O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań pewnych równań różniczkowych cząstkowych typu eliptycznego

RO CZN IK I POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE V II (1962)

F. B

(Kraków)

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań pewnych równań różniczkowych cząstkowych

typu eliptycznego

Praca składa się z trzech części. W części pierwszej podamy pewne warunki wystarczające oscylacyjności rozwiązań równania

AuJr p { x 1 y)u = 0.

W części drugiej podamy warunki oscylacyjności równania A A u (X )+ p {r)u (X ) = 0, X (x 19 . . . , xn), r2 = xJ + . . . + a£.

Pewne sugestie dotyczące tych zagadnień pochodzą od W. Orlicza.

W części trzeciej podamy twierdzenia dotyczące istnienia linii węzłów niezerowych rozwiązań równania eliptycznego

аг1(х, у )UXX + 2 «12(Я?, У) Wxy

+ ъг(х, y)ux + ba(jB, y)u’y + c{x, y)u(x, y) = 0 w otoczeniu punktu osobliwego oraz regularności tych linii w punkcie osobliwym.

I. O zagadnieniach oscylacyjnych dla równania A u + p ( < c , y ) u == 0

1. W części tej podamy warunki wystarczające oscylacyjności roz­

wiązań pewnych równań typu eliptycznego drugiego rzędu. Będziemy się opierali na wynikach podanych w pracach [1], [2], dotyczących wa­

runków wystarczających na oscylacyjność niezerowych rozwiązań rów­

nania różniczkowego

(1) y"{x) + g{x)y{x) = 0.

2. Podamy teraz definicje, z których będziemy korzystali.

D

. Funkcję u (X )eC 2, która jest niezerowym rozwiązaniem równania

(2) Au(X) + c(X )u(X ) = 0, X (x t , . . . , x n), c{X)eC

72 F. B a r a ń s k i

w pewnym obszarze nieograniczonym D, ^-wymiarowym o dopełnieniu CD ograniczonym, nazywamy rozwiązaniem oscylującym równania (2), jeżeli u{X) zeruje się w co najmniej jednym punkcie zewnętrza każdej kuli ^-wymiarowej i zera funkcji u(X) nie wypełniają obszaru n-wymia- rowego.

Jak wiadomo [3], miejsca zerowe funkcji u{X) nie mogą wypełniać obszaru wymiarowego.

De f in ic ja.

Obszarem węzłowym В funkcji u(X) nazywamy każdy obszar В taki, że u(X) Ф 0 dla X eB oraz u(X) = 0 dla X należących do brzegu Fr(P) obszaru B.

Udowodnimy teraz trzy lematy

Lemat

1. Jeżeli: 1° 8 jest lukiem otwartym klasy C2, P0 (x0, yc) jest punktem wewnętrznym luku 8 , 2° istnieje otoczenie Z(PC) punktu P 0 takie, że funkcja u(x, y)eC* spełnia w Z(P0) równanie typu eliptycznego

(3) L(u) + c{x, y)u(x, y) = 0,

gdzie

L(u) = an (x, y)uxx + 2a12(x, y)uxy + a22{x, y)uyyĄ-b1{x, у)их фЪ2{х, y)u'y, wszystkie zaś współczynniki w równaniu (3) są ciągłe w Z (P0), 30 u (x0, y0) = 0, 4° istnieje koło К styczne do luku 8 w punkcie P 0, którego brzeg Fr(K) C Z{P0), zaś K -S = P 0, 5° funkcja u(x, y) jest dodatnia w zbiorze K —P0, to wzdłuż każdej półprostej l wnikającej do wnętrza К

du

dl (xo,Vo) >

.

Dowód. Przesuńmy początek układu do punktu P 0. Stosując me­

todę czynnika poprawiającego znak współczynnika c [4], przyjmujemy (4) u(x, y) = v(x, y)eoskxcosky, г ( х ,у ) е С 2, coskxcosky Ф 0.

Przy tej transformacji

^(0, 0) = -y(0, 0).

Po podstawieniu funkcji u (x ,y ), określonej wzorem (4), do równania (3) i po podzieleniu obu stron przez coskxcosky otrzymujemy na funkcję v(x, у ) równanie typu eliptycznego

(5) au (x, y)vxx+ 2 a 12(x, y)vxy + a22(x, y)vyy+ L 1{vx, vy) + cx{k, x, y)v = 0, gdzie

Lx{Vx,Vv) = — 2k(alx(x, y)vxtgkx + a22{x, y)vytgky +

+ bx{x, y)vx+ b 2{x, y)vy) — 2ka12{x, y){vxtgky — vytgkx), Gi(k, x, у) = - к*(а1Х{х, y) + a22(x, y) — 2a12{x, y )tg k x tg k y )-

— k(bx (x, y)tgkx + b2{x, y)tgky) + c{x, y).

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 7 3

Niech

%(®, У) + а22(ж, y) — 2al2(x, y)tgkxtgky = f ( k , x , y ) , bx{x, y)tgJcx+b2(x, y)tgJcy = д(к, x, y).

Wówczas

^ У) = —k2f(Jc, x, y) — kg{k, x, y) + o{x, y).

Wykażemy, że można tak dobraó liczbę к oraz otoczenie początku układu współrzędnych, by

(6) e1( k , x , y ) < 0.

Niech M = sup \c(x,y)\. Rozwiążmy ze względu na к nierówność (X,y)eZ( 0)

(7) —kzf —kg - \ - M< 0,

która implikuje nierówność (6). Przy założeniu, że к Ф 0, dzielimy obu­

stronnie nierówność (7) przez ft2 i otrzymujemy 1

k* M < 0.

Dobieramy к tak, by

skąd

a więc

Ш

~к*~ < inf (au (a?, y) + a22(x, y)) = A > 0,

(x,y)eZ( 0 )

M A

Г

1*1 > 4Ж A '

Korzystając z ciągłości odpowiednich funkcji, zmniejszamy teraz oto­

czenie Z {0) tak, by w nowym otoczeniu Zx(0) były spełnione nierówności g(k, x, у) A

4 к 4 ’ f(k, x, y) > 3 4 A.

Wobec tego w zbiorze Zx(0) współczynnik cx(k, x, y) < 0. Ponieważ

(8) щ — (co&kxeo&ky)vi — kv(smkxco8kycos(l, x)Ą- cos for sin % cos (Z, y))

oraz

74 F. B a r a ń s k i

przeto z (8) na podstawie twierdzenia Hopfa-Olejnik [5] wynika, że

du dv

di (o, o) dl co kończy dowód.

Wykażemy teraz

Lemat

2. Jeżeli 1° funkcja u(x, y) spełniająca równanie różnicz­

kowe typu eliptycznego

(9) E( u ) + p ( x , y)u = 0,

gdzie

E{u)

y)KYv>

jest klasy C2 w obszarze D zawierającym pierścień kołowy R: r\ <

2 +

/2 0 < r i < r 2,

oraz różna od zera w R i równa zero na brzegu ~F

(R) pierścienia R, 2° v{x, y) jest dowolną funkcją klasy C2 w R, klasy C1 w R, spełniającą równanie

(10) E{v) + q{x, y)v = 0,

3° współczynniki a11( x1y) oraz a22(x, y) są klasy C1 w D, p ( x , y ) oraz q(x, y) są ciągłe w B , zaś

> 0 ,

(0,0)

p( x, y) < q(x, у), p ( x , у) ф q{x, y) w R , to istnieje miejsce zerowe funkcji v(x, y) w zbiorze R.

Do wó d. Stosując wzór podstawowy (zob. [5]) do funkcji u( x, y) oraz v( x, y) dla obszaru R przy orientacji normalnej do jego wnętrza, otrzymujemy

( U )

J J (q{®,y) p( x, y))u{x, y)v(x, y)dxdy du

v ——ds, dv gdzie Cx oraz C2 oznaczają odpowiednio okręgi będące brzegiem pierście­

nia R. Ponieważ, jak wiadomo z [5], transwersalna v wewnętrzna wnika do wnętrza obszaru R, więc wzdłuż Cx oraz C2 funkcja du/dv jest dodatnia, gdy u jest dodatnie w R, ujemna, gdy u jest ujemne w R, zgodnie z le­

matem 1.

Załóżmy, że u oraz v są dodatnie w R. Wówczas lewa strona rów­

ności (11) jest dodatnia, prawa zaś niedodatnia, co prowadzi do sprzecz­

ności. Podobnie dochodzimy do sprzeczności przy pozostałych układach znaków funkcyj u oraz v.

Lemat

3. Jeżeli 1° w równaniu (9) współczynniki alx oraz a22 są klasy

C1, współczynnik p jest ciągły w obszarze D zawierającym pierścień domknięty

R, 2° u(x, y) oraz w(x, y) są rozwiązaniami równania (9) klasy C2 w R oraz

O własnościach oscylacyjnych i Uniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 7 5

Masy C1 w B, 3° funkcja u(x, у) Ф O w В oraz równa zero na brzegu Fr(B) pierścienia B, to w pierścieniu domkniętym В istnieją miejsca zerowe funkcji

w{%, y).

D ow ód. Stosując wzór (11) dla p — q otrzymujemy

_Ci / ^{w -—- ds du dv}

^du

Ponieważ zgodnie z lematem 1 funkcja —— jest różna od zera i tego du dv

samego znaku wzdłuż Cx oraz C2, przeto z (12) wynika, że jeżeli w Ф 0 wzdłuż Oj oraz C2, to w( x, y) przyjmuje na okręgu Cx wartości znaku przeciwnego niż na okręgu C2, co pociąga istnienie miejsc zerowych funkcji w(x, y) w zbiorze B.

3. W pracy [1] zostało wprowadzone pojęcie granicy aproksymatyw- nej dolnej oraz górnej i granicy aproksymatywnej funkcji G{x) ciągłej dla x > a > 0 przy x dążącym do nieskończoności.

De f in ic j a.

Liczbę l nazywamy granicą aproksymatywną dolną funkcji G(x) ciągłej dla x > а > 0, przy x dążącym do nieskończoności,

jeżeli spełnione są warunki:

1° dla każdej liczby Zx < l miara zbioru J? {G (x) < ZJ <

2° dla każdej liczby Z2 > l miara zbioru Jjj {G (x) < ZJ =

X

De f in ic j a.

Liczbę L nazywamy granicą aproksymatywną górną funkcji G{x), dla x dążącego do nieskończoności, jeżeli —L jest granicą

aproksymatywną dolną dla funkcji — G(x).

De f in ic ja.

Liczbę Я nazywamy granicą aproksymatywną funkcji G(x) dla x dążącego do nieskończoności, jeżeli Z = L = Я. Mówimy, że limaprćr(:r) =

jeżeli dla każdej liczby lx miara ££{(?(#) ^ Zx} <

x->oo X

a limapr6r(a?) =

gdy limaprj — G{x)) —

ж—>oo х—уоо

Mech

= f g(t)dt,

gdzie g{x) jest funkcją ciągłą dla x > а > 0 .

Tw ie r d z e n ie

1. Jeżeli albo limapr6r(a?) =

albo ta granica apro-

ksymatywna nie istnieje, to każda niezerowa całka równania (1) jest oscylu­

jąca, [1].

4. Podamy teraz zastosowanie twierdzenia 1 oraz lematów 2 i 3 do równania

(13) Лифр { х , у ) u = 0.

76 F. B a r a ń s k i

Załóżmy, że funkcja p ( x , y ) jest klasy C w obszarze nieograniczonym D, którego dopełnienie CD jest zbiorem ograniczonym. Mech

m(r) — min p ( x , y ) dla r > r0 > 0 . x2+y2 = r2

Udowodnimy następujące

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcja m(r) spełnia warunki nałożone na funkcję g(x) w twierdzeniu 1, to każde niezerowe rozwiązanie równania (13)

klasy C% w D jest oscylujące w D.

Dowód. Mech

v{r) ~ v(Vx2jr y 2), r ^ r 0 > 0,

oznacza rozwiązanie niezerowe, zależne tylko od r, równania

(14) Av-\-m(r)v = 0,

określone dla r > r0 > 0. Funkcja v(r) spełnia równanie różniczkowe zwyczajne:

(16) v"{r)Ą----v {r)Jr ,m{r)v(r) — 0. 1 r

Przez transformację

(16) v(r) — w(r)-r~112,

przy której zbiory miejsc zerowych funkcji w(r) i v(r) są identyczne, na funkcję w(r) otrzymujemy równanie

(17) w"(r)-\- (—— j-m(r)) w(r) = 0.

\ 4r2 /

Mech w(r) oznacza dowolne niezerowe rozwiązanie równania (17). Na podstawie twierdzenia 1 jest ono oscylujące. Niech

(18) fci, &2, ..., kn, ...

oznacza ciąg kolejnych miejsc zerowych funkcji w(r) a zarazem funkcji v(r). Węzłami (miejscami zerowymi) funkcji

(19) v{r) — w(V%2A~y2 )(^2 + 2/2)_1/4

są okręgi o środkach w początku układu i promieniach kly k2, . .. , kn, .. ., zaś obszarami węzłowymi pierścienie kołowe

Bii k\ < x2 + y2 < ki+i, i =

,

, . . .

Na podstawie lematów 2, 3 oraz twierdzenia 1 każde niezerowe rozwią­

zanie równania (13) jest oscylujące i ma węzły w każdym z pierścieni

domkniętych -R*.

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 7 7

Przykład. №ech

p ( x , y ) = ах2 + bxy + су2 > A (x 2-\-y2) — A r2 = m(r),

gdzie а, b, c, A są stałymi, A > O, a forma kwadratowa^ x2-f Ъху-f- cy2 jest określona dodatnio. Otóż

gdzie r0 jest stałą dodatnią. Metodą współczynników nieoznaczonych można skonstruować rozwiązanie niezerowe u( x, y) równania (13), które będzie funkcją całkowitą spełniającą warunki

Zera rozwiązania u( x, y) równania (13) nie mogą wypełniać obszaru i wobec tego funkcja u( x, y) jest rozwiązaniem oscylującym.

5. Dla porównania z poprzednim wynikiem podamy warunki wystar­

czające oscylacyjności niezerowych rozwiązań równania (13), które są warunkami typu Hille’a. Za Hillem [2] podamy następujące

Twierdzenie 3.

Jeżeli g(x) jest funkcją ciągłą nieujemną oraz

to każde niezerowe rozwiązanie równania (1) jest oscylujące.

Wykażemy z kolei

Twierdzenie 4.

Jeżeli funkcja m(r) dla r > r0 > 0 spełnia warunki

nie równania (13) jest oscylujące w D.

D o wód. Analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia 2, na podstawie warunku 2° dla równania (17) spełnione są założenia twierdzenia 3 i wobec tego każda niezerowa całka równania (17) jest oscylująca. Na podsta­

wie lematów 2 oraz 3 każde niezerowe rozwiązanie równania (13) jest oscylujące w D.

6. Lematy 1, 2, 3 oraz twierdzenia 2, 4 przenoszą się odpowiednio na równania:

oo

t t ( 0 , 0 ) = l , < ( 0 , 0 ) = « i ( 0 , 0 ) = 0 .

<3') gdzie

L(u) + p( X) u( X) = 0, X{ x lt . . . , x n),

П

£(*) = A « « ( D “ + y 4 - m * v

78 F. B a r a ń s k i

jest operatorem eliptycznym,

(9') E{u) + p { X) u( X) = 0, X { x u . . . , x n), gdzie

П

e

{

) = £ (% дх)<.);.

i,j = l jest operatorem eliptycznym, oraz

(13') Au { X) + p { X) u { X) = 0, X{ x l y . . ., xn).

Warunek 1° w twierdzeniu 4 należy zastąpić przez warunek m(r) —(n—l )(n — 3) ---- > 0,

warunek 2° zaś przez warunek

oo

liminfr ( (m(ź) —(w—l)(w —3 ) —-J di >

Г-УОО

J \ 4tf2 /

Eównaniu (15) dla n > 2 odpowiada równanie

, w—1

tr (r)-j--- -y (r) + m(r)t?(r) = 0, r

transformacji (16) odpowiada transformacja v(r) — гс(г)*г~(п_1)/2, równaniu (17) zaś równanie

w"(г)-{-\т(г) — (n—l )(n — 3 ) ---- 1 w(r) = 0.

4r2;

II. O zagadnieniach oscylacyjnych dla pewnej klasy równań cząstkowych eliptycznych rzędu czwartego

1. W części tej podamy kilka wyników dotyczących warunków oscylacyjności pewnej klasy równań różniczkowych eliptycznych rzędu czwartego. Uzyskane twierdzenia oparte są między innymi na wynikach podanych w pracach Leightona i Nehari [6], Howarda [7] i Barreta [8]

dotyczących pewnej klasy równań różniczkowych zwyczajnych rzędu

czwartego.

O własnościach oscylacyjnych i Uniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 7 9

2. Weźmy pod uwagę równanie

AAu(x, y ) + p ( x , y)u(x, y) = 0, względnie w przypadku ^-wymiarowym równanie

(1) AAu(X) + p( X) u( X) = 0, X{ x x, . . . , xn).

Jeżeli p ( x , y ) = — c2, gdzie c jest stalą dodatnią, wówczas rów­

nanie (1) jest postaci

(2) AAu{x, y) — c2u(x, y) = 0.

Z twierdzenia 2 w części I wynika, że każde niezerowe rozwiązanie równania

(3) . A u{x, 2/) + 0w(a?, У) — 0

określone w obszarze nieograniczonym D o dopełnieniu ograniczonym jest oscylujące. Ponieważ każde rozwiązanie u{x, y) równania (3) jest także rozwiązaniem równania (2), przeto wynika stąd, że istnieją rozwią­

zania oscylujące równania (2). Jeżeli w równaniu (1) współczynnik p ( x , y ) nie jest stałą, to powstaje zagadnienie, przy jakich warunkach istnieją rozwiązania oscylujące równania (1). W niniejszym rozdziale zajmiemy się rozwiązaniem powyższego zagadnienia dla równań postaci

(4) AAu(X) + p(r)u{X) = 0, Х( х г , . . . , x n), r2 = a^ + ... + a?2.

3. Podamy teraz pewne definicje i twierdzenia, z których będziemy korzystali.

Definicja 1.

Niezerowe rozwiązanie równania

u{X) klasy

w obszarze nieograniczonym D o dopełnieniu CD ograniczonym, nazy­

wamy oscylującym, jeżeli 1° w zewnętrzu każdej kuli ^-wymiarowej istnieje co najmniej jedno miejsce zerowe funkcji u(X), 2° zera funkcji u(X) nie wypełniają żadnego obszaru n-wymiarowego, a nieoscylującym, jeżeli istnieje kula K , w zewnętrzu której u(X) Ф 0.

Jak wiadomo ([9], [10]), jeżeli p( X) eC, to zera rozwiązania nieze- rowego u(X) równania (1) nie mogą wypełniać obszaru w-wymiarowego.

Definicja 2.

Eównanie

nazywamy oscylacyjnym w obszarze nieograniczonym D o dopełnieniu CD ograniczonym, jeżeli istnieje roz­

wiązanie oscylujące u(X) tego równania.

Definicja

3. Rozwiązanie niezerowe y(x) równania (5) (r(x)y"{x))n+p{ x) y{ x) = 0,

klasy

dla x e ( a ,

gdzie a jest liczbą stałą, nazywamy oscylują­

cym, jeżeli 1° na każdej półprostej x > A (A jest liczbą dowolną) istnieje

co najmniej jedno miejsce zerowe funkcji y{x), 2° zera funkcji y(x) nie

mają punktu skupienia w skończoności.

80 F. B a r a ń s k i

Jeżeli zera rozwiązania у (x) równania (5) mają punkt skupienia w skoń- czonośei, to y(x) == 0, [9].

D

4. Bozwiązaniey(x) równania (5) klasy O4 dla a?e< a , oo), a jest liczbą stałą, nazywamy nieoscylującym, jeżeli istnieje liczba M taka, że y{x) Ф 0 dla x ^ M.

Definicja

5. Bównanie (5) nazywamy oscylacyjnym, jeżeli istnieje rozwiązanie oscylujące y(x) tego równania.

Podamy teraz warunki implikujące oscylacyjność równania (5) na podstawie prac [6], [7], [8].

Twierdzenie 1.

Jeżeli

p(x) jest funkcją ciągłą i ujemną dla xe( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

r(x) jest funkcją klasy

i dodat­

nią dla xe( a,

istnieje liczba rzeczywista a taka, że

(6) limsupar'2“ar(a?) < 1, limmf#2-a(—p{x)) > ^ ( 1 — a2)2,

X —X » X — У О О

to równanie (5) jest oscylacyjne, [6].

Twierdzenie 2.

Jeżeli

p{x) jest funkcją ciągłą i ujemną dla xe( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

r(x)

dla X€(a,

za­

chodzi

(7) liminf a?4( —p{x)) > ~ ,

—>oo

to równanie (5) jest oscylacyjne, [6].

Twierdzenie 3.

Jeżeli

p{x) jest funkcją ciągłą i ujemną dla xe( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

r(x) ==

dla xe( a,

istnieje funkcja h(s) dodatnia nierosnąca i klasy G1 dla seża,

taka, że

liminf

X—>oo

O O

— J h(s)p(s)ds

X

1

to równanie

jest oscylacyjne,

Tw ie r d z e n ie 4.

Jeżeli

p{x) jest funkcją ciągłą i ujemną dla xe( a, oo

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° r(x) jest funkcją klasy C1 i dodatnią dla xe( a, oo

spełnione są warunki

°° 1 oo

J --- dx —

J p(x)dx — — oo

to równanie (5) jest oscylacyjne, [8].

Twierdzenie 5.

Jeżeli

p(x) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla xe( a, oo

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° r(x) ^ 1 dla xe( a, oo

х^р{x)

to równanie

jest oscylacyjne,

Х-+0О

O własnościach oscylacyjnych i Uniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 8 1

Twierdzenie 6.

Jeżeli

p (x) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla xe( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

r(x) jest funkcją klasy G2 i dodatnią dla xe( a,

3° istviieje liczba a taka, że

limsup x~2~ar(x) < 1, liminf x2~ap(x) > Ja2,

3C—>oo 3? у oo

to równanie (5) jest oscylacyjne, [6].

Twierdzenie

7. Jeżeli 1° p(x) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla хе ( а, оо) , 2° г(ж) = 1 dla же<й, oo), gdzie a jest stałą dodatnią, oraz

O O

3° f x2p(x)dx —

to równanie (5) jest oscylacyjne, [6].

a

4. Podamy teraz twierdzenia o oscylacyjności równania (4a) AAu(x, y)- f p( r) u( x, y) = 0, r2 = x2Jr y 2.

Jak łatwo sprawdzić, rozwiązania U(t), zależne tylko od t — \ r 2, równa­

nia (4a) spełniają równanie różniczkowe zwyczajne (8) (t2U"{t))"f-p(2\/t )U{t) = 0.

Niech

P(t) = p ( 2 V t ) .

Jeżeli TJ(t) jest rozwiązaniem oscylującym równania (8), ciąg zaś

jest ciągiem wszystkich kolejnych miejsc zerowych funkcji U(t), to funkcja (10) u{x, y) = TJ[l{x2 + y 2))

jest rozwiązaniem oscylującym równania (4a), węzłami (miejscami ze­

rowymi) zaś funkcji u (x, y) są okręgi

(31) • ж2 + у2 = 4 ^ , n = 1 , 2 , . . .

Wykażemy teraz kilka twierdzeń o oscylacyjności równania (4a).

Twierdzenie

8. Jeżeli 1° p (r) jest funkcją ciągłą i ujemną dla r e( a,

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° istnieje liczba dodatnia a taka, że

liminf(2- “(—P(()j > й ( 1 - а 2)2,

<—» OO

to równanie (4a) jest oscylacyjne.

Dowód. Na podstawie twierdzenia 1 równanie (8) ma rozwiązanie oscylujące U(t), gdyż limsupf~2_a-22 = 0 < 1. Funkcja

tr—>oo

u{x, y) = U( l ( x2-\-y2)) jest rozwiązaniem oscylującym równania (4a).

R oczniki PTM — P race M atem atyczn e VII 6

8 2 F. B a r a ń s k i

Tw ie r d z e n ie

9. Jeżeli 1° p{r) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla re( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

istnieje liczba dodatnia

taka, że

lim in ft2~ap(t) > | a 2,

trmm >oo

to równanie (4a) jest oscylacyjne.

Dowód. Жа podstawie twierdzenia 6 równanie (8) ma rozwiązanie oscylujące U(t). Funkcja

u(x, y) = U(l ( x2 + y z)) jest rozwiązaniem oscylującym równania (4a).

5. Podamy teraz twierdzenie o oscylacyjności równania (4) dla n = 3.

Rozwiązania U(r) równania (4) zależne tylko od r = vx2 -\-y2 + z2 spełniają równanie różniczkowe zwyczajne

(12) ' Dr(4)( r ) + — 4 (r)-\-p(r) U(r) = 0 . r

Przez transformację

(13) U(r) — ^(r)*/-1,

przy której zbiory miejsc zerowych funkcyj U(r) i v (r ) są identyczne, otrzy­

mujemy na funkcję v(r) równanie

(14) v^(r)-\-p(r)v(r) = 0.

Jeżeli v{r) jest rozwiązaniem oscylującym równania (14), ciąg zaś

ГцГ2, rn ^ o o,

jest ciągiem wszystkich kolejnych miejsc zerowych funkcji v(r), to funkcja (14a) u ( x , y , z ) — (x2-\-y2-\-z2)~l,2v(\/x2 y2 Ą-z2)

jest rozwiązaniem oscylującym równania (4), a węzłami funkcji u(x, y, z) są sfery

(15) ж2 + у2 + z2 = r2, n = 1 , 2 , . . . Wykażemy teraz

Tw ie r d z e n ie

10. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i ujemną dla re<u,

gdzie a jest stałą dodatnią,

liminfr4(—p{r)) > |:, t° równa-

r—> oo

nie (4) jest oscylacyjne.

Dowód. Жа podstawie twierdzenia 2 istnieje rozwiązanie oscylu­

jące v(r) równania (14). Funkcja u ( x , y , z ) określona wzorem (14a) jest

rozwiązaniem oscylującym równania (4).

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 8 3

Tw ie r d z e n ie

11. Jeżeli 1° p (r) jest funkcją ciągłą i ujemną dla

gdzie a jest stałą dodatnią,

istnieje funkcja h(s) dodatnia, nierosnąca, klasy C1 dla se( a,

taka, że

liminf

oo

— f h(s)p(s)ds

X

>

16 ’

to równanie

jest oscylacyjne.

D o w ó d analogiczny do dowodn twierdzenia 10 w oparcin o twier­

dzenie 3.

Tw ie r d z e n ie 12.

Jeżeli

p(r) jest funkcją ciągłą i ujemną dla O O

re( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

J p(r)dr = —oo, to równanie

a

jest oscylacyjne.

D o wód analogiczny do dowodn twierdzenia 10 w oparciu o twier­

dzenie 4.

Tw ie r d z e n ie

13. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla re( a,

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° liminf r*p(r) > 1 , to równanie (4)

Г—>0O

jest oscylacyjne.

D o wód analogiczny do dowodu twierdzenia 10 w oparciu o twier­

dzenie 5.

Tw ie r d z e n ie

14. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla re(a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

istnieje liczba a > —

taka, że

liminfr2 ap(r) > | a 2,

r—>00

to równanie (4) jest oscylacyjne.

D o w ó d analogiczny do dowodu twierdzenia 10 w oparciu o twier­

dzenie 6.

Tw ie r d z e n ie

15. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla

OO

xre( a,

gdzie a jest stałą dodatnią,

J r2p{r)dr =

to równanie

a

jest oscylacyjne.

D o w ó d analogiczny do dowodu twierdzenia 10 na podstawie twier­

dzenia 7.

6. Podamy teraz twierdzenia o oscylacyjności równania (4) dla n > 3.

Rozwiązania U(t) równania (4) zależne tylko od t — \ r z spełniają równanie różniczkowe zwyczajne

ji-n/

^ /

+ p( 2Vt ) U{i) = 0,

8 4 F. B a r a ń s k i

czyli równanie

(16) (tnl2+1 U"(t))" + tnf2- 1p(2l / t )U(t ) = 0 , t > 0 . Niech

P(t) = tnl2- 1p(2\ / t ).

Jeżeli U(t) jest rozwiązaniem oscylującym równania (16), zaś ciąg , • • • i tn j • • • , tn “^ 00 )

jest ciągiem wszystkich kolejnych miejsc zerowych funkcji U(t), wówczas funkcja

(17) u(x1, . . . , x n) = TJ(l(x I+ . . . + 4 ) )

jest rozwiązaniem oscylującym równania (4), a węzłami funkcji и{хг, .. ., a?w) są sfery

ж? + ... + а£ = 4tp, p = l , 2 , . . .

Tw ie r d z e n ie

16. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i ujemną dla

■ге(й, oo), gdzie a jest stałą dodatnią, 2° istnieje liczba a taka, że a >

> \ n —1 oraz

liminfr2~“(-P (r)) ( 1 - a 2)2,

r - > o o

to równanie (4) jest oscylacyjne.

Dowód. Na podstawie twierdzenia 1 istnieje rozwiązanie oscylujące U(t) równania (16), a funkcja и(хг, ..., xn) określona wzorem (17) jest rozwiązaniem oscylującym równania (4).

Tw ie r d z e n ie

17. Jeżeli 1° p{r) jest funkcją ciągłą i dodatnią dla re<a, oo), gdzie a jest stałą dodatnią, 2° istnieje liczba a taka, że a > \ n —1 oraz

liminfr2~aP{r) > | - a 2,

h) równanie (4) jest oscylacyjne.

D o w ó d analogiczny do dowodu twierdzenia 16 w oparciu o twier­

dzenie 6.

7. Podamy teraz za Kondratiewem [11] twierdzenia, które zasto­

sujemy do równania (14) oraz równania (4) w przypadku n = 3.

Tw ie r d z e n ie

18. Jeżeli 1° p(r) jest funkcją ciągłą i niedodatnią dla

OO

re( a, oo), gdzie a jest stałą dodatnią, 2° f r2p(r)dr — — oo, to istnieje roz- a

wiązanie oscylujące oraz rozwiązanie nieoscylujące równania (14).

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 8 5

Wn io sek

1. Z twierdzenia 18 wynika, że jeżeli funkcja p(r) spełnia założenia twierdzenia 18, to równanie (4) jest oscylacyjne oraz istnieje roz­

wiązanie nieoscylujące równania (4).

Tw ie k d z e n ie 19.

Jeżeli

p(r) jest funkcją ciągłą dla re(a,

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° istnieje ciąg przedziałów (an, bn) takich, że Ъп — an > A > 0, gdzie A jest liczbą stałą, an ->

inf p(r) ->

to

(an>^n) równanie (14) jest oscylacyjne.

Wn io se k 2.

Z twierdzenia

wynika, że jeżeli funkcja p(r) spełnia założenia twierdzenia

to równanie (4) jest oscylacyjnie.

Tw ie r d z e n ie 20.

Jeżeli

p(r) jest funkcją ciągłą dla re<a,

gdzie a jest stałą dodatnią, 2° istnieje ciąg przedziałów rozłącznych (an, bn) takich, że bn — an - >o o, inf p(r) jest ciągiem ograniczonym od dołu przez

(«П, ^n)

liczbę dodatnią, to równanie (14) jest oscylacyjne.

Wn io sek

3. Jeżeli funkcja p(r) spełnia założenia twierdzenia 20, to równanie (4) jest oscylacyjne.

III. O liniach węzłów w punktach osobliwych

1. Podamy tu, w oparciu o wyniki L. Bersa [12], pewne twierdzenia dotyczące istnienia i ilości linii węzłów w otoczeniu punktu osobliwego oraz regularności linii węzłów w punkcie osobliwym rozwiązań niezero- wyeh równania typu eliptycznego

(1) аг1(х, у)

+ h( x , у)и'х+ ь 2(х, у)и'у + с{х, y)u(x, у) = 0.

Pewne sugestie o możliwości zastosowania wyników L. Bersa po­

chodzą od A. Plisia. Szczególnym przypadkiem uzyskanych wyników jest twierdzenie podane w książce Hilberta-Couranta [13] o liniach węzłów w punkcie osobliwym rozwiązań niezerowych równania Helmholtza

AuJ-cu = 0, c stała dodatnia.

2. Podamy teraz pewne lematy, z których w dalszym ciągu będziemy korzystali.

Lemat

1. Dla każdego n naturalnego istnieją dokładnie dwa wielo­

miany harmoniczne jednorodne stopnia n-tego dwóch zmiennych niezależ­

nych, liniowo niezależne, [14].

Dowód. №ech

П U

(2) Pn(x, y) = ^ a tx% yn- % = ^ a n_ixn~iyi

i= 0 г = 0

oznacza wielomian harmoniczny jednorodny stopnia w-tego.

86 F. B a r a ń s k i

Ponieważ

ЛРп(ж, У) = 0, przeto

czyli (

)

^ i { i —

г+ {n—i)(n

0,

i= 2

n— 2

£ ((i + 2 ) { i +l ) a i+2 + {7i—i)[n — i —l ) ai)xlyn 1 2 == 0.

i = 0

Wobec tego na nĄ-1 współczynników aQ, ax, ..., an otrzymujemy n —1 równań liniowych jednorodnych

(4) (

+ 2)(

+ 1)«i:+2 + (

— i)(n — i —l)a,i = 0, ^ = 0, 1, n — 2.

Macierz współczynników układu (4) jest postaci

n( n—1) 0 2-1 .. . 0 0 0 0

M = 0 (n —l)(w—2) 0 . . 0 0 0 0

0 0 0 . . 0 2-1 0 n(n — 1)

czyli

в**II

l, i = i , 2 , . . . , n - l , * = 1 , 2 , . . , n — 1, n , n przy czym

Cjj = ( n- - ] + ! ) { % - j), Gi,i+

== ( j + i ) j , j = 1 , 2 cjk = 0 dla pozostałych wskaźników j , k .

Otóż, dla j , k = 1 , 2 , n —1 det||^ft|| = n{ n—l ) 2. . .22-l Ф 0. A więc rząd macierzy Ж jest równy w - 1 i wobec tego istnieją dwa rozwiązania układu (4) liniowo niezależne.

Wielomianami harmonicznymi jednorodnymi stopnia w-tego liniowo niezależnymi są część rzeczywista oraz część urojona funkcji

Istotnie, niech

/(*) = zn

Р {пЧя,У) = r e z n,

(x + i y)n.

P$ { x , у) = ш г №.

We współrzędnych biegunowych

РпНх, у) = rnCOSn<p, P ^ {x, У) — ^Wsinщ ,

O własnościach oscylacyjnych i Uniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 8 7

zaś

P n \ x i У) --- - = Ctgn<p ф const.

Р(Л Х, У)

Lemat 2.

Każdy wielomian harmoniczny jednorodny n-tego stopnia dwóch zmiennych niezależnych x , y zeruje się wzdłuż n różnych prostych i tylko na n różnych prostych przechodzących przez początek układu i rozci­

nających płaszczyznę (ж, у) na

n równych kątów.

Dowód. Mech Pn(x, y) oznacza dowolny wielomian harmoniczny jednorodny n-tego stopnia.

Na podstawie lematu

Pn(x , У) = Ci P{n ( x , У)+С*Р(пЧх 1 У),

gdzie Cx, C2 są stałymi niezerującymi się równocześnie. We współrzędnych biegunowych

Pn{x, y) — Pw(rcos

, rsinę?) = cos пд>-{-С2гпвтп(р = Crnsin(n<p-\- a), gdzie

______ (j (j

c = V c l+ c l , sina = - .

cos a =

. . _ .

< a <

тг.

V<Ą+Ą V<Ą+<Ą

Miejscami zerowymi funkcji sin (wp-\- a) są liczby

oraz

<P = <Pn+k = к + <Рк, к = 0 , 1 , ..., n —1.

Definicja.

Wielomian jednorodny stopnia n-tego П

Qn(%, у)

= V m V -1

\ i=o

nazywamy wielomianem ąuasi-harmonicznym, jeżeli spełnia równanie typu eliptycznego o stałych współczynnikach

(I) ~l~ ^

^

/y = 0*

Udowodnimy następujący lemat o zerach wielomianu quasi-harmo- nicznego n-tego stopnia:

Lemat 3.

Każdy wielomian ąuasi-harmoniczny n-tego stopnia zeruje się wzdłuż n różnych prostych i tylko na n prostych przechodzących przez po­

czątek układu współrzędnych.

88 P. B a r a ń s k i

Dowód. ШесЬ

T x = а1лХ-\- a12¥ ,

у = a 21X + а 22Г

oznacza transformację nieosobliwą rzeczywistą (por. [5]) środkowo afi- niczną przekształcającą formę kwadratową

w formę kwadratową

alx a?2+ 2 a12xy + 1!%

X 2+ T 2

i niech T~l oznacza przekształcenie odwrotne względem T. Przy tym prze­

kształceniu, które jest superpozycją obrotu i dylatacji obu osi współrzęd­

nych, każdy wielomian

Q n ~ r T Q n — P n i

zaś

p --- у m - 1 p

n J1— 1 n ^{Q r}

Proste zerowania się wielomianu Pn{x, y) przechodzą w proste zerowania się wielomianu Qn(oo,y) i na odwrót.

3. W dowodzie następnego lematu będziemy korzystali z twierdze­

nia, które jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Cordesa, [3], a mia­

nowicie z twierdzenia następującego:

Twierdzenie 1.

Jeżeli funkcja u( x, y) eC2

spełnia równanie

w ob­

szarze B, 2° u(x, y) = 0 na luku (l) klasy C1 zawartym w В , 3° pochodna funkcji u(x, y) w kierunku niestycznym do luku (ł) jest równa zero dla punk­

tów (x, y) luku (l), to u( x, y) = 0 w obszarze B.

Wykażemy teraz

Lemat 4.

Jeżeli P i , p 2, . . . , P

sck prostymi zerowania się bielomianu ąuasi-harmonicznego Q

{®

У) stopnia N-tego, to poza początkiem układu pochodne funkcji У) w każdym kierunku niestycznym do pi

(i = 1

. . ., N) są’wzdłuż tych prostych różne od zera.

Dowód. Gdyby istniał punkt 8 epj, 8 Ф 0, oraz kierunek t niestyczny do pj taki, że

dQN

dt = 0,

wówczas wielomian QN{x, y) byłby identycznie równy zero. Istotnie, wie­

lomian

dQN(oc, У)

У) dt i

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 8 9

będący kombinacją liniową dwóch wielomianów jednorodnych stopnia N —1 zmiennych х, у o współczynnikach stałych, jest również wielomia­

nem jednorodnym zmiennych x, y. Wobec tego, jeżeli wN_ x(x, y)\8 = 0, to ze względu na jednorodność wielomianu wN_x(x, y) zachodziłaby rów­

ność

dQN(x, y) = dt

dla wszystkich punktów prostej pj. Ponieważ wzdłuż prostej p f funkcja Q

(

, y) — 0, przeto z twierdzenia 1 wynika, że wielomian Qx( x, y) jest równy identycznie zero wbrew założeniu, że jest stopnia W tego.

Za Bersem [12] podamy

Twierdzenie 2.

Jeżeli

równanie

jest typu eliptycznego,

współczynniki axl{x, y), a12(x, y), a22(x, y) spełniają warunek Hóldera z wykładnikiem e, 3° niezerowe rozwiązanie u( x , y ) e C2 równania (1) ma w punkcie (0, 0) zero rzędu skończonego naturalnego N, tzn. spełnia warunki

u( x, y) u{ x, y)

r N - 1

0 dla r = У

2 +

/2 0,

to istnieje otoczenie

początku układu współrzędnych oraz jeden wie­

lomian Q

{

, y) ąuasi-harmoniczny stopnia N-tego spełniający równanie

a funkcja u(x, y) spełnia w K ( 0 ,0 ) warunki (6) u(x, y) = Qs(x, y) + 0( rK+'),

O) «i = (QN)'*+0(rN+‘- 1), u'v = Ш у + 0(г»+ ‘-') .

4. Wykażemy teraz twierdzenie o istnieniu linii węzłów (linii zero­

wania się) rozwiązania niezerowego u{x, y) równania (1) w pewnym oto­

czeniu punktu osobliwego, tzn. punktu, w którym funkcja u( x, y) ma zero rzędu skończonego naturalnego.

Przesuwając początek układu do punktu osobliwego, w którym roz­

wiązanie u(x, y) ma zero rzędu skończonego naturalnego N, możemy za­

łożyć, że punktem osobliwym jest początek układu współrzędnych.

Wykażemy teraz twierdzenie o istnieniu linii węzłów:

Twierdzenie 3.

Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia

i jeżeli

■rozwiązanie niezerowe u (x , y) eC2 równania (1) ma w początku układu zero

rzędu skończonego naturalnego N, to istnieje otoczenie początku układu,

w którym funkcja u( x, y) ma dokładnie 2N linii węzłów.

90 F. B a r a ń s k i

Dowód. Niech

(

)

oznaczają, półproste, na których wielomian

) jest równy zero.

We współrzędnych biegunowych mamy

(9)

, rsin<p) = r^/Cę?).

Niech

(10)

•••,

oznaczają odpowiednio równania półprostych (

) we współrzędnych bie­

gunowych.

Z lematu 4 wynika, że

(11)

0 dla

0,

= 1, 2, ..., 2JV, a więc

zmienia znak w punktach

i tylko w tych punktach.

Na podstawie (

) mamy

(

) ^(rcosę?, rsinę?) = ^ ( / (

) +

(r6)), zaś na podstawie (7)

(13)

= г ^ /Ы + Л ) ^ 6) =

Z (11), (12), (13) wynika, że dla każdej liczby dodatniej mniejszej od

= min{ę

—ę?!,

istnieje liczba dodatnia

taka, że dla każdego

0,

w każdym z prze­

działów

(14)

9h + /0j

9^2+^)? •••» (992iv— /5, 992iv + /5) funkcja

jest różna od zera, a w każdym z przedziałów dopełniających

(99i + /?> 992 — ^ ) ? •••? (9^2^ + ^ j 271 + 9?! — / 0

funkcja

(15) / M + 0 (O

jest stałego znaku, na przemian dodatnia i ujemna.

Stąd wynika, że dla każdej ustalonej liczby r e ( 0 , 22) w każdym z prze­

działów (14) istnieje jedno i tylko jedno miejsce zerowe

?.£(r) funkcji (15).

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 91

Zbiór punktów (х, у) o współrzędnych biegunowych r) tworzy układ 2X linii węzłów rozwiązania u(x, y), które oznaczamy przez

(17) %, w2, .. .,

2N.

Należą one do otoczenia początku układu o promieniu В i wobec ciągłości funkcji u( x, y) są przedłużalne do początku układu współrzędnych. Po­

nadto

—

, gdy

0,

1 , 2 , . . . , 2

5. Wykażemy teraz twierdzenie o regularności linii węzłów (17) w początku układu współrzędnych, a mianowicie:

Tw ie r d z e n ie 4.

Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia

wówczas linie węzłów (17) są w początku układu styczne do odpowiednich półprostych (8).

D o wód. Weźmy pod uwagę półprostą pi oraz linię węzłów w*.

Obróćmy układ współrzędnych xOy dokoła O tak, by oś Ox pokryła się z półprostą pi i niech {XOY) oznacza układ obrócony. Przy tej transfor­

macji regularność współczynników oraz rozwiązania równania (1) nie zmienia się. Wielomian Q

(

, y) przechodzi po przekształceniu również w wielomian quasi-harmoniczny qN (X , Y). Niech obrazem łuku wt po obrocie będzie łuk W*.

Otóż

(18) (qN{X, Y))'x -> 0, gdy (X, Г ) - > 0 ( 0 , 0 ) , na podstawie lematu 4 zaś

(19) (qN(X, Y))'y Ф 0 wzdłuż OX dla X Ф 0.

Niech u(x, y) = U ( X , Y) i niech (Ф,

) będą współrzędnymi bieguno­

wymi w układzie (X O Y ).

Wówczas

U( X , Y) =

qs (X,

(eN+‘) =

U’x ( X , Y)

= (

=

(20)

V r ( X , Y)

=

)y+0(eff+- ‘) =

h(0 ) = 0 , 0(0) Ф0.

Z (20) wynika, że dla każdej liczby Фе( —

istnieje liczba В taka, że dla każdego pe(0, B) oraz dla każdego punktu

(X = рсовФ, Y =

sinФ )

,

> 0 , funkcja TJ'Y jest różna od zera.

Wobec tego istnieje funkcja uwikłana Y = Y{X) spełniająca rów­

nanie U (X, Y) = 0, której obrazem geometrycznym jest łuk W i, prze-

92 F. B a r a ń s k i

dłużalna do punktu 1 = 0 z wartośńą Y(0) = 0. Pochodna Y' (x) istnieje dla X > 0 i jest określona wzorem Ux/ Uy. Ponadto

Ux = eN- 1h ( 0 ) + O( e N^ - 1) _ Ц ф

+

_^o Uy gN- 1G(0)+O{QN+s~1) ' G(0) + O{

') ’ gdy

( X =

co s0 , Y = psinФ) ->(0, 0) dla (X, Y)eW*.

Wobec tego możemy przedłużyć Y'(X) do X = 0 przyjmując Y ' ( 0 ) = 0 .

Łącząc parami linie węzłów wt oraz wi+N, i = 1, .. ., N, o tym samym kierunku stycznej w początku układu otrzymujemy X linii węzłów

Vx, V2, • • • 5 Vjy .

6. Z powyższych twierdzeń wynika w szczególności jako wniosek twierdzenie podane w książce Hilberta-Couranta [13]:

Jeżeli w punkcie osobliwym przecina się к linii węzłów rozwiązania niezerowego równania

Ли Х еи = 0, c stała dodatnia,

wówczas styczne do tyeh linii rozcinają płaszczyznę na 2к równych kątów.

W myśl poprzednich twierdzeń styczne te są prostymi zerowania się odpowiedniego wielomianu harmonicznego P k(x,y).

Prace cytowane

[1] C. O le c h , Z. O p i a l , T. W a ż e w s k i , S u r le р г о Ы ё т е cTo s c i l l a t i o n d e s i n t e ­ g r a t e s d e V eq u a tio n y " - \ - g ( t ) y = 0, B ull. A cad. Polon. Sci. 5 (1957), str. 621-626.

[2] E . H i l l e , Nonoscillation theorems, T ra n s. A m er. M ath. Soc. 64 (1948), str.

234-252.

[3] O. C o r d e s , liber die Bestimmtheit der Lósungen Elliptischer Differential- gleichungen durch Anfangsvorgaben, N ach. Ges. W iss. G o ttin g e n , 1955, str. 239-258.

[4] M. K r z y ż a ń s k i , S p raw o zd an ia P TM (1955).

[5] M. K r z y ż a ń s k i , Równania różniczkowe cząstkowe, cz. I, W arszaw a 1957.

[6] W . L e i g h t o n , Z. N e h a r i , On the oscillation of solutions of self adjoint linear differential equations of the fourth order,T rans. A m er. M ath. Soc. 89 (1958), str. 325-377.

[7] H . H o w a r d , Oscillation criteria for fourth order linear differential equations, T rans. A m er. M ath. Soc. 96 (1960), str. 296-311.

[8] J . B a r r e t , Disconjugacy of a self-jointed differential equation of the fourth order, P acific J o u rn . M ath. I I (1961), str. 25-36.

[9] R. P e d e r s o n , On the unique continuation theorem for certain second and fourth order equations, Comm. P u re A ppl. M ath. 11 (1958), str. 67-80.

[10] H. P r o t t e r , Unique continuation for elliptic equations, T rans. A m er. M ath.

Soc. 95 (1960), str. 82-96.

[11] В. К о н д р а т ь е в , О колеблемости решений линейных дифференциаль­

ных уравнений третьего и четвертого порядка, Д А Н СССР 118 (1958), 1, str. 22-24.

O własnościach oscylacyjnych i liniach węzłów rozwiązań równań różniczkowych 9 3

[12] L. Bers, Local behavior of solutions of general elliptic equations, Comm.

Pure Appl. Matli. 8 (1955), str. 477-495.

[13] H ilb e rt - C o u ran t, Methods of Mathematical Physics, vol. I, New-York 1959.

[14] E. G o u r s a t, Corns d’Analyse Mathematique, vol. I ll, Paris 1942.

Ф. Барански (К раков)

ОБ ОСЦИЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ И УЗЛОВЫХ ЛИНИЯХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО

ТИПА РЕЗЮМЕ

I. О некоторых вопросах, касающихся осциляционных свойств уравнения A u-fpu — 0.

В этой главе даются остаточные условия осциллирования ненулевых реше­

ний уравнения

(1) Ли-\-р(х, у)и — 0.

Ненулевое решение и { х , у ) е С% уравнения (1) в неограниченной области ТУ, дополнение которой CD ограничено, называется осцилирующим, если: 1° и (ж, у) = О по крайн й мере в одной внешней точке каждого круга, 2° нули функции и(х, у) не выполняют никакой области.

Пусть

m(r) = min р( х , у ) ,

ж2+у2 = г2

г

С (г) =

j

ro

В этой главе, между прочим, автор доказывает две теоремы:

Теорема 2. Если

limaprćr(r) = оо r-9-oo

или этот аппроксимативный предел не существует, тогда каждое ненулевое реше­

ние уравнения (1) является осцилирующим.

Теорема 4. Если 1° функция т(г) непрерывна для г > г0 > 0, r 0 = const,

1 7

2° т(г) -|--- > 0, 3° liminfr I m{t )dt > 0, тогда каждое не нулевое решение урав-

4 т г — > ОО г

нения (1) является осцилирующим.

II. О некоторых вопросах, касающихся осциляционных свойств некоторого класса эллиптических уравнений четвертого порядка. В этой главе автор исследует достато­

чные условия осцилирования ненулевых решений уравнения:

(2) A Au ( X ) р (х) и (X) — 0, Х ( х ±, ..., хп) .

Уравнение (2) называется осциляционным в неограниченной области D, для ко­

торой дополнение CD ограничено, если существует ненулевое осцилирующее решение этого уравнения.