(4) Matice jako zobrazen´ı, n´asoben´ı matic
Krist´yna Kuncov´a
Matematika B1
Pˇr´ıklad
Navˇstivte str´anku
https://web.ma.utexas.edu/users/ysulyma/matrix/
Chcete-li, zmˇeˇnte obr´azek na http:
//web.natur.cuni.cz/˜kunck6am/1920ZS_B1/dyne1.jpg.
Zkuste, co udˇelaj´ı jednotliv´e matice.
1. 1.1 0 −1
1 0
1.2 0 1
−1 0
1.3 0, 71 −0, 71 0, 71 0, 71
2. 2.1 −1 0 0 −1
2.2 1 0 0 −1
2.3 −1 0
0 1
3. 3.1 2 0 0 2
3.2 2 0 0 1
3.3 1 0 0 2
Transformace matice
Pˇr´ıklad 1. rotace
1.1 oπ2 1.2 o −π2 1.3 oπ4
2. soumˇernost
2.1 podle poˇc´atku 2.2 podle osy x 2.3 podle osy y
3. ˇsk´alov´an´ı
3.1 2x 3.2 2x v ose x 3.3 2x v ose y 4. ”rozˇsl´apnut´ı”
4.1 ve smˇeru osy x 4.2 ve smˇeru osy y
N´asoben´ı matic
Definice
Necht’ A je matice typu (m, n) a B je matice typu (n, p). Pak je definov´an souˇcin maticA · B jako matice typu (m, p) takto: kaˇzd´y prvek
ci,k= ai,1b1,k+ ai,2b2,k+ · · · + ai,nbn,k =
n
X
j=1
ai,jbj,k.
N´asoben´ı matic - pˇr´ıklady
Ot´azka
Jak´y je souˇcin A × B, jestliˇze
A= 2 0
−3 1
B=0 −1
2 2
A 3 −1
−2 2
B 0 −2
2 5
C 0 0
−6 2
D ani jedna z moˇznost´ı E souˇcin A × B nen´ı definov´an B
N´asoben´ı matic - pˇr´ıklady
Ot´azka
Jak´y je souˇcin A × B, jestliˇze
A=2 1 3 2
B= 4
−1
A 5 2
B 10 7 C 8 4
−3 −2
D 7 10
E souˇcin A × B nen´ı definov´an
D
N´asoben´ı matic pˇri zobrazov´an´ı
Pˇr´ıklad
Navˇstivte zase str´anku s d´yn´ı. Co udˇelaj´ı n´asleduj´ıc´ı matice?
1. 1.1 −1 −1 0 −1
=−1 0 0 −1
·1 1 0 1
1.2 −1 0 0 −1
=0 −1
1 0
·0 −1
1 0
1.3 1, 42 0, 71
−1, 42 0, 71
=0, 71 −0, 71 0, 71 0, 71
·2 0 0 1
Vlastnosti n´asoben´ı
Vˇeta
Necht’ α ∈ R a A, B a C jsou matice odpov´ıdaj´ıc´ıch typ˚u tak, aby v´yrazy n´ıˇze byly definov´any. Pak
1. (A · B) · C = A · (B · C) 2. (A + B) · C = A · C + B · C 3. C · (A + B) = C · A + C · B 4. α(A · B) = (αA) · B = A · (αB) 5. (AB)T= BTAT
N´asoben´ı matic - pˇr´ıklady
Ot´azka
Necht’ A a B jsou matice typu 2x3. Kter´e z n´asleduj´ıc´ıch operac´ı nejsou dobˇre definov´any?
A A+ B B ATB C BA
D ABT E AB E, C
Ot´azka
Abychom mohli vyn´asobit matice A × B, tak A Aa B mus´ı m´ıt stejn´y poˇcet ˇr´adk˚u B Aa B mus´ı m´ıt stejn´y poˇcet sloupc˚u
C poˇcet ˇr´adk˚u A mus´ı b´yt stejn´y jako poˇcet sloupc˚u B D poˇcet sloupc˚u A mus´ı b´yt stejn´y jako poˇcet ˇr´adk˚u B D
N´asoben´ı matic - pˇr´ıklady
Ot´azka
Necht’ A je matice typu 2x3 a B je typu 3x6. Jak´eho typu je AB?
A 2x6 B 6x2 C 3x3 D 2x3 E 3x6 A
N´asoben´ı matic - pˇr´ıklady
Ot´azka (Pravda / Nepravda)
Necht’ A a B jsou ˇctvercov´e matice stejn´e dimenze. Pak (A + B) × (A + B) = A2+ 2AB + B2. Nepravda
Zmrzlin´arna
Ot´azka
Vlastn´ıte dvˇe r˚uzn´e zmrzlin´arny. V prvn´ım kr´amku prod´ate dennˇe 5 hektolitr˚u vanilkov´e a 8 ˇcokol´adov´e zmrzliny. Ve druh´em prod´ate 6 vanilkov´e a 10 ˇcokol´adov´e za den. Obchody jsou ovˇsem otevˇreny r˚uznˇe, napˇr´ıklad v ˇcervenci byl prvn´ı obchod otevˇren c1dn´ı, kdeˇzto druh´y c2. Kter´y v´yraz vyjadˇruje v´aˇs celkov´y prodej vanilkov´e a celkov´y prodej ˇcokol´adov´e zmrzliny (kaˇzd´e zvl´aˇst’) za cel´y mˇes´ıc?
A
c1
5 8
+ c2 6 10
B 5 6
8 10
c1 c2
C 5c1
8c1
+ 6c2
10c2
