Podstawy Automatyki Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2017

(2)

cz.1: Charakterystyki częstotliwościowe

(3)

Wstęp

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych, więc teoretycznie trwających od t = −∞.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowesą wykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia

przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode’a)

logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)

(4)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek :Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

u(t) = A₁sin[ωt] (1) y (t) = A₂sin[ω(t − t_ϕ)] (2) gdzie:

Ai - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału, tϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.

Odpowiednio tϕ< 0 - ujemne przesunięcie fazowe, tϕ> 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,

Rysunek :Sygnał wejściowy

Rysunek :Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

(5)

Charakterystyki częstotliwościowe

Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas t_ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (3) lub jako przesunięcie kątowe ϕ(ω) = ωtϕ, wtedy

y (t) = A2sin[ωt − ϕ] (4)

(6)

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G (j ω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (j ω) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (j ω) =

∞

Z

−∞

f (t)e^−jωtdt (5)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

G_{j ω} = y (j ω)

x (j ω) (6)

(7)

Transmitancja widmowa

Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek

G (j ω) = G (s)|s=j ω (7)

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.

(8)

Transmitancja widmowa

Z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ )} = L{f (t)}e^{τ s}

można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu

G (s) = L {A2(ω)sin[ω(t + tϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

L {sin[ω(t)]} e^t^ϕ^s

L {sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

e^t^ϕ^s (8) Ponieważ

G (j ω) = Y (j ω)

U(j ω), G (j ω) = G (s)|_{s=j ω}, t_ϕ=ϕ(ω) ω to

G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^t^ϕ^s|s=j ω= A2(ω)

A₁ e^t^ϕ^{j ω}= A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)} (9)

(9)

Transmitancja widmowa

Transmitancję widmową zapisuje się następująco G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)}= M(ω)e^{j ϕ(ω)} (10)

gdzie:

M(ω) = ^A²_A^(ω)

1 - moduł transmitancji widmowej ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (j ω) = M(ω)e^{j ϕ(ω)}= P(ω) + jQ(ω) (11) gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

(10)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G (j ω) przy zmianach ω = 0 → ∞

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa

M(ω) =p

[P(ω)]²+ [Q(ω)]² (12) ϕ(ω) = arctg Q(ω)

P(ω)

(13)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (14) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (15) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] + Q(ω) sin[ϕ(ω)] (16)

(11)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek :Charakterystyki logarytmiczne

Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są

przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach:

charakterystyka amplitudowa L(ω) = |G (j ω)| w zależności od częstości ω ,

hharakterystyka fazowa ϕ = arg G (ω) w zależności od częstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel)

L(ω) = 10log10M²(omega)

= 20 log M(ω)[dB] (17)

(12)

cz.2: Podstawowe człony dynamiczne

(13)

Wstęp

W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg najprostszych niepodzielnych już elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem zaledwie kilku podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy

podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi.

Opis:

równanie ruchu,

transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna,

odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa,

charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquist) charakterystyki logarytmiczne (Bode)

(14)

Podstawowe człony dynamiczne

y (t) = ku(t) (18) człon proporcjonalny (bezinercyjny) Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (19) człon inercyjny

Tdy (t)

dt = u(t), lub dy (t)

dt = ku(t) (20) człon całkujący y (t) = Tdu(t)

dt (21) człon różniczkujący

idealny Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t)

dt (22) człon różniczkujący rzeczywisty

T²d²y (t)

dt +2ξTdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (23)

człon różniczkujący oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1 y (t) = u(t − T0) (24) człon opóźniający

(15)

Elementy bezinercyjne

Rysunek :Przykłady elementów bezinercyjnych a)

U₂(t) = R₂ R1+ R2

U₁(t) b)

y (t) = b ax (t) c)

F2(t) = d₂² d₁²F1(t)

Równanie ruchu

y (t) = ku(t) (25) gdzie: k - wzmocnienie

(16)

Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki

y (t) = ku(t) (26) Charakterystyka statyczna

y = ku (27)

Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)

U(s) = k (28) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1

sk] = kust

(29)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego

Rysunek :Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego

(17)

Człon proporcjonalny

Transmitancja widmowa G_{j ω} = G (s)|_{s=j ω}k (30) P(ω) = k, Q(ω) = 0

M(ω) = 0 (31) L(ω) = 20 log k[dB] (32)

ϕ(ω) = 0 (33) ^{Rysunek :}Charakterystyka amplitudowo-fazowa

(18)

Człon proporcjonalny

L(ω) = 20 log k[dB] (34) ϕ(ω) = 0 (35)

Rysunek :Logarytmiczne

charakterystyki amplitudowa i fazowa

(19)

Elementy inercyjne

Rysunek :Element inercyjny

gdzie: p1- ciśnienie przed zwężką, p2- ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika.

Założenia:

zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej), w zwężce występuje przepływ laminarny.

(20)

Elementy inercyjne

Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona):

pV = mRΘ (36)

gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura.

zakładając

Θ = const m = p2(t)V

RΘ (37)

dm(t) dt = V

RΘ dp2(t)

dt (38)

G =dm(t)

dt = α(p₁(t) − p₂(t)) (39) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności.

V RΘ

dp₂(t)

dt = α(p₁(t) − p₂(t)) = αp₁(t) − αp₂(t) (40) ostatecznie

V αRΘ

dp₂(t)

dt + p₂= p₁ (41)

(21)

Elementy inercyjne

gdzie: R- współczynnik tarcia lepkiego w łożyskach Jd ω(t)

d t + Rω(t) = M(t) (42)

J R

d ω(t)

d t + ω(t) = 1

RM(t) (43)

(22)

Elementy inercyjne

Rysunek :Element inercyjny - czwórnik RL

U1(t) = LdI (t)

dt + U2(t) (44)

I (t) = U2(t)

R (45)

L R

dU2(t)

dt + U2(t) = U1(t) (46)

(23)

Elementy inercyjne

Równania ruchu

przykładowych elementów inercyjnych a)

V αRΘ

dp₂(t)

dt + p₂= p₁ b)

J R

d ω(t)

d t + ω(t) = 1 RM(t) c)

L R

dU2(t)

dt + U₂(t) = U₁(t)

Równanie ruchu

Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (47) gdzie: T - stała czasowa.

(24)

Elementy inercyjne

Wyznaczyć równanie ruchu tłumika hydraulicznego, którego wielkością wejściową jest przesunięcie x (t) końca sprężyny o sztywności C , a wyjściową przesunięcie tłoka y (t).

Należy założyć:

brak ściśliwości oleju,

przepływy pomiędzy komorami tłumika mają charakter laminarny.

(25)

Człon inercyjny

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (48) Charakterystyka statyczna

y = ku (49)

U(s) = k Ts + 1

(50) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1 s

k Ts + 1]

= ustk

1 − e^−t^T (51)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu inercyjnego

Rysunek :Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego

(26)

Człon inercyjny

Transmitancja widmowa Gj ω= G (s)|s=j ω = k

Ts + 1|s=j ω = k

Tj ω + 1 = P(ω) + jQ(ω) (52)

P(ω) = k

T²ω²+ 1, Q(ω) = −kT ω

T²ω²+ 1 (53)

(27)

Człon inercyjny

charakterystyka amplitudowa

M(ω) = k

√

T²ω²+ 1 (54) L(ω) = 20 log k − 20 logp

T²ω²+ 1[dB]

(55) dla

ω  1

T = ωs (56) L(ω) = 20 log k[dB] (57) dla

ω  1

T = ωs (58) L(ω) = (20 log k−20 logp

T²ω²+ 1)[dB]

(59) charakterystyka fazowa

ϕ = −arctg(T ω) (60)

(28)

Elementy całkujące

Rysunek :Elementy całkujące

(29)

Elementy całkujące

a)

Q = (

αb s

2

ρ(pz− ps) )

x (t) = Bx (t)

Q₁= Q₂= Bx (t) = Ady (t) dt A

B dy (t)

dt = x (t) (61) b)

Tϕ(t) dt = ω

rx (t) (62)

Równanie ruchu Tdy (t)

dt = u(t) (63) lub

dy (t)

dt = ku(t) (64)

(30)

Człon całkujący

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt = u(t) (65) Charakterystyka statyczna

u = 0 (66)

U(s) = 1 Ts (67) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 s

1 Ts] = ust

t T (68)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu całkującego

Rysunek :Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego

(31)

Człon całkujący

G_{j ω} = G (s)|_{s=j ω} = 1

Ts|_{s=j ω} = 1

Tj ω = −j 1

T ω (69)

P(ω) = 0, Q(ω) = − 1 T ω

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego

(32)

Człon całkujący

M(ω) = 1

T ω (70)

charakterystyka amplitudowa

L(ω) = 20 log 1 T ω

= −20 log T ω[dB]

(71)

charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = arctg−_{T ω}¹ 0

= arctg(−∞) = −π 2

(72)

(33)

Elementy różniczkujące - idealne

a) Prądnica tachometryczna

Rysunek :Element różniczkujący - prądnica tachometryczna

U_y(t) =d θ(t)

dt (73)

b) Dozownik cieczy

Rysunek :Element różniczkujący - dozownik cieczy

Q(t) = Adx (t)

dt (74)

(34)

Człon różniczkujący - idealny

Równanie dynamiki

y (t) = T_ddu(t)

dt (75)

Charakterystyka statyczna

y = 0 (76)

U(s) = T_ds (77) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1

sT_ds] = u_stT_dδ(t) (78)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego

Rysunek :Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego

(35)

Człon różniczkujący - idealny

G_{j ω}= T_ds|_{s=j ω}= jT_dω (79)

P(ω) = 0, Q(ω) = Tdω (80)

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego

(36)

Człon różniczkujący - idealny

charakterystyka amplitudowa

M(ω) = Tdω (81) L(ω) = 20 log Tdω[dB]

ϕ(ω) = arctgT_dω 0

= arctg(∞) =π 2

(83)

(37)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

a) amortyzator

Rysunek :Element różniczkujący - amortyzator

A du(t)

dt −dy (t) dt

= Q = k∆p (84)

∆pA = Cy (t), ∆p =C Ay (85) A²

kC dy (t)

dt + y (t) = A² kC

du(t) dt (86) Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t) dt (87)

(38)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

b) czwórnik RC

Rysunek :Element różniczkujący - czwórnik RC

RCdU2(t)

dt + U2(t) = RCdU1(t)

dt (88)

Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t)

dt (89)

(39)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Równanie dynamiki

Tdy (t)

dt + y (t) = Td

du(t) dt , (90) kd=Td

T (91)

Charakterystyka statyczna

y = 0 (92)

Transmitancja operatorowa

G (s) = Y (s) U(s) = T_ds

Ts + 1 (93) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust1 s

Tds

Ts + 1] = ustTd

T e⁻^T^t

= ustkde⁻^T^t (94)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego

(40)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Gj ω = Tds

Ts + 1|s=j ω = Tdj ω

Tj ω + 1 (95)

P(ω) = TdT ω²

T²ω²+ 1, Q(ω) = Tdω

T²ω²+ 1 (96)

Rysunek :Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego

(41)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

charakterystyka amplitudowa M(ω) = Tdω

√

T²ω²+ 1 (97) L(ω) = [20 log Tdω−20 logp

T²ω²+ 1]

ϕ(ω) = arctg 1 T ω =π

2 − arctg(T ω) (99)

(42)

Elementy oscylacyjne

Rysunek :Elementy oscylacyjne: a) ustawnik pozycyjny, b) czwórnik RLC

(43)

Elementy oscylacyjne

a) ustawnik pozycyjny md²y (t)

dt² + Bdy (t)

dt + Cy (t) = Ap(t) (100) m

C d²y (t)

dt² +B C

dy (t)

dt + y (t) = A

Cp(t) (101)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (102)

(44)

Elementy oscylacyjne

b) czwórnik RLC

U3(t) = I (t)R (103)

U4(t) = LdI (t)

dt (104)

I (t) = CdU2(t)

dt (105)

U1(t) = U2(t) + U3(t) + U4(t) (106) LCd²U₂(t)

dt² + RCdU₂(t)

dt + U2(t) = U1(t) (107)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (108)

(45)

Człon oscylacyjny

Równanie dynamiki

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (109) 1

ω²₀ d²y (t)

dt² +2ξ ω₀

dy (t)

dt + y (t) = ku(t) (110) d²y (t)

dt² + 2ξω₀dy (t)

dt + ω²₀y (t) = kω²₀u(t) (111) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω₀- pulsacja drgań

nietłumionych. Charakterystyka statyczna

y = ku (112)

(46)

Człon oscylacyjny

U(s) = k

T²s²+ 2ξTs + 1 (113)

G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω0s + ω₀² (114) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹

ust

1 s

kω²₀ s²+ 2ξω0s + ω0

= kust

"

1 − 1

p1 − ξ²e^−ξω⁰^tsin ω0

p1 − ξ²t + φ

# (115)

φ = arctg

p1 − ξ²

ξ (116)

(47)

Człon oscylacyjny

Rysunek :Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego

(48)

Człon oscylacyjny

G (j ω) = kω²₀[(ω²₀− ω²) − j 2ξω₀ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (117)

(49)

Człon oscylacyjny

G (j ω) =kω₀²[(ω²₀− ω²) − j 2ξω0ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (118) P(j ω) = kω²₀[(ω²₀− ω²)]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (119)

Q(j ω) = − k[2ξω₀³ω]

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω0ω)² (120)

(50)

Element opóźniający

Rysunek :Element opóźniający - transporter taśmowy

gdzie: Q1, Q2- strumienie masy odpowiednio, na końcu i na początku transportera.

Q₂(t) = Q₁(t − T₀), T₀= L

v (121)

Równanie ruchu

y (t) = u(t − T0) (122)

(51)

Człon opóźniający

Równanie dynamiki

y (t) = u(t − T0) (123) Charakterystyka statyczna

y = u (124)

U(s) = e^−T⁰^s (125) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1 se^−T⁰^s]

= ust1(t − T0)

(126)

Rysunek :Charakterystyka statyczna członu opóźniającego

(52)

Człon opóźniający

G (j ω) = e^−jT⁰^ω (127)

P(ω) = cos (−T0ω) (128)

Q(ω) = sin (−T0ω) (129)

(53)

Człon opóźniający

Charakterystyka amplitudowa

M(ω) = 1, L(ω) = 0 (130) Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = −T₀ω (131)

(54)