GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

GEM a soustavy line´ arn´ıch rovnic, ˇ c´ ast 2

Odpˇrednesenou l´atku naleznete v kapitol´ach 6 a 7.1 skriptAbstraktn´ı a konkr´etn´ı line´arn´ı algebra.

Minul´a pˇredn´aˇska

1 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda (GEM) jako univers´aln´ı a

systematick´a metodaˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic (nad F).

Dneˇsn´ı pˇredn´aˇska

1 Line´arn´ı maticov´e rovnice.

2 Hled´an´ı soustav, kter´e maj´ı zadan´e ˇreˇsen´ı.

Pˇr´ıklad

Naleznˇete vˇsechny matice X, kter´e splˇnuj´ı rovnost^a

Rα· X = X · R_α, kde Rα : R² → R² je matice rotace o ´uhel α, α ∈ [0; 2π).

Rozmˇerov´a zkouˇska: mus´ı platit X : R² → R². Reˇsen´ımi jsou napˇr´ıklad matice E2, O2,2 a Rα.

Jak nal´ezt vˇsechnaˇreˇsen´ı? Pˇredvedemeunivers´aln´ımetodu.

1 Oznaˇcme X =x₁₁ x₁₂ x₂₁ x₂₂



. Potom

R_α· X =cos α · x₁₁− sin α · x₂₁ cos α · x₁₂− sin α · x₂₂ sin α · x11+ cos α · x21 sin α · x12+ cos α · x22

 a X · Rα=cos α · x₁₁+ sin α · x₁₂ − sin α · x₁₁+ cos α · x₁₂

cos α · x21+ sin α · x22 − sin α · x₂₁+ cos α · x22

 .

aGeometrick´y v´yznam: hled´ame vˇsechny transformace X roviny, kter´e jsou z´amˇenn´es rotac´ı o ´uhel α.

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

2 Rovnost R_α· X = X · R_α je ekvivalentn´ı rovnosti

R_α· X − X · R_α = O_2,2. Staˇc´ı tedy vyˇreˇsit soustavuˇctyˇrrovnic

− sin α · x₂₁ − sin α · x₁₂ = 0

sin α · x11 − sin α · x₂₂ = 0

sin α · x₁₁ − sin α · x₂₂ = 0

sin α · x₂₁ + sin α · x₁₂ = 0 V maticov´em z´apisu (po skonˇcen´ı GEM) m´ame ˇreˇsit soustavu









sin α 0 0 − sin α 0

0 sin α sin α 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0







 v z´avislosti na parametru α ∈ [0; 2π).

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

3 Pro sin α = 0 m´a soustava tvar









0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0









a tud´ıˇz ˇreˇsen´ı je tvaru X =x11 x12

x₂₁ x₂₂



, kde x11, x21, x12 a x₂₂ jsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla.

Z´avˇer: s rotac´ı o ´uhel 0 nebo π je z´amˇenn´a libovoln´a transformace roviny.

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

4 Pro sin α 6= 0 m´a soustava tvar









1 0 0 −1 0

0 1 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0









a ˇreˇsen´ı span(







 0

−1 1 0







 ,







 1 0 0 1







 ).

Z´avˇer: s rotac´ı R_α o ´uhel α /∈ {0, π} jsou z´amˇenn´e transformace roviny tvaru X = a · 0 1

−1 0



+ b ·1 0 0 1

 , kde a, b jsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla.

Pozn´amky

1 Pˇredchoz´ı metoda (rozmˇerov´a zkouˇska pro hledanou matici X a n´asledn´e ˇreˇsen´ı velk´e soustavy rovnic) jeunivers´aln´ı

metodou pro ˇreˇsen´ı maticov´ych rovnic, kde nezn´am´a matice X vystupuje pouze v prvn´ı mocninˇe.

Jak uˇz to u univers´aln´ıch metod b´yv´a: v nˇekter´ych pˇr´ıpadech je takov´a metoda zbyteˇcnˇe zdlouhav´a.

2 Pˇredvedemespeci´aln´ımetodu ˇreˇsen´ı maticov´ych rovnic tvaru^a A · X = B.

aProtoˇze rovnost X · A = B je ekvivalentn´ı rovnosti A^T· X^T= B^T, z´ısk´ame tak i metodu pro ˇreˇsen´ı rovnic tvaru X · A = B. Mus´ıme ovˇsem obezˇretnˇe zach´azet s transposicemi matic.

Pˇrevod maticov´e rovnice na v´ıce soustav line´arn´ıch rovnic Maticovou rovnici A · X = B, kde matice A : F^s → F^r, a matice B : F^p→ F^r, pˇrevedeme na p soustav

A · x = b1, . . . , A · x = bp

kde B = (b₁ b₂ . . . b_p).

1 Kaˇzdou takovou soustavu A · x = b_i vyˇreˇs´ıme pˇredeˇsl´ymi postupy.^a

2 Reˇsen´ı A · X = B existuje pr´ˇ avˇe tehdy, kdyˇz kaˇzd´a soustava A · x = bi m´a ˇreˇsen´ı.

3 Pokud m´a kaˇzd´a soustava A · x = b_i ˇreˇsen´ı, pak

”sesazen´ım“

vˇsech ˇreˇsen´ı x1, . . . xs jednotliv´ych soustav dostaneme ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı maticov´e rovnice: X = (x₁ x₂ . . . x_p).

aJak uvid´ıme, lze takov´y syst´em soustav ˇreˇsitsimult´annˇe.

Pˇr´ıklad

Nad R vyˇreˇste rovnici1 2 1 1 −3 2



· X =2 1 1 2

 . Protoˇze X : R²→ R³, m´ame ˇreˇsitdvˇe soustavy:

1 2 1

1 −3 2



· x =2 1

 1 2 1

1 −3 2



· x =1 2



Obˇe soustavy maj´ı stejnou matici soustavy, lze je tedy ˇreˇsit simult´annˇe:

1 Simult´ann´ı GEM:

 1 2 1 2 1

1 −3 2 1 2



∼

 1 2 1 2 1

0 −5 1 −1 1

 R₁ R₂− R₁ Podle Frobeniovy vˇety maj´ıobˇe soustavy ˇreˇsen´ı.

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

2 Z´apis

 1 2 1 2 1

0 −5 1 −1 1



k´oduje dvˇe soustavy s ˇreˇsen´ımi (v poˇrad´ı soustav zleva doprava):



 3 0

−1



+ span(





−7 1 5



)



 0 0 1



+ span(





−7 1 5



)

3 ”Sesazen´ı ˇreˇsen´ı dohromady“: celkov´e ˇreˇsen´ı je tvaru

X =





3 − 7a −7b

a b

−1 + 5a 1 + 5b



 kde a, b jsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla.

Pozn´amka

V´ıme, ˇze proregul´arn´ımatici A : Fⁿ→ Fⁿ m´a soustava A · X = B jedin´e ˇreˇsen´ı, a sice X = A⁻¹· B.

Toto jedin´e ˇreˇsen´ı lze nal´ezt postupem, kter´emu se nˇekdy ˇr´ık´a Gaussova-Jordanova eliminace: eleminace ˇr´adkov´ymi ´upravami nekonˇc´ı po dosaˇzen´ı horn´ı troj´uheln´ıkov´e matice, ale pokraˇcujuje nulov´an´ım i nad hlavn´ı diagon´alou.

Z´ısk´av´ame tak postup

(A | B) ∼ · · · ∼ (E_n| A⁻¹· B)

Speci´alnˇe: pro regul´arn´ı A : Fⁿ→ Fⁿ lze nal´ezt A⁻¹ postupem (A | En) ∼ · · · ∼ (En| A⁻¹)

V´ıce viz cviˇcen´ı a skripta, Pˇr´ıklad 6.4.12.

Pˇr´ıklad

Nad R naleznˇete (jakoukoli) soustavu tvaru A · x = b, kter´a m´a ˇreˇsen´ı



 3 2 6



+ span(



 1 2 0



,



 2 0 4



) Myˇslenky postupu:

1 Zadan´e ˇreˇsen´ı tvoˇr´ı rovinu v R³, kter´a proch´az´ı bodem



 3 2 6



 a

m´a

”smˇer“ urˇcen´y vektory



 1 2 0



 ,



 2 0 4



.

2 Tud´ıˇz: hledanou soustavu oˇcek´av´ame ve tvaru (a₁ a₂ a₃ | b), neboli a1x + a2y + a3z = b.

Jak naj´ıt soustavu (a1 a2 a3| b) systematicky?

Pˇr´ıklad, pokraˇc.

Podle Frobeniovy vˇety je

3 2 6

!

+ span(

1 2 0

! ,

2 0 4

! )

ˇreˇsen´ım soustavy A · x = b, kde

1 Vektory

1 2 0

! ,

2 0 4

!

jsou line´arnˇe nez´avisl´e; tvoˇr´ı tud´ıˇz

fundament´aln´ı syst´em soustavy A · x = o, kde def(A) = 2 a A m´a tˇri sloupce. To umoˇzn´ınal´ezt A = (a1 a2 a3).

2 Vektor

3 2 6

!

je partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b, neboli

A ·

3 2 6

!

= b. Matici A zn´ame, m˚uˇzemedopoˇc´ıtat b = (b).

Pˇr´ıklad, pokraˇc.

3 Nalezen´ı A:

1 Protoˇze m´a platit (a₁a₂ a₃) ·



 2 0 4



= 0, mus´ı platit

(2 0 4) ·



 a1

a2

a3



= 0.

2 Protoˇze m´a platit (a₁a₂ a₃) ·



 1 2 0



= 0,

mus´ı platit (1 2 0) ·



 a1

a2

a3



= 0

Tud´ıˇz

a1

a2

a3

!

je fundament´aln´ı syst´em soustavy

 2 0 4 0 1 2 0 0



, neboli (napˇr.)

a1

a2

a3

!

=

2

−1

−1

! a A = (2 − 1 − 1).

Pˇr´ıklad, pokraˇc.

4 Nalezen´ı b. Protoˇze A = (2 − 1 − 1) a A ·

3 2 6

!

= b, je b = −2.

5 Z´avˇer: hledan´a soustava je (napˇr´ıklad) (2 − 1 − 1 | −2).

Pozn´amky

1 Pˇredchoz´ı pˇr´ıklad nalezl obecnou rovnici roviny z jej´ıho parametrick´eho zad´an´ı. Postup vyuˇz´ıval platnosti Frobeniovy vˇety a z´akladn´ıch vlastnost´ı matic.

2 Oˇcek´av´ame: podobn´y postup bude fungovat pro nalezen´ı soustavy A · x = b nad tˇelesem F, kter´a m´a ˇreˇsen´ı

p + span(x1, . . . , xd) kde vektory x₁, . . . , x_d jsou line´arnˇe nez´avisl´e.

Definice

Z´apisu p + span(x₁, . . . , x_d) v F^s, kde vektory x₁, . . . , x_d jsou line´arnˇe nez´avisl´e, ˇr´ık´ameafinn´ı podprostor dimense d v prostoru F^s.^a Seznamu (x1, . . . , x_d) ˇr´ık´amesmˇer (tak´e:zamˇeˇren´ı) tohoto podprostoru.

aTak´e:d -dimension´aln´ı plocha v F^s.

Ilustraˇcn´ı obr´azek

x1

x₂

•x_p

Tvrzen´ı

Ke kaˇzd´emu d -dimension´aln´ımu afinn´ımu podprostoru

p + span(x₁, . . . , x_d) v F^s existuje alespoˇn jedna soustava tvaru A · x = b, kter´a m´a p + span(x1, . . . , xd) jako mnoˇzinu ˇreˇsen´ı.

D˚ukaz.

Podrobnˇe na pˇredn´aˇsce; hlavn´ı myˇslenky jsou:

1 Mus´ı platit A · x_i = o pro i = 1, . . . , d a A · p = b.

2 Oznaˇcme X = (x₁, . . . , x_d). Protoˇze seznam (x₁, . . . , x_d) je line´arnˇe nez´avisl´y, plat´ı d = rank(X) = rank(X^T).

Soustava^a X^T· a = o m´a s − d prvk˚u ve sv´em fundament´aln´ım syst´emu. Oznaˇcme tento syst´em jako (a1, . . . , a_s−d).

3 Zn´ame A = (a1, . . . , a_s−d)^T a dopoˇcteme b z rovnice A · p = b.

aPozor: matici X^T zn´ame, nezn´am´a je oznaˇcena jako a.

Pˇr´ıklad

Nad R naleznˇete (jakoukoli) soustavu tvaru A · x = b, kter´a m´a ˇreˇsen´ı









1 1

−2 0 2









+ span(









2 1 1 0 0







 ,









1 2 0 1 0







 ,









−1 2 0 0 1







 )

1 Oznaˇcme X =













2 1 −1

1 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1













, potom X^T =





2 1 1 0 0

1 2 0 1 0

−1 2 0 0 1



. Plat´ı

3 = rank(X) = rank(X^T).

2 Matice A m´a jako ˇr´adky fundament´aln´ı syst´em soustavy X^T· a = o.

Protoˇze rank(X^T) = 3, bude m´ıt matice A dva line´arnˇe nez´avisl´e ˇr´adky.

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

3 Fundament´aln´ı syst´em soustavy X^T· a = o, neboli homogenn´ı soustavy





2 1 1 0 0 0

1 2 0 1 0 0

−1 2 0 0 1 0



, je napˇr´ıklad













−1/2

−1/4 5/4

1 0











 ,











 1/2

−1/4

−3/4 0 1











 .

Uˇziteˇcn´y trik:^aproto je i 4 ·













−1/2

−1/4 5/4

1 0













=













−2

−1 5 4 0











 , 4 ·











 1/2

−1/4

−3/4 0 1













=











 2

−1

−3 0 4











 fundament´aln´ı syst´em soustavy X^T· a = o.

M˚uˇzeme tedy ps´at: A =−2 −1 5 4 0

2 −1 −3 0 4

 .

aFundament´aln´ı syst´em tvoˇr´ı b´azi j´adra matice soustavy. Anenulov´eskal´arn´ı n´asobky prvk˚u jak´ekoli b´aze opˇet tvoˇr´ı b´azi.

Pˇr´ıklad (pokraˇc.)

4 Dopoˇcteme b z rovnice A ·











 1 1

−2 0 2













= b.

Tud´ıˇz b =−2 −1 5 4 0

2 −1 −3 0 4



·











 1 1

−2 0 2













=−13 15

 .

Odpovˇed’: 3-dimension´aln´ı afinn´ı podprostor v R⁵











 1 1

−2 0 2











 + span(











 2 1 1 0 0











 ,











 1 2 0 1 0











 ,













−1 2 0 0 1











 )

je ˇreˇsen´ım soustavy

 −2 −1 5 4 0 −13

2 −1 −3 0 4 15

 nad R.

Z´avˇereˇcn´e pozn´amky

1 GEM je sice univers´aln´ı metodouˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic, nad R (nebo C) je vˇsak numericky nestabiln´ı. V praxi je pro ˇreˇsen´ı (zvl´aˇstˇe velk´ych) soustav line´arn´ıch rovnic nad R (nebo C) nutno pouˇz´ıt jin´e metody(napˇr´ıklad iteraˇcn´ı Gaussovu-Seidelovu metodu,^a a jin´e). Tyto metody jsou mimo sylabus standardn´ı pˇredn´aˇsky z line´arn´ı algebry.

2 Jak ˇreˇsit soustavy s parametrem? GEM je univers´aln´ı metodou! Pˇri ˇreˇsen´ı soustav s parametrem pomoc´ı GEM mus´ıme b´yt velmi opatrn´ı na prov´adˇen´ı element´arn´ıch ´uprav.

Pro soustavy seˇctvercovou matic´ı vyvineme pozdˇeji dalˇs´ı metodu ˇreˇsen´ı (kombinaci GEM a Cramerovy vˇety).

3 Nepovinn´e: Nad R lze m´ıt i dalˇs´ı geometrick´y pohled na GEM (tzv. Householderovy reflexe).

aViz Pozn´amku 6.4.7skript.