Symbol sumy, iloczynu, dwumian Newtona, indukcja matematyczna

Symbol sumy, iloczynu, dwumian Newtona, indukcja matematyczna

1. Zapisz podane wyrażenia bez używania symboli Σ oraz Π:

(a) Π³_i=1Σ³_j=1a_ij (b) Σ³_j=1Π³_i=1a_ij

(c) Π³_j=1Σ³_i=4−jaij

(d) Π³_i=1Σ³_j=ia_ij (e) Σ³_j=1Π^4−j_i=1aij

(f) Π³_i=1Σ⁴⁻ⁱ_j=1aij

2. Oblicz:

(a) Σ⁵_k=12^k (b) Σ⁶_j=1¹_j

(c) Σ⁷_k=1(2k − j)

(d) Σ⁵_i=2i+1ⁱ (e) Σ⁸_i=2(−1)^kk² (f) Σ¹⁰⁰_i=1i(i+1)¹

3. Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowonij następujące fakty:

(a) Σⁿ_k=1= ¹₂n(n + 1)

(b) Σ²ⁿ_k=1(−1)^k+1(2k − 1)³= −2n(16n²− 3)

(c) 1 + x + . . . + xⁿ =^xn+1_x−1⁻¹ (d) _n+1¹ + . . . +_2n¹ >³₅ 4. Sprawdzić, że jeśli 0 ¬ k ¬ n, to

n k



=

 n n − k



5. Wykazać, że jeśli 1 ¬ k ¬ n, to

 n k − 1

 +n

k



=n + 1 k



6. Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona, rozwiń podane wyrażenia:

(a) (a + b)⁴ (b) (a − b)⁵

(c) (x + y)⁶ (d) (x + 2y)⁵

7. Udowonij wzór dumianowy Newtona korzystając z zasady indukcji matematycznej.

Źródło wykorzystane do orpacowania materiału: materiały z platformy OLAT

1