Symbol Newtona

(1)

Symbol Newtona

(2)

Silnia

Musimy umieć obliczać wyrażenia zawierające silnię i symbol Newtona.

(3)

Definicja silni

Dla n ∈ N definiujemy n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Dodatkowo ustalamy, że: 0! = 1.

(4)

Definicja silni

Dla n ∈ N definiujemy n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Dodatkowo ustalamy, że: 0! = 1.

(5)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1!

1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(6)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(7)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1 ii. 2!

2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(8)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2

iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(9)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3!

3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(10)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6

iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(11)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(12)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(13)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 iv. 7!

7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(14)

Przykłady 1

Oblicz:

i. 1! 1! = 1

ii. 2! 2! = 1 × 2 = 2 iii. 3! 3! = 1 × 2 × 3 = 6 iv. 4! 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

iv. 7! 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

(15)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

Uwaga: zawsze skracamy to, co możemy zanim wszystko wymnożymy. ii. 8!

6! 8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(16)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

Uwaga: zawsze skracamy to, co możemy zanim wszystko wymnożymy. ii. 8!

6! 8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(17)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

Uwaga: zawsze skracamy to, co możemy zanim wszystko wymnożymy.

ii. 8! 6!

8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(18)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

ii. 8!

6!

8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(19)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

ii. 8!

6!

8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56

iii. 10! 8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(20)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

ii. 8!

6!

8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(21)

Przykłady 2

Oblicz:

i. 5!

4!

5!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 1 × 2 × 3 × 4 = 5

ii. 8!

6!

8!

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 7 × 8 = 56 iii. 10!

8!

10!

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 9 × 10 = 90

(22)

Przykłady 3

Oblicz (dla n, k ∈ Z⁺ k < n) i. (n + 1)!

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1 ii. (n + 2)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2) iii. n!

k! n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(23)

Przykłady 3

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1

ii. (n + 2)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2) iii. n!

k! n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(24)

Przykłady 3

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1 ii. (n + 2)!

n!

= 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2) iii. n!

k! n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(25)

Przykłady 3

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1 ii. (n + 2)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2)

iii. n! k! n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(26)

Przykłady 3

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1 ii. (n + 2)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2) iii. n!

k!

n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(27)

Przykłady 3

n!

(n + 1)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1)

1 × 2 × 3 × ... × n = n + 1 ii. (n + 2)!

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n × (n + 1) × (n + 2)

1 × 2 × 3 × ... × n = (n + 1)(n + 2) iii. n!

k!

n!

k! = 1 × 2 × 3... × k × (k + 1) × ... × n

1 × 2 × 3... × k = (k + 1)(k + 2)...(n − 1)n

(28)

Symbol Newtona

Definicja symbolu Newtona

Dla n, k ∈ N n > k definiujemy n k

!

= n!

(n − k)! × k!

(29)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

!

6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

! 8

3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

! 10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(30)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

! 6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

! 8

3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

! 10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(31)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

! 6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

!

8 3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

! 10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(32)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

! 6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

! 8

3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

! 10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(33)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

! 6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

! 8

3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

!

10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(34)

Przykłady 4

Oblicz:

i. 6

4

! 6 4

!

= 6!

2! × 4! = 5 × 6 2 = 15

ii. 8

3

! 8

3

!

= 8!

5! × 3! = 6 × 7 × 8 2 × 3 = 56

iii. 10

2

! 10 2

!

= 10!

8! × 2! = 9 × 10 2 = 45

(35)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

!

n 0

!

= n! n! × 0! = 1

ii. n

1

! n

1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

! n

2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(36)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

! n 0

!

= n!

n! × 0! = 1

ii. n

1

! n

1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

! n

2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(37)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

! n 0

!

= n!

n! × 0! = 1

ii. n

1

!

n 1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

! n

2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(38)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

! n 0

!

= n!

n! × 0! = 1

ii. n

1

! n

1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

! n

2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(39)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

! n 0

!

= n!

n! × 0! = 1

ii. n

1

! n

1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

!

n 2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(40)

Przykłady 5

Oblicz:

i. n

0

! n 0

!

= n!

n! × 0! = 1

ii. n

1

! n

1

!

= n!

(n − 1)! × 1! = n

iii. n 2

! n

2

!

= n!

(n − 2)! × 2! = (n − 1) × n 2

(41)

Przykłady 6

Oblicz:

i. n

n − 1

!

n n − 1

!

= n!

1! × (n − 1)! = n

ii. n

n

! n

n

!

= n! 0! × n! = 1

(42)

Przykłady 6

Oblicz:

i. n

n − 1

! n

n − 1

!

= n!

1! × (n − 1)! = n

ii. n

n

! n

n

!

= n! 0! × n! = 1

(43)

Przykłady 6

Oblicz:

i. n

n − 1

! n

n − 1

!

= n!

1! × (n − 1)! = n

ii. n

n

!

n n

!

= n! 0! × n! = 1

(44)

Przykłady 6

Oblicz:

i. n

n − 1

! n

n − 1

!

= n!

1! × (n − 1)! = n

ii. n

n

! n

n

!

= n!

0! × n! = 1

(45)

Obserwacja

n k

!

= n

n − k

!

Obserwacja ta wynika wprost z definicji symbolu Newtona i przemienności mnożenia.

(46)

Obserwacja

n k

!

= n

n − k

!

Obserwacja ta wynika wprost z definicji symbolu Newtona i przemienności mnożenia.

(47)

Komentarz

Symbol Newtona będziemy wykorzystywać przy rozwinięciu dwumianu (a + b)ⁿ. Ma on bardzo ważną interpretację kombinatoryczną. Możemy myśleć o n

k

!

jako o liczbie sposobów wybrania k spośród n elementów.

Przykładowo 4 2

!

oznacza liczbę sposobów wybrania 2 spośród 4 elementów. 4

2

!

= 6 i rzeczywiście spośród 4 elemntów możemy wybrać pierwszy i drugi, pierwszy i trzeci, pierwszy i czwarty, drugi i trzeci, drugi i czwarty i w końcu - trzeci i czwarty. W sumie 6 sposobów.

(48)

Komentarz

Symbol Newtona będziemy wykorzystywać przy rozwinięciu dwumianu (a + b)ⁿ. Ma on bardzo ważną interpretację kombinatoryczną. Możemy myśleć o n

k

!

jako o liczbie sposobów wybrania k spośród n elementów.

Przykładowo 4 2

!

oznacza liczbę sposobów wybrania 2 spośród 4 elementów. 4

2

!

= 6 i rzeczywiście spośród 4 elemntów możemy wybrać pierwszy i drugi, pierwszy i trzeci, pierwszy i czwarty, drugi i trzeci, drugi i

(49)

Na wejściówkę trzeba umieć obliczać wyrażenia, w których występuje symbol Newtona (i silnia).

(50)

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.