07DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całko- wite, wzór Bayesa
Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B) > 0, nazywamy liczbę
P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) .
Twierdzenie. 1 (Wzór łańcuchowy). Jeżeli zdarzenia A1, A2, . . . , An spełniają warunek P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An−1) > 0, to P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An) = P(A1)P(A2|A1) · . . . · P(An|A1∩ A2∩ . . . ∩ An−1).
Definicja. 2. Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę zdarzeń {Bi}i∈I, które parami wykluczają się (tj. Bi∩ Bj= ∅ dla i 6= j), ich suma zaś jest równa Ω.
Twierdzenie. 2 (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeżeli {Bi}i∈I jest przeliczalnym rozbiciem przestrzeni Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, to dla dowolnego zdarzenia A mamy P(A) =P
i∈IP(Bi) · P(A|Bi).
Twierdzenie. 3 (Wzór Bayesa). Jeżeli {Bi}i∈I jest przeliczalnym rozbiciem zbioru Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopo- dobieństwie oraz P(A) > 0, to dla dowolnego j ∈ I mamy
P(Bj|A) = P(Bj) · P(A|Bj)
P(A) = P(Bj) · P(A|Bj) P
i∈IP(Bi) · P(A|Bi).
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Liczby a, b wybieramy losowo z przedziału [0, 1]. Oblicz prawdopodobieństwo P({a 12}|{a + b 13}).
Zadanie A.2. W urnie znajdują się 4 kule białe oraz 2 czarne. Trzy razy powtarzamy następującą operację: losujemy kulę z urny, następnie wkładamy ją z powrotem, dokładając dodatkowo 2 kule tego samego co wylosowana kula koloru.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie 3 kule czarne?
Zadanie A.3. Losujemy jedną liczbę a ze zbioru {1, 2, 3} (każda z liczb równo prawdopodobna) a następnie losujemy dwie liczby z przedziału [0, a]. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wylosowanych z przedziału [0, a] liczb wynosi co najwyżej 2.
Zadanie A.4. (Paradoks Monty’ego-Halla) W grze ”Idź na całość” są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód, a za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot. W tym momencie grający może zmienić bramkę. Czy opłaca mu się to zrobić?
Zadanie A.5. Fabryka wytwarza gwoździe na trzech maszynach M1, M2oraz M3, których udział w produkcji wynosi odpowiednio 25%, 35% oraz 40%. Maszyny dają odpowiednio 5%, 4% oraz 2% braków.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany gwóźdź wyprodukowany w fabryce jest wybrakowany?
(b) Podczas kontroli jakości losowo wybrano gwóźdź, który okazał się nie być wybrakowany. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że został on wyprodukowany przez maszynę M1?
Zadanie A.6. W pierwszej urnie jest 15 losów wygrywających i 5 przegrywających. W drugiej urnie 14 losów wygrywających i 6 przegrywających. Wybieramy losowo (z prawdopodobieństwem 12) jedną z urn i wyciągamy z niej 3 różne losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą urnę, jeśli wiemy, że wszystkie 3 losy okazały się wygrywające?
Zadanie A.7. Pewne małżeństwo zrobiło swojemu nienarodzonemu dziecku badanie prenatalne, które dało pozytywny wynik na obecność pewnej rzadkiej wady genetycznej (co 10000 osoba na nią cierpi). Wiadomo, że u chorych każdy wynik jest pozytywny, a u zdrowych co 100 wynik daje fałszywy pozytywny wynik. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że ich dziecko jest chore?
Zadanie A.8. Filip strzela z łuku do tarczy. Początkowo jego szansa trafienia w tarczę wynosi 5%. Po każdym pudle, Filip zmniejsza dystans do tarczy o połowę, więc jego szanse trafienia wzrastają dwukrotnie. Jakie są szanse, że w czterech strzałach Filip ani razu nie trafi?
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1 (Zad. 8, §2.1). Z talii 8 kart – czterech króli i czterech asów – wybieramy losowo dwie karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 asy, jeżeli wiemy, że:
1
(a) wybrano co najmniej jednego asa;
(b) wśród wybranych kart jest czerwony as;
(c) wśród wybranych kart jest as trefl.
Zadanie B.2 (Zad. 11, §2.1). W partii brydża przed licytacją gracz E widzi, że nie ma asa. Jaka jest szansa, że jego partner W ma 2 asy?
Zadanie B.3. Współczynniki a, b równania kwadratowego x2+ 2ax + b = 0 wybrano losowo z przedziału [−1, 1]. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn pierwiastków jest liczbą rzeczywistą dodatnią, jeśli wiadomo, że oba pierwiastki są rzeczywiste.
Zadanie B.4. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informację, iż P(A|B ∩ C) = 0,6; P(B|A ∩ C) = 0,3 oraz P(C|A ∩ B) = 0,9. Znaleźć P(A ∩ B ∩ C|(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)).
Zadanie B.5 (Zad. 3, §2.2). W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej urnie są 4 czarne i 1 biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?
Zadanie B.6. Student zna odpowiedź na pytanie egzaminacyjne z prawdopodobieństwem p. Jeśli zna odpowiedź, to odpowiada prawidłowo. Jeżeli nie zna odpowiedzi, to zgaduje jedną z k możliwych odpowiedzi z prawdopodobieństwem 1k. Jeżeli odpowiedział prawidłowo, to jakie jest prawdopodobieństwo, że znał odpowiedź?
ZADANIA DLA TYCH, KTÓRYM PODSTAWOWE SPRAWIŁY PROBLEM Zadanie B.7. Z talii 24 kart (od dziewiątek do asów) wybieramy bez zwracania pięć. Niech:
A – będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu dokładnie trzech króli;
B – będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu co najmniej jednego króla;
C – będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu króla czarnego;
D – będzie zdarzeniem polegającym na wyciągnięciu króla pik.
Znaleźć P(A|B), P(A|C) oraz P(A|D).
Zadanie B.8 (Zad. 11, §2.1). W partii brydża gracz E widzi, że ma 8 pików. Jaka jest szansa, że jego partner W nie ma pików?
Zadanie B.9 (Zad. 5, §2.1). Ania i Bożena umówiły się między 16:00 a 17:00 w centrum miasta. Komunikacja w godzinach szczytu działa, jak działa: przyjmujemy, że działa losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania przyjdzie później niż Bożena, jeżeli wiemy, że Ania nie przyszła przez pierwsze pół godziny?
Zadanie B.10. Student może podchodzić do kolokwium nieograniczoną liczbę razy. Przy pierwszym podejściu student nie za wiele wie, więc prawdopodobieństwo zdania wynosi 1/10. Po każdym podejściu student trochę się uczy, więc szansa zdania przy kolejnej próbie zwiększa się o 1/10. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że student podchodzi do kolokwium szósty raz (tzn. po pięciu podajeściach nadal nie zdał)?
Zadanie B.11 (Zad. 4, §2.2). W urnie są trzy kule białe i dwie czarne. Wyciągnięto jedną kulę z urny i wyrzucono bez oglądania, a potem wyciągnięto następną. Jaka jest szansa, że za drugim razem wyciągnięto kulę białą?
Zadanie B.12 (Zad. 5, §2.2). Jest n monet, z których k jest asymetrycznych i orzeł wypada na nich z prawdopodobień- stwem 13. Wybrano losowo monetę i w wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka jest szansa, że moneta jest asymetryczna.
Zadanie B.13 (Zad. 9, §2.2). Na klasówce z historii Jan i Paweł siedzieli obok siebie. Między innymi mieli napisać dwie daty. Jan je pamiętał, ale nie wiedział jak je przyporządkować. Zapytał Pawła, wiedząc, że w 3 przypadkach na 4 Paweł zna prawidłową odpowiedź, chociaż Paweł uważał, że zawsze wie dobrze. Jednak Paweł w 1 przypadku na 4 oszukuje Jana.
Co jest lepsze dla Jana: posłuchać Pawła, czy odpowiedzieć losowo?
Zadanie B.14. Rzucamy niestandardową kostką sześcienną, która ma następujące liczby oczek na ścianach: 1,2,2,3,3,3.
Rzucamy jeden raz, a następnie rzucamy tą samą kostką tyle razy, ile wypadło oczek w pierwszym rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo, że w żadnym z dodatkowych rzutów nie wypadnie 1.
Zadanie B.15. W urnie A jest jedna kula czerwona i pięć zielonych, a w urnie B po trzy kule w każdym z tych dwóch kolorów. Z urny A wybieramy za jednym razem dwie kule i przekładamy je do B. Następnie wyciągamy jedną kulę z urny B.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula zielona ?
b. Jeżli okazało się, że jest to kula zielona, jakie jest prawdopodobieństwo, że z urny A do B przełożyliśmy dwie kule o rożnych kolorach ?
2
Zadanie B.16. Spośród mężczyzn 5%, a spośród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybieramy losowo osobę (zakładamy, że szanse trafienia na mężczyznę lub na kobietę są takie same).
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana osoba jest daltonistą?
b. Wylosowana osoba okazała się daltonistą. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna.
Zadanie B.17. Są trzy grupy, G1, G2 i G3, liczące odpowiednio n1, n2i n3 studentów. W każdej z nich przygotowania do kolokwium wynoszą odpowiednio 30%, 50% i 70%. Kolokwium piszą wszyscy razem. Sprawdzający wybiera losowo pracę jednego studenta. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a. wybrane kolokwium jest dobrze napisane ?
b. praca należy do studenta z grupy G1, jeśli okazało się, że kolokwium jest dobrze napisane ? Zakładamy oczywiście, że studenci przygotowani dobrze napisali kolokwium, a pozostali nie.
Zadanie B.18 (Zad. 12, §2.1). Na stole leżą koszulkami do góry as karo, as kier i as pik. Jeżeli gracz trafnie odgadnie położenie asa pik, wygra 100 000 PLN. Gracz wybiera środkową kartę i wtedy bankier mówi: „Chwileczkę. Odkryję jedną kartę, a ty się zastanów, czy chcesz zmienić swój wybór”, po czym odkrywa kartę pierwszą z lewej (jest to as karo). Bankier zawsze odkrywa kartę czerwoną, nie wybraną przez gracza. Jeżeli ma dwie możliwości odkrycia karty, wybiera każdą z nich z prawdopodobieństwem 12. Czy gracz powinien zmienić swój pierwotny wybór? (Wskazówka: rozwiązanie jest analogiczne do pewnego przykładu z wykładu.)
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1 (Paradoks Monty’ego-Halla bis). W grze ”Idź na całość” jest n (n 3) bramek. Za jedną kryje się samochód, a za pozostałymi koty (Zonki). Na początku grający wybiera jedną z bramek. Następnie, w każdej z n − 2 tur prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot, po czym grający decyduje, czy chce zmienić bramkę. Jaką strategię powinien przyjąć gracz, aby zmaksymalizować szansę na wygraną (tzn. czy, kiedy i ile razy powinien zmienić bramkę)? Ile wynosi prawdopodobieństwowygranej, jeśli gracz gra optymalnie?
Zadanie C.2 (Zad. 1, §2.1). Niech P(B) > 0. Udowodnić, że P(A|B), traktowane jako funkcja A przy ustalonym B, jest prawdopodobieństwem na (Ω, F ), a także na (B, FB), gdzie FB= {A ∩ B : A ∈ F }.
Zadanie C.3 (Zad. 7, §2.1).
Zadanie C.4 (Zad. 14, §2.1).
Zadanie C.5 (Zad. 15, §2.1).
Zadanie C.6 (Zad. 7, §2.2).
Zadanie C.7. Podczas turnieju rycerskiego wystąpiło 2n uczestników, w tym dwóch braci. Turniej odbywał się systemem pucharowym, tzn. zwycięzca pojedynku kwalifikuje się do dalszej gry. Uczestnicy każdego z pojedynków mają równe szanse na zwycięstwo. Wykaż, że prawdopodobieństwo, iż bracia spotkają się w pojedynku wynosi 21−n.
Zadanie C.8. W każdej z trzech urn znajduje się 5 kul, przy czym w pierwszej urnie są 4 kule białe i 1 czarna, w drugiej 3 kule białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 3 czarne. Wykonujemy 3-etapowe doświadczenie:
1. etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2. etap: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie dorzucamy do tej urny 1 kulę białą i 1 czarną;
3. etap: z tej samej urny ciągniemy 1 kulę.
Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia w trzecim etapie kuli białej, jeśli w drugim etapie wyciągnięto 2 kule białe?
Zadanie C.9. W każdej z dziesięciu urn znajdują się dwie kule onaczone liczbami: w urnie numer 1 znajduja się dwie kule oznaczone liczbą 1, w urnie numer 2 znajdują się dwie kule oznaczone liczbą 2, . . . , w urnie numer 10 znajdują się dwie kule oznaczone liczbą 10. Losujemy jedną kulę z urny numer 1 i przekładamy ją do urny numer 2, losujemy jedną kulę z urny numer 2 i przekładamy ją do urny numer 3,. . . losujemy jedną kulę z urny numer 9 i przekładamy ją do urny numer 10. Wreszcie losujemy jedną kulę z urny numer 10. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta ostatnia wylosowana kula oznaczona jest liczbą większą niż 6?
Zadanie C.10. W pierwszym garncu znajduje się B kul białych oraz C kul czarnych. W drugim garncu znajduje się B kul białych oraz C kul czarnych. Z pierwszego garnca losujemy (oczywiście bez zwracania) K kul i przekładamy je do drugiego garnca. Tam kule zostają dokładnie wymieszane. Następnie z drugiego garnca losujemy jedną kulę.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest czarna. Finalna odpowiedź powinna mieć na tyle prostą postać, że podstawienie konkretnych wartosci np. A = 2 · 1024, B = 1024oraz K = 1020nie powinno stanowić trudności. Uwaga: w tym zadaniu liczy się nie tylko poprawna odpowiedź, ale przede wszystkim jej przekonujące uzasadnienie.
3
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.3 1/4 B.4 9
37
B.6 kp
kp + 1 − p
B.7 P(A|B) =
4 3
20 2
24
5 − 205 = 19
675, P(A|C) =
4 3
20 2
24
5 − 225 = 76
1617, P(A|D) =
3 2
20 2
23 4
= 114 1771 B.10 109 ·108 · 107 ·106 ·105
B.14 285/432 B.15 a) 7/12 b) 2/7 B.16 a) 21/800 b) 20/21 B.17 a) 0,3·n1n+0,5·n2+0,7·n3
1+n2+n3
b) 0,3·n 0,3·n1
1+0,5·n2+0,7·n3
4
