie dwóch potom ków. Każdy w ę
zeł kodrzewa odpow iada pew nem u kografowi, a węzeł-liść odpow iada pojedynczem u w ierz
chołkowi grafu G. N a rysunku 1 przedstaw iony je st kograf G z odpowiadającym m u kodrze
wem.
Rys.l. Kograf G oraz odpowiadające mu kodrzewo Fig.l. A cograph G and its cotree
Istnieje liniowy algorytm {0{n+m)), podany przez C om eila i in. [4], sprawdzający, czy dany graf je st kografem i jeśli tak, wyznaczający odpow iadające m u kodrzewo.
Kografy m a ją wiele ciekawych własności. O jednej z nich m ówi
Fakt 1. D opełnienie kografu je st rów nież kografem.
Nietrudno zauw ażyć ja k będzie wyglądało kodrzewo dopełnienia kografu G. Strukturalnie będzie to takie sam o kodrzewo z tym, że w ęzły sum y staną się w ęzłam i zespolenia, a węzły
130 H. Furmańczyk, P. Żyliński
zespolenia - węzłam i sumy. N ietrudno zatem przełożyć wyniki zagadnienia PODZIAŁU NA OG RA NICZO N E KLIKI na wyniki problem u PODZIAŁU N A OGRANICZO NE ZBIORY NIEZALEŻNE. Przypadek ogólny pozostaje N P-zupełny dla tej klasy grafów.
T w ierd ze n ie 1 [1] .Problem podziału na ograniczone kliki (i ograniczone zbiory niezależne) pozostaje N P -zupełny dla kografów.
Jeśli jednak ustalim y ograniczenie p , to złożoność tych problem ów będzie wielomia
nowa. W ykorzystując rekurencyjną strukturę kografii, wygenerujemy zbiór K{G) zawierający ciągi odpow iadające w szystkim m ożliwym podziałom G na kliki o rozm iarze nieprzekracza- jącym p . W ektor x = (X |,...,x ) należy do zbioru K(G), jeżeli G m ożna podzielić na kliki w taki sposób, że X/ klik m a rozm iar / dla 1 < / < p . W ów czas w ektor x będziem y nazywać dopuszczalnym dla grafu G.
Jeżeli V = {v}, to K (H) składa się z jednego w ektora (1,0,0,...,0). D la większych kografów zbiór K(H) konstruujem y rekurencyjnie, wykorzystując poniższy lemat.
L e m a t 1 [1].Niech G = (V,E) będzie kografem.
Jeśli G = G | u Gz, to K(G) = {x + y :x e K (G x) , y e K (G 2)}.
Jeśli G = G\ + Gz, to z e K { G ) w tedy i tylko wtedy, gdy istnieją x e K (G {) , y e K (G 2) i fu n k c ja f : {(/, j ) : i , j > 0,1 ś i + j ś p } - * N 0 taka, że:
V ' Z f ( i , j ) = x „ l ś i ś p , JJ* JS p
2) J ^ f ( i , j ) = y j , l ^ j ^ p , 1:1+jip
V ’Y j f ( i i j ) = z h, \ < h < p .
Dow ód. D la sumy G = Gi u Gi tw ierdzenie je st oczywiste. Jeśli G - G\ + Gz, to niech x e K ( G t) i y e K ( G 2) oraz niech K l , K 2,...,K t będzie podziałem na kliki o rozmiarze co najwyżej p . K lika o rozm iarzep występująca w grafie G je s t dana albo przez klikę wielkościp w grafie G\ albo Gz, albo też przez klikę w ielkości / (1 < i < p ) w jednym z tych grafów i klikę rozm iaru p - i w drugim. D la kliki o rozm iarze m niejszym niż p m am y podobne przed
stawienie. U żyw ając dla liczby klik rozm iaru i możemy opisać podział na kliki w Gi, Gz przez takie odw zorow anie f .
Wsadowe szeregow anie zadań.., 131
Jako że ostatni w yraz w ektora x je st jednoznacznie wyznaczony przez liczbę wierzchołków oraz pozostałe wyrazy tego w ektora, to dla każdego kografu m ożliw ych je s t co najwyżej 0 { r f 'h) w ektorów , co je st w artością w ielom ianow ą dla ustalonego p . D la kografu G = G , u G 2 z rysunku 1 i p = 3 K (G ,) = {(4,0,0),(0,2,0),(2,1,0),(1,0,1)}, natom iast K(G2) = {(0,1,0), (2,0,0)}. Zatem K{G) = {x + ^ : x e ^(C ?,), ^ e )> = {(4,1,0), (6,0,0), (0,3,0), (2,2,0), (4,1,0), (1,1,1), (3,0,1)}.
Twierdzenie 2 [1]. Problem B\G = kograf, p , p ,■ = l|C max może być rozw iązany w czasie w ie
lomianowym.
Dowód. Rozw ażm y podział na ograniczone kliki. D la każdego w ęzła kodrzew a znajdujem y zbiór K{H), gdzie / / j e s t kografem zw iązanym z tym węzłem. O kreślenie zbioru K(G), gdy G jest sumą G i i G2, m oże być w ykonane w 0 ( n 2(pA)) krokach, przy danych zbiorach K (G \) i K(G2). Skoro zbiór { ( /,y ) : i , j S 0,1 < i + 7 < p} m a jedynie stałą liczbę {p- p + 3 p ) / 2 < p - p + 1 elem entów ( p > 2 ), to dla każdej pary w ektorów x, y istnieje co najwyżej 0 ( n rP+l) m ożliw ych odw zorow ań f Zatem, jeśli g raf G je s t zespoleniem G\ i G2, to K(G) może być wyznaczone w czasie w ielom ianowym - w 0 ( n pip*2)~') krokach. W ten sposób możemy znaleźć K{H) dla każdego kografu H przypisanego do danego w ęzła kodrzewa, a następnie w ybrać w ektor x e K ( H ) z m inim alną liczbą klik, to znaczy z najmniejszą dla w szystkich x s K( H) .
3. Split grafy
G raf G(V,E) = G(S,K;E) będziem y nazywać split grafem , jeżeli zbiór jego w ierzchoł
ków V możemy podzielić na zbiór niezależny S oraz klikę K takie, że K = S u Z . Kraw ędzie w split grafie pom iędzy w ierzchołkam i z S i K m o g ą występować dowolnie. Podobnie ja k kografy, split grafy posiadają tę w łasność, że dopełnienie split grafu je s t rów nież split grafem.
Zatem problem podziału na ograniczone kliki je s t równow ażny problem owi podziału na ograniczone zbiory niezależne. Tym ostatnim problem em zajm ow ał się Chen i in. w [3]. My przedstawimy w ielom ianowy algorytm optym alnie grupujący zadania w kliki.
Twierdzenie 3. Problem B\G=split g r a f p , p i = l|C max może być rozw iązany w czasie w ielo
mianowym.
132 H. Furmańczyk, P. Żyliński
Dow ód. Prawdziw ość tw ierdzenia d la p = 2 pokazali Boudhar i Finkę w [2]. M ożemy zatem przyjąć, że p > 3 . W ówczas dla split grafu G(K,S;E), gdzie K = {k\, k i, ..., k,} indukuje klik? i S = {si, 52, •••, 5r} je s t niezależnym zbiorem w ierzchołków , konstruujem y g raf dwudzielny B G (p-1), którego zbiorem wierzchołków je st zbiór K u {s,j : \ < i < r i l < J < p - 1 } oraz {kh s,j}je s t kraw ędzią w tedy i tylko wtedy, gdy {£,,5,} e E { G ) .
D la tak skonstruowanego grafu dwudzielnego szukam y m aksym alnego skojarzenia.
Jego moc oznaczym y przez a \ B G ( p - 1)). W sad Bi b ęd ą tworzyć zadania: 5/ wraz z zadaniam i ki takim i, że kraw ędź {ki, Siq} należy do maksymalnego skojarzenia B G { p - 1) dla pewnego q, \ < q < p - \ . W ten sposób utworzymy r grup zadań. Pozostałe, nieuszeregow ane zadania z kliki K przydzielim y do następnych w sadów, co najwyżej p w każdym. Zatem optym alny czas w ykonania wszystkich zadań m ożem y określić wzorem:
~ t - a \ B G { p -1))' m in C „ „ = r +
Złożoność algorytm u szeregow ania zadań dla grafu kom patybilności będącego split grafem zależy głównie od złożoności szukania m aksym alnego skojarzenia grafu dwudzielnego. Jeżeli zastosujem y algorytm, którego autorami s ą Micali i V azirani [9], to algorytm ten będzie wykonywał O(mn0 5p l $) kroków, gdzie n oznacza liczbę wierzchołków , a m liczbę krawędzi split grafu.
N a rysunku 2 mam y przykład split grafu oraz odpowiadającego mu grafu dwudzielnego BG{2), czyli p = 3. K raw ędzie należące do m aksym alnego skojarzenia zostały zaznaczone linią przerywaną. Zatem wsady będ ą utw orzone następująco: Bi = {s\,ki,ks}, Bi =
{s2,k2M } , B2 = {53}, Ba = {kA}.
si
S2
S i
Rys.2. Graf G(K£\E) oraz odpowiadający mu graf BG(2) Fig.2. A graph G(K&E) and its coresponding graph BG(2)
Wsadowe szeregow anie zadań.. 133
4. Symulowane wyżarzanie
W paragrafie tym opiszem y zastosow anie heurystyki symulowanego w yżarzania (ang.
simulated annealing) w problem ie znajdow ania minimalnego podziału na ograniczone kliki.
Przypomnijmy, że w algorytmie symulowanego wyżarzania z otoczenia N (xq )
bieżącego rozw iązania xo w ybiera się dowolne rozwiązanie x i następnie, jeżeli wartość minimalizowanej (lub maksym alizowanej) funkcji celu F je st m niejsza, tzn. F(x)<F(xo), to rozwiązanie x przyjm owane je st jako najlepsze znalezione do tego czasu rozwiązanie (x0:=x);
jeżeli natom iast F(x)>F(xo), to rozw iązanie x przyjm owane je st jako najlepsze z prawdopodobieństwem P zależnym od tego, o ile rozw iązanie x je st gorsze od x q. W typowym algorytmie praw dopodobieństw o P określone je st wzorem P = P( x 0, x , T ) = exp"(F(l>' F(j'“))/' , gdzie parametr t (zwany temperaturą) stabilizuje algorytm, tzn. im tem peratura je st niższa, tym prawdopodobieństwo P je st mniejsze; param etr t je st zm ienny w czasie: na początku m a wysoką wartość, w m iarę upływu czasu dąży do zera.
Tutaj jako rozw iązanie początkowe xo przyjm ujem y albo podział na podzbiory złożony z pojedynczych w ierzchołków , albo podział złożony z całego zbioru wierzchołków , w zależności od tego, ja k bardzo g raf je st gęsty.
Relacja sąsiedztw a określona je st następująco: niech X|={Ki,...,F*} będzie podziałem zbioru V na rozłączne podzbiory. W ówczas sąsiedztwo N{x{) tw orzą te w szystkie podziały x, które mogą być otrzym ane z podziału X[ poprzez usunięcie dowolnego w ierzchołka v z dowolnego podzbioru V/ i w stawienie go do innego podzbioru Vjti, bądź też utw orzenie nowego jednoelem entow ego podzbioru K*+i= {v}; np. do sąsiedztw a N (xi) podziału X|={{1,2},{3,4},{5,6}} należy podział X2={{1},{2,3,4},{5,6}}, ja k i podział X3={{1,2},{3,4},{5},{6}}, natom iast x3gjV(x2).
Przy tak określonej relacji sąsiedztwa w ygenerowanie losowego rozw iązania sąsiedniego polega na w ylosow aniu podzbioru Vt (czyli liczby /, gdzie 1 <i<k), następnie wylosowaniu elem entu v e V , (czyli liczby j , gdzie 1</<|R/|) oraz w ylosow aniu podzbioru, do którego będziem y w stawiać elem ent (czyli znow u liczby /, gdzie 1 <lśk) przy założeniu jednakże, że jeśli wylosowano ten sam zbiór, z którego usuwam y element, w ówczas tworzymy nowy jednoelem entow y zbiór R*+i={v} złożony z elem entu v. Oczywiście, m oże się zdarzyć, że będziem y usuw ać elem ent z jednoelem entow ego podzbioru i tworzyć z niego znowu jednoelem entow y zbiór, ale tę sytuację łatwo wyeliminować; s ą to ju ż szczegóły techniczne.
134 H. Furmańczyk, P. Żyliński
N iech p będzie ograniczeniem na rozm iar kliki. D la dow olnego podziału xq funkcję celu określam y następująco:
F(x0)=M+2e(*o)+p(xo)
gdzie:
pco| - liczba podzbiorów ; tak naprawdę pseudoklik, bo przy tak określonej funkcji celu kolejne rozw iązania nie m uszą być do końca dobre w takim sensie, że podzbiory w ierzchołków nie będą tworzyć klik;
e(x0) = '^ e ( V l ) , gdzie e(V,) je st liczbą brakujących krawędzi, aby podzbiór V, tworzył
i
klikę;
p {xo) - m a zw iązek z ograniczeniem na rozm iar klik, i analogicznie ja k wyżej,
p (x 0) = ^ j p ( V i) , gdzie p { V i) = \ ( \V \ - p ) d iv /?]; takie określenie p(Vi) wynika z tego, że i - i
podzbiory o m ocach Jp+1, jp+ 2,..., jp+ p (j dow olne naturalne) m ożna podzielić na dokładnie j + 1 podzbiorów o m ocy nie przekraczającej p.
Jak łatw o zauważyć, zm inim alizow anie tej funkcji równow ażne je st znalezieniu m inim alnego podziału zbioru wierzchołków na kliki z ograniczeniem p .
O bliczenie tak określonej funkcji celu dla rozważanego podziału wiąże się z przeglądnięciem tablicy sąsiedztw a, czyli wym aga czasu rzędu @(n2). A le funkcja celu musi być obliczana w ja k najkrótszym czasie. Jeśli struktura przechow ująca podział wierzchołków na podzbiory dla każdego z podzbiorów V,- będzie przechowywać opisaną wyżej przy definicji funkcji celu wartość e(V,), w ów czas wyliczenie funkcji wymagać będzie czasu rzędu O(n).
Przechow yw anie dla każdego z podzbiorów V,- wartości e(Vi) wymaga modyfikacji procedury losującej: oprócz wylosowania „skąd-co-dokąd”, po wygenerowaniu nowego podziału należy uaktualnić wartości funkcji e(-), ale tylko dla podzbiorów „skąd” i „dokąd”, a to, znając indeks usuwanego/wstawianego w ierzchołka, m ożna zrobić w czasie 0{ri).
O czywiście przez to w zrasta koszt w ygenerow ania rozw iązania sąsiedniego, ale przy takim m odelu czas obiegu najbardziej wewnętrznej pętli algorytmu SA będzie rzędu 0(m), a nie 0 ( n 2).
W algorytm ie SA tem peratura to początkow a pow inna być na tyle wysoka, aby na początku działania algorytm u w iększość gorszych rozw iązań m ogła być akceptowana z dość dużym praw dopodobieństw em . Tutaj, doświadczalnie, przyjęliśm y fo=l. Istnieje wiele
Wsadowe szeregowanie zadań.. 135
sposobów aktualizacji tem peratury t: przyjęliśm y model geom etryczny, tzn. now ą temperaturę i uzyskuje się ze w zoru t = a * t , gdzie a = 0,9.
Sprawdzanie, czy układ je s t w równowadze, polega na utrzym ywaniu tem peratury t przez
Jl On prób
[rt prób udanych ( F{x) < F ( x 0))
gdzie n jest liczbą w ierzchołków grafu. K ryterium stopu je st osiągnięte po obniżeniu temperatury n razy. O statecznie daje to czas działania rozważanego algorytmu SA rzędu 0(«3).
Jednakże ja k w iadom o, algorytmy SA nie zaw sze dają optymalne rozwiązanie. Przy tak określonej funkcji celu m oże się zdarzyć, że w otrzymanym podziale na podzbiory będą istniały podzbiory, które nie tw orzą klik. W takiej sytuacji należy te podzbiory znow u podzielić na m inim alne kliki z ograniczeniem p , używając ponow nie algorytmu SA. Prow adzi to do algorytmu GS A, dla którego otrzym ujem y następujące równanie rekurencyjne, przy założeniu że T(n) opisuje czas działania dla danych rozm iaru n:
r(rt)=7’(rti)+7’(rt2)+...r(rt*)+0(rt3), gdzie n\+ m + ...+«*=«
Powyższe rów nanie prowadzi do oszacowania 7’(rt)=0(«4): najgorsza z m ożliwych sytuacji to ta, kiedy kolejne wyw ołania wykonywane będ ą dla podziałów m - n - l , «2= 1.
algorytm GSA(V).;
begin
wygeneruj p o d z ia ł y a lg o ry tm e m SA(V);
for all Vi e y do b egin
if e( V,)=0 th e n p rz e p is z Vi d o y* d zie lą c V| n a p o d z b io ry o m o c y S p e lse b egin
u tw ó r z p o d z ia ł x z b io ru Vi a lg o ry tm e m GSA( Vij;
p rz e p is z p o d z ia ł x d o y* d zie lą c go n a p o d z b io ry o m o c y < p;
end;
end;
y* je s t ro z w ią z a n ie m k o ń co w y m ; end;
We wstępnych badaniach grafów o liczbie w ierzchołków «=10, 20, 50, 100 i ograniczeniu p = 3 otrzym ano, że np. dla ścieżek P„ na « prób maksymalny błąd względny był odpowiednio równy (0,4;0,1;0,12;0,06), średni błąd względny: (0,18;0,04;0,04;0,03). D la kół odpowiednio: (0,2;0,1;0,04;0,04) i (0,06;0,01;0,1;0,02). D la niespójnych grafów składających się z losowej liczby grafów pełnych odpowiednio: (0,25;0;0;0) i (0,08;0;0;0).
Dla pewnej klasy losowych kografów: (0,25;0,14;0,11;0,07) i (0,13;0,03;0,02;0,01).
136 H. Furmanczyk, P. Zyliriski
LITERATURA
1. B odleander H.L., Jansen K.: Restrictions o f graph partition problem s, Theoretical C om puter Science 148 (1995), s. 93-109.
2. Boudhar M., Finke G.: Scheduling on a batch machine w ith jo b com patibilities. Belgian Journal o f O perations Research, Statistics and Com puter Science (JORBEL) (2001), to appear.
3. Chen B.L., Ko M .T., Lih K.W .: Equitable and « -b ounded coloring o f split graphs, Lecture N otes in Com puter Science 1120 (1996), s. 1-5.
4. Com eil D.G., Perl Y., Stewart L.K.: A linear recognition algorithm for cographs, SIAM J.
Com put. 4 (1985), s. 926-934.
5. Johnson D.S.: The N P-com pletness column: an ongoing guide. Journal o f Algorithms, 6 (1985), s. 434-451.
6. Karp R.M .: R educibility am ong com binatorial problem s. W: Com plexity o f Computer C om putations, Plenum Press, Oxford (1972), s. 85-104.
7. K irkpatrick S., Gelatt C.D. Jr., Vecchi M.P.: Optim ization by Sim ulated Annealing, Science, 2 2 0 ,4 5 9 8 , s. 671-680, 1983.
8. Lone Z.: On com plexity o f som e chain and antichain partition problems. Graph Theoretical Concepts in Com puter Science, W G ' 91, Lecture N otes in Com puter Science 570, s. 97-104.
9. M icali S., V azirani V.V.: An 0 ( y l \ V \ \ E \ ) algorithm for finding m axim um matching in general graphs, Proc. 21st Ann. IEEE Symp. on Foundations o f Com puter Science (1980), s. 17-27.
10. M ohring R.H .: C om putationally tractable classes o f ordered sets. In: Algorithms and O rder (ed. I. Rival), Reidel Publishing Co., D ordrecht 1989, s. 105-194.
11. Seinsche D.: O n a property o f the class o f n-colorable graphs, J. Combin. Theory, Ser. B 16(1974), s. 191-193.
Recenzent: Prof. dr hab. inz. Jerzy Jozefczyk
Wsadowe szeregowanie zadań.. 137
Abstract
In this paper we consider a problem o f scheduling unit tim e jo b s on a single batch processing machine. In this m odel at m ost one batch can be treated at a tim e. A batch consists of compatible jo b s and its capacity is bounded by a constant p. In term s o f graph theory it forms a clique. O ur aim is to schedule jo b s in such w ay that the m akespan is as small as possible. The problem is m odeled by a com parability graph, in w hich vertices stand for jobs and two vertices are adjacent if they correspond to com patible jobs. In general, the problem is NP-complete. W e show som e special cases, for w hich this model o f scheduling is polynomially solvable. These include the follow ing classes o f com parability graphs:
comparability, split graph and a cograph. In the last section we attem p to solve the problem in general case w ith the sim ulated annealing algorithm.
