O oscylacyjności rozwiązań pewnej klasy równań polih arm oniczny eh

J. Musiałek (Kraków)

O oscylacyjności rozwiązań pewnej klasy równań polih arm oniczny eh

1. W pracy niniejszej podamy twierdzenie o oscylacyjności roz­

wiązań równania

gdzie C0, ...,(7p_i są liczbami stałymi, zaś p jest liczbą naturalną. Za­

stosujemy przy tym pewne twierdzenia o wartości średniej danej funkcji u ( X ) po powierzchni kuli i po objętości kuli.

2. Podamy teraz pewne definicje i lematy, z których będziemy korzystać.

De f i n i c j a 1. Jeśli u ( X ) jest funkcją całkowalną na brzegu F r К ( R , X ) kuli K ( R , X ) o środku X i o promieniu R, to wyrażenie

gdzie Un oznacza miarę powierzchni kuli n-wymiarowej jednostkowej, nazy wamy wartością średnią funkcji u ( X ) po powierzchni kuli К (R , X ), [1].

De f i n i c j a 2. Jeżeli u { X ) jest funkcją całkowalną w kuli K ( R , X ) o środku X i o promieniu R, to wyrażenie

gdzie Vn jest miarą objętościową kuli w-wymiarowej jednostkowej, na­

zywamy wartością średnią funkcji u ( X ) po objętości kuli K ( R , X ), [1].

De f i n i c j a 3. Funkcję u ( X ) nazywamy A-różniczkowalną w obsza­

rze D, jeżeli funkcja u{X.) ma w D ciągłe pochodne

a A(l)-różniczkowalną, jeżeli funkcja A^1 ^ u { X ) jest zl-różniczkowalną w obszarze Z>, [2].

(1) A{p)u { X ) + C v_ l A{p l)u ( X ) + . . .А~С0и ( Х ) = О, X { x l t . . . , x n)

1

d u (X ) d2u { X )

dxv ’ dxl v — 1 ,2,

16 J. M u s i a ł e k

Lemat 1. Jeżeli u ( X ) jest funkcją A^ -różniczkowalną w obszarze

D C R n (n ^ 2 jS^ I ^ C D

(2) m( B , X , u) — anfi и (Х )-{- ап^ R %A u { X ) Ą - ... +

gdzie

1 dla i = 0,

i Ul ‘

2* • ś !n (n + 2 ).T~(n + 2 i - 2 )

£ = с у гй2г/1(г) w (X ), X e K { R , X ) .

Wzór (2) nazywamy wzorem Taylora na wartość średnią funkcji u ( X ) po powierzchni kuli K ( H , X ) , [3].

Lemat 2. Jeżeli u ( X ) jest rozwiązaniem analitycznym równania (1) w obszarze I), to dla każdej liczby naturalnej n ^ p

A(n)u = A ^ A ^ u + . . . + А ^ и ,

przy czym współczynniki A\n) są liczbami stałymi spełniającymi nierów­

ności

(3) |A}»>| < ( » - 2) ( C + l f - 2, j = gdzie

C = max(|(7?-|), j = 0,1, . . . , p - l .

D o w ó d przez indukcję. Dla n — p z równania (1) otrzymujemy (4) A ^ u = — Gp_ l A{p~1)u - . . . - - G Qu.

Załóżmy, że dla n = к > p

(5) = A $)_ iA » - ' )u + ... + A t 4 , zaś

i4 *’ i < ( h - m c + i f - \ j = o, Wykażemy, że

(6) A {k+1)u = A f+ P A (1p~X)u + . . . + A f +l)u, przy czym

(7) l ^ - V ' K f f c - l M C + l ) * - 1, j — l , . . . , p .

W tym celu porównujemy laplasjany obu stron równania (5) i wyrażamy A ^ u za pomocą wzoru (4). W ten sposób otrzymujemy wzór (6), w którym (8) A f " > = - A p ,0„ 4 *+1> = A j % - A p , C „ j = 1, . . . , p- 1. Przy tym łatwo sprawdzić nierówności (7).

Lemat 3. Jeżeli u ( X ) jest analitycznym, rozwiązaniem- równania (1) w obszarze D, to dla każdej kuli K ( R , X ) C В

7—1 7 - 1

m {R , X , u) = A(v~l)u { X ) B f _ xR 2i + A ^ u { X ) У B$L2R 2i +

г —О г'=0

7 - 1

+ ... + и ( Х ) г=0 gdzie j jest dowolną liczbą naturalną większą lub równą p, oraz

Q = « „ Л ( Х ) = anJ[ A « L 1A & - M X )+ A $ > - 2 A №- 1)u ( X ) + --- +

(9) + A « M X ) ] , X < K { R , X ) ,

zaś współczynniki Al* są określone wzorami (8).

D ow ód . Lemat 3 wynika z wzoru (2) oraz lematu 2.

Lemat 4. Jeżeli u ( X ) jest analitycznym rozwiązaniem równania (1) w obszarze B, to dla każdej kuli К (R , X ) С I )

00 00

(10) m ( R , X , u ) = A ^ - ' h i X ) £ В $ 1 ^ н + . . . + и { Х ) £ B p R 2i,

г =О г=0

przy czym szereg po prawej stronie (1 0) jest zbieżny do funkcji m (R , X , u).

D o w ó d . Z wzorów (3) i (9) wynika, że

\Q\ < an.fl>*niax[|AgL1|, ..., \AP\U

X max {\A(p- l)u { Y )\ , . . . , \Au{Y)\, |«.(Г)|3 <

Y e K {R , X )

< a n;r p - M ( j — 2)(C + l ) y_2- >0, gdy j - * o o , ' gdzie

M = max_ [\A(v~l)u{ Y)|, И # (Г )| , |«(Г)|].

ГеЩйД)

Lemat 5. Jeżeli u ( T ) jest analitycznym rozwiązaniem- równania (1) w obszarze B, to dla każdej kuli K ( R , X ) C B

V—1 'УЬ

(11) M ( R , X , n ) = d ^ n ( X ) > - + . . . +

+ « ( * ) У тз?> в “ - ^ — 2% 4- w

i = 0

D o w ó d . W równości (10) zastępujemy R przez r, następnie mnożymy obustronnie przez n rn~l/Rn, całkujemy obustronnie względem r w gra-

Frace Matematyczne VIII.1 2

18 J. M u s i a ł e k

nicach od zera do В i korzystając ze związku n

~Rn

X I

m (r , X , u) dr n

h f

j j u (Y )d S d r

Fr K { r , X ) R

П

/

^ff

u (Y )d S d r = — L - f j f u ( ¥ ) d V = J f (Д , X , « )

n щ е д

(por. [2]), otrzymujemy (1 1).

Wykażemy teraz następujące

Tw i e r d z e n i e. Jeżeli 1 ° u ( X ) jest rozwiązaniem niezerowym i anali­

tycznym równania (1 ) w obszarze B , 2 ° w punkcie X 0eB spełnione są warunki u ( X 9) = Л и {Х й) = ... = Alp~Vu{X 0) = 0,

to w każdej kuli K { R , X 0) zawartej w I ) funkcja u ( X ) zmienia znak.

D o w ó d . Ponieważ zera rozwiązania u ( X ) równania (1) nie mogą wypełniać obszaru n- wy miarowego, przeto, na podstawie założenia 2° oraz wzoru (1 1), dla każdej kuli K ( B , X 0) zawartej w В wartość średnia M ( B , X 0, u) równa się zero, skąd wynika, że w każdej kuli K ( B , X 0) zawartej w В funkcja u ( X ) zmienia znak.

U w a ga . W interpretacji geometrycznej, przy założeniach ostat­

niego twierdzenia, funkcja u ( X ) w punkcie X 0 nie osiąga ekstremum.

Prace cytowane

[1] R. C ou rant i D. H ilb e r t (P. К у р а н т и Д. Г и л ь б е р т ), Методы ма­

тематической физики, I I , Москва, Ленинград 1951.

[2] W . W a lt e r , Mittelwertsdtze und Hire Verwenduny zur Loesung von Rand- uiertaufgaben, Jahresber. Deutsch. Math. Yerein. (1957), str. 93-131.

[3] M. N ic o le s c o , Les fonctions polyharmoniques, Paris 1936.

Ян Му с я л э к (Краков)

О О С Ц И Л Л Я Ц И О Н Н О С Т И Р Е Ш Е Н И Й Н Е К О Т О Р О Г О К Л А С С А П О Л И Г А Р М О Н И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й

Р Е З Ю М Е

В этой ваметке исследуется осцилляционность решений уравнения

(1) А^и(X) -f-Ołp _ iА ^ ~ (X) -j-... -\-CqU (X) = 0, X(х^, ..., %п),

где С0, . . . , С Р_ i — константные числа, р — целое положительное число.

Автор, между прочим, доказывает следующую теорему:

Если 1° функция и ( Х ) является ненулевым аналитическим решением у рае нения (1) в области D, 2° в точке X 0eD выполнении условия

и { Х 0) = A u { X f ) = ... = А * > - 1и ( Х й) = О, тогда во всякой сфере К (В , Y 0) С D функция и (Х ) изменяет знак.

J. Mu s i a ł e k (Kraków)

ON T H E O S C IL L A T IO N OF T H E SO LU TIO N S OF A CLASS OF P O L Y H A R M O N IC E Q U A TIO N S

S U M M A R Y

In this paper the author proves the following theorem: i f { 1) u ( X ) is a non­

trivial solution o f the equation

At>u ( X ) + C t,-.iA V -yu { X )+ ...+ C Q u { X ) = 0, X ( x x, ..., xn),

where C0, ..., Gp- 1 are constants,p is a natural number, and и (X ) is analytic in a domain D, (2) at a point X 0eD

u ( X 0) = A u (X 0) = ... = A & - ')u(X q) = 0, then и (x ) changes sign in every sphere К ( В , X Q) C D.