Podstawy Automatyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2015
Wstęp
Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p.
turbulencje,
wiele stanów stabilnych, histereza,
straty energii w wyniku tarcia.
W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).
Stosowany aparat matematyczny:
opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu,
rachunek operatorowy.
Metody opisu działania elementów (układów) liniowych
Podstawowymi formami matematycznego opisu działania elementu (układu) są:
równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.
W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x (t) i jednym sygnale wyjściowym y (t) równanie dynamiki wyraża związek zachodzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y (t) i sygnałem wejściowym x (t).
Posługując się przykładami kilku elementów elementów rozważmy pojęcia: sygnał, wielkość wejściowa, wielkość wyjściowa, sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy.
Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki
Układ liniowy
Układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji. Mówi się, że przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji jest przestrzenią liniową.
y (x1+ x2) = y (x1) + y (x2), oraz y (0) = 0 (1) gdzie: y (xi) oznacza odpowiedź układu na wymuszenie xi.
Układ nieliniowy
Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji.
Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:
an
dny dtn+ an−1
dn−1y
dtn−1+ · · · + a0y = bm
dmx dtm + bm−1
dm−1x
dtm−1+ · · · + b0x (2) gdzie: y - sygnał wyjściowy, u - sygnał wejściowy, ai, bi - stałe
współczynniki.
Elementy bezinercyjne
Rysunek :Element bezinercyjny - przykład
W elemencie przedstawionym na rysunku sygnałem wejściowym x (t) jest przebieg napięcia U1(t), sygnałem wyjściowym y (t) jest przebieg napięcia U2(t).
Równanie dynamiki, przedstawia zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym elementu:
U2(t) = R2 R1+ R2
U1(t)
Równanie elementu bezinercyjnego
Elementy inercyjne
Rysunek :Elementy inercyjne - przykłady a) αRΘV dpdt2(t) + p2(t) = p1(t) b) RJd ω(t)dt + ω(t) = R1M(t) c) RLdUdt2(t) + U2(t) = U1(t)
Równanie elementu inercyjnego Tdy (t)
dt + y (t) = kx (t) (4)
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna fst
przedstawia zależność sygnału wyjściowego układu y od sygnału wejściowego x w stanie ustalonym.
Stan ustalony
Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie
pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero
Rysunek :Charakterystyka statyczna układu liniowego.
Charakterystyka statyczna - przykład
Przykład 1
Rysunek :Przykład układu - charakterystyka statyczna.
Linearyzacja
Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją.
Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych)
Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną. Metody linearyzacji statycznej
linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej.
linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.
Linearyzacja statyczna
Rysunek :Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej.
Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatny jest linearyzacja metodą stycznej.
Linearyzacja metodą stycznej
Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x ) styczną do niej w punkcie pracy,
przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi
przyrostowymi ∆x i ∆y .
Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego względem określonego punktu pracy jest funkcją liniową. Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą względem tego samego punktu pracy
Linearyzacja statyczna
Przykład 2
Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór od ciśnień p1 i p2 oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu.
Rysunek :Przykład układu - linearyzacja statyczna.
Linearyzacja dynamiczna
Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami x (t) i y (t) i ich pochodnymi.
F [y (t), ˙y (t), ¨y (t), . . . , y(n)(t), x , ˙x (t), ¨x (t), . . . , x(m)(t)] = 0 (5) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x (t) i y (t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej.
n
X
i =0
∂F
∂y(i )
0
∆y(i )
+
m
X
j =0
∂F
∂x(j )
0
∆x(j )
= 0 (6)
gdzie:
∆y = y (t) − y0, ∆ ˙y = d ∆y
dt , . . . , ∆y(n)= dn∆y dtn
∆x = y (t) − x0, ∆ ˙x =d ∆x
dt , . . . , ∆x(m)=dm∆x dtm
Przekształcenie Laplacea
Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową, przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s.
f (t) ⇔ f (s), gdzie s = c + j ω (7) Przekształcenie Laplace’a
f (s) = L[f (t)] =
∞
Z
0
f (t)e−stdt (8)
Odwrotne przekształcenie Laplace’a - całka Riemanna – Mellina
f (t) = L−1[f (s)] = 1 2πj
c+j ω
Z
c−j ω
F (s)estds (9)
Transformata Laplace’a wykorzystywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S, na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania. Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.
Przekształcenie Laplace’a układów liniowych
Aby można było wyznaczyć transformatę funkcji muszą być spełnione następujące warunki:
f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, f (t) ma pochodną df (t)dt w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C , dla których całka
∞
R
0
e−ct jest absolutnie zbieżna.
Przekształcenie Laplace’a układów liniowych
an
dny dtn+an−1
dn−1y
dtn−1+· · ·+a0y = bm
dmx dtm+bm−1
dm−1x
dtm−1+· · ·+b0x (10) L dny
dtn
= sny (s) − sn−1y (0+) − · · · − yn−1(0+) (11) przy zerowych warunkach początkowych
L dny dtn
= sny (s) (12)
Tak więc przekształcenie Laplace’a układu liniowego przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać
y (s)(ansn+an−1sn−1+· · ·+a0) = x (s)(bmsm+bm−1sm−1+· · ·+b0) (13)
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych
y (s)(ansn+an−1sn−1+· · ·+a0) = x (s)(bmsm+bm−1sm−1+· · ·+b0) (14)
G (s) = y (s)
x (s) =bmsm+ bm−1sm−1+ · · · + b0 ansn+ an−1sn−1+ · · · + a0
(15) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia
M(s) = bmsm+ bm−1sm−1+ · · · + b0 (16) N(s) = ansn+ an−1sn−1+ · · · + a0 (17)
Transmitancja operatorowa obiektów MIMO
Rysunek :Obiekt MIMO.
GMIMO(s) =
G11(s) G12(s) . . . G2p(s) G21(s) G22(s) . . . G2p(s)
... ... ... ... Gr 1(s) Gr 2(s) . . . Grp(s)
(18)
Gij(s) = yi(s)
xj(s), gdzie i = 1, . . . , r , j = 1, . . . , p. (19)
Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej
x0= lim
t→∞x (t), y0= lim
t→∞y (t), (20)
na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y0= lim
t→∞y (t) = lim
s→0sy (s) = lim
s→0sG (s)x (s) (21) x0= const ⇒ x (s) =1
sx0 (22)
y0
x0 = lim
s→0G (s) (23)
ostatecznie
y0=b0 a0
x0 (24)
Właściwości układów
Właściwości dynamiczne
prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y (t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x (t)
Rysunek :Postać charakterystyki dynamicznej układu.
Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego
an
dny dtn+an−1
dn−1y
dtn−1+· · ·+a0y = bm
dmx dtm+bm−1
dm−1x
dtm−1+· · ·+b0x (25) Klasyczna:
Założenie warunków początkowych x (0), y (0) Rozwiązanie równań różniczkowych
Operatorowa:
f (t) = L−1[y (s)] = L−1[G (s)x (s)] (26) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku
operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace’a i tablice transformat typowych funkcji
Typowe sygnały wymuszające
Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside’a)
x (t) =
1(t) dla t 0
0 dla t < 0 x (s) =1
s Wymuszenie skokowe o wartość stałą
x (t) =
xst1(t) dla t 0
0 dla t < 0 x (s) = xst
1 s Impuls - Delta Diraca
x (t) = δ(t) =
0 dla t 6= 0
∞ dla t = 0 x (s) = 1
Wymuszenie liniowo narastające
x (t) = at x (s) = a
s2
Współrzędne stanu
Współrzędne stanu
Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość,
przyspieszenie).
Wektor stanu
Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości.
Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt.
Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów
Równania stanu i wyjść
Ogólna postać równania stanu z n warunkami początkowymi:
dx1(t)
dt = f1(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , up; t); x1(t0) = x10
. . .
dxn(t)
dt = fn(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , up; t); xn(t0) = xn0
(27)
Ogólna postać równania wyjść
y1(t) = g1(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , up; t) . . .
yq(t) = gq(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , up; t)
(28)
Zlinearyzowane równania stanu i wyjść
Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy), równania przyjmują postać:
Zlinearyzowana postać równania stanu
dx1(t) dt =Pn
i =1
∂f1(t)
∂xi xi+Pp j =1
∂f1(t)
∂uj uj+∂f∂t1t . . .
dxn(t) dt =Pn
i =1
∂fn(t)
∂xi xi+Pp j =1
∂fn(t)
∂uj uj+∂f∂tnt
(29)
Zlinearyzowana postać równania wyjść
y1=Pn i =1
∂g1(t)
∂xi xi+Pp j =1
∂g1(t)
∂uj uj+∂g∂t1t . . .
yq=Pn i =1
∂gq(t)
∂xi xi+Pp j =1
∂gq(t)
∂uj uj+∂g∂tqt
(30)
Postać macierzowa modelu zmiennych stanu
Macierzowa postać równań stanu i wyjść
X (t) = A˙ NL(X , U, t)
Y (t) = CNL(X , U, t) (31)
Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść
X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙
Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (32)
Układ niestacjonarny
Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu.
Układ stacjonarny
Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.
Równania stanu liniowych układów stacjonarnych
Macierzowa postać równań stanu i wyjść - układ stacjonarny
X (t) = AX (t) + BU(t)˙
Y (t) = CX (t) + DU(t) (33)
gdzie: A ∈ Rn×n - macierz stanu, B ∈ Rn×p - macierz wejść, C ∈ Rq×n - macierz wyjść, D ∈ Rq×p - macierz przenoszenia (transmisyjna).
Przestrzeń stanów
Rysunek :Trajektoria fazowa - przykład
Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa
Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).
trajektoria stanu
Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).
Podstawy Automatyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne
dr inż. Jakub Możaryn
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2015
