Úvod do praktické fyziky, cvičení 3

(1)

Uvod do praktick´ ´ e fyziky, cviˇ cen´ı 3 N´ ahodn´ a promˇ enn´ a a jej´ı popis

Jan Matouˇsek

13. 10. 2020

(2)

Gener´ atory n´ ahodn´ ych ˇ c´ısel

Skuteˇcnˇe n´ahodn´a ˇc´ısla

Mˇeˇren´ı fyzikáln´ıho procesu, který je náhodný nebo jej nelze modelovat, napˇr.

hod kostkou nebo minc´ı, elektronick´y ˇsum, radioaktivn´ı rozpad.

”Hardwarov´y gener´ator“.

Pseudo-náhodná ˇc´ısla Generována algoritmem.

Jsou reprodukovateln´a (pˇri znalosti poˇc´ateˇcn´ıho stavu).

Jednoduchý pˇr´ıklad:Lineárn´ı kongruentn´ı generátor N_i+1= (aN_i+ b) mod m, a, b, m jsou velká pˇrirozená ˇc´ısla.

0 < a < m, 0 < b < m.

N₀je

”sem´ınko“ – seed.

Chceme-li X_i∈ (0, 1): Xi= N_i/m.

Perioda: maxim´alnˇe m.

Kvalita gener´atoru silnˇe z´avis´ı na volbˇe a, b, m.

Dalˇs´ı gener´atory, napˇr.Mersenne twister(z´akladn´ı pro Excel, Python, Matlab...).

(3)

Gener´ atory n´ ahodn´ ych ˇ c´ısel

Skuteˇcnˇe n´ahodn´a ˇc´ısla

Mˇeˇren´ı fyzikáln´ıho procesu, který je náhodný nebo jej nelze modelovat, napˇr.

hod kostkou nebo minc´ı, elektronick´y ˇsum, radioaktivn´ı rozpad.

”Hardwarov´y gener´ator“.

Pseudo-náhodná ˇc´ısla Generována algoritmem.

Jsou reprodukovateln´a (pˇri znalosti poˇc´ateˇcn´ıho stavu).

Jednoduchý pˇr´ıklad:Lineárn´ı kongruentn´ı generátor N_i+1= (aN_i+ b) mod m, a, b, m jsou velká pˇrirozená ˇc´ısla.

0 < a < m, 0 < b < m.

N₀je

”sem´ınko“ – seed.

Chceme-li X_i∈ (0, 1): Xi= N_i/m.

Perioda: maxim´alnˇe m.

Kvalita gener´atoru silnˇe z´avis´ı na volbˇe a, b, m.

Dalˇs´ı gener´atory, napˇr.Mersenne twister(z´akladn´ı pro Excel, Python, Matlab...).

(4)

Spektr´ aln´ı test gener´ atoru

Testuje korelace po sobˇe jdouc´ıch n´ahodn´ych ˇc´ısel.

Lineárn´ı kongruentn´ı generátory jsou k tomu náchylné.

Bodov´y graf, souˇradnice bodu napˇr. Xi, Xi+1, Xi+2.

Jeden rozmˇer se d´a nahradit barvou bodu.

Zn´am´y

”odstraˇsuj´ıc´ı pˇr´ıpad“: gener´ator RANDU ze 60. let od IBM.

Vyzkouˇsejte udˇelat test nativn´ıho gener´atoru v Pythonu (viz pˇr´ıklad na webu).

Pˇr´ıpadnˇe napiˇste funkci pro lineárn´ı kongruentn´ı generátor a vyzkouˇsejte r˚uzná nastaven´ı parametr˚u a, b, m, N0.

(5)

Spektr´ aln´ı test gener´ atoru

Testuje korelace po sobˇe jdouc´ıch n´ahodn´ych ˇc´ısel.

Lineárn´ı kongruentn´ı generátory jsou k tomu náchylné.

Bodov´y graf, souˇradnice bodu napˇr. Xi, Xi+1, Xi+2.

Jeden rozmˇer se d´a nahradit barvou bodu.

Zn´am´y

”odstraˇsuj´ıc´ı pˇr´ıpad“: gener´ator RANDU ze 60. let od IBM.

Vyzkouˇsejte udˇelat test nativn´ıho gener´atoru v Pythonu (viz pˇr´ıklad na webu).

Pˇr´ıpadnˇe napiˇste funkci pro lineárn´ı kongruentn´ı generátor a vyzkouˇsejte r˚uzná nastaven´ı parametr˚u a, b, m, N0.

(6)

Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı v Excelu

Vygenerujte v Excelu N = 1000 náhodných ˇc´ısel z rovnomnˇerného rozdˇelen´ı U (0, 1) a nakreslete histogram nasimulovaných hodnot.

N´ahodn´e ˇc´ıslo z U (0, 1):

RAND() (pˇr´ıpadnˇe N´AHˇC´ISLO()).

Histogram: FREQUENCY(sample;bins), (pˇr´ıpadnˇe ˇCETNOSTI()). Je to maticov´y vzorec – v´ystupem je sloupec bunˇek.

Maticov´e vzorce v Excelu:

1. oznaˇcit v´ystupn´ı oblast

2. napsat vzorec a Ctrl+Shift+ENTER

Normalizujte histogram, aby jeho plocha byla jednotkov´a,

N

X

i=0

m_iδ = 1.

Zde δ je ˇs´ıˇrka binu, tedy δ =_N¹.

(7)

Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı v Excelu

Vygenerujte v Excelu N = 1000 náhodných ˇc´ısel z rovnomnˇerného rozdˇelen´ı U (0, 1) a nakreslete histogram nasimulovaných hodnot.

N´ahodn´e ˇc´ıslo z U (0, 1):

RAND() (pˇr´ıpadnˇe N´AHˇC´ISLO()).

Histogram: FREQUENCY(sample;bins), (pˇr´ıpadnˇe ˇCETNOSTI()). Je to maticov´y vzorec – v´ystupem je sloupec bunˇek.

Maticov´e vzorce v Excelu:

1. oznaˇcit v´ystupn´ı oblast

2. napsat vzorec a Ctrl+Shift+ENTER

Normalizujte histogram, aby jeho plocha byla jednotkov´a,

N

X

i=0

m_iδ = 1.

Zde δ je ˇs´ıˇrka binu, tedy δ =_N¹.

(8)

Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı v Excelu

Rozdˇelen´ı spojité náhodné promˇenné je dáno hustotou pravdˇepodobnosti f (x) nebo distribuˇcn´ı funkc´ı

F (x) = Zx

−∞

f (ξ)dξ.

Normovan´y histogram miodpov´ıd´a hustotˇe pravdˇepodobnosti f (xi). Nakreslete kumulativn´ı histogram Fi=Pi

j=0mjδ, kter´y odpov´ıd´a distribuˇcn´ı funkci F (x).

(9)

Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı v Excelu

Rozdˇelen´ı spojité náhodné promˇenné je dáno hustotou pravdˇepodobnosti f (x) nebo distribuˇcn´ı funkc´ı

F (x) = Zx

−∞

f (ξ)dξ.

Normovan´y histogram miodpov´ıd´a hustotˇe pravdˇepodobnosti f (xi). Nakreslete kumulativn´ı histogram Fi=Pi

j=0mjδ, kter´y odpov´ıd´a distribuˇcn´ı funkci F (x).

(10)

Jin´ e neˇ z rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı: Metoda inverzn´ı distribuˇ cn´ı funkce

Necht’ x je náhodná promˇenná s rozdˇelen´ım popsaným hustotou pravdˇepodobnosti f (x) a distribuˇcn´ı funkc´ı F (x) potom náhodná promˇenná r = F (x) má rovnomˇerné rozdˇeln´ı U (0, 1).

Tedy m˚uˇzeme z rovnomˇernˇe rozdˇelen´e r ∈ U (0, 1) z´ıskat promˇennou x = F⁻¹(r).

(11)

Monte Carlo simulace

Doba ˇzivota vybuzen´eho stavu elektron˚u je 100 µs. Pˇri rozpadu emituje foton. Proved’te v Excelu simulaci mˇeˇren´ı fotoluminiscence (meˇr´ıme ˇcas t detekce fotonu po vybuzen´ı vzorku).

Pouˇzijte N = 200 hodnot. Nakreslete histogram namˇeˇren´ych hodnot, srovnejte s teoretickou f (t).

Histogram t (modr´e body) a teoretick´a kˇrivka f (t)N ∆, kde ∆ je ˇs´ıˇrka binu.

Ai = RAND() Bi = -100 * LN(Ai)

D4:D33 horn´ı hranice bin˚u histogramu, histogram: matice E4:E33

{=FREQUENCY(B2:B201;D4:D33)}

(oznaˇcit E4:E33, napsat vzorec a Ctrl+Shift+Enter)

Hustota pravdˇepodobnosti:

f (t) = 1

τe^{− t}τ pro t > 0, jinak 0.

Distribuˇcn´ı funkce:

F (t) = Zt

0

1

τe^{− x}τdx = 1 − e^{− t}τ. Inverzn´ı funkce (definujeme r = F (t)):

1 − r = e^{− t}τ

ln(1 − r) = −t τ

t = −τ ln(1 − r) = F⁻¹(r).

Tento vztah m˚uˇzu pouˇz´ıt pro generován´ı t s pomoc´ı rovnomˇernˇe rozdˇelené náhodné promˇenné r. Jednoduˇsˇs´ı je pouˇz´ıt

(12)

Monte Carlo simulace

{=FREQUENCY(B2:B201;D4:D33)}

(oznaˇcit E4:E33, napsat vzorec a Ctrl+Shift+Enter)

f (t) = 1

F (t) = Zt

0

1

1 − r = e^{− t}τ

ln(1 − r) = −t τ

t = −τ ln(1 − r) = F⁻¹(r).

(13)

Monte Carlo simulace

f (t) = 1

F (t) = Zt

0

1

1 − r = e^{− t}τ

ln(1 − r) = −t τ

t = −τ ln(1 − r) = F⁻¹(r).