Funkcje dwóch zmiennych.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Denicja Przestrzeni¡ dwuwymiarow¡ (pªaszczyzn¡) (oznaczan¡ przez R²) nazywamy zbiór par uporz¡dkowanych (x, y), gdzie x, y ∈ R.

R²= {(x, y) : x, y ∈ R}.

Przestrzeni¡ trójwymiarow¡ (przestrzeni¡) (oznaczan¡ przez R³) nazywamy zbiór uporz¡dkowa- nych trójek (x, y, z), gdzie x, y, z ∈ R.

R³= {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.

Elementy (x, y) oraz (x, y, z) nazywamy punktami, odpowiednio, pªaszczyzny i przestrzeni. Liczby x, yi z nazywamy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi punktów.

Denicja Odlegªo±ci¡ punktów P1= (x1, y1)oraz P2= (x2, y2)na pªaszczy¹nie nazywamy liczb¦

|P1P₂|okre±lon¡ wzorem

|P1P2| =p

(x2− x1)²+ (y2− y1)²

Odlegªo±ci¡ punktów P1= (x1, y1, z1)oraz P2= (x2, y2, z2)w przestrzeni nazywamy liczb¦ |P1P2| okre±lon¡ wzorem

|P1P2| =p

(x2− x1)²+ (y2− y1)²+ (z1− z2)²

Denicja Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór

O(P0, r) = {P : |P P0| < r}.

Otoczeniem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte o ±rodku w P0 i promieniu r. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ±rodku w P0 i promieniu r.

Denicja S¡siedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór

S(P₀, r) = O(P₀, r) \ {x₀}.

S¡siedztwem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte bez ±rodka. S¡siedztwem punktu w prze- strzeni jest kula otwarta bez ±rodka.

Uwaga Je±li promie« r nie b¦dzie istotny w rozwa»aniach, to b¦dziemy pisa¢ krótko O(P0)oraz S(P₀).

Denicja Mówimy, »e zbiór A jest ograniczony, gdy istnieje punkt P0 oraz r > 0 takie, »e A ⊂ O(P₀, r),

tzn. »e zbiór A mo»na zawrze¢ w otoczeniu pewnego punktu z rozwa»anej przestrzeni.

W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy nieograniczonym.

Denicja Mówimy, »e P jest punktem wewn¦trznym zbioru A je±li istnieje otoczenie tego punktu zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba r > 0 taka, »e

O(P, r) ⊂ A.

Zbiór wszystkich punktów wewn¦trznych zbioru nazywamy jego wn¦trzem i oznaczamy przez IntA.

Denicja Zbiór nazywamy otwartym, gdy ka»dy punkt tego zbioru jest jego punktem wewn¦trz- nym.

Denicja Mówimy, »e punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, gdy w ka»dym otoczeniu tego punktu istniej¡ punkty nale»¡ce do zbioru A i punkty do niego nienale»¡ce, tzn. gdy dla ka»dej liczby r > 0 zachodzi warunek

O(P, r) ∩ A 6= ∅ ∧ O(P, r) ∩ A⁰6= ∅.

Brzegiem zbioru nazywamy zbiór jego punktów brzegowych. Brzeg zbioru A oznaczamy przez ∂A.

Denicja Mówimy, »e niepusty podzbiór pªaszczyzny jest obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de dwa punkty tego zbioru mo»na poª¡czy¢ ªaman¡. (Przykªadowo, poni»szy zbiór nie jest obszarem, mimo, »e jest zbiorem otwartym.)

Denicja Obszar wraz z jego brzegiem nazywamy obszarem domkni¦tym.

Funkcje wielu zmiennych

Denicje podane w poprzedniej sekcji mo»na przenie±¢ bez istotnych zmian do przestrzeni o wi¦k- szej liczbie wymiarów ni» dwa (pªaszczyzna), czy te» trzy (przestrze«). Zdeniujmy wi¦c przestrze«

n-wymiarow¡ jako zbiór ci¡gów n-elementowych liczb rzeczywistych (x1, x₂, . . . , x_n), tzn.

Rⁿ = {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn∈ R}.

Denicja Funkcj¡ n-zmiennych okre±lon¡ na zbiorze D ⊆ Rⁿ o warto±ciach w R nazywamy przy- porz¡dkowanie ka»demu punktowi ze zbioru D dokªadnie jednej liczby rzeczywistej. Zbiór D nazy- wamy dziedzin¡ funkcji.

Funkcj¦ tak¡ oznaczamy przez f : D → R lub w = f(x1, x2, . . . , xn), gdzie (x1, x2, . . . , xn) ∈ D. Warto±¢ funkcji f w punkcie (x1, x₂, . . . , x_n)oznaczamy przez f(x1, x₂, . . . , x_n).

Dla n = 2 mamy funkcj¦ dwóch zmiennych z = f(x, y).

Dla n = 3 mamy funkcj¦ trzech zmiennych w = f(x, y, z).

Denicja Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni Rⁿ. Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to zbiór punktów przestrzeni, dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji f.

Funkcje dwóch zmiennych.

Dla funkcji dwóch zmiennych zdeniujmy poj¦cie wykresu i poziomicy wykresu funkcji.

Denicja Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy podzbiór przestrzeni R³zdeniowany wzorem

{(x, y, z) ∈ R³: z = f (x, y)}.

Denicja Poziomic¡ wykresu funkcji f odpowiadaj¡c¡ poziomowi h ∈ R nazywamy podzbiór pªaszczyzny R² zdeniowany wzorem

{(x, y) ∈ R²: f (x, y) = h}.

Wykresy wa»niejszych funkcji dwóch zmiennych (f : R²→ R) 1. Wykresem funkcji

z = Ax + By + C

jest pªaszczyzna o wektorze normalnym ~n = [−A, −B, 1 ], przechodz¡ca przez punkt (0, 0, C).

2. Wykresem funkcji

z = a(x²+ y²), gdzie a 6= 0,

jest paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu paraboli z = ax² (lub z = ay²) wokóª osi Oz.

3. Wykresem funkcji

z = ±p

R²− x²− y²

jest górna lub dolna póªsfera o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu R > 0.

4. Wykresem funkcji

z = kp

x²+ y², gdzie k 6= 0,

jest sto»ek, czyli powierzchnia powstaªa z obrotu póªprostej z = kx, y = 0 dla x ≥ 0 wokóª osi Oz.

5. Wykresem funkcji

z = h(p

x²+ y²),

jest powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu wykresu funkcji z = h(x), y = 0 , dla x ≥ 0 wokóª osi Oz.

6. Wykresem funkcji z = g(x) lub z = k(y) jest powierzchnia walcowa powstaªa z przesuni¦cia wykresu funkcji z = g(x) dla y = 0 równolegle do osi Oy lub wykresu funkcji z = k(y) dla x = 0równolegle do osi Ox.

Uwaga Wykres funkcji

z = f (x − a, y − b) + c

powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez przesuni¦cie o wektor ~v = [a, b, c].

Wykres funkcji

z = −f (x, y)

powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez symetryczne odbicie wzgl¦dem pªaszczyzny xOy .

Granice i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych.

Denicja Mówimy, »e ci¡g punktów {Pn}_n∈N= {(xn, yn)}_n∈N d¡»y do punktu P0 = (x0, y0), co oznaczamy lim

n→∞P_n = P₀ lub lim

n→∞(x_n, y_n) = (x₀, y₀), wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞x_n= x₀ ∧ lim

n→∞y_n= y₀. (Oznacza to zbie»no±¢ dla ka»dej wspóªrz¦dnej.)

Denicja (Heinego) Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu (x0, y₀). Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0, y0)granic¦ wªa±ciw¡ g ∈ R, co zapisujemy

lim

(x,y)→(x₀,y₀)f (x, y) = g,

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ci¡gów punktów {(xn, yn)}_n∈N ⊂ S(x0, y0)zachodzi wa- runek

hlim

n→∞(x_n, y_n) = (x₀, y₀)i

=⇒h

n→∞lim f (x_n, y_n) = gi . Uwaga Podobnie deniujemy granice niewªa±ciwe funkcji dwóch zmiennych.

Przykªad Dla funkcji

f (x, y) = x²+ 3y² x²+ y² nie istnieje granica w punkcie (0, 0).

Je»eli rozwa»ymy ci¡g punktów (xn, yn) =  1 n, 0



, to lim

n→∞(xn, yn) = (0, 0) i ci¡g ten d¡»y do punktu (0, 0) wzdªu» osi Ox.

Je»eli natomiast rozwa»ymy ci¡g punktów (x⁰n, y_n⁰) =

 0,1

n



, to lim

n→∞(x⁰_n, y⁰_n) = (0, 0), ale ci¡g ten d¡»y do punktu (0, 0) wzdªu» osi Oy.

Otrzymujemy wtedy sprzeczno±¢ z denicj¡ Heinego, bo

n→∞lim f (xn, yn) = lim

n→∞

1 n

² + 3 · 0²

1 n

² + 0²

= 1,

n→∞lim f (x⁰_n, y⁰_n) = lim

n→∞

0²+ 3 · _n¹
2

0²+ ¹
2 = 3.

Twierdzenie (o arytmetyce granic)

Je»eli funkcje f i g maj¡ w punkcie (x0, y₀)granice wªa±ciwe, to:

1. lim

(x,y)→(x₀,y₀)[f (x, y) + g(x, y)] = lim

(x,y)→(x₀,y₀)f (x, y) + lim

(x,y)→(x₀,y₀)g(x, y), 2. lim

(x,y)→(x0,y0)

[f (x, y) · g(x, y)] =

 lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)



·

 lim

(x,y)→(x0,y0)

g(x, y)

 ,

3. lim

(x,y)→(x₀,y₀)

f (x, y) g(x, y) =

lim

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) lim

(x,y)→(x₀,y₀)g(x, y), o ile lim

(x,y)→(x₀,y₀)g(x, y) 6= 0.

Denicja Niech funkcja f dwóch zmiennych b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu O(x0, y0). Mówimy, »e f jest ci¡gªa w punkcie (x0, y₀), wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

(x,y)→(x₀,y₀)f (x, y) = f (x0, y0).

Twierdzenie Je»eli funkcje f i g s¡ ci¡gªe w punkcie (x0, y0), to tak»e funkcje

f + g, f · g, f

g (o ile g 6= 0) równie» s¡ ci¡gªe w tym punkcie.