I trygonometrycznych pojedynczych i podwójnych O rozbieżności absolutnej pewnej klasy szeregów

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

F. B

(Kraków)

O rozbieżności absolutnej pewnej klasy szeregów trygonometrycznych pojedynczych i podwójnych

1. W teorii szeregów trygonometrycznych znane jest następujące T

1. Jeżeli

00

O > ®П + 1 ^ ®n = 1 > 2 , • • •) } 0>n ~ 00 >

n = l

to szereg

co

( 1 ) JT ajsin7cnt|

l

jest rozbieżny dla Tcażdej liczby te( 0 , 1 ).

Dowody tego twierdzenia podane przez Saksa [5] oraz Tonclliego [4] nie dają się przenieść na przypadek wielowymiarowy.

W pracy niniejszej zostanie podany inny dowód rozbieżności szeregu ( 1 ) oraz uogólnienie twierdzenia 1 na szeregi trygonometryczne podwójne.

Ponadto jako zastosowanie uzyskanych wyników zostanie wykazana rozbieżność absolutna rozwinięcia dwuliniowego funkcji Greena dla prostokąta.

2. Celem przeprowadzenia dowodu twierdzenia 1 wykażemy kilka twierdzeń pomocniczych.

L

1. Jeżeli

CO

( 2 ) an > O, a n+1 ^ n — 1 * 2 , ...), = 00»

n = l

to Tcażdy szereg częściowy szeregu ( 2 ) (3)

w którym

1 < % < N ,

i - I 1 ⁱ

1 ^ ^ {i — 1* 2 , . . . ) ,

N liczba naturalna stała, jest rozbieżny.

D ow ód. Z nierówności

a n x ^ ^ + • • • + ®2J V - l ) >

otrzymujemy nierówność

oo oo

Weźmy pod uwagę ciąg

(4) bn(t) = n t - l n t J i 1).

Wykażemy teraz następujący

L

2. Jeżeli t jest dowolną liczbą niewymierną z przedziału ( 0 , 1 ) , N zaś dowolną liczbą naturalną, to istnieje liczba dodatnia 3( N, t ) taka, że co najwyżej co (N-\-l)-szy z kolejnych wyrazów ciągu (4) należy do prze­

działów (0, <5), ( 1— <5,1).

D ow ód. Dowód przeprowadzimy według pomysłu A. Plisia. W tym celu rozmieśćmy wyrazy ciągu (4) na okręgu K x o długości 1 (rysunek 1).

Niech odpowiednia współrzędna łukowa oznacza liczby bx(t), b2(t) , ...

Dla dowodu lematu 2 przyjmujemy

(5) d ( N, t ) =. $тш( Ь1, bN , 1 - h , 1 - b N).

Sprawdzimy, że liczba 3(Ж, t) spełnia warunki tezy. Istotnie, prze­

działy

( 6 ) (0 , <5), ( 1 - 3 , 1 ) oraz

(7) (bi—■ <3, bx-\- 3), (bz — 3, bz-\- 3 ) , (btf— 3, bN-{- 3) (* )

(*) Symbol [ж] oznacza część całkowitą liczby aj.

O rozbieżności absolutnej

na podstawie warunku (5) są parami rozłączne. Jeżeli jakiś wyraz b^t) należy do jednego z przedziałów (7), to

h+i (*), ^ś +2 (^) > • • •

^i+N (*)

należą do przedziałów (7) rozłącznych z przedziałami ( 6 ).

L emat 3. Dla każdej liczby niewymiernej te(0, 1) oraz liczby natu­

ralnej N istnieje liczba dodatnia ó (N ,t) taka, że co najwyżej co (AT+ 1 )-szy z kolejnych wyrazów ciągu

( 8 ) Kbn(t) = Ttni-Tclnt]

należy do przedziałów

(9) (0, те<5), (те —те<5, те).

D ow ód. Ciąg ( 8 ) powstaje z ciągu (4) przez powiększenie okręgu K x w okrąg K n o długości те poprzez podobieństwo ze względu na środek okręgu, przy czym liczba ó z poprzodniogo lematu przechodzi w liczbę те<5j liczba 1 —

w liczbę те — те<5, liczba 1 w liczbę те.

3. Udowodnimy teraz twiordzonie 1 . Dowód przeprowadzimy 1°

dla t wymiernych, 2 ° dla t niewymiernych.

Ad 1°. №ech t = pjg. Otóż dla ciągu wskaźników щ = (г—l)g -|-l {i — 1 , 2 , ...) mamy

I p p

I вши#те— = sm7r - = A > 0 ,

I ' 9 9

wobec czego

V > an вшлте — 1 I • P

n=i i 9

Sin % те —■ V 9

OO

= A j ^ a n.

i = 1

OO

na podstawie lematu 1 , w którym należy przyjąć N = q.

Ad 2 °. Niech i oznacza liczbę niewymierną z przedziału ( 0 ,1). Zgodnie z lematem 3 do N = 2 dobieramy odpowiednią liczbę <5(2 ,t). Niech {r.bni(t)} oznacza podciąg ciągu ( 8 ), którego wyrazy nie należą do prze­

działów (9). Ponieważ

Tzmt — т:&п^ ) + те[?М], przeto

|sin7r%<| = |sin77&nf(<)| > sin те <3.

Wynika stąd, że

0 0 0 0 c o

ащ = oo

Ć T i г = 1 1 г = 1

na podstawie lematu 1 przy N = 2 .

4. W następnym paragrafie podamy uogólnienie twierdzenia 1 na przypadek dwuwymiarowy. Obecnie udowodnimy pewne lematy.

Le m a t 4 .

Jeżeli

orm

vm, П > 0 , a, < a,m,nj ^wi,w+l < a, m,n

wówczas

m,n =1

= oo,

г.г = ]

I

®т,щ

(m, w = 1 , 2 , ...)

gdzie {щ} oznacza ciąg wskaźników, spełniający warunki n x = 1 , 1 ^ Щ

— Щ < ,JSF (i = 1 , 2 , . . . ) , liczba naturalna stała.

Analogiczne twierdzenie zachodzi przy sumowaniu wierszami.

D ow ód. Mech

8

щ = £ а т,ч , m =1

OO m=l Oczywiście

( 10 ) У! ат,п{

m,i = 1 = I X - i = l

Przy dowodzie rozróżnimy 'dwa przypadki 1° S

=

<

Ad 1 °. Szereg (10) jest rozbieżny do

Ad 2 °. Szereg

$ 1 + $ » !+ •• •+$га$"Ъ • • •

jest rozbieżny do

na podstawie lematu 1 , w którym zamiast

należy przyjąć Sn., zaś zamiast an przyjąć Sn.

U w ag a. W tezie lematu 4 przyjęliśmy n x = 1. Pochodzi to stąd, że przy n x > 1 teza może być fałszywa jak wskazuje przykład, w którym

*т,п m 4 + (n —l )4 (m = l , 2 , . . . , n — 2 , 3 , . . . ) .

Le m a t 5 .

Przy założeniach lematu

mamy

OO

JŹ j ami>ni ~

’

i , 1 = 1

gdzie огая тг,- są wskaźnikami spełniającymi warunki m x = nx = 1 ,

1 < w i+1 — < J f , — (i, j — 1 , 2 , ...), Ж, L liczby

naturalne stałe.

O rozbieżności absolutnej

D ow ód. Dowód polega na kolejnym zastosowaniu lematu 4 do sumowania kolumnami i wierszami. Otrzymujemy kolejno szeregi

0 0 OO 0 0

m s amitnj

7=1 m = l l

rozbieżne do + oo.

5. Weźmy pod uwagę szereg podwójny

(U ) I Om, n sin ттел? sin mn £ sin п щ sin nizr\

m w zbiorze

m , n — l

R: O < x < 1 , O < £ < 1, O < у < 1 , O < r\ < 1.

Wykażemy teraz następujące T

2. Jeżeli

^ O, Q>m+l,n

>m,n j ^

oo

m,n=*l

(m, n = 1 , 2 , ...)

szereg ( 11 ) jest absolutnie rozbieżny w każdym punkcie zbioru R.

D ow ód. Rozróżnimy następujące przypadki: 1 ° liczby x , £ , y , r ) wymierne, 2 ° trzy spośród liczb cc, £, у , rj wymierne, jedna niewymierna, 3° dwie spośród liczb л?, £, у , rj wymierne, dwie niewymierne, 4° jedna spośród liczb x , £, у , rj wymierna, pozostałe niewymierne, 5° wszystkie liczby x , £, у ,rj niewymierne.

Ad 1°. Mech

i niech

P >

2 a V = Pi

sin тел; = A > O, sinTc£ = В > O, siany = C > O, s i n ^ = D > 0 . Mech

mi = (»— 1 ) 2 x 28 - 1 * 1 , Щ = O"—1)2324+1 (i, j = 1 , 2 , ...).

Wówczas minorantą absolutną szeregu (11) jest szereg „

00 00

JT | sin

тел? sin

те £ sin

ny sin

ABGD JT ^mitnf

00 na podstawie lematu 5 przy AT — gxq_^ L - M i -

Ad 2 °. Ze względu na symetrię wystarczy rozważyć jeden przy­

padek, np. x, £, у wymierne, rj niewymierne.

Mech

„ P i t Pz Pz

(P = — , # = — , у = — ,

^ <Li & 2з

(12) Mi = ( г -

) Ы г

(i = 1 , 2 , . . . ) ,

^ = 0 * - l ) ? 3 + l (i = 1 , 2 , . . . ) .

Do liczby N — q

zgodnie z'lem atem 3 dobieramy liczbę Ó(q3, у). Niech

% oznaczają wyrazy ciągu ( 12 ), dla których, liczby пЬп.{у) nie należą do przedziałów (9). Jak łatwo widać liczby т:Ъп.{у) tworzą ciąg nieskończony, w którym

nt = N i, 1 <w*+i —% <

q

(j = 1 , 2 , . . . ) . Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej i w ciągu (13) nbi(r))t r>bi+

(rj), .. ., T: 6 i+ 233 -i(»?)

jeden ze wskaźników jest równy J # 3 + l , inny ( J + 1 )# 3 + 1 , gdzie J oznacza liczbę naturalną. Na podstawie lematu 3 co najwyżej dwa wyrazy ciągu (13) należą do przedziałów (9). Oznaczmy je przez

кЪп.(г]), к bni+

(rj).

Zachodzi przy tym nierówność

1 4 + 1

— Щ > q a- Wobec tego co najmniej jeden z wyrazów

n^jQ

+i(v)t 7 C^+x)g, 3 +i(ł?)

z ciągu (13) nie należy do przedziałów (9). Gdyby bowiem oba do nich należały, wówczas różnica ich wskaźników byłaby większa od q

wbrew temu, że jest równa q3.

Niech

|sinWi7ra?| = A > 0 , |8тт*7г£| = В > 0 ,

|sin% 7 :i/| = C > 0 , |sin% 7 r? 7 | > sinwó > 0 . Wówczas minorantą absolutną szeregu (11) jest szereg

oo

ABC SinTTÓ JP =

i , j — l

na podstawie lematu 5, w którym przyjmujemy M = qxq

L —

q3.

Ad 3°. Ze względu na symetrię wystarczy rozważyć dwa podprzy- padki

- a)

), £ wymierne, y , у niewymierne;

b) а?, у wymierne, £, у niewymierne.

O rozbieżności absolutnej 27

Ad a). Niech

Pi t Pz

x = — , 1 = — ,

3i 4%

{ i —l ) q 1qt + l (i = 1 , 2 , . . . ) , IsinWira?! = A > O, |sinw 47 c|| = В > 0.

Do liczb niewymiernych y, rj oraz N = 2 zgodnie z lematem 3 dobie­

ramy liczby <5(2, i/), <5(2, rj). Niech <5 oznacza mniejszą z tych liczb. Niech щ oznacza wskaźniki, dla których liczby

(14) nbnj{y), nbn.{r))

nie należą do przedziałów (9). Liczby (14) tworzą ciąg nieskończony w którym

% = 1, 1 < % + ! - % < 3 (i = 1, 2, ...).

Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej i , w ciągach trójwyrazowych

(15) nbi(y),i:bi+l(y),T:bi+

{y),

(16) TC bi (fj) , 7:b

(7j) , TC &i+2 (ту) ,

co najmniej po dwa wyrazy nie należą do przedziałów (9). Wobec tego istnieje co najmniej jeden wskaźnik щ wspólny dla obu ciągów, dla któ­

rego r.bn.{y) oraz r.bn.(rj) nie należą do przedziałów (9).

Wówczas minorantą absolutną szeregu (11) jest szereg

00

A.Bsin7C<5 == 00

i , j = 1

na podstawie lematu 5, w którym przyjmujemy M = qxq2, L ~ 3.

Ad b). Niech (17) л co=

Pi

2 i Mi = ( t—l)g x+ l (i = 1 , 2 , . . . ) .

Do liczb N = qx oraz £ dobieramy liczbę d(qu £). Przez oznaczamy wyrazy ciągu (17), dla których liczby т:bm.(i) nie należą do przedziałów (9). Wykazujemy jak w 2°, że liczby te tworzą ciąg nieskończony, w k tó ­ rym

m

= M

= 1 , 1 < m

— mi <

qx (i = 1 , 2 , . . . ) .

Dalej niech -

(18) P 2

У = — ,

«а

Ж,-= ( j - l ) g 2+ l (j = 1 , 2 , . . . ) .

Do liczb N = q

oraz rj dobieramy liczbę <5(g2> *?)• Przez щ oznaczamy

wyrazy ciągu (18), dla których liczby nbnj(r)) nie należą do przedzia­

łów (9). Wykazujemy jak w 2 °, że liczby te tworzą ciąg nieskończony, w którym

n

= N

= l , 1 < % +1 — % < (j == 1 , 2 , . . . ) . Mech

|& т т 4 то»1 = A > 0 , |snm,- 7 ry| — В > 0 , <5 = m in jó ^ i, £), <5(g2, »?)).

Wówczas minorantą absolutną szeregu ( 11 ) jest szereg

oo

4 i?sin 27 t <5 Jj? am. n. =

i , / = 1

na podstawie lematu 5, w którym przyjmujemy 31 =

qx, L =

q2.

Ad 4°. Ze względu na symetrię wystarczy rozważyó przypadek, gdy x wymierne, £, y , r\ niewymierne.

Mech

x = — , Ил Mi = ( i —1 ) ^ + 1 (i = 1 , 2 , . . . ) ,

(19) qi

(sin Miixx\ — A > 0.

Do liczb N — qt oraz | , na podstawie lematu 3, dobieramy liczbę

6

(qlt i). Przez m oznaczamy wyrazy ciągu (19), dla których liczby 7 гйЖ{(I) nie należą do przedziałów (9). Wykazujemy jak w 2°, że liczby te tworzą ciąg nieskończony, w którym

— — 1 , 1 < — <

qx (i — 1 , 2 , . . . ) .

Do liczb 3f =

, y , r) zgodnie z lematem 3 dobieramy liczby <5(2, y).

6

(

, y). Mech <5 oznacza najmniejszą z liczb

(qx, f), <5(2, y), <5(2, ?y), Analogicznie jak w 3° a) dowodzimy istnienia ciągu wskaźników щ ta ­ kich, że

— 3, 1 ^ -j- 1 ■ Щ 3 (j = 1 , 2 , . . . ) ,

przy czym liczby т:Ьп.(у) oraz ~bnj(r}) nie należą do przedziałów (9).

Minorantą absolutną szeregu (11) jest wówczas szereg

OO

A sin 3 7T<5 JjP Q"mi,n,j = 00 ij= l

na podstawie lematu 5, w którym przyjmujemy M = 2 #x, L = 3.

Ad 5°. x , ę, у ,rj niewymierne.

Mech <5 oznacza najmniejszą z liczb <5(2, x), <5(2, i), <5(2, y),

(

,

])

skonstruowanych na podstawie lematu 3. Podobnie jak w przypadku

3°a) wykazujemy istnienie ciągu wskaźników m*, w którym ml = 1,

O rozbieżności absolutnej

1 < m i+1 — < 3 , dla. którego wyrazy ciągów жЬт.{х), nbmi{£) nie należą do przedziałów (9) oraz ciągu wskaźników %, w którym

nx — 1 , 1 < %+i” % ^ 3,

dla którego wyrazy ciągów пЬП}{у), -кЬп.(т]) nie należą do przedziałów (9).

Wówczas minorantą absolutną szeregu (11) jest szereg sin 4 тс <5 ^ t n,j 00

i , i= 1

na mocy lematu 5 przy M = L = 3.

6 . Z poprzedniego twierdzenia wynika, że szereg dwuliniowy funkcji Greena dla prostokąta jest absolutnie rozbieżny w każdym jego punkcie wewnętrznym, na co zwrócił uwagę Iljin [3], który podał dowód tego twierdzenia bardzo skomplikowany i trudny do sprawdzenia, który jest przypadkiem szczególnym podanego w pracy niniejszej twierdzenia 2 . Weźmy pod uwagę szereg dwuliniowy funkcji Greena dla prostokąta

(

20

1 m 2

m, ł? ,= l_____ i

Я 2 ft 2

U V s w

— sin mit — sin тж — sm пж — sm пж—,

n2 a b a b

Q 0 < u < a, 0 < v < b , 0 < s < a, 0 < w < b.

Mech

= £, w

= У = г/, Wówczas szereg (20) ma postać

(

2 1

V - 1

Z j m

w , n = l

a

-)—■ n * — 2 Г &2

sin пьжх sin m% £ sin пжу sin mzrj

i jest określony w zbiorze

j R: 0 < x < 1 , 0 < £ < 1 , 0 < у < 1 , 0 < г] < 1 .

Dla szeregu (21) spełnione są założenia twierdzenia 2, a mianowicie

1 1

a. (m + 1)2 | n z

a 2 ¥

a + n i ^{m, n )}

a,

w 2 | (тг+ 1)2

a 2 b

m 2 (w, n — 1 , 2 , ..-.)

oraz

^m,n —

• m ,»=1

Wobec tego szereg (21) jest absolutnie rozbieżny w każdym punkcie zbioru R, a tym samym szereg (20) jest absolutnie rozbieżny w każdym punkcie zbioru Q.

W książce Hilberta-Couranta [2] podane jest twierdzenie, w myśl którego szereg (21) jest zbieżny absolutnie w zbiorze R poza pewnym zbiorem przekątniowym. W najnowszym wydaniu tej książki [2] znaj­

duje się sprostowanie z powołaniem się na pracę Iljina [3].

Prace cytowane

[1] H ilb e r t-C o u r a n t, Methoden der mathematischen Physik, Berlin 1941.

[2] — Methods of mathematical physics, New York 1956.

[3] И л ь и н , Представление функции источника в виде билинейного ряда по собственным функциям, DAH 74 (1950).

[4] L. T o n e lli, Serie trigonometriche, Bologna 1928.

[5] A. Z y g m u n d , Trigonometrical series, Warszawa - Lwów 1935.

Ф.

(Краков)

ОБ АБСОЛЮТНОЙ РАСХОДИМОСТИ НЕКОТОРОГО КЛАССА ОДНОКРАТНЫ Х И ДВУК РАТН Ы Х ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

Р Е З ЮМ Е

Доказаны теоремы об абсолютной расходимости некоторых однократных и двукратных тригонометрических рядов с коэффициентами удовлетворяющими условиям типа Фату.

Дан пример билинейного ряда функции Грина для прямоугольника. Этот пример содержит корректное доказательство одного утверждения связанного с одной теоремой Куранта [2] и его доказательством данным Ильином [3].

F.

(Kraków)

ON ABSOLUTE DIVERGENCE OP CERTAIN CLASS OF SIMPLE AND DOUBLE TRIGONOMETRICAL SERIES

STJ MM A R T

The theorems on absolute divergence of simple and double trigonometrical series with coefficients satisfying. conditions of Fatou’s type are given.

As an example a development of Green’s function for a rectangle in bilinear series expansion is given. This example contains a correct proof of a theorem con­

nected with certain. Co.urant’s theorem [2] and its proof given by Iljin [3].