Podstawy Automatyki Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

(2)

część 1: Charakterystyki częstotliwościowe

(3)

Wstęp

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wy- korzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode’a)

(4)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 1 : Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

u(t) = A1sin[ωt] (1)

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (2) gdzie: Ai - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), tϕ- opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.

Przesunięcie fazowe: odpowiednio tϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, tϕ> 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,

(5)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 2 : Sygnał wejściowy

Rysunek 3 : Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

(6)

Charakterystyki częstotliwościowe

Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o wartość t_ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (3) lub jako przesunięcie kątowe

ϕ(ω) = ωtϕ (4)

wtedy

y (t) = A2sin[ωt − ϕ] (5)

(7)

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidal- nie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G (j ω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (j ω) (gdzie j - jednostka urojona) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (j ω) =

∞

Z

−∞

f (t)e^−jωtdt (6)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

Gj ω = y (j ω)

x (j ω) (7)

(8)

Transmitancja widmowa

Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek

G (j ω) = G (s)|s=j ω (8)

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.

Przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace⁰a dla s = j ω.

(9)

Transmitancja widmowa

Z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu w dzie- dzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ )} = L{f (t)}e^{τ s} (9) można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinu- soidalnego na jego wejściu

G (s) = L {A2(ω)sin[ω(t + tϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

L {sin[ω(t)]} e^t^ϕ^s

L {sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

e^t^ϕ^s (10) ponieważ

G (j ω) = Y (j ω)

U(j ω), G (j ω) = G (s)|s=j ω, tϕ= ϕ(ω)

ω (11)

to

G (j ω) = A2(ω) A1

e^t^ϕ^s|s=j ω= A2(ω) A1

e^t^ϕ^{j ω}= A2(ω) A1

e^{j ϕ(ω)} (12)

(10)

Transmitancja widmowa

Transmitancję widmową zapisuje się następująco G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)}= M(ω)e^{j ϕ(ω)} (13)

gdzie:

M(ω) = ^A²_A^(ω)

1 - moduł transmitancji widmowej, ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej.

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (j ω) = M(ω)e^{j ϕ(ω)}= P(ω) + jQ(ω) (14) gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

(11)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płasz- czyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G (j ω) przy zmianach ω = 0 → ∞

Rysunek 4 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa

M(ω) =p

[P(ω)]²+ [Q(ω)]² (15) ϕ(ω) = arctg Q(ω)

P(ω)

(16)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (17) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (18) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] = Q(ω) sin[ϕ(ω)] (19)

(12)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 5 : Charakterystyki logarytmiczne

Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przed- stawiane na dwóch oddzielnych wykresach:

charakterystyka amplitudowa L(ω) = |G (j ω)| w zależności od częstości ω ,

charakterystyka fazowa ϕ = arg G (ω) w zależności od częstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel)

L(ω) = 10log10M²(ω) =

= 20 log M(ω)[dB] (20)

(13)

część 2: Podstawowe człony dynamiczne

(14)

Wstęp

W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg naj- prostszych niepodzielnych elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem kilku podstawowym modelom matematycznym.

Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dy- namicznymi.

Opis liniowych członów dynamicznych:

równanie ruchu,

transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna,

odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa,

charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquista),

logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa (Bodego),

(15)

Podstawowe człony dynamiczne

y (t) = ku(t) (21) człon proporcjonalny (bezinercyjny) Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (22) człon inercyjny

Tdy (t)

dt = u(t), lub dy (t)

dt = ku(t) (23) człon całkujący y (t) = Tdu(t)

dt (24) człon różniczkujący

idealny Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t)

dt (25) człon różniczkujący rzeczywisty

T²d²y (t)

dt +2ξTdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (26)

człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1

y (t) = u(t − T0) (27) człon opóźniający

(16)

Elementy bezinercyjne

Rysunek 6 : Przykłady elementów bezinercyjnych.: a) czwórnik, b) dźwignia, c) dźwig hydr.

a) U2(t) = _R^R²

1+R2U1(t) b) y (t) =^b_ax (t) c) F2(t) = ^d_d²²2

1

F1(t)

Równanie ruchu

y (t) = ku(t) (28) gdzie: k - wzmocnienie

(17)

Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki

y (t) = ku(t) (29) Charakterystyka statyczna

y = ku (30)

Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)

U(s) = k (31) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1

sk] = kust

(32)

Rysunek 7 : Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego

Rysunek 8 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego

(18)

Człon proporcjonalny

Transmitancja widmowa G (j ω) = G (s)|s=j ω = k

(33) P(ω) = k, Q(ω) = 0

(34) M(ω) = k (35) L(ω) = 20 log k[dB] (36)

ϕ(ω) = 0 (37) Rysunek 9 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa

(19)

Człon proporcjonalny

Charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log k[dB] (38) Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = 0 (39)

Rysunek 10 : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

(20)

Elementy inercyjne

Rysunek 11 : Element inercyjny

gdzie: p1- ciśnienie przed zwężką, p2- ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika.

Założenia:

zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej), w zwężce występuje przepływ laminarny.

(21)

Element inercyjny - przykład

Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona):

pV = mRΘ (40)

gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura.

zakładając

Θ = const (41)

m = p2(t)V

RΘ (42)

dm(t) dt = V

RΘ dp2(t)

dt (43)

G =dm(t)

dt = α(p1(t) − p2(t)) (44) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności.

V RΘ

dp₂(t)

dt = α(p₁(t) − p₂(t)) = αp₁(t) − αp₂(t) (45) ostatecznie

V αRΘ

dp2(t)

dt + p2= p1 (46)

(22)

Człon inercyjny

Rysunek 12 : Elementy inercyjne Równania ruchu

przykładowych elementów inercyjnych

a) _αRΘ^V ^dp_dt²^(t) + p2= p1

b) _R^J ^{d ω(t)}_d t + ω(t) = _R¹M(t) c) _R^L^dU_dt²^(t)+ U₂(t) = U₁(t)

Równanie ruchu

Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (47) gdzie: T - stała czasowa.

(23)

Człon inercyjny

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (48) Charakterystyka statyczna

y = ku (49)

U(s) = k Ts + 1

(50) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1 s

k Ts + 1]

= ustk

1 − e^−t^T (51)

Rysunek 13 : Charakterystyka statyczna członu inercyjnego

Rysunek 14 : Odpowiedź na

wymuszenie skokowe członu inercyjnego

(24)

Człon inercyjny

Rysunek 15 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego

(25)

Człon inercyjny

Transmitancja widmowa G (j ω) = G (s)|s=j ω = k

Ts + 1|s=j ω = k

Tj ω + 1 = P(ω) + jQ(ω) (52) P(ω) = k

T²ω²+ 1, Q(ω) = −kT ω

T²ω²+ 1 (53)

Rysunek 16 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa, ωs- częstotliwość sprzęgająca

(26)

Człon inercyjny

charakterystyka amplitudowa

M(ω) = k

√

T²ω²+ 1 (54) L(ω) = 20 log k − 20 logp

T²ω²+ 1[dB]

(55) dla

ω  1

T = ωs (56) L(ω) = 20 log k[dB] (57) dla

ω  1

T = ωs (58) L(ω) = (20 log k−20 logp

T²ω²+ 1)[dB]

(59) charakterystyka fazowa

ϕ = −arctg(T ω) (60)

(27)

Elementy całkujące

Rysunek 18 : Elementy całkujące

(28)

Elementy całkujące

a)

Q = (

αb s2

ρ(p_z− ps) )

x (t) = Bx (t) (61)

Q₁= Q₂= Bx (t) = Ady (t) dt(62) A

B dy (t)

dt = x (t) (63) b)

Tϕ(t) dt = ω

rx (t) (64)

Równanie ruchu Tdy (t)

dt = u(t) (65) lub

dy (t)

dt = ku(t) (66)

(29)

Człon całkujący

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt = u(t) (67) Charakterystyka statyczna

u = 0 (68)

U(s) = 1 Ts (69) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 s

1 Ts] = ust

t T (70)

Rysunek 19 : Charakterystyka statyczna członu całkującego

Rysunek 20 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego

(30)

Człon całkujący

G_{j ω} = G (s)|_{s=j ω} = 1

Ts|_{s=j ω} = 1

Tj ω = −j 1

T ω (71)

P(ω) = 0, Q(ω) = − 1

T ω (72)

Rysunek 21 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego

(31)

Człon całkujący

M(ω) = 1

T ω (73)

charakterystyka amplitudowa

L(ω) = 20 log 1 T ω

= −20 log T ω[dB]

(74)

charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = arctg−_{T ω}¹ 0

= arctg(−∞) = −π 2

(75)

(32)

Elementy różniczkujące - idealne

a) Prądnica tachometryczna

Rysunek 23 : Element różniczkujący - prądnica tachometryczna

U_y(t) =d θ(t)

dt (76)

b) Dozownik cieczy

Rysunek 24 : Element różniczkujący - dozownik cieczy

Q(t) = Adx (t)

dt (77)

(33)

Człon różniczkujący - idealny

Równanie dynamiki

y (t) = Td

du(t)

dt (78)

Charakterystyka statyczna

y = 0 (79)

U(s) = Tds (80) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1

sTds] = ustTdδ(t) (81)

Rysunek 25 : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego

Rysunek 26 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego

(34)

Człon różniczkujący - idealny

G_{j ω}= T_ds|_{s=j ω}= jT_dω (82)

P(ω) = 0, Q(ω) = Tdω (83)

Rysunek 27 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego

(35)

Człon różniczkujący - idealny

charakterystyka amplitudowa M(ω) = Tdω (84) L(ω) = 20 log Tdω[dB]

ϕ(ω) = arctgT_dω 0

= arctg(∞) =π 2

(86)

(36)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

a) amortyzator

Rysunek 29 : Element różniczkujący (rzeczywisty) - amortyzator

A du(t)

dt −dy (t) dt

= Q = k∆p (87)

∆pA = Cy (t), ∆p =C Ay (88) A²

kC dy (t)

dt + y (t) = A² kC

du(t) dt (89) Tdy (t)

dt + y (t) = Td

du(t) dt (90)

(37)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

b) czwórnik RC

Rysunek 30 : Element różniczkujący (rzeczywisty) - czwórnik RC

RCdU2(t)

dt + U2(t) = RCdU1(t)

dt (91)

Tdy (t)

dt + y (t) = Td

du(t)

dt (92)

(38)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Równanie dynamiki

Tdy (t)

dt + y (t) = Td

du(t) dt , (93) kd=Td

T (94)

y = 0 (95)

Transmitancja operatorowa

G (s) = Y (s) U(s) = T_ds

Ts + 1 (96) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 s

T_ds Ts + 1] = ust

T_d T e⁻^T^t

= ustkde⁻^T^t (97)

Rysunek 31 : Charakterystyka statyczna członu różniczkującego rzeczywistego

Rysunek 32 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego rzeczywistego

(39)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Gj ω = Tds

Ts + 1|s=j ω = Tdj ω

Tj ω + 1 (98)

P(ω) = TdT ω²

T²ω²+ 1, Q(ω) = Tdω

T²ω²+ 1 (99)

Rysunek 33 : Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego

(40)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

charakterystyka amplitudowa M(ω) = Tdω

√

T²ω²+ 1 (100) L(ω) = [20 log Tdω−20 logp

T²ω²+ 1]

ϕ(ω) = arctg 1 T ω =π

2 − arctg(T ω) (102)

(41)

Elementy oscylacyjne

Rysunek 35 : Elementy oscylacyjne: a) siłownik pneumatyczny, b) czwórnik RLC

(42)

Elementy oscylacyjne

a) ustawnik pozycyjny md²y (t)

dt² + Bdy (t)

dt + Cy (t) = Ap(t) (103) m

C d²y (t)

dt² +B C

dy (t)

dt + y (t) = A

Cp(t) (104)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (105)

(43)

Elementy oscylacyjne

b) czwórnik RLC

U3(t) = I (t)R (106)

U4(t) = LdI (t)

dt (107)

I (t) = CdU2(t)

dt (108)

U1(t) = U2(t) + U3(t) + U4(t) (109) LCd²U₂(t)

dt² + RCdU₂(t)

dt + U2(t) = U1(t) (110)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (111)

(44)

Człon oscylacyjny

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (112) lub

1 ω²₀

d²y (t) dt² +2ξ

ω0

dy (t)

dt + y (t) = ku(t) (113) d²y (t)

dt² + 2ξω0

dy (t)

dt + ω²₀y (t) = kω²₀u(t) (114) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań

nietłumionych.

y = ku (115)

(45)

Człon oscylacyjny

U(s) = k

T²s²+ 2ξTs + 1 (116)

G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω0s + ω₀² (117) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹

ust

1 s

kω²₀ s²+ 2ξω0s + ω0

=

= kust

"

1 − 1

p1 − ξ²e^−ξω⁰^tsin ω0

p1 − ξ²t + φ

# (118)

φ = arctg

p1 − ξ²

ξ (119)

(46)

Człon oscylacyjny

Rysunek 36 : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego

(47)

Człon oscylacyjny

Rysunek 37 : Wpływ wartości współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi skokowej członu oscylacyjnego

(48)

Człon oscylacyjny

G (j ω) = kω²₀[(ω²₀− ω²) − j 2ξω0ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (120) P(ω) = kω₀²[(ω²₀− ω²)]

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (121) Q(ω) = − k[2ξω³₀ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (122) Charakterystyka amplitudowa

M(ω) = kω₀²

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (123) L(ω) =

20 log kω₀²− 20 logq

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω₀ω)²

(124) Charakterystyka fazowa

ϕ = −arctg 2ξω0ω

ω²₀− ω² (125)

(49)

Człon oscylacyjny

(50)

Element opóźniający

Rysunek 40 : Element opóźniający - transporter taśmowy

gdzie: Q₁, Q₂- strumienie masy na początku i na końcu transportera.

Q₂(t) = Q₁(t − T₀), T₀= L

v (126)

Równanie ruchu

y (t) = u(t − T0) (127)

(51)

Człon opóźniający

Równanie dynamiki

y (t) = u(t − T0) (128) gdzie: T0- opóźnienie transportowe.

y = u (129)

U(s) = e^−T⁰^s (130) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1 se^−T⁰^s]

= ust1(t − T0)

(131)

Rysunek 41 : Charakterystyka statyczna członu opóźniającego

Rysunek 42 : Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu opóźniającego

(52)

Człon opóźniający

G (j ω) = e^−jT⁰^ω (132)

P(ω) = cos (−T0ω) (133)

Q(ω) = sin (−T0ω) (134)

(53)

Człon opóźniający

Charakterystyka amplitudowa M(ω) = 1, L(ω) = 0 (135) Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = −T₀ω (136)

(54)